Ecricome Maths approfondies ECG 2024Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECG 2024

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueEcricome Année2024 FilièreECG MatièreMathématiques

Annales Ecricome ECG Mathématiques Ecricome ECG 2024 ECG Mathématiques Mathématiques 2024

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECG, session 2024.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS D'ADMISSION 2024

Mathématiques Approfondies

Série ECG
Lundi 15 avril 2024 de 8 hOO à 12 h 00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » :
8h00-13h20

L'énoncé comporte 7 pages.

INSTRUCTIONS

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communicants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

Exercice 1

À toutes fins utiles, on donne

31^2 = 961, 32^2 = 1024, 3^4 = 81

4^4 = 256

Rappeler en fonction du réel $α$ , la nature de la série $\sum_(n ⩾ 1)1/(n^α)$ et de l'intégrale $\int_1^(+ \infty)(dt)/(t^α)$ .

On note alors

S = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

et pour tout entier naturel

N

non nul :

S_N = \sum_(n = 1)^N 1/(n^2)

R_N = \sum_(n = N + 1)^(+ \infty)1/(n^2)

.
2. (a) En étudiant la monotonie de la fonction

t ⟼ 1/(t^2)

, montrer que pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 :

\int_n^(n + 1)(dt)/(t^2) ⩽ 1/(n^2) ⩽ \int_(n - 1)^n(dt)/(t^2)

(b) En déduire que pour tout entier naturel

N

non nul :

1/(N + 1) ⩽ R_N ⩽ 1/N

Déterminer un entier naturel $N_0$ tel que: $\forallN ⩾ N_0, |S_N - S| ⩽ 10^(- 3)$ .
On pose pour tout entier naturel $N$ non nul : $T_N = S_N + 1/(N + 1)$ .
(a) Montrer que pour tout entier naturel $N$ non nul :

|T_N - S| ⩽ 1/(N^2)

(b) Déterminer un entier naturel

N_1

strictement inférieur à

N_0

tel que

\forallN ⩾ N_1, |T_N - S| ⩽ 10^(- 3)

On pose maintenant pour tout couple

(n, p)

d'entiers naturels non nuls :

u_n(p) = 1/(n(n + 1)\dots(n + p))

Soit $p$ un entier naturel non nul.
(a) Donner un équivalent simple de $u_n(p)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
(b) En déduire la nature de la série $\sum_(n ⩾ 1)u_n(p)$ .

On pose pour tout entier naturel

p

non nul :

U(p) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n(p)

(a) Déterminer deux réels $a, b$ vérifiant pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n(1) = a/n + b/(n + 1)$ .
(b) En déduire la valeur de $U(1)$ .
(a) Exprimer, pour tout couple d'entiers naturels $(n, p)$ tel que $n ⩾ 1$ et $p ⩾ 2, u_n(p - 1) - u_(n + 1)(p - 1)$ en fonction de $p$ et de $u_n(p)$ .
(b) Montrer que pour tout entier naturel $p$ non nul : $U(p) = 1/(p \cdot p!)$ .
(a) Montrer, par récurrence sur $p$ , que pour tout entier naturel $p$ non nul, pour tout entier naturel $n$ non nul :

1/(n^2) = (p!)/(n^2(n + 1)\dots(n + p)) + \sum_(k = 1)^p(k - 1)!u_n(k)

(b) En déduire que pour tout entier naturel

p

non nul :

\sum_(n ⩾ 1)1/(n^2(n + 1)\dots(n + p))

converge et

S = \sum_(k = 1)^p 1/(k^2) + p!\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2(n + 1)\dots(n + p)).

En reprenant la méthode de la question 2 , que l'on appliquera cette fois à la fonction $x ⟼ 1/(x^(p + 2))$ , montrer que pour tout couple ( $N, p$ ) d'entiers naturels non nuls :

0 ⩽ \sum_(n = N + 1)^(+ \infty)1/(n^2(n + 1)\dots(n + p)) ⩽ 1/(p + 1) \cdot 1/(N^(p + 1))

On suppose maintenant que $p = 3$ . On pose donc pour tout entier naturel $N$ non nul :

U_N = \sum_(k = 1)^3 1/(k^2) + 3!\sum_(n = 1)^N 1/(n^2(n + 1)(n + 2)(n + 3)) = (49)/(36) + 6\sum_(n = 1)^N 1/(n^2(n + 1)(n + 2)(n + 3)).

Déterminer un entier

N_2

tel que

\forallN ⩾ N_2, |U_N - S| ⩽ 10^(- 3)

.
11. On représente sur la figure 1 l'évolution des erreurs d'approximation de

S

par

S_N, T_N

U_N

, respectivement. Commenter ce graphique, à la lumière des réponses apportées aux questions précédentes.

Figure 1 - Évolution des erreurs d'approximation de

S

par

S_N, T_N

U_N

Exercice 2

Dans cet exercice,

n

désigne un entier naturel non nul,

x_0, \dots, x_n

des réels deux à deux distincts.

Partie 1

On considère l'application :

Φ : {ℝ_n[x], ⟶, ℝ^(n + 1); P, ⟼, (P(x_0), …, P(x_n)).

On rappelle que si deux polynômes de degré au plus

m

coïncident en

m + 1

points distincts, alors ils sont égaux (

m

étant un entier naturel).

(a) Montrer que $Φ$ est une application linéaire injective.
(b) En déduire que pour tout élément $(y_0, \dots, y_n)$ de $ℝ^(n + 1)$ , il existe un unique polynôme $P$ de degré au plus $n$ vérifiant $P(x_0) = y_0, \dots, P(x_n) = y_n$ .
Un tel polynôme $P$ est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux points $(x_0, y_0), \dots, (x_n, y_n)$ .
Montrer que pour tout entier naturel $i$ de $[ [0, n] ]$ , il existe un unique polynôme $L_i$ de $ℝ_n[x]$ vérifiant

∀j ∈ [ [0, n] ], L_i(x_j) = {1, si i = j,; 0, si i ≠ j.

Dans cette question uniquement, on suppose que $x_0 = - 1, x_1 = 1, x_2 = 2$ et $x_3 = 3$ .

Expliciter les polynômes

L_0, L_1, L_2

L_3

.
4. Montrer que pour tout entier

i

[ [0, n] ], L_i(x) = (\prod_(j = 0; j \neq i)^n(x - x_j))/(\prod_(j = 0; j \neq i)^n(x_i - x_j))

En déduire pour tout entier

i

[ [0, n] ]

, le degré de

L_i

et son coefficient dominant.

ℒ

désigne la famille

(L_0, \dots, L_n)

. On considère maintenant pour

P

Q

deux polynômes de

ℝ_n[x]

⟨P, Q⟩ = \sum_(k = 0)^n P(x_k)Q(x_k)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $ℝ_n[x]$ .
Montrer que $ℒ$ est une base orthonormée de $ℝ_n[x]$ pour ce produit scalaire.
Montrer que le ( $n + 1$ )-uplet des coordonnées d'un polynôme $P$ de $ℝ_n[x]$ dans la base $ℒ$ est $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ .

Partie 2

On pose maintenant

N_0 = 1

et pour tout entier naturel

i

[ [1, n] ]

N_i(x) = \prod_(j = 0)^(i - 1)(x - x_j)

Dans cette question uniquement, on suppose que $x_0 = - 1, x_1 = 1, x_2 = 2$ et $x_3 = 3$ .
(a) Expliciter les polynômes $N_0, N_1, N_2$ et $N_3$ .
(b) Pour tout entier $i$ de $[ [0, 3] ]$ , déterminer les coordonnées ( $m_(0, i), m_(1, i), m_(2, i), m_(3, i)$ ) de $N_i$ dans la base ( $L_0, L_1, L_2, L_3$ ). On note alors $M$ la matrice $(m_(i - 1, j - 1))_(1 ⩽ i, j ⩽ 4)$ .
(c) Montrer que $M$ est inversible et déterminer $M^(- 1)$ .
Montrer que $𝒩 = (N_0, \dots, N_n)$ est une base de $ℝ_n[x]$ .
(a) Montrer que $N_0 = \sum_(k = 0)^n L_k$ .
(b) Montrer que pour tout entier naturel $i$ de $[ [0, n] ], N_i = \sum_(k = 1)^n\prod_(j = 0)^(i - 1)(x_k - x_j)L_k$ .
Donner la matrice de passage $A$ de la base $ℒ$ vers la base $𝒩$ . La base $𝒩$ est-elle orthonormée?

On considère

n + 1

points

X_0 = (x_0, y_0), \dots, X_n = (x_n, y_n)

.
Pour tout entier naturel

k

[ [0, n] ]

, on note

P_k

le polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux points

X_0, \dots, X_k

: c'est l'unique polynôme de degré au plus

k

vérifiant

P_k(x_0) = y_0, \dots, P_k(x_k) = y_k

.
12. Justifier l'existence et l'unicité des

n + 1

réels

a_0, \dots, a_n

tels que

P_n(x) = a_0 N_0(x) + a_1 N_1(x) + \dots + a_n N_n(x).

Dans cette question uniquement, on admet que $a_0 = y_0$ et que pour tout entier naturel $k$ de $[ [1, n] ], a_k = \sum_(i = 0)^k(y_i)/(\prod_(j = 0; j \neq i)^k(x_i - x_j))$ .

Considérons que les données sont représentées par deux matrices

X

Y

X = (x_0; ⋮; x_n) et Y = (y_0; ⋮; y_n).

En Python, on représentera cela par deux matrices, au format numpy. array, comportant chacun

n + 1

lignes et 1 colonne.
(a) Écrire une fonction, en langage Python, nommée prodX prenant en entrée

X

, un entier

i

et un entier

k

et qui renvoie le produit

\prod_(j = 0; j \neq i)^k(x_i - x_j)

.
(b) Écrire une fonction, en langage Python, nommée coeff prenant en entrée

X

Y

et qui renvoie les coefficients

a_0, \dots, a_n

sous forme d'une matrice.
(c) Comment utiliser cette fonction pour trouver l'inverse de la matrice de passage

A

définie à la question 11 ? Combien d'appels de cette fonction sont nécessaires?
14. (a) Montrer que

a_0 = y_0

et que

a_n

est le coefficient du monôme de degré

n

P_n(x)

.
(b) Justifier que

P_n(x) = \sum_(i = 0)^n y_i L_i(x)

.
(c) En déduire que

a_n = \sum_(i = 0)^n(y_i)/(\prod_(j = 0; j \neq i)^n(x_i - x_j))

.
15. Soit

k

un entier naturel de

[ [1, n - 1] ]

. On pose

Q_k(x) = \sum_(j = 0)^k a_j N_j(x)

.
(a) Montrer que

Q_k

est un élément de

ℝ_k[x]

.
(b) Montrer que, pour tout entier

i

[ [1, k] ], Q_k(x_i) = y_i

.
(c) En déduire que

P_k(x) = a_0 N_0(x) + \dots + a_k N_k(x)

.
(d) Montrer que

a_k = \sum_(i = 0)^k(y_i)/(\prod_(j = 0; j \neq i)^k(x_i - x_j))

Problème

Partie 1

On considère un paramètre réel

a > 0

, et l'on définit la fonction

f

sur

ℝ

par :

\forallx \in ℝ, f(x) = a/(π(x^2 + a^2)).

Justifier que $f$ est une densité de probabilité.
Montrer que la fonction de répartition associée à $f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

F : x ⟼ 1/πarctan(x/a) + 1/2.

Si une variable aléatoire réelle

X

a pour densité la fonction

f

, on dit que

X

suit la loi de Cauchy de paramètre

a > 0

. Lorsque

a = 1

, on dit que

X

suit la loi de Cauchy standard.
3. Une variable aléatoire

X

suivant une loi de Cauchy admet-elle une espérance?
4. Soit

X

une variable aléatoire réelle.

Montrer que

X

suit la loi de Cauchy standard si et seulement si

aX

suit la loi de Cauchy de paramètre

a

.
5. Soit

k

un entier naturel non nul. Soit

x

un réel non nul.

Soit

g

la fonction définie sur

ℝ

par

g(t) = 1/((t^2 + k^2)((x - t)^2 + 1))

.
On admet qu'il existe des réels

α, β, γ

tels que pour tout réel

t, g(t) = (αt + β)/(t^2 + k^2) + (α(x - t) + γ)/((x - t)^2 + 1)

.
(a) Montrer que

{β + γ, = αx; α(x^2 + 1 − k^2), = 2βx; β(x^2 + 1) + αxk^2 + γk^2, = 1

(b) En déduire que

{β(x^2 + k^2 + 1) + 2γk^2, = 1; 2β + γ(x^2 + k^2 + 1), = 1

β + γk = (k + 1)/(x^2 + (k + 1)^2)

.
(d) Montrer que la fonction

G

définie sur

ℝ

par :

G(t) = α/2ln((t^2 + k^2)/((x - t)^2 + 1)) + β/karctan(t/k) + γarctan(t - x)

est une primitive de

g

.
6. Soit

k

un entier naturel non nul.

Soit

X

une variable aléatoire de loi de Cauchy de paramètre

k

Y

une variable aléatoire de loi de Cauchy standard, indépendante de

X

. On admet que

X + Y

est une variable aléatoire à densité.
(a) Montrer que la fonction

φ

est une densité de

X + Y

où

φ

est la fonction définie par :

\forallx \in ℝ^*, φ(x) = k/(π^2)(lim_(t \to + \infty)(G(t)) - lim_(t \to - \infty)(G(t))).

(b) En déduire que

X + Y

suit une loi de Cauchy de paramètre

k + 1

.
7. Montrer par récurrence sur

k

que, pour tout

k

entier naturel non nul, si

X_1, \dots, X_k

sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi de Cauchy de paramètre

a

, alors

X_1 + \dots + X_k

suit la loi de Cauchy de paramètre

ka

.
On pourra se ramener à la question précédente en utilisant la question 4.

Partie 2

Soit $U$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0, 1]$ .

Montrer que

Y = a \cdot tan(π(U - 1/2))

suit la loi de Cauchy de paramètre

a

.
9. Écrire une fonction en langage Python, nommée cauchy, prenant en argument un nombre flottant

a > 0

et simulant une variable aléatoire suivant la loi de Cauchy de paramètre

a

Soient

n

un entier naturel non nul,

X_1, \dots, X_n

des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que

X

X¯_n = (X_1 + \dots + X_n)/n

.
10. Écrire une fonction en langage Python, nommée realisation, prenant en argument un entier

n

et un réel

a

et renvoyant un vecteur de taille

n

contenant une réalisation du

n

-uplet (

X_1, \dots, X_n

).
11. Écrire une fonction en langage Python, nommée moyennes, prenant en argument un entier

n

et un réel

a

et renvoyant un vecteur de taille

n

contenant une réalisation de (

X¯_1, \dots, X¯_n

).
12. On a représenté sur la figure 2 l'évolution de trois réalisations de ces vecteurs.

Commenter cette figure.

Figure 2 - Trois réalisations de (

X¯_1, \dots, X¯_n

Partie 3

On considère une suite

(X_n)_(n \in ℕ)

de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi de Cauchy de paramètre réel

a

strictement positif.

On considère un paramètre réel

M

strictement, et l'on pose pour tout entier naturel non nul

n

Y_n = {1, si |X_n| ⩽ M,; 0, si |X_n| > M.

On pose enfin pour tout entier naturel

n

non nul :

Y¯_n = (Y_1 + \dots + Y_n)/n.

Déterminer la loi de $Y_n$ , d'abord en fonction de $F(M)$ , puis uniquement en fonction de $a$ et de $M$ .
Démontrer que $Y¯_n$ converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à $p(a) = 2/πarctan(M/a)$ .
(a) Justifier que $0 < p(a) < 1$ et que $p(a)(1 - p(a)) ⩽ 1/4$ .
(b) On note $Φ$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée-réduite. Montrer qu'il existe un unique réel $z$ strictement positif vérifiant $Φ(z) = 0, 975$ .
(c) Construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau de confiance $95%$ de $arctan(M/a)$ .
(d) En déduire un intervalle de confiance asymptotique au niveau de confiance $95%$ de $a$ .
On a représenté l'évolution de ces intervalles de confiance de $a$ pour les valeurs de $a = M = 1$ sur la figure 3 . Commenter cette figure.

Figure 3 - Évolution des intervalles de confiance pour

a = M = 1

Quelle(s) qualité(s) attend-on d'un intervalle de confiance?

Commenter la figure 4 quant au choix du paramètre

M

Figure 4 - Évolution des intervalles de confiance pour différentes valeurs de

M/a

Pas de description pour le moment

Commentaires• Ecricome Maths approfondies ECG 2024

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...