E3A Mathématiques B PSI 2004Sujet et corrigé

R est le corps des nombres réels et n un entier naturel.
E est le R espace vectoriel normé des applications continues de [ − π, π] vers R muni de la norme de la convergence uniforme, ainsi pour f élément de E, ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [ − π, π])|f(x)|.

On considère un endomorphisme de E noté T vérifiant les deux propriétés ( P_1 ) et ( P_2 ) suivantes :
(P_1) si f est un élément de E de classe C^1, T(f) est de classe C^1 et T(f^′) = T(f)^′.
et
(P_2) pour toute suite (f_n)_n qui converge dans (E, ‖‖_∞), la suite (T(f_n))_n converge dans (E, ‖‖_∞) et T(lim_(n → + ∞)f_n) = lim_(n → + ∞)T(f_n).

Pour tout n, n ≥ 1, on considère les applications c_n et s_n de [ − π, π] vers R définies par :

On note c_0 l'application de [ − π, π] vers R définie par : c_0(x) = 1.
Le but de l'exercice est d'établir qu'il existe un réel λ tel que : ∀f ∈ E, T(f) = λf.
1^∘ Dans cette question on établit quelques résultats indépendants les uns des autres qui pourront être utilisés dans la suite de l'exercice.
a) On suppose n ≥ 1. Quelles sont les fonctions réelles solutions sur R de l'équation différentielle : y^(′′) + n^2 y = 0 ?
b) Soit f un élément de E . Prouver qu'il existe g et h appartenant à E tels que :

c) Soit φ˜ l'application de R vers R, 2π - périodique, telle que : ∀x ∈ [ − π, π], φ˜(x) = x^2.

Calculer les coefficients de Fourier réels de φ˜.
Etudier la convergence de la série de Fourier de φ˜ (préciser le mode de convergence de cette série et sa somme).
2^∘ Premières propriétés de T .
a) Soit (u_n)_n une suite d'éléments de E . On suppose que la série de fonctions ∑u_n converge uniformément sur [ − π, π]. On pose : S = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n.

Justifier que S appartient à E , que la série de fonctions ∑T(u_n) converge uniformément sur [ − π, π] et que : T(S) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)T(u_n).
b) Soit f un élément de E, f de classe C^n, n ≥ 1. Montrer que T(f) est de classe C^n et que: T(f^((n))) = T(f)^((n)).
En déduire que si, f est de plus une fonction polynômiale, alors T(f) est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à celui de f.
3^∘ Etude de T(c_n) et de T(s_n).
a) Prouver qu'il existe un réel α_0 tel que : T(c_0) = α_0 c_0 et que pour n ≥ 1, il existe (α_n, β_n) de R^2, tel que: T(c_n) = α_n c_n + β_n s_n.
b) Soit φ l'élément de E défini par: ∀x ∈ [ − π, π], φ(x) = x^2. Justifier l'existence de (λ, μ, v) de R^3 tel que : ∀x ∈ [ − π, π], T(φ)(x) = λx^2 + μx + v.
c) En déduire que :
∀x ∈ [ − π, π], λx^2 + μx + v = α_0(π^2)/3 + 4∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n^2)(α_n cos(nx) + β_n sin(nx)).
d) Montrer que :
i) μ = 0.
ii) ∀n ≥ 1, α_n = λ et β_n = 0.
iii) α_0 = λ et v = 0.
e) Etablir que pour tout n, T(c_n) = λc_n et que pour n ≥ 1, T(s_n) = λs_n.

a) Soit f un élément de E, f de classe C^1, tel que f(π) = f(− π). On note f˜ l'application de R vers R, 2π-périodique, telle que : ∀x ∈ [ − π, π], f˜(x) = f(x).

Etudier la convergence de la série de Fourier de f˜. En déduire que : T(f) = λf.
b) Soit f un élément de E, f impaire. Soit F une primitive de f sur [ − π, π]. Calculer T(F).

En déduire que : T(f) = λf.
c) Soit f un élément quelconque de E. Montrer que: T(f) = λf.

C est le corps des nombres complexes et n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . E est un C-espace vectoriel de dimension égale à n. On désigne par e l'application identique de E . Soit f un endomorphisme de E . On définit la suite (f^p)_p par : f^0 = e et f^(p + 1) = fof^p. S'il existe un entier naturel non nul q tel que f^q = 0, l'endomorphisme f est dit nilpotent. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On note f_(|F) la restriction de f à F . f_(|F) est une application linéaire de F vers E . Si de plus F est stable par f, c'est à dire si f(F) est inclus dans F , on pourra aussi considérer f_F comme un endomorphisme de F .

Première partie: Etude de quelques propriétés des endomorphismes nilpotents.
1^∘ Soit f un endomorphisme de E et p un entier naturel.
a) Prouver que : Kerf^p ⊂ Kerf^(p + 1) et que f(Kerf^(p + 1)) ⊂ Kerf^p.
b) Soit F un sous-espace vectoriel de E . On pose u = f_(|F).

Ecrire Keru en fonction de Kerf et de F .
c) Considérer la restriction de f à Kerf^(p + 1) notée u pour démontrer que :

2^∘ Soit f un endomorphisme nilpotent de E.
a) Prouver que 0 est la seule valeur propre def.
b) Etablir que f^n = 0.
c) Montrer que le rang de f est inférieur ou égal à n − 1.
3^∘ Soit f un endomorphisme nilpotent de E . On suppose que le rang de f est égal à n − 1.
a) Montrer que: ∀p ∈ {0, 1, 2, ….., n}, dimKerf^p = p (indication : utiliser l'inégalité établie à la question 1^∘c ) ci-dessus).
b) Soit F un sous-espace vectoriel de E , stable par f, de dimension égale à p.

Soit u = f_(|F). Calculer u^p.
c) Démontrer qu'il existe n + 1 sous-espaces vectoriels de E stables par f et qu'il s'agit des Ker f^p, p élément de {0, 1, 2, …., n}.
d) Montrer que : ∀p ∈ {0, 1, 2, …., n}, Imf^p = Kerf^(n − p).

Deuxième partie: Etude des endomorphismes n'admettant qu'un nombre fini de sous-espaces stables.
1^∘ Soit f un endomorphisme de E et λ une valeur propre def.
a) On considère deux vecteurs a et b appartenant à Ker(f − λe) et μ un nombre complexe. Vérifier que le sous-espace vectoriel de E engendré par a + μb, noté V_μ, est stable par f.
b) En déduire que si la dimension de Ker(f − λe) est supérieure ou égale à 2 alors il existe une infinité de sous-espaces de E stables par f.
2^∘ Soit f un endomorphisme de E admettant r valeurs propres distinctes λ_1, λ_2, …, λ_r.
On suppose que chaque sous-espace propre de f est de dimension 1 et que le polynôme caractéristique de f, noté P_f(X), est égal à :
P_f(X) = (− 1)^n∏_(j = 1)^r(X − λ_j)^(k_j) où r, k_1, k_2, …., k_r sont des entiers naturels non nuls.
Pour j élément de {1, 2, …., r}, on pose : K_j = Ker(f − λ_j e)^(k_j).
a) Prouver que E est égal à la somme directe de sous-espaces vectoriels suivante :
E = K_1 ⊕ K_2 ⊕ … ⊕ K_r.
b) Soit j un élément de {1, 2, …., r}. Démontrer que la dimension de K_j est égale à k_j.
c) Soit j un élément de {1, 2, ……, r}. Prouver que K_j est stable par f.

En considérant u_j = (f − λ_j e)_(|K_j), démontrer qu'il existe 1 + k_j sous-espaces vectoriels de K_j stables par f et qu'il s'agit des Ker(f − λ_j e)^p, p élément de {0, 1, 2, ……, k_j}.
d) Déterminer le nombre N de sous-espaces vectoriels de E stables par f.