ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2002, épreuve LCSujet et corrigé

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Annales X-ENS MP/PC Mathématiques X-ENS MP/PC 2002 MP/PC Mathématiques Mathématiques 2002

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Isométries et distance entre espaces normés de dimension finie

Le problème étudie les espaces vectoriels normés de dimension finie R^n munis des normes usuelles l^p, la notion d'isométrie entre deux tels espaces et une distance d(E,F) mesurant leur écart. Il calcule explicitement cette distance entre les espaces l_n^2, l_n^1, l_n^infini puis entre les espaces l_n^p pour p quelconque.

1Première partie : introductionÉtudie le dual normé de R^n muni des normes l^1, l^2 et l^infini, montre que ces espaces ne sont pas isométriques entre eux pour n >= 2 et prépare des résultats de densité utilisés ensuite.
2Deuxième partie : distance entre evnDéfinit la distance d(E,F) entre deux espaces vectoriels normés de même dimension finie à partir de l'infimum du produit des normes d'un isomorphisme et de son inverse, et en établit les propriétés de distance.
3Troisième partie : calcul de d(l_n^2, l_n^infini)Calcule explicitement la distance entre l'espace euclidien l_n^2 et l'espace l_n^infini, ainsi qu'entre l_n^2 et l_n^1.
4Quatrième partie : espaces l_n^pÉtablit les inégalités de convexité, de Hölder et de Minkowski pour les normes l^p, puis calcule la distance d(l_n^p, l_n^q) entre deux tels espaces selon les valeurs de p et q.

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SESSION 2002

Filière MP (groupes M/MP/MPI)

(Epreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan)

Filières MP et PC (groupe I)

(Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon)

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

Dans ce problème, tous les espaces vectoriels sont de dimension finie. Si

x, y \in R^n

, la quantité

⟨x, y⟩

désignera toujours le produit scalaire usuel

⟨x, y⟩ = \sum_(i = 1)^n x_i y_i

. Si

(E, ‖‖

é é é)estunespacevectorielnormé(enabrégé : evn), onrappellequel^' espace

dual

E^*

est munit canoniquement d'une norme (dite duale) définie par

‖f‖:=sup_(‖x‖ = 1)|f(x)|

. L'espace dual

E^*

muni de cette norme sera appelé le dual normé de

E

.
Un evn

E

est dit isométrique à un evn

F

si il existe un isomorphisme linéaire

f : E \to F

préservant les normes, c'est à dire tel que

‖f(x)‖_F = ‖x‖_E

pour tout

x \in E

. Une telle

f

est appellée isométrie de

E

dans

F

.
Si

p = 1

ou 2 , on note

ℓ_n^p

l'espace

R^n

, munit de la norme

‖(x_1, \dots, x_n)‖_p = (\sum_(i = 1)^n|x_i|^p)^(1/p)

. De même, on note

ℓ_n^\infty

l'espace

R^n

munit dẹ la norme

‖(x_1, \dots, x_n)‖_\infty = sup_(1 \leq i \leq n)|x_i|

Premième partie : introduction.

y \in R^n

, on définit

φ_y : R^n \to R

par

φ_y(x):=<x, y>=\sum_(i = 1)^n x_i y_i

C'est donc un élément du dual

(R^n)^*

R^n

.
1-a) Si

x \in R^n

, montrer que l'on peut trouver

y \in R^n

avec

‖y‖_2 = 1

, et

φ_x(y) = ‖x‖_2

.
b) Si

x \in R^n

, montrer que l'on peut trouver

y \in R^n

avec

‖y‖_\infty = 1

, et

φ_x(y) = ‖x‖_1

.
c) Si

x \in R^n

, montrer que l'on peut trouver

y \in R^n

avec

‖y‖_1 = 1

, et

φ_x(y) = ‖x‖_\infty

.
2) Montrer que l'application

x \to φ_x

fournit une isométrie entre

ℓ_n^2

et son dual normé, une isométrie de

ℓ_n^1

sur le dual normé de

ℓ_n^\infty

, et enfin une isométrie de

ℓ_n^\infty

sur le dual normé de

ℓ_n^1

3-a) Si

x, y \in R^n

, montrer que

‖x + y‖_2^2 + ‖x - y‖_2^2 = 2‖x‖_2^2 + 2‖y‖_2^2

b) En déduire que si

x

y

vérifient

‖x‖_2 = ‖y‖_2 = ‖(x + y)/2‖_2

, alors

x = y

.
c) En déduire que pour

n \geq 2, ℓ_n^2

n'est isométrique ni à

ℓ_n^1

, ni à

ℓ_n^\infty

.
4) Si

A \subset B \subset R^n

, On rappelle que

A

est dit dense dans

B

B

est inclus dans l'adhérence

A¯

A

, ou encore si tout élément de

B

est limite d'une suite d'éléments de

A

.
a) Montrer que si

U

V

sont deux ouverts denses de

R^n

, alors

U \cap V

est encore dense dans

R^n

.
b) Soit

E

un sous-espace vectoriel strict de

R^n

(i.e. avec

dimE < n

). Montrer que le complémentaire

R^n - E

E

dans

R^n

est un ouvert dense de

R^n

. [Indication : utiliser une base convenable.]
c) Si

E_1, \dots, E_k

sont des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel

E

, et si

E = \cup _(i = 1)^k E_i

, montrer que l'un au moins des

E_i

est égal à

E

.
5) Soit

E

un sous-espace de dimension

n

ℓ_m^\infty

. On suppose que

m \geq n \geq 2

.
a) On suppose que

E

possède (au moins) un élément

a = (a_1, \dots, a_n)

tel que les

|a_i|

soient deux-à-deux distincts. Montrer qu'il existe

x \neq y \in E

, avec

‖x‖_\infty = ‖y‖_\infty = ‖(x + y)/2‖_\infty = 1.

[Indication : prendre

x = a/(‖a‖_\infty)

, et choisir

y

assez proche de

x

.]
b) Si

E

ne possède pas d'élément comme ci-dessus, montrer qu'alors

E

est contenu dans un sous-espace de

ℓ_m^\infty

, isométrique à

ℓ_(m - 1)^\infty

.
c) Montrer qu'il existe nécessairement

x \neq y \in E

, avec

‖x‖_\infty = ‖y‖_\infty = ‖(x + y)/2‖_\infty = 1.

d) En déduire que

ℓ_n^2

, lorque

n \geq 2

, n'est isométrique à aucun sous-espace de

ℓ_m^\infty

avec

m

fini. Qu'en est-il pour

n = 1

?
6) On note

ℓ_N^\infty

l'espace des suites

(x_n)_(n \in N)

avec

x_n \in R

sup_(n \in N)|x_n| < \infty

. L'espace

ℓ_N^\infty

est clairement un espace vectoriel pour les addition et multiplication scalaire standards, et normé pour la norme

‖(x_n)_(n \in N)‖:=sup_(n \in N)|x_n|

.
a) Montrer que l'on peut trouver une suite

(x_k)_(k \in N)

avec

x_k \in R^n

‖x_k‖_2 = 1

pour tout

k

, telle que

{x_k; k ∈ N}

soit dense dans la sphère unité euclidienne

{x ∈ R^n; ‖x‖_2 = 1}

R^n

.
b) En déduire qu'il existe une application linéaire

f : ℓ_n^2 \to ℓ_N^\infty

isométrique sur son image, c'est-à-dire telle que

‖f(x)‖_\infty = ‖x‖_2

pour tout

x \in ℓ_n^2

Deuxième partie : distance entre evn.

E

F

sont deux evn de même dimension, on pose

ρ(E, F):=inf_f‖f‖ \cdot ‖f^(- 1)‖

l'infimum étant pris sur tous les isomorphismes

f

E

dans

F

. On pose aussi

d(E, F):=logρ(E, F)

Si $E, F$ et $G$ sont trois evn de même dimension, montrer que $d(E, F) = d(F, E)$ , et que $d(E, G) \leq d(E, F) + d(F, G)$ .
Si $E$ et $F$ sont de même dimension, montrer que $d(E^*, F^*) \leq d(E, F)$ lorsque les espaces duaux sont munis de leur norme duale.
Si $E$ et $F$ sont de même dimension, montrer qu'il existe un isomorphisme $f_0$ : $E \to F$ , tel que $ρ(E, F) = ‖f_0‖.‖f_0^(- 1)‖$ . [Indication : on cherchera $f_0$ parmi les isomorphismes de norme 1.]
Montrer que $d(E, F) \geq 0$ , avec égalité si, et seulement si, $E$ et $F$ sont isométriques.

Troisième partie : calcul de

d(ℓ_n^2, ℓ_n^\infty)

En considérant l'identité de $R^n$ dans lui même, montrer que $d(ℓ_n^2, ℓ_n^\infty) \leq (logn)/2$ .

2-a) Si

y_1, \dots, y_k \in R^n

, montrer que

\sum_(ε_1 = \pm 1, \dots, ε_k = \pm 1)‖ε_1 y_1 + \dots + ε_k y_k‖_2^2 = 2^k(‖y_1‖_2^2 + \dots + ‖y_k‖_2^2)

[Indication : faire une récurrence pour

k \geq 2

.]
Dans la suite de cette question 2), on suppose qu'il existe

n

vecteurs

x_1, \dots, x_n

R^n

, et des réels strictement positifs

α

β

, tels que pour tout

x \in R^n

, on ait

αmax_(1 \leq i \leq n)| < x_i, x > | \leq ‖x‖_2 \leq βmax_(1 \leq i \leq n)| < x_i, x > |.

b) Montrer que

x_1, \dots, x_n

est une base de

R^n

. En conclure qu'il existe

x_1^*, \dots, x_n^*

tels que

< x_i^*, x_j >

soit égal à 1 si

i = j

, et à 0 sinon.
c) Montrer que pour tout

t_1, \dots, t_n \in R

, on a

αmax_(1 \leq i \leq n)|t_i| \leq ‖\sum_(i = 1)^n t_i x_i^*‖_2 \leq βmax_(1 \leq i \leq n)|t_i|.

d) Montrer que

nα^2 \leq β^2

. [Indication : on appliquera 2-a pour un choix approprié des

y_i

.]
3) Montrer que

d(ℓ_n^2, ℓ_n^\infty) = (logn)/2

.
4) Calculer

d(ℓ_n^2, ℓ_n^1)

Quatrième partie : espaces

ℓ_n^p, p \in [1, + \infty]

A) Inégalités de convexité.

Soit $α \geq 0$ et $t_1, \dots, t_k \in R^+$ .
a) Si $α \leq 1$ , montrer que

\sum_(i = 1)^k 1/kt_i^α \leq ((\sum_(i = 1)^k t_i)/k)^α

b) Si

α \geq 1

, montrer que

\sum_(i = 1)^k 1/kt_i^α \geq ((\sum_(i = 1)^k t_i)/k)^α

On se donne $p \in [1, + \infty]$ et on définit $p^* \in [1, + \infty]$ par la relation $1/p + 1/(p^*) = 1$ (de sorte que $1^* = + \infty$ et $(+ \infty)^* = 1$ ).
a) Soit $p \in ]1, + \infty[$ . Si $α, β \in R$ , montrer que

exp(α/p + β/(p^*)) \leq 1/pexp(α) + 1/(p^*)exp(β)

b) Soit

p \in ]1, + \infty[

x, y \in R^+

. Montrer que

xy \leq 1/px^p + 1/(p^*)y^(p^*)

B) Espaces $ℓ_n^p$ .

Pour

x \in R^n

p \in [1, + \infty[

, on pose

‖x‖_p:=(\sum_(i = 1)^n|x_i|^p)^(1/p)

. On retrouve bien ainsi les normes

‖x‖_1

‖x‖_2

pour

p = 1

et 2 . On rappelle que

‖x‖_\infty = max_(1 \leq i \leq n)|x_i|

On veut montrer l'inégalité dite de Hölder : pour tout $x, y \in R^n$ ,

| < x, y > | \leq ‖x‖_p‖y‖_(p^*)

a) Traiter directement le cas

{p, p^∗} = {1, + ∞}

.
b) Si

p \in ]1, + \infty[

, montrer que l'on peut supposer

‖x‖_p = ‖y‖_(p^*) = 1

et que les

x_i

et les

y_i

sont tous positifs ou nuls. Déduire de A-2-b que

\sum_(i = 1)^n x_i y_i \leq 1

Tournez la page S.V.P.
2) On veut montrer l'inégalité de Minkowski:

‖x + y‖_p \leq ‖x‖_p + ‖y‖_p

.
a) Montrer que l'on peut se ramener au cas où tous les

x_i

et les

y_i

sont positifs.
b) Si

z \in R^n

est définit par

z_i = (x_i + y_i)^(p - 1)

, que vaut

‖z‖_(p^*)

?
c) Montrer que

‖x + y‖_p^p \leq ‖x‖_p‖z‖_(p^*) + ‖y‖_p‖z‖_(p^*)

.
d) Montrer l'inégalité de Minkowski.
e) Montrer que

‖.‖_p

est une norme sur

R^n

. On note

ℓ_n^p

l'evn (

R^n, ‖.‖_p

).
3) On considère à nouveau l'application

R^n \to (R^n)^*

introduite dans l'introduction, qui à

x

associe la forme linéaire

φ_x

. Montrer que c'est une isométrie de

ℓ_n^(p^*)

sur le dual de

ℓ_n^p

(ce dernier étant munit de la norme duale de

ℓ_n^p

décrite au début du problème).
C) Calcul de

d(ℓ_n^p, ℓ_n^q)

Montrer que $d(ℓ_n^p, ℓ_n^q) = d(ℓ_n^(p^*), ℓ_n^(q^*))$ pour tout $p \in [1, \infty]$ .
Montrer que $d(ℓ_n^p, ℓ_n^\infty) \leq (logn)/p$ pour tout $p \in [1, \infty]$ .

3-a) Montrer que si

1 \leq p < q < \infty

, alors

‖x‖_q \leq ‖x‖_p \leq ‖x‖_q n^(1/p - 1/q)

pour tout

x \in R^n

.
b) En déduire que sous l'hypothèse ci-dessus, on a

d(ℓ_n^p, ℓ_n^q) \leq (1/p - 1/q)logn

Si $2 \leq p \leq q \leq \infty$ , montrer que

d(ℓ_n^p, ℓ_n^q) = (1/p - 1/q)logn

En déduire que pour $(p - 2)(q - 2) \geq 0$ , on a

d(ℓ_n^p, ℓ_n^q) = |1/q - 1/p|logn

Pour quelles valeurs de $n$ et de $p$ l'espace $ℓ_n^p$ est-il euclidien '?
Montrer que $ℓ_2^1$ et $ℓ_2^\infty$ sont isométriques. la formule donnée en $C - 4$ est-elle valable pour tout $n$ et tout $1 \leq p, q \leq \infty$ ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet commun aux ENS MP-PC 2002 ?

Il porte sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, la dualité, les inégalités de convexité (Hölder, Minkowski) et la comparaison des normes usuelles l^p.

Quelles parties sont indépendantes ?

La première partie sert d'introduction et de boîte à outils pour toute la suite ; les parties trois et quatre s'appuient sur la définition de distance entre espaces normés introduite en partie deux.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Il faut connaître les espaces vectoriels normés de dimension finie, les applications linéaires bornées, la notion de dual et les inégalités de convexité classiques.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il suppose acquises les notions de dualité et de norme d'application linéaire, généralement étudiées en deuxième année.

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Premième partie : introduction.

Deuxième partie : distance entre evn.

A) Inégalités de convexité.

B) Espaces ℓ_n^p.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet commun aux ENS MP-PC 2002 ?

Quelles parties sont indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Ce sujet est-il faisable en première année ?

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B) Espaces $ℓ_n^p$ .