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ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2002

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2002
Filière
MP/PC
Matière
Mathématiques
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SESSION 2002

Filière MP (groupes M/MP/MPI)

(Epreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan)

Filières MP et PC (groupe I)

(Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon)

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures
Dans ce problème, tous les espaces vectoriels sont de dimension finie. Si , la quantité désignera toujours le produit scalaire usuel . Si . ééé dual est munit canoniquement d'une norme (dite duale) définie par . L'espace dual muni de cette norme sera appelé le dual normé de .
Un evn est dit isométrique à un evn si il existe un isomorphisme linéaire préservant les normes, c'est à dire tel que pour tout . Une telle est appellée isométrie de dans .
Si ou 2 , on note l'espace , munit de la norme . De même, on note l'espace munit dẹ la norme .

Premième partie : introduction.

Si , on définit par
C'est donc un élément du dual de .
1-a) Si , montrer que l'on peut trouver avec , et .
b) Si , montrer que l'on peut trouver avec , et .
c) Si , montrer que l'on peut trouver avec , et .
2) Montrer que l'application fournit une isométrie entre et son dual normé, une isométrie de sur le dual normé de , et enfin une isométrie de sur le dual normé de .
3-a) Si , montrer que
b) En déduire que si et vérifient , alors .
c) En déduire que pour n'est isométrique ni à , ni à .
4) Si , On rappelle que est dit dense dans si est inclus dans l'adhérence de , ou encore si tout élément de est limite d'une suite d'éléments de .
a) Montrer que si et sont deux ouverts denses de , alors est encore dense dans .
b) Soit un sous-espace vectoriel strict de (i.e. avec ). Montrer que le complémentaire de dans est un ouvert dense de . [Indication : utiliser une base convenable.]
c) Si sont des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel , et si , montrer que l'un au moins des est égal à .
5) Soit un sous-espace de dimension de . On suppose que .
a) On suppose que possède (au moins) un élément tel que les soient deux-à-deux distincts. Montrer qu'il existe , avec
[Indication : prendre , et choisir assez proche de .]
b) Si ne possède pas d'élément comme ci-dessus, montrer qu'alors est contenu dans un sous-espace de , isométrique à .
c) Montrer qu'il existe nécessairement , avec
d) En déduire que , lorque , n'est isométrique à aucun sous-espace de avec fini. Qu'en est-il pour ?
6) On note l'espace des suites avec et . L'espace est clairement un espace vectoriel pour les addition et multiplication scalaire standards, et normé pour la norme .
a) Montrer que l'on peut trouver une suite avec et pour tout , telle que soit dense dans la sphère unité euclidienne de .
b) En déduire qu'il existe une application linéaire isométrique sur son image, c'est-à-dire telle que pour tout .

Deuxième partie : distance entre evn.

Si et sont deux evn de même dimension, on pose
l'infimum étant pris sur tous les isomorphismes de dans . On pose aussi
  1. Si et sont trois evn de même dimension, montrer que , et que .
  2. Si et sont de même dimension, montrer que lorsque les espaces duaux sont munis de leur norme duale.
  3. Si et sont de même dimension, montrer qu'il existe un isomorphisme : , tel que . [Indication : on cherchera parmi les isomorphismes de norme 1.]
  4. Montrer que , avec égalité si, et seulement si, et sont isométriques.
Troisième partie : calcul de .
  1. En considérant l'identité de dans lui même, montrer que .
2-a) Si , montrer que
[Indication : faire une récurrence pour .]
Dans la suite de cette question 2), on suppose qu'il existe vecteurs de , et des réels strictement positifs et , tels que pour tout , on ait
b) Montrer que est une base de . En conclure qu'il existe tels que soit égal à 1 si , et à 0 sinon.
c) Montrer que pour tout , on a
d) Montrer que . [Indication : on appliquera 2-a pour un choix approprié des .]
3) Montrer que .
4) Calculer .
Quatrième partie : espaces .

A) Inégalités de convexité.

  1. Soit et .
    a) Si , montrer que
b) Si , montrer que
  1. On se donne et on définit par la relation (de sorte que et ).
    a) Soit . Si , montrer que
b) Soit et . Montrer que

B) Espaces .

Pour et , on pose . On retrouve bien ainsi les normes et pour et 2 . On rappelle que .
  1. On veut montrer l'inégalité dite de Hölder : pour tout ,
a) Traiter directement le cas .
b) Si , montrer que l'on peut supposer et que les et les sont tous positifs ou nuls. Déduire de A-2-b que .
Tournez la page S.V.P.
2) On veut montrer l'inégalité de Minkowski: .
a) Montrer que l'on peut se ramener au cas où tous les et les sont positifs.
b) Si est définit par , que vaut ?
c) Montrer que .
d) Montrer l'inégalité de Minkowski.
e) Montrer que est une norme sur . On note l'evn ( ).
3) On considère à nouveau l'application introduite dans l'introduction, qui à associe la forme linéaire . Montrer que c'est une isométrie de sur le dual de (ce dernier étant munit de la norme duale de décrite au début du problème).
C) Calcul de .
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer que pour tout .
3-a) Montrer que si , alors
pour tout .
b) En déduire que sous l'hypothèse ci-dessus, on a
  1. Si , montrer que
  1. En déduire que pour , on a
  1. Pour quelles valeurs de et de l'espace est-il euclidien '?
  2. Montrer que et sont isométriques. la formule donnée en est-elle valable pour tout et tout ?

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