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Ecricome Maths approfondies ECG 2024

Epreuve de maths approfondies - ECG 2024

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Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsProbabilités continuesStatistiquesAlgèbre linéaireInformatique
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Année
2024
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECG, session 2024.

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CONCOURS D'ADMISSION 2024


Mathématiques Approfondies

Série ECG
Lundi 15 avril 2024 de 8 hOO à 12 h 00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » :
8h00-13h20

L'énoncé comporte 7 pages.

INSTRUCTIONS

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communicants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

Exercice 1

À toutes fins utiles, on donne et .
  1. Rappeler en fonction du réel , la nature de la série et de l'intégrale .
On note alors et pour tout entier naturel non nul : et .
2. (a) En étudiant la monotonie de la fonction , montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :
(b) En déduire que pour tout entier naturel non nul :
  1. Déterminer un entier naturel tel que: .
  2. On pose pour tout entier naturel non nul : .
    (a) Montrer que pour tout entier naturel non nul :
(b) Déterminer un entier naturel strictement inférieur à tel que .
On pose maintenant pour tout couple d'entiers naturels non nuls :
  1. Soit un entier naturel non nul.
    (a) Donner un équivalent simple de lorsque tend vers .
    (b) En déduire la nature de la série .
On pose pour tout entier naturel non nul :
  1. (a) Déterminer deux réels vérifiant pour tout entier naturel non nul : .
    (b) En déduire la valeur de .
  2. (a) Exprimer, pour tout couple d'entiers naturels tel que et en fonction de et de .
    (b) Montrer que pour tout entier naturel non nul : .
  3. (a) Montrer, par récurrence sur , que pour tout entier naturel non nul, pour tout entier naturel non nul :
(b) En déduire que pour tout entier naturel non nul : converge et
  1. En reprenant la méthode de la question 2 , que l'on appliquera cette fois à la fonction , montrer que pour tout couple ( ) d'entiers naturels non nuls :
  1. On suppose maintenant que . On pose donc pour tout entier naturel non nul :
Déterminer un entier tel que .
11. On représente sur la figure 1 l'évolution des erreurs d'approximation de par et , respectivement. Commenter ce graphique, à la lumière des réponses apportées aux questions précédentes.
Figure 1 - Évolution des erreurs d'approximation de par et .

Exercice 2

Dans cet exercice, désigne un entier naturel non nul, des réels deux à deux distincts.

Partie 1

On considère l'application :
On rappelle que si deux polynômes de degré au plus coïncident en points distincts, alors ils sont égaux ( étant un entier naturel).
  1. (a) Montrer que est une application linéaire injective.
    (b) En déduire que pour tout élément de , il existe un unique polynôme de degré au plus vérifiant .
    Un tel polynôme est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux points .
  2. Montrer que pour tout entier naturel de , il existe un unique polynôme de vérifiant
  1. Dans cette question uniquement, on suppose que et .
Expliciter les polynômes et .
4. Montrer que pour tout entier de .
En déduire pour tout entier de , le degré de et son coefficient dominant.
désigne la famille . On considère maintenant pour et deux polynômes de :
  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
  2. Montrer que est une base orthonormée de pour ce produit scalaire.
  3. Montrer que le ( )-uplet des coordonnées d'un polynôme de dans la base est .

Partie 2

On pose maintenant et pour tout entier naturel de :
  1. Dans cette question uniquement, on suppose que et .
    (a) Expliciter les polynômes et .
    (b) Pour tout entier de , déterminer les coordonnées ( ) de dans la base ( ). On note alors la matrice .
    (c) Montrer que est inversible et déterminer .
  2. Montrer que est une base de .
  3. (a) Montrer que .
    (b) Montrer que pour tout entier naturel de .
  4. Donner la matrice de passage de la base vers la base . La base est-elle orthonormée?
On considère points .
Pour tout entier naturel de , on note le polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux points : c'est l'unique polynôme de degré au plus vérifiant .
12. Justifier l'existence et l'unicité des réels tels que
  1. Dans cette question uniquement, on admet que et que pour tout entier naturel de .
Considérons que les données sont représentées par deux matrices et
En Python, on représentera cela par deux matrices, au format numpy. array, comportant chacun lignes et 1 colonne.
(a) Écrire une fonction, en langage Python, nommée prodX prenant en entrée , un entier et un entier et qui renvoie le produit .
(b) Écrire une fonction, en langage Python, nommée coeff prenant en entrée et et qui renvoie les coefficients sous forme d'une matrice.
(c) Comment utiliser cette fonction pour trouver l'inverse de la matrice de passage définie à la question 11 ? Combien d'appels de cette fonction sont nécessaires?
14. (a) Montrer que et que est le coefficient du monôme de degré de .
(b) Justifier que .
(c) En déduire que .
15. Soit un entier naturel de . On pose .
(a) Montrer que est un élément de .
(b) Montrer que, pour tout entier de .
(c) En déduire que .
(d) Montrer que .

Problème

Partie 1

On considère un paramètre réel , et l'on définit la fonction sur par :
  1. Justifier que est une densité de probabilité.
  2. Montrer que la fonction de répartition associée à est la fonction définie sur par :
Si une variable aléatoire réelle a pour densité la fonction , on dit que suit la loi de Cauchy de paramètre . Lorsque , on dit que suit la loi de Cauchy standard.
3. Une variable aléatoire suivant une loi de Cauchy admet-elle une espérance?
4. Soit une variable aléatoire réelle.
Montrer que suit la loi de Cauchy standard si et seulement si suit la loi de Cauchy de paramètre .
5. Soit un entier naturel non nul. Soit un réel non nul.
Soit la fonction définie sur par .
On admet qu'il existe des réels tels que pour tout réel .
(a) Montrer que
(b) En déduire que
(c) Montrer finalement que .
(d) Montrer que la fonction définie sur par :
est une primitive de .
6. Soit un entier naturel non nul.
Soit une variable aléatoire de loi de Cauchy de paramètre et une variable aléatoire de loi de Cauchy standard, indépendante de . On admet que est une variable aléatoire à densité.
(a) Montrer que la fonction est une densité de où est la fonction définie par :
(b) En déduire que suit une loi de Cauchy de paramètre .
7. Montrer par récurrence sur que, pour tout entier naturel non nul, si sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi de Cauchy de paramètre , alors suit la loi de Cauchy de paramètre .
On pourra se ramener à la question précédente en utilisant la question 4.

Partie 2

  1. Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur .
Montrer que suit la loi de Cauchy de paramètre .
9. Écrire une fonction en langage Python, nommée cauchy, prenant en argument un nombre flottant et simulant une variable aléatoire suivant la loi de Cauchy de paramètre .
Soient un entier naturel non nul, des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que et .
10. Écrire une fonction en langage Python, nommée realisation, prenant en argument un entier et un réel et renvoyant un vecteur de taille contenant une réalisation du -uplet ( ).
11. Écrire une fonction en langage Python, nommée moyennes, prenant en argument un entier et un réel et renvoyant un vecteur de taille contenant une réalisation de ( ).
12. On a représenté sur la figure 2 l'évolution de trois réalisations de ces vecteurs.
Commenter cette figure.
Figure 2 - Trois réalisations de ( ).

Partie 3

On considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi de Cauchy de paramètre réel strictement positif.
On considère un paramètre réel strictement, et l'on pose pour tout entier naturel non nul :
On pose enfin pour tout entier naturel non nul :
  1. Déterminer la loi de , d'abord en fonction de , puis uniquement en fonction de et de .
  2. Démontrer que converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à .
  3. (a) Justifier que et que .
    (b) On note la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée-réduite. Montrer qu'il existe un unique réel strictement positif vérifiant .
    (c) Construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau de confiance de .
    (d) En déduire un intervalle de confiance asymptotique au niveau de confiance de .
  4. On a représenté l'évolution de ces intervalles de confiance de pour les valeurs de sur la figure 3 . Commenter cette figure.
Figure 3 - Évolution des intervalles de confiance pour .
  1. Quelle(s) qualité(s) attend-on d'un intervalle de confiance?
Commenter la figure 4 quant au choix du paramètre .
Figure 4 - Évolution des intervalles de confiance pour différentes valeurs de .

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