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E3A Mathématiques B MP 2004Sujet et corrigé

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP

durée 3 heures

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Exercice 1

On considère l'équation différentielle :
y^′ + 2xy = 1
On considère la fonction g de la variable réelle x définie par:
∀x ∈ ℝ, g(x) = e^(− x^2)∫_0^x e^(t^2)dt
  1. Montrer que g est impaire.
  2. Montrer que g est solution de l'équation différentielle (E).
  3. En déduire en fonction de g toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
  4. Soit y(x) = ∑_(i = 0)^∞a_i x^i une solution développable en série entière de l'équation différentielle (E).
    (a) Montrer que la suite (a_i)_(i ∈ ℕ) vérifie la relation :
∀i ≥ 0, (i + 2)a_(i + 2) + 2a_i = 0
(b) Déterminer a_1. Expliciter les coefficients a_(2i + 1) pour i ∈ ℕ.
(c) Montrer que la suite (a_i)_(i ∈ ℕ) est uniquement déterminée par la valeur de a_0, et exprimer les coefficients a_(2i), pour tout i ∈ ℕ, en fonction de a_0.
(d) Réciproquement, on considère une suite (a_i)_(i ∈ ℕ) vérifiant la relation de récurrence :
∀i ≥ 0, (i + 2)a_(i + 2) + 2a_i = 0.
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière y(x) = ∑_(i = 0)^∞a_i x^i.
(e) Expliciter le développement en série entière de g.
5. On considère les fonctions g_1 et g_2 définies par:
∀x ∈ ℝ, g_1(x) = e^(− x^2) et g_2(x) = ∫_0^x e^(t^2)dt
(a) Expliciter le développement en série entière des fonctions g_1 et g_2.
(b) En déduire le le développement en série entière de la fonction g_1 g_2 à l'aide d'un résultat dont on rappellera l'énoncé. En déduire la relation suivante :
∀k ∈ ℕ, ∑_(j = 0)^k((− 1)^j)/(2j + 1)C_k^j = (4^k(k!)^2)/((2k + 1)!)

Exercice 2

On considère le ℝ-espace vectoriel ℝ^3. On le munit du produit scalaire euclidien canonique <, > et de la norme euclidienne associée ‖‖, c'est à dire : pour tout v = (v_1, v_2, v_3) ∈ ℝ^3 et tout w = (w_1, w_2, w_3) ∈ ℝ^3,
⟨v, w⟩ = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 et ‖v‖ = √(⟨v, v⟩) = √(v_1^2 + v_2^2 + v_3^2).
On remarquera que ⟨v, w⟩ = (v_1, v_2, v_3)(w_1; w_2; w_3).
On note 𝕄_3(ℝ) l'ensemble des matrices ( 3,3 ) à coefficients réels, et I la matrice identité de 𝕄_3(ℝ). Une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives est dite définie positive.
Pour A ∈ 𝕄_3(ℝ), on note E(A) le sous-ensemble de ℝ^3 défini par:
E(A) = {x ∈ ℝ^3 tel que ‖Ax‖ = 1}.
  1. Soit P dans 𝕄_3(ℝ). On suppose que P est une matrice orthogonale. Déterminer E(P).
  2. Soient α_1, α_2, α_3 des réels tous non nuls. Soit D la matrice diagonale :
D = (α_1, 0, 0; 0, α_2, 0; 0, 0, α_3)
Montrer que E(D) est un ellipsoïde.
3 Soit A dans 𝕄_3(ℝ). On suppose A inversible.
(i) Justifier que ^t AA est une matrice symétrique définie positive.
(ii) En déduire qu'il existe une matrice diagonale D, avec des coefficients diagonaux strictement positifs, et une matrice orthogonale P telles que
^t AA = ^t PD^2 P.
(iii) On pose S = ^t PDP. Démontrer que S est une matrice symétrique définie positive.
(iv) Montrer alors qu'il existe une matrice orthogonale Q telle que A = QS.
(v) En déduire que E(A) = E(S).
(vi) Démontrer que E(A) est un ellipsoïde.
4 Soient S et S^′ dans 𝕄_3(ℝ). On suppose que S et S^′ sont des matrices symétriques définies positives et que E(S) = E(S^′).
(i) Soit v un vecteur non nul. En considérant le vecteur v/‖S(v)‖, démontrer que ‖S(v)‖ = ‖S^′(v)‖.
(ii) En déduire que :
∀v ∈ ℝ^3, ∀w ∈ ℝ^3, < S(v), S(w)>=<S^′(v), S^′(w) > .
On pourra commencer par exprimer le produit scalaire de deux vecteurs x et y en fonction des normes des vecteurs x + y et x − y.
(iii) En déduire que S^2 = S^(′2).
(iv) Soit α une valeur propre de S. A l'aide d'un théorème dont on rappellera l'énoncé, montrer que ker(S − αI) ⊕ ker(S + αI) = ker(S^2 − α^2 I). En déduire que ker(S − αI) = ker(S^2 − α^2 I).
(v) Démontrer que S = S^′.
5 Soient A et A^′ dans 𝕄_3(ℝ), supposées inversibles. Montrer que E(A) = E(A^′) si et seulement si il existe une matrice orthogonale V telle que A = VA^′.

Exercice 3

Soit P un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé ( O, i⃗, j⃗ ). Soit E l'ellipse de centre O paramétrée par :
{x(t) = 5cost; y(t) = 3sint, t ∈ [ − π, π]
  1. Soit t ∈ [ − π, π]. On note M(t) le point de E de paramètre t.
    (i) Montrer que l'équation de la tangente T_t à E au point M(t) est :
3(cost)x + 5(sint)y = 15
(ii) Montrer qu'il existe un unique point P sur la tangente T_t tel que les droites T_t et OP sont orthogonales.
(iii) Quel est le point P lorsque le point M(t) est un sommet de l'ellipse E ?
(iv) Démontrer que les coordonnées du point P sont :
{X(t) = (45cost)/(9 + 16(sint)^2); Y(t) = (75sint)/(9 + 16(sint)^2)
On remarque dans la question 1 (iv) que les coordonnées du point P dépendent de t. On note ce point P_t.
2. On se propose dans cette question d'étudier le lieu des points P_t, lorsque t parcourt l'intervalle [0, π/2]. On admet que les dérivées respectives des fonctions X et Y sont :
{X^′(t) = (− 45sint(25 + 16(cost)^2))/((9 + 16(sint)^2)^2); Y^′(t) = (75cost(9 − 16(sint)^2))/((9 + 16(sint)^2)^2)
(i) Etablir le tableau de variations de la fonction t ↦ X(t), lorsque t parcourt l'intervalle [0, π/2].
(ii) Démontrer qu'il existe un unique α dans ]0, π/2[ tel que Y^′(α) = 0 et comparer α à π/3 et π/4. Calculer X(α) et Y(α).
(iii) Etablir le tableau de variations de la fonction t ↦ Y(t), lorsque t parcourt l'intervalle [0, π/2].
On note F le lieu des points P_t définis dans la question 1, pour t ∈ [ − π, π].
3. Représenter les courbes E et F sur un même graphique.
4. Soit τ la translation de vecteur 10i⃗. On considère l'ellipse E^′ = τ(E). On fait rouler sans glisser l'ellipse E^′ sur l'ellipse E dans le sens trigonométrique. Quel est le lieu du centre de E^′ ?

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