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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP
durée 3 heures

L'usage de la calculatrice est interdit

Exercice 1

  1. Soit E un espace vectoriel sur le corps ℂ de dimension finie n > 0. Soit u un endomorphisme de E de rang 1 .
    (i) En discutant sur la dimension de Imu ∩ Keru, montrer que E = Imu ⊕ Keru ou Imu ⊂ Keru.
    (ii) Soit e un vecteur non nul de Imu. Justifier l'existence d'une base de E dont le premier vecteur est e. Dans le cas où Imu ⊂ Keru, quelle est la forme de la matrice de u sur une telle base?
    (ii) Dans le cas où Imu ⊂ Keru, montrer que Tr(u) = 0.
    (iii) Montrer alors l'équivalences des trois assertions :
    (a) u est diagonalisable.
    (b) E = Imu ⊕ Keru.
    (c) Tr(u) ≠ 0.
On nc e M_n(ℂ) le ℂ-espace vectoriel des matrices ( n, n ) à coefficients dans ℂ. On note M_n(ℂ)^∗ le dual de M_n(ℂ), c'est à dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur M_n(ℂ).
2. Soit A dans M_n(ℂ). On note F_A l'application définie sur M_n(ℂ) par :
∀X ∈ M_n(ℂ), F_A(X) = Tr(AX),
où Tr(AX) désigne la trace de la matrice AX.
(i) Montrer que F_A est une forme linéaire sur M_n(ℂ).
(ii) On considère l'application F définie par :
F : M_n(ℂ), → M_n(ℂ)^∗; A, ↦ F_A
Montrer que F est linéaire.
(iii) Soit (E_(i, j))_((i, j) ∈ {1, …, n} × {1, …, n}) la base canonique de M_n(ℂ) (on rappelle que la matrice E_(i, j) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, excepté le ( i, j )ième qui est égal à 1). Pour tout (i, j) ∈ {1, …, n} × {1, …, n}, exprimer F_A(E_(i, j)) en fonction des coefficients de A. En déduire que F est injective.
(iv) Montrer que F est un isomorphisme.
3. Soit J une matrice non nulle de M_n(ℂ) et soit f une forme linéaire non nulle sur M_n(ℂ). On considère l'application ψ_f définie par :
ψ_f : M_n(ℂ), → M_n(ℂ); X, ↦ f(X)J.
On remarquera que ψ_f est un endomorphisme de M_n(ℂ).
(i) Justifier l'existence d'une unique matrice A de M_n(ℂ) telle que :
∀X ∈ M_n(ℂ), f(X) = Tr(AX).
(ii) Comparer le noyau de ψ_f et le noyau de f. Quel est l'image de ψ_f ? Quel est le rang de ψ_f ?
(iii) Exprimer la trace de ψ_f en fonction de A et J.
(iv) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur A et J pour que ψ_f soit diagonalisable.
(v) On suppose que ψ_f est diagonalisable. Déterminer le polynôme minimal de ψ_f.

Exercice 2

  1. On considère la fonction f définie par :
f :, : ] − π/2, π/2[, →, ℝ; x, ↦, ln(cosx).
(i). Calculer la limite quand x tend vers 0 de :
1/(x^2)f(x).
(ii). En déduire qu'il existe des réels strictement positifs α, C et C^′ telle que :
∀x ∈ ] − α, α[, − Cx^2 ⩽ ln(cosx) ⩽ − C^′ x^2.
(iii). Soit (u_n)_(n ⩾ 0) une suite de nombres réels telle que la série de terme général (u_n)^2 converge.
a. Montrer qu'il existe un entier naturel n_0 tel que:
∀n ⩾ n_0, cosu_n > 0
b. Montrer que la série ∑_(n ⩾ n_0)ln(cosu_n) converge.
2. Soit β un réel dans l'intervalle ]0, π/2[. Pour tout entier naturel n ⩾ 0, on pose P_n = ∏_(i = 0)^n cos(β/2^i). On note P_β la suite (P_n)_(n ⩾ 0).
(i) Montrer que la suite P_β est une suite décroissante positive. En déduire qu'elle admet une limite l_β ≥ 0.
(ii) Montrer en utilisant les résultats de la question 1. que l_β ≠ 0.
3. Dans cette question on considère le corps de nombres complexes ℂ comme un plan affine. Chaque point est caractérisé par son affixe. Soit O le point d'affixe 0 . Soit Ω le cercle de centre O et de rayon 1. Pour tout entier naturel n, on pose θ_n = (2π)/(2^(n + 2)) et on considère le polygone régulier Π_n inscrit dans Ω défini par ses 2^(n + 2) sommets :
1, e^(iθ_n), …, e^(ikθ_n), …, e^(i(2^(n + 2) − 1)θ_n)
(i) Représenter sur une même figure Π_0 et Π_1.
(ii) Soit A le point d'affixe 1 . Soit θ dans ]0, π/2[; soient B le point d'affixe e^(iθ) et C le point d'affixe e^(2iθ). On note M le milieu de AC.
a. Montrer que l'aire du triangle OAC vérifie la relation :
aire(OAC) = OM ⋅ MA = sinθcosθ.
b. En déduire que les aires respectives des triangles 0AC et OAB vérifient la relation :
aire(OAC) = 2cosθaire(OAB)
(iii) Soit n un entier naturel. On note B_n le point d'affixe e^(iθ_n). Exprimer l'aire du polygone Π_n en fonction de l'aire du triangle OAB_n.
(iv) En utilisant les résultats des questions (ii)et (iii), montrer que :
aire(Π_n) = cos(π/(2^(n + 2)))aire(Π_(n + 1)).
(v) En admettant que lorsque n tend vers + ∞, l'aire de Π_n tend vers l'aire de Ω, montrer que :
l_(π/4) = 2/π,
l_(π/4) désignant la limite de la suite P_(π/4) définie dans la question 2 .

Exercice 3

On considère le plan affine euclidien ℝ^2 rapporté au repère orthonormé (O, i⃗, j⃗).
Soit a un réel strictement positif. Soit I le point de coordonnées ( a, 0 ). On considère C le cercle de centre I passant par 0 .
  1. Soit M un point du plan distinct de O. On note ( α, β ) les coordonnées de M.
    a) Ecrire en fonction de α et β, l'équation de la droite ( D_M ) passant par M et othogonale au vecteur OM^(→−).
    b) Calculer en fonction de a, α et β le carré de la distance du point I à la droite ( D_M ).
    c) Trouver une relation entre α et β nécessaire et suffisante pour que ( D_M ) soit tangente au cercle C.
On note ( Γ ) l'ensemble des projections orthogonales de O sur les tangentes au cercle C.
2. En déduire une équation cartésienne de ( Γ ). Montrer que ( Γ ) admet une équation polaire de la forme r = a(1 + cos(θ)).
3. Construire ( Γ ) dans le repère Oxy en prenant a = 2cm.
4. On note ( Γ_(2π/3) ) la courbe déduite de (Γ) par la rotation affine de centre O et d'angle 2π/3.
a) Tracer(Γ_(2π/3)) sur le même graphique que (Γ).
b) Calculer, en fonction de a, l'aire de la portion de plan intérieure aux courbes ( Γ ) et ( Γ_(2π/3) ).

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