E3A Mathématiques B PSI 2004

R est le corps des nombres réels et un entier naturel.
E est le espace vectoriel normé des applications continues de vers muni de la norme de la convergence uniforme, ainsi pour élément de .

On considère un endomorphisme de E noté T vérifiant les deux propriétés ( ) et ( ) suivantes :
si est un élément de E de classe est de classe et .
et
pour toute suite qui converge dans , la suite converge dans et .

Pour tout , on considère les applications et de vers définies par :

On note l'application de vers définie par : .
Le but de l'exercice est d'établir qu'il existe un réel tel que : .
Dans cette question on établit quelques résultats indépendants les uns des autres qui pourront être utilisés dans la suite de l'exercice.
a) On suppose . Quelles sont les fonctions réelles solutions sur de l'équation différentielle : ?
b) Soit un élément de E . Prouver qu'il existe et appartenant à E tels que :

c) Soit l'application de vers - périodique, telle que : .

Calculer les coefficients de Fourier réels de .
Etudier la convergence de la série de Fourier de (préciser le mode de convergence de cette série et sa somme).
Premières propriétés de T .
a) Soit une suite d'éléments de E . On suppose que la série de fonctions converge uniformément sur . On pose : .

Justifier que appartient à E , que la série de fonctions converge uniformément sur et que : .
b) Soit un élément de de classe . Montrer que est de classe et que: .
En déduire que si, est de plus une fonction polynômiale, alors est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à celui de .
Etude de et de .
a) Prouver qu'il existe un réel tel que : et que pour , il existe de , tel que: .
b) Soit l'élément de E défini par: . Justifier l'existence de de tel que : .
c) En déduire que :
.
d) Montrer que :
i) .
ii) et .
iii) et .
e) Etablir que pour tout et que pour .

a) Soit un élément de de classe , tel que . On note l'application de vers -périodique, telle que : .

Etudier la convergence de la série de Fourier de . En déduire que : .
b) Soit un élément de impaire. Soit une primitive de sur . Calculer .

En déduire que : .
c) Soit un élément quelconque de E. Montrer que: .

C est le corps des nombres complexes et un entier naturel supérieur ou égal à 2 . E est un C-espace vectoriel de dimension égale à . On désigne par l'application identique de E . Soit un endomorphisme de E . On définit la suite par : et . S'il existe un entier naturel non nul tel que , l'endomorphisme est dit nilpotent. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On note la restriction de à F . est une application linéaire de F vers E . Si de plus F est stable par , c'est à dire si est inclus dans F , on pourra aussi considérer comme un endomorphisme de F .

Première partie: Etude de quelques propriétés des endomorphismes nilpotents.
Soit un endomorphisme de E et un entier naturel.
a) Prouver que : et que .
b) Soit F un sous-espace vectoriel de E . On pose .

Ecrire en fonction de et de F .
c) Considérer la restriction de à notée pour démontrer que :

Soit un endomorphisme nilpotent de E.
a) Prouver que 0 est la seule valeur propre .
b) Etablir que .
c) Montrer que le rang de est inférieur ou égal à .
Soit un endomorphisme nilpotent de E . On suppose que le rang de est égal à .
a) Montrer que: (indication : utiliser l'inégalité établie à la question ) ci-dessus).
b) Soit F un sous-espace vectoriel de E , stable par , de dimension égale à .

Soit . Calculer .
c) Démontrer qu'il existe sous-espaces vectoriels de E stables par et qu'il s'agit des Ker élément de .
d) Montrer que : .

Deuxième partie: Etude des endomorphismes n'admettant qu'un nombre fini de sous-espaces stables.
Soit un endomorphisme de E et une valeur propre .
a) On considère deux vecteurs et appartenant à et un nombre complexe. Vérifier que le sous-espace vectoriel de E engendré par , noté , est stable par .
b) En déduire que si la dimension de est supérieure ou égale à 2 alors il existe une infinité de sous-espaces de E stables par .
Soit un endomorphisme de E admettant valeurs propres distinctes .
On suppose que chaque sous-espace propre de est de dimension 1 et que le polynôme caractéristique de , noté , est égal à :
où sont des entiers naturels non nuls.
Pour élément de , on pose : .
a) Prouver que E est égal à la somme directe de sous-espaces vectoriels suivante :
.
b) Soit un élément de . Démontrer que la dimension de est égale à .
c) Soit un élément de . Prouver que est stable par .

En considérant , démontrer qu'il existe sous-espaces vectoriels de stables par et qu'il s'agit des élément de .
d) Déterminer le nombre de sous-espaces vectoriels de E stables par .