Ecricome Maths appliquees ECG 2025

Ccricome

CONCOURS D'ADMISSION 2025

Mathématiques Appliquées

L'énoncé comporte 5 pages.

INSTRUCTIONS

EXERCICE 1

1. Déterminer les ensembles et .
2. Montrer que, pour toute matrice de , l'ensemble est un sous-espace vectoriel de .
3. Soit une matrice de .

EXERCICE 2

1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel , l'intégrale est convergente.

3. Expliciter la valeur de .
4. Soient et deux réels positifs tels que .

7. (a) En déduire que la fonction admet le développement limité à l'ordre 1 suivant au voisinage de 0 :

EXERCICE 3

Partie I.

1. Vérifier que, pour tout entier compris entre 1 et , la fonction est une densité de probabilité.
2. (a) Déterminer les entiers naturels , compris entre 1 et , tels que admet une espérance, et déterminer alors l'espérance de .
   (b) En justifiant la réponse, classer les numéros de catégorie socioprofessionnelle dans l'ordre de leur revenu mensuel moyen, du moins élevé au plus élevé.
   On ne considérera que les entiers i pour lesquels l'espérance de est bien définie.
3. Montrer que, pour tout entier compris entre 1 et et pour tout réel :

4. Soit une variable aléatoire à densité de loi uniforme sur .

Partie II.

def loiY(n, p):
    N = 10000
    loi = [0] * n
    for k in _------- :
        y = simulY(n, p)
        loi[___] __-_
    return loi

7. Écrire une fonction Python, prenant en arguments d'entrée les paramètres et , permettant d'afficher un diagramme en bâtons représentant approximativement la loi de . On représentera les valeurs de en abscisses et les probabilités correspondantes en ordonnées. On pourra utiliser les fonctions définies dans les questions précédentes, et l'annexe fournie en fin de sujet.
8. Dans cette question, on suppose que chaque profession est identifiée de manière unique par un numéro appelé code PCS.
   Par ailleurs, les différentes professions sont regroupées dans six grandes catégories socioprofessionnelles, que l'on identifie par un entier de 1 à 6 .
   On dispose d'une base de données comportant trois tables nommées individu, departement et profession, décrites ci-dessous.

• La table individu contient des informations sur tous les individus de la population active française. Chaque entrée correspond donc à un individu. La table comporte les attributs suivants.

• La table departement contient des informations sur les départements français. Chaque entrée correspond à un département. La table comporte les attributs suivants.

• La table profession contient des informations sur toutes les professions recensées dans la base de données. Chaque entrée correspond donc à une profession différente. La table comporte les attributs suivants.

Partie III.

• On choisit une catégorie socioprofessionnelle de manière aléatoire (mais sans équiprobabilité), et on note la variable aléatoire égale au numéro de la catégorie choisie.
  Comme dans la Partie II, on suppose que suit la loi binomiale .
• On sélectionne alors un individu au hasard (avec équiprobabilité) dans la catégorie socioprofessionnelle choisie à l'étape précédente, et on note la variable aléatoire égale à son revenu mensuel, en milliers d'euros.
  Enfin, on rappelle que, pour tout entier compris entre 1 et , la fonction de répartition de la variable aléatoire est donnée par l'égalité (1) montrée à la question 3.
  On note la fonction de répartition de la variable aléatoire .

9. Expliciter pour tout réel strictement inférieur à 1 .
10. Soit un réel supérieur ou égal à 1 .
    (a) Justifier que pour tout entier compris entre 1 et :

11. Justifier que est une variable aléatoire à densité.
12. En utilisant les fonctions simulX et simulY définies aux questions 4.(b) et 5, écrire une fonction en langage Python nommée sondage, prenant en arguments d'entrée les paramètres et , et renvoyant une simulation de la variable aléatoire .
13. Dans cette question uniquement, on suppose que .
    (a) Montrer que, pour tout réel :

• L'opérateur de concaténation +, appliqué entre deux listes, renvoie la liste obtenue en plaçant les éléments de la seconde liste à la suite de ceux de la première liste.
  Par exemple, [1, 2, 5] + [4, 3] renvoie la liste [1, 2, 5, 4, 3].
• L'opérateur *, appliqué entre une liste L et un entier n , renvoie la liste obtenue en concaténant n fois la liste L avec elle-même.
  Par exemple, [1, 4, 2] *3 renvoie la liste [1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2].
• La fonction len prend en argument d'entrée une liste et renvoie le nombre d'éléments dans cette liste.
• La commande .append permet d'inclure l'élément à la fin de la liste .

• Exemple d'importation : import numpy as np.
• Les opérations , lorsqu'elles sont possibles, peuvent être réalisées entre deux tableaux Numpy de dimensions compatibles et agissent alors coefficient par coefficient.
• Les fonctions np.sqrt (racine carrée), np.abs (valeur absolue), np.log (logarithme népérien) et np.exp (fonction exponentielle) s'appliquent à une quantité numérique ou à un tableau Numpy de nombres. Dans ce dernier cas, les fonctions sont appliquées à chaque élément du tableau donné en argument d'entrée.
• La fonction np.linspace, prenant en arguments d'entrée deux flottants a et b et un entier n , renvoie un tableau Numpy contenant n éléments régulièrement espacés entre a et b inclus.
  Exemple :

tableau = np.linspace(1.5, 4.5, 7)
print(tableau)

>>> array([1.5, 2. , 2.5, 3. , 3.5, 4. , 4.5])

La bibliothèque matplotlib.pyplot.

• Exemple d'importation : import matplotlib.pyplot as plt.
• La fonction plt.plot prend en arguments d'entrée deux listes x et y de même longueur ou deux tableaux Numpy x et y à une ligne et de même longueur, et renvoie une figure constituée de la ligne brisée joignant les points du plan de coordonnées , où et sont respectivement les coefficients des tableaux x et y .
• La fonction plt.bar prend en arguments d'entrée deux listes x et y de même longueur ou deux tableaux Numpy x et y à une ligne et de même longueur, et produit un diagramme en bâtons, les coefficients de x indiquant les abscisses auxquels sont centrés les bâtons, et les coefficients de y déterminant la hauteur de chaque bâton en ordonnée.
• La fonction plt.show, employée sans argument d'entrée, permet l'affichage d'une figure préalablement tracée, par exemple avec les fonctions plt.plot ou plt.bar.

Le module numpy.random.

• Exemple d'importation : import numpy.random as rd.
• La fonction rd.random, appelée sans argument d'entrée, renvoie une simulation d'une variable aléatoire de la loi uniforme sur l'intervalle . Il est également possible de spécifier les dimensions d'un tableau Numpy en argument d'entrée pour obtenir un tableau dont les coefficients sont des simulations de variables aléatoires indépendantes de la loi uniforme sur .
• La fonction rd.randint prend deux entiers et (avec ) en arguments d'entrée et renvoie une simulation d'une variable aléatoire de la loi uniforme discrète sur .

Annexe B - Commande SQL utile

SELECT DISTINCT nom
FROM etablissement;

Edouard Herriot
Diderot
Louise Michel