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E3A Mathématiques B MP 2003

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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E3A
Année
2003
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MP
Matière
Mathématiques
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP
durée 3 heures

L'usage de la calculatrice est interdit

Exercice 1

  1. Soit un espace vectoriel sur le corps de dimension finie . Soit un endomorphisme de de rang 1 .
    (i) En discutant sur la dimension de , montrer que ou .
    (ii) Soit un vecteur non nul de . Justifier l'existence d'une base de dont le premier vecteur est . Dans le cas où , quelle est la forme de la matrice de sur une telle base?
    (ii) Dans le cas où , montrer que .
    (iii) Montrer alors l'équivalences des trois assertions :
    (a) est diagonalisable.
    (b) .
    (c) .
On nc e le -espace vectoriel des matrices ( ) à coefficients dans . On note le dual de , c'est à dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur .
2. Soit dans . On note l'application définie sur par :
où désigne la trace de la matrice .
(i) Montrer que est une forme linéaire sur .
(ii) On considère l'application définie par :
Montrer que est linéaire.
(iii) Soit la base canonique de (on rappelle que la matrice est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, excepté le ( )ième qui est égal à 1). Pour tout , exprimer en fonction des coefficients de . En déduire que est injective.
(iv) Montrer que est un isomorphisme.
3. Soit une matrice non nulle de et soit une forme linéaire non nulle sur . On considère l'application définie par :
On remarquera que est un endomorphisme de .
(i) Justifier l'existence d'une unique matrice de telle que :
(ii) Comparer le noyau de et le noyau de . Quel est l'image de ? Quel est le rang de ?
(iii) Exprimer la trace de en fonction de et .
(iv) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit diagonalisable.
(v) On suppose que est diagonalisable. Déterminer le polynôme minimal de .

Exercice 2

  1. On considère la fonction définie par :
(i). Calculer la limite quand tend vers 0 de :
(ii). En déduire qu'il existe des réels strictement positifs et telle que :
(iii). Soit une suite de nombres réels telle que la série de terme général converge.
a. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que:
b. Montrer que la série converge.
2. Soit un réel dans l'intervalle . Pour tout entier naturel , on pose . On note la suite .
(i) Montrer que la suite est une suite décroissante positive. En déduire qu'elle admet une limite .
(ii) Montrer en utilisant les résultats de la question 1. que .
3. Dans cette question on considère le corps de nombres complexes comme un plan affine. Chaque point est caractérisé par son affixe. Soit le point d'affixe 0 . Soit le cercle de centre et de rayon 1. Pour tout entier naturel , on pose et on considère le polygone régulier inscrit dans défini par ses sommets :
(i) Représenter sur une même figure et .
(ii) Soit le point d'affixe 1 . Soit dans soient le point d'affixe et le point d'affixe . On note le milieu de .
a. Montrer que l'aire du triangle vérifie la relation :
b. En déduire que les aires respectives des triangles et vérifient la relation :
(iii) Soit un entier naturel. On note le point d'affixe . Exprimer l'aire du polygone en fonction de l'aire du triangle .
(iv) En utilisant les résultats des questions (ii)et (iii), montrer que :
(v) En admettant que lorsque tend vers , l'aire de tend vers l'aire de , montrer que :
désignant la limite de la suite définie dans la question 2 .

Exercice 3

On considère le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé .
Soit un réel strictement positif. Soit le point de coordonnées ( ). On considère le cercle de centre passant par 0 .
  1. Soit un point du plan distinct de . On note ( ) les coordonnées de .
    a) Ecrire en fonction de et , l'équation de la droite ( ) passant par et othogonale au vecteur .
    b) Calculer en fonction de et le carré de la distance du point à la droite ( ).
    c) Trouver une relation entre et nécessaire et suffisante pour que ( ) soit tangente au cercle .
On note ( ) l'ensemble des projections orthogonales de sur les tangentes au cercle .
2. En déduire une équation cartésienne de ( ). Montrer que ( ) admet une équation polaire de la forme .
3. Construire ( ) dans le repère en prenant .
4. On note ( ) la courbe déduite de par la rotation affine de centre et d'angle .
a) sur le même graphique que .
b) Calculer, en fonction de , l'aire de la portion de plan intérieure aux courbes ( ) et ( ).

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