Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

Exercice 1

Dans cet exercice,

désigne un entier naturel non nul et

désigne la matrice identité de

. Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

Dans cette question uniquement, on considère que et que .
(a) Calculer et .
(b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de et de .

Soit

deux matrices quelconques de

.
2. Soit

une valeur propre non nulle de

un vecteur propre associé.
(a) Justifier que

.
(b) Montrer que

est un vecteur propre de

et que

est une valeur propre de

.
3. Supposons que 0 est une valeur propre de

un vecteur propre associé.
(a) Supposons que

est inversible.

Justifier que

. En déduire que 0 est une valeur propre de

.
(b) Supposons que

n'est pas inversible.

Montrer que

. En déduire que 0 est une valeur propre de

.
4. Montrer que

ont le même spectre.
5. Les matrices

ont-elles les mêmes sous-espaces propres?

Partie 2

On considère

une matrice de

admettant

valeurs propres réelles

deux à deux distinctes. Soit

une matrice de

telle que

.
6. Supposons qu'il existe un

-uplet de réels non tous nuls

tel que

.
(a) Justifier que

admet un polynôme annulateur non nul

de degré inférieur ou égal à

(b) En étudiant les racines de ce polynôme annulateur de , aboutir à une contradiction.
(c) Que peut-on déduire sur la famille ?

Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé.
(a) Justifier que l'espace propre de associé à la valeur propre est l'espace vectoriel engendré par .
(b) Exprimer de deux manières différentes .
(c) En déduire que .
Déduire que tout vecteur propre de est aussi un vecteur propre de .
(a) Justifier qu'il existe une base de composée de vecteurs propres de et de telle que :

(b) Pour tout entier

, on note

le réel tel que

Montrer que

.
10. On rappelle que le seul polynôme

ayant

racines deux à deux distinctes est le polynôme nul.
(a) Montrer que l'application

est un isomorphisme de

dans

.
(b) Montrer qu'il existe un unique polynôme

vérifiant.

.
11. (a) Montrer que l'ensemble

est un sous-espace vectoriel de

.
(b) Montrer que

.
(c) À l'aide de la question 6 , déterminer la dimension de

Exercice 2

Dans tout l'exercice,

désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on considère que

est muni de son produit scalaire usuel, noté

, et que la norme associée au produit scalaire usuel est notée

.
On considère un endomorphisme

, symétrique dont les valeurs propres notées

vérifient

On note

la matrice de

dans la base canonique de

.
Enfin, on considère un vecteur

, et on définit la fonction

sur

à valeurs réelles par :

Montrer que est un automorphisme de . On note alors la réciproque de .
(a) Rappeler la définition d'un endomorphisme symétrique.
(b) Exprimer en fonction de .
(c) En déduire qu'il existe une matrice de inversible telle que soit diagonale.
(d) Montrer que pour tout vecteur de .
(e) Montrer que si et seulement si .
Soit un vecteur de .
(a) Exprimer en fonction des et .
(b) Montrer que est de classe sur , et préciser .
(c) Vérifier que pour tout vecteur de :

Montrer que admet un unique point critique de et que .
Montrer que pour tout vecteur de :

Que peut-on en déduire au sujet du point , vis-à-vis de ?

On considère un réel

et un vecteur

, et l'on définit par récurrence des vecteurs

par:

Soit deux vecteurs de .
(a) Montrer que

Coricome

(b) En déduire que

(a) En appliquant cette égalité à des vecteurs bien choisis, montrer que pour tout entier naturel :

(b) En déduire que pour tout entier naturel

(a) Montrer que la suite converge.

On admet que

converge vers

, où

a été défini à la question 4 .
(b) Montrer que pour tout entier naturel

.
10. Dans cette question, on suppose que

et que

(a) Vérifier que

est un endomorphisme symétrique de

Dans la figure 1, on a représenté l'évolution des suites

en prenant deux paramètres différents

.
Dans la figure de gauche, on représente l'évolution de

en fonction de

, et dans la figure de droite on a représenté l'évolution de points

dans le plan, en reliant les points successifs.

Figure 1 - Deux descentes de gradient, pour deux valeurs de

différentes.

(b) Commenter ces courbes, et déterminer qualitativement lequel des deux

ne vérifie pas les hypothèses de l'énoncé (il n'y en a qu'un seul).
(c) Conjecturer la valeur de

, sachant que

est à coordonnées entières.
(d) Vérifier que les conditions de l'énoncé sont bien vérifiées, et que les résultats expérimentaux sont en adéquation avec ce qui a été démontré dans les questions précédentes.

Problème

Partie 1

On définit sur

la fonction

La librairie Numpy est importée sous la dénomination np.

Écrire une fonction en langage Python nommée F prenant en argument un réel

et renvoyant en sortie le réel

.
2. Justifier que

est de classe

sur

, déterminer l'expression de

, puis justifier que

Dresser le tableau de variations des fonctions et sur . On fera apparaître les limites aux bornes.
Déterminer la parité des fonctions et .
Sur un schéma, tracer l'allure de la courbe de , en faisant apparaître tous les éléments remarquables (asymptotes, points d'inflexion notamment).
Justifier que réalise une bijection de sur un intervalle (à déterminer), et donner l'expression de la fonction réciproque de .

Partie 2

Montrer que la série converge.

On admet que

Justifier que est une densité de probabilité, et que est la fonction de répartition associée.

Dans cette partie et dans la suivante, on note

une variable aléatoire réelle définie sur l'espace probabilisé (

) dont la fonction de répartition est

, et dont

est une densité.

9: Justifier que

admet une espérance et une variance.
10. (a) En utilisant un résultat obtenu à la question 4 et à l'aide d'un changement de variable, montrer que

(b) En déduire la valeur de

.
11. Justifier que

puis que

Pour tout entier naturel non nul, justifier la convergence et donner la valeur de .
Montrer que

où

.
14. (a) Montrer que

.
(b) Montrer que

.
15. Déduire de toutes les questions précédentes que

Partie 3

Dans cette partie, on considère une suite

de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes définies sur l'espace probabilisé (

), toutes de même loi que

.
On admet que

admet une variance et que

.
16. Montrer que

converge en probabilité vers

.
17. Construire une variable aléatoire

qui converge en probabilité vers

. On justifiera précisément le résultat.
18. Montrer que si

est une variable aléatoire de loi uniforme sur

, alors

suit la même loi que

, où la fonction

est définie dans la partie 1.
19. La bibliothèque numpy.random est importée sous la dénomination rd.

On rappelle que la commande rd.random() renvoie un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 selon une loi uniforme sur

.
Écrire une fonction en langage Python, nommée realisation_X, ne prenant aucun argument en entrée et renvoyant une réalisation de la variable aléatoire

.
20. Écrire une fonction en langage Python, nommée estimation_pi, prenant un entier naturel

en entrée et renvoyant une estimation de

à l'aide de la question 17.
21. (a) Montrer qu'il existe un réel positif

tel que

, où

est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On admet que

, ainsi que

.
(b) Montrer que

# (c) En déduire un intervalle de confiance asymptotique de

au niveau de confiance

, ne dépendant ni de

, ni de

.
(d) En déduire un intervalle de confiance asymptotique de

au niveau de confiance

.
22. Dans la figure 2 , on a tracé l'évolution, en fonction de

, de l'estimateur et de l'intervalle de confiance construits précédemment. Commenter la figure obtenue au regard des questions précédentes.

Figure 2 - Estimation de

Pour toutes les valeurs de entre 1 et , on a répété 100 fois l'expérience précédente, et on a tracé dans la figure 3 la proportion de fois où appartient bien à l'intervalle de confiance proposé (en traits plein), ainsi que la limite de (en traits hachurés). Commenter la figure obtenue.

Figure 3 - Évaluation de la qualité de l'intervalle de confiance

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