Ecricome Maths approfondies ECS 2021Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2021

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2021.

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Ccricome

prepa Mathématiques Option Scientifique

Lundi 19 avril 2021 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 6 pages.

CONSIGNES

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

EXERCICE 1

Partie 1 : Étude de trois matrices

On note

A, J

S

les matrices de

ℳ_3(ℝ)

définies par :

A = (0, 1, - 1; - 1, 0, 1; 1, - 1, 0), J = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1) et S = (1, - 1, 0; - 1, 0, 1; 0, 1, - 1).

Vérifier que $A^3 = - 3A$ . En déduire que $Sp(A) = {0}$ .

La matrice

A

est-elle diagonalisable ?
2. Justifier que

J

S

sont diagonalisables, et vérifier que

SJ = JS

.
3. On admet que

Sp(S) = {0, \sqrt3, - \sqrt3}

. Montrer que tout vecteur propre de

S

est vecteur propre de

J

.
4. En déduire qu'il existe une matrice

P

inversible de

ℳ_3(ℝ)

(qu'on ne demande pas de déterminer) telle que

P^(- 1)SP

P^(- 1)JP

soient diagonales.

Partie 2 : Étude des matrices magiques

Soit

n ⩾ 3

. On dit qu'une matrice

M

ℳ_n(ℝ)

est magique quand les sommes des coefficients de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale sont égales. Ainsi en notant :

$M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)$ ,
pour tout $i$ de $[ [1, n] ], ℓ_i(M) = \sum_(j = 1)^n m_(i, j)$ ,
pour tout $j$ de $[ [1, n] ], c_j(M) = \sum_(i = 1)^n m_(i, j)$ ,
$d_1(M) = \sum_(i = 1)^n m_(i, i)$ et $d_2(M) = \sum_(i = 1)^n m_(i, n - i + 1)$ ,
alors :
$M$ est magique si et seulement si : $\forall(i, j) \in [ [1, n] ]^2, ℓ_i(M) = c_j(M) = d_1(M) = d_2(M)$ .

M

est une matrice magique, la valeur de ces sommes est alors notée

s(M)

et appelée somme de la matrice

M

.
On note

ℰ_n

l'ensemble des matrices réelles magiques d'ordre

n

, et on admet que

ℰ_n

ainsi défini est un sous-espace vectoriel de

ℳ_n(ℝ)

.
5. Montrer que

ℓ_1

est une forme linéaire sur

ℳ_n(ℝ)

On admettra dans la suite que, pour tout

i

[ [2, n] ]

et pour tout

j

[ [1, n] ]

, les applications

ℓ_i, c_j, d_1, d_2

et s sont des formes linéaires sur

ℳ_n(ℝ)

.
6. On note

K_n

l'ensemble des matrices de

ℰ_n

de somme nulle.

Montrer que

K_n

est un sous-espace vectoriel de

ℰ_n

.
7. Soit

M \in ℰ_n

. Montrer que

^t M

est aussi un élément de

ℰ_n

et déterminer

s(^t M)

.
8. Soit

M \in ℰ_n

. Montrer qu'il existe un unique réel

λ

tel que

M - λJ_n \in K_n

, avec

J_n = (1, \dots, 1; ⋮, ⋮; 1, \dots, 1)

.
9. Soit

M \in ℰ_n

. Montrer que

W_n = (1; ⋮; 1)

est un vecteur propre de

M

et préciser la valeur propre associée.

Partie 3 : Étude du cas où $n = 3$

On se place dans cette partie dans le cas particulier où

n = 3

.
10. Vérifier que les matrices

A, J

S

définies dans la partie 1 sont magiques, et déterminer leur somme.
11. Montrer que pour toute matrice

M

ℳ_3(ℝ)

, il existe un unique couple

(M_1, M_2) \in (ℳ_3(ℝ))^2

tel que :

ééM = M_1 + M_2, avec {M_1 antisymétrique,; M_2 symétrique .

On explicitera notamment

M_1

M_2

en fonction de

M

.
12. Soit

M \in K_3

. On écrit

M = M_1 + M_2

selon la décomposition vue en question 11 .
(a) Montrer que

M_1

M_2

appartiennent à

K_3

.
(b) Montrer qu'il existe deux réels

α

β

tels que :

M_1 = αA et M_2 = βS.

En déduire une base de $K_3$ , puis montrer que ( $A, J, S$ ) est une base de $ℰ_3$ .
On note $Δ = {M ∈ ℰ_3/P^(− 1)MP$ est diagonale $}$ , où $P$ est la matrice définie dans la partie 1 .

Montrer que

Δ = Vect(J, S)

EXERCICE 2

On considère la fonction

f

définie sur

ℝ^2

par :

f :, ℝ^2; (x, y), ⟼ ℝ; (x, y), ⟼ (x^2 + y)e^(- (x^2 + y^2)).

Justifier que $f$ est de classe $𝒞^2$ sur $ℝ^2$ et déterminer $\partial_1 f(x, y)$ et $\partial_2 f(x, y)$ pour tout $(x, y) \in ℝ^2$ .
Déterminer les points critiques de $f$ sur $ℝ^2$ .

On admettra dans la suite que pour tout

(x, y) \in ℝ^2

, on a :

\partial_(1, 1)^2 f(x, y) = 2((1 - (x^2 + y))(1 - 2x^2) - 2x^2)e^(- (x^2 + y^2)),; \partial_(2, 2)^2 f(x, y) = - 2(x^2 + 2y + y(1 - 2y(x^2 + y)))e^(- (x^2 + y^2)),; \partial_(1, 2)^2 f(x, y) = - 2x(1 + 2y(1 - x^2 - y))e^(- (x^2 + y^2)).

Montrer que la hessienne de $f$ en ( $0, 1/(\sqrt2)$ ) est diagonale.

La fonction

f

admet-elle un extremum local en

(0, 1/(\sqrt2))

? Si oui, de quelle nature ?
4. Montrer que

f

admet un extremum local en

(0, (- 1)/(\sqrt2))

et préciser sa nature.
5. Montrer que la hessienne de

f

(1/(\sqrt2), 1/2)

est la matrice

H = e^(- 3/4)(- 2, - \sqrt2; - \sqrt2, - 3)

Justifier que

H

est diagonalisable dans

ℳ_2(ℝ)

et que ses valeurs propres sont toutes deux strictement négatives. Qu'en déduire pour le point

(1/(\sqrt2), 1/2)

@cricome

(a) Montrer que :

\forall(x, y) \in ℝ^2, 0 ⩽ |f(x, y)| ⩽ ((max(|x|, |y|))^2 + max(|x|, |y|))e^(- (max(|x|, |y|))^2).

(b) En étudiant la limite en

+ \infty

u ⟼ (u^2 + u)e^(- u^2)

, montrer qu'il existe un réel

r

strictement positif tel que :

\forall(x, y) \in ℝ^2, max(|x|, |y|) ⩾ r ⟹ 0 ⩽ |f(x, y)| ⩽ 1/2e^(- 3/4).

K = {(x, y) ∈ ℝ^2, max(|x|, |y|) ⩽ r}

et justifier que cet ensemble est un fermé de

ℝ^2

.
(d) Vérifier que tous les points critiques de

f

appartiennent à

K

En déduire tous les extrema globaux de

f

sur

ℝ^2

, et les points où ils sont atteints.
On cherche maintenant à étudier les extrema de la fonction

f

sous la contrainte

x^2 + y^2 = 1

. On a représenté sur la figure 1 ci-dessous le champ de vecteurs correspondant au gradient de

f

(une flèche partant du point de coordonnées (

x, y

) représente le vecteur

\nablaf(x, y)

), ainsi que le cercle

𝒞

d'équation

x^2 + y^2 = 1

.
7. En s'appuyant sur la figure 1, la fonction

f

semble-t-elle admettre un extremum sous la contraine

x^2 + y^2 = 1

au point de coordonnées

(1, 0)

? Justifier votre réponse.
8. Déterminer sur

[ - 1, 1]

les extrema de la fonction

g : y \mapsto 1 + y - y^2

.
9. Déduire de la question précédente l'ensemble des points pour lesquels

f

admet un extremum sous la contrainte

x^2 + y^2 = 1

. Commenter ce résultat au vu de la figure 1 .

Figure 1 - Gradient de

f

et cercle d'équation

x^2 + y^2 = 1

PROBLÈME

Soit

a

un réel strictement positif.
On considère dans toute la suite du problème une suite

(X_n)_(n ⩾ 1)

de variables aléatoires mutuellement indépendantes et identiquement distribuées, toutes définies sur un même espace probabilisé (

Ω, 𝒜, ℙ

), et suivant toutes la loi uniforme sur l'intervalle

[0, a]

L'objectif de ce problème est d'étudier puis de comparer deux estimateurs de

a

.
Les parties 1 et 2 de ce problème sont indépendantes.

Partie 1: Estimateur du maximum de vraisemblance

On note pour tout

n ⩾ 1, V_n = max(X_1, \dots, X_n)

, appelé estimateur de a du maximum de vraisemblance.

(a) On rappelle qu'en Scilab, l'instruction grand( $n, m$ , 'unf', $a, b$ ) permet d'obtenir une matrice à n lignes et m colonnes, où chaque coefficient simule une loi uniforme sur l'intervalle $[a, b]$ .
Écrire une fonction d'en-tête function $V = sim_V(n, a)$ prenant en entrée un entier naturel non nul $n$ et un réel $a$ strictement positif, et qui renvoie une réalisation de $V_n$ .
(b) On a tracé ci-dessous cinq réalisations mutuellement indépendantes de ( $V_1, V_2, \dots, V_(100)$ ), dans le cas où $a = 1$ . À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer sur l'estimateur $V_n$ ?

Figure 2 - Cinq évolutions de (

V_1, V_2, \dots, V_(100)

) pour

a = 1

Soit $n \in ℕ^*$ .
(a) Rappeler l'expression de la fonction de répartition de $X_1$ , suivant la loi uniforme $𝒰([0, a])$ .
(b) Déterminer la fonction de répartition $F_n$ de $V_n$ .
(c) En déduire que $V_n$ est une variable aléatoire à densité et donner une densité de $V_n$ .
Soit $n \in ℕ^*$ . Justifier que $V_n$ admet une espérance et déterminer l'espérance de $V_n$ . L'estimateur $V_n$ est-il sans biais?
Soit $ε > 0$ et soit $n \in ℕ^*$ . Exprimer $ℙ(|V_n - a| ⩾ ε)$ en fonction de $F_n$ , de $a$ et de $ε$ . L'estimateur $V_n$ est-il convergent?

Cricome

Soit $n \in ℕ^*$ . Pour tout réel $t$ , exprimer $ℙ(n(a - V_n) ⩽ t)$ à l'aide de $F_n$ .

En déduire que la suite

(n(a - V_n))_(n ⩾ 1)

converge en loi vers une variable aléatoire dont on identifiera la loi et son(ses) paramètre(s).
6. Soit

α \in ]0, 1[

. Déterminer à partir de la question précédente un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance

1 - α

pour le paramètre

a

, construit à l'aide de

V_n

.
7. Soit

n \in ℕ^*

.
(a) Montrer que

V_n

admet un moment d'ordre 2, que l'on déterminera.
(b) Montrer que le risque quadratique de

V_n

vaut

(2a^2)/((n + 1)(n + 2))

Quel résultat précédemment établi cela permet-il de retrouver?

Partie 2 : Méthode des moments

Pour un entier

n ⩾ 1

, on note

X¯_n

la moyenne empirique de l'échantillon (

X_1, \dots, X_n

), c'est-à-dire :

X¯_n = (X_1 + \dots + X_n)/n.

On note

M_n = 2X¯_n

, appelé estimateur de a par la méthode des moments.
8. Écrire une fonction d'en-tête function

y = sim_M(n, a)

qui, prenant en entrée un entier naturel non nul

n

et le réel

a > 0

, renvoie une réalisation de la variable aléatoire

M_n

.
9. Déterminer l'espérance et la variance de

X¯_n

. En déduire que

M_n

est un estimateur sans biais.
10. Déterminer le risque quadratique de

M_n

. Cet estimateur est-il convergent?
11. Justifier que la suite

(\sqrtn(M_n - a))_(n ⩾ 1)

converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi et le(s) paramètre(s).
12. Soit

α \in ]0, 1[

Déduire de la question précédente un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance

1 - α

pour le paramètre

a

, construit sur

M_n

.
Quel intervalle de confiance vous semble meilleur entre ce dernier et celui déterminé à la question 6 ?
13. Comparer le risque quadratique de

M_n

à celui de

V_n

, obtenu à la question 7.(b).

Commenter ce résultat à l'aide de la figure 3 ci dessous :

Figure 3 - Cinq évolutions de (

V_1, V_2, \dots, V_(100)

) (à gauche) et de (

M_1, M_2, \dots, M_(100)

) (à droite) pour

a = 1

Partie 3 : Consistance de ces estimateurs

Dans les parties précédentes, nous avons montré que (

V_n

) convergeait << plus vite >> vers

a

que (

M_n

). Nous allons maintenant étudier la sensibilité de ces estimateurs à une perturbation, en supposant que la première mesure (

X_1

) est erronée.
Nous supposons donc toujours que les variables aléatoires

X_i

sont mutuellement indépendantes, mais nous supposons maintenant que :

$X_1$ suit la loi uniforme sur $[0, 2a]$ ;
si $i ⩾ 2, X_i$ suit la loi uniforme sur $[0, a]$ (comme précédemment).

On considère toujours, pour tout entier

n ⩾ 1 : V_n = max(X_1, \dots, X_n)

M_n = 2X¯_n = 2/n(X_1 + \dots + X_n)

.
14. (a) Soit

n \in ℕ^*

. Pour tout réel

t

]a, 2a]

, montrer que :

ℙ(V_n ⩽ t) = t/(2a)

.
(b) Pour

n \in ℕ^*

, déterminer la fonction de répartition de

V_n

La suite de variables aléatoires

(V_n)_(n ⩾ 1)

converge-t-elle en loi?
(c) Calculer

ℙ(V_n > 3/2a)

L'estimateur

V_n

est-il toujours convergent?
15. On pose pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 :

M_n^' = 2/(n - 1)(X_2 + \dots + X_n)

On rappelle que la suite

(M_n^')_(n ⩾ 2)

converge en probabilité vers

a

.
(a) Pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 , exprimer

M_n

en fonction de

X_1, M_n^'

n

.
(b) En déduire que pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 :

|M_n - a| ⩽ (3a)/n + |M_n^' - a|.

ε > 0

et soit

n_0

un entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que

(3a)/(n_0) < ε

Pour tout entier

n

vérifiant

n ⩾ n_0

, comparer les événements

[|M_n^' - a| < ε]

[|M_n - a| < 2ε]

.
(d) La suite de variables aléatoires

(M_n)_(n ⩾ 2)

converge-t-elle en probabilité vers

a

?
16. Commenter les résultats de cette partie à partir des parties précédentes.
@cricome

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EXERCICE 1

Partie 1 : Étude de trois matrices

Partie 2 : Étude des matrices magiques

Partie 3 : Étude du cas où n = 3

EXERCICE 2

@cricome

Partie 1: Estimateur du maximum de vraisemblance

Cricome

Partie 2 : Méthode des moments

Partie 3 : Consistance de ces estimateurs

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Partie 3 : Étude du cas où $n = 3$