compris les calculatrices programmables et alphanumériques ou à écran graphique, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. Une seule calculatrice à la fois est admise sur la table et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Sur la modélisation de certains phénomènes atmosphériques

Cette épreuve traite de divers processus physiques liés à l'atmosphère et sa dynamique. Elle est constituée de quatre parties largement indépendantes. Dans la partie I, on examine quelques contraintes expérimentales associées à la mesure de la taille des gouttelettes d'eau formant les nuages par un dispositif de télédétection. La partie II étudie les conditions optiques de formation de certains mirages. Dans la partie III, après avoir étudié la stabilité générale de l'atmosphère terrestre, on détermine les conditions thermodynamiques d'obtention des mirages. Finalement, dans la partie IV, on s'intéresse à la formation des nuages dans l'atmosphère terrestre.

Données numériques et ordres de grandeur :

Viscosité dynamique de l'air

η = 2, 0.10^(- 5) Pa.s

Diffusivité thermique de l'air

D = 2, 0.10^(- 5) m^2.s^(- 1)

Masse molaire moyenne de l'air

M_(air) = 29, 0 g \cdot mol^(- 1)

Enthalpie massique de vaporisation de l'eau

L_v = 2, 3.10^6 J.kg^(- 1)

Capacité thermique massique de la vapeur d'eau

c_(p, eau) = 1850 J.K^(- 1).kg^(- 1)

Pression de vapeur saturante de l'eau à la température

T_(sol), P_(sat)(T_(sol)) = 1700 Pa

Coefficient de tension superficielle de l'eau

Γ = 7, 3 \cdot 10^(- 2) N \cdot m^(- 1)

Masse molaire de l'eau

M_(eau) = 18, 0 g \cdot mol^(- 1)

Température moyenne au sol

T_(sol) = 288 K

Pression moyenne au sol

P_(sol) = 10^5 Pa

Constante des gaz parfaits

R = 8, 314 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1)

Constante de Planck

h = 6, 63.10^(- 34) J.s

1 Mesure LIDAR de la taille des gouttelettes d'un nuage

Un LIDAR (acronyme anglais pour LIght Detection And Ranging) est un système de mesure dont le fonctionnement est semblable à celui du radar mais dont le domaine spectral est différent : alors que le radar fonctionne dans le domaine des ondes radio, le LIDAR couvre le domaine du visible et de l'infrarouge. Un LIDAR se compose d'un système laser chargé d'émettre des ondes lumineuses vers l'atmosphère depuis le sol. Ces ondes interagissent avec les différents composants qu'elles rencontrent (gouttelettes d'eau, poussières, cristaux de glaces et aérosols) et sont diffusées dans pratiquement toutes les directions. Les photons ayant été diffusés vers l'arrière retournent vers un télescope situé au sol et généralement couplé à la station d'émission. On peut alors déduire des informations sur le diffuseur comme sa concentration, la taille des particules ou sa distance par rapport au système de mesure. On suppose que le laser utilisé émet une lumière dont la longueur d'onde est de 532 nm .

A votre avis, quel est la couleur du laser?
Evaluer l'intervalle de temps entre l'émission d'une impulsion laser et la réception du premier signal de retour par le télescope en utilisant un ordre de grandeur raisonnable de l'altitude minimale de formation des nuages.
Le signal reçu par le télescope est couplé à un système de comptage des photons par photomultiplicateur dont la carte d'acquisition possède une fréquence d'échantillonnage de 10 MHz et ne peut acquérir plus de 2000 points. Donner l'altitude maximale d'observation des nuages ainsi que l'incertitude sur l'estimation de la distance des gouttelettes.
L'énergie lumineuse par impulsion est d'environ 150 mJ et la durée d'une impulsion est de l'ordre de 5 ns . Calculer la puissance lumineuse d'une impulsion et estimer le nombre de photons émis à chaque impulsion.
Quelle relation doit exister entre la longueur d'onde $λ$ et le rayon $a$ des gouttelettes pour que les rayons lumineux suivent les lois de l'optique géométrique à l'interface avec la gouttelette et à l'intérieur?
Dans cette hypothèse, on admet que très peu de photons sont renvoyés vers le télescope. En déduire un ordre de grandeur de la taille maximale des gouttelettes d'eau qui pourront être observées par LIDAR.

2 Observation de mirages inférieurs et supérieurs.

L'observation de mirages dits inférieurs se produit généralement en été lorsque la température de l'air augmente notablement au contact d'un sol chauffé par le soleil. La masse volumique de l'air et l'indice de réfraction de l'air augmentent alors avec l'altitude. On étudie, dans cette partie, la propagation de rayons lumineux dans un tel milieu stratifié horizontalement.

On considère un individu recevant des rayons lumineux d'un objet vertical situé à une distance horizontale

d

devant lui. Pour repérer la marche des rayons, on utilise un repère

Oxz

dont l'origine

O

est situé au sol, au pied de l'observateur. La variable

z

est l'altitude depuis le sol et

x

repère la position horizontale. Les coordonnées des yeux de l'observateur sont alors (

x = 0, z = z_0

) où

z_0 = 1, 50 m

(voir la figure 1 ). En un point d'un rayon lumineux, on appelle

i

, l'angle entre l'axe vertical et la tangente au rayon lumineux orientée dans le sens de la propagation,

i_0

désignant la valeur de cet angle au niveau de l'observateur (

i_0 > 0

On admet que le profil d'indice près du sol peut être modélisé par une fonction de la forme $n(z) = n_0\sqrt(1 + kz)$ avec $n_0 = 1.000263$ . Donner l'unité et le signe de $k$ puis tracer l'allure de la courbe $n(z)$ .
Sous cette hypothèse, on peut montrer que les rayons lumineux entre un point de l'objet $A$ d'altitude $z_A$ et l'oeil de l'observateur suivent une parabole de la forme :

z(x) = k/(4sin^2 i_0)x^2 - x/(tani_0) + z_0.

Fig. 1 - Schéma et notations utilisés pour l'observation d'un mirage optique

Montrer qu'il existe deux valeurs possibles de

i_0

, et donc deux paraboles distinctes, si la différence d'altitude

Δz = z_A - z_0

entre le point A et l'observateur vérifie la condition

Δz > (kd^2)/4 - 1/k.

Dans cette question, on pourra poser

α = 1/tani_0

.
3. Montrer qu'une augmentation de l'altitude du point

A

conduit à une augmentation de l'angle

i_0

au niveau de l'observateur si une nouvelle condition que l'on exprimera en fonction de

k, d

tani_0

est vérifiée.
4. Démontrer que l'une des paraboles la vérifie et l'autre non.
5. En déduire que l'observateur peut voir deux images d'un objet dont les coordonnées vérifient l'équation (2), l'une droite et l'autre renversée. On pourra illustrer cette propriété par un schéma. Laquelle de ces images correspond à ce qu'on appelle traditionnellement un mirage optique ou mirage inférieur?
6. Le 26 Avril 1977, les habitants de Grand Haven dans le Michigan, regardant dans la nuit par dessus les eaux froides du Lac Michigan ont observé distinctement dans le ciel, les lumières du phare de Milwaukee situé pourtant à plus de 120 kilomètres. Expliquer brièvement ce phénomène.

3 Stabilité de l'atmosphère; convection

Dans cette partie, on étudie certaines propriétés de stabilité de l'atmosphère terrestre que l'on considère constituée d'air sec se comportant comme un gaz parfait. On rappelle que pour un gaz diatomique, les capacités thermiques molaires à volume et pression constants valent respectivement

C_v = 5R/2

C_p = 7R/2

. Les valeurs massiques seront notées

c_v

c_p

. En outre, on néglige les variations de la gravité avec l'altitude. Les autres variables sont des fonctions de l'altitude

z

Fig. 2 - Déplacement vertical élémentaire d'une parcelle d'air.

Stabilité d'une atmosphère

On considère tout d'abord un modèle d'atmosphère isotherme en équilibre hydrostatique avec le champ de pesanteur. Donner l'expression de la pression en fonction de $M_(air), R, g, z$ et des grandeurs au sol. Ce modèle est-il, à votre connaissance, réaliste?

Pour étudier la stabilité d'une atmosphère, on cherche à déterminer l'effet d'une fluctuation atmosphérique quelconque sur une parcelle d'air. On considère une parcelle d'air de masse

m_a

constante et de volume

V_a

variable initialement en équilibre à l'altitude

z_0

et déplacée verticalement jusqu'à l'altitude

z_0 + u

avant de laisser

u

évoluer librement avec le temps. On supposera que

u≪z_0

. Les valeurs de la densité

ρ_a(z_0 + u)

, de la température

T_a(z_0 + u)

, de la pression

P_a(z_0 + u)

de la parcelle à l'altitude

z_0 + u

sont a priori différentes des mêmes grandeurs

ρ(z_0 + u), T(z_0 + u), P(z_0 + u)

de l'air environnant à l'équilibre thermodynamique (voir la figure 2). On suppose que le temps de mise à l'équilibre mécanique local entre la parcelle d'air et l'atmosphère environnante est très rapide contrairement à l'équilibre thermique.
2. Quelle est la relation entre les pressions

P_a(z_0 + u)

P(z_0 + u)

?
3. Montrer que pour des variations élémentaires de température

dT_a

et de pression

dP_a

, la chaleur échangée par la parcelle d'air avec son environnement est

δQ = m_a c_p dT_a - V_a dP_a.

On suppose que le déplacement de la parcelle est suffisament rapide pour que cette transformation soit adiabatique. Montrer alors que le gradient de température de l'air situé dans la parcelle suit la relation

(dT_a)/(dz) = - g/(c_p).

Ce gradient est généralement appelé gradient adiabatique sec. Calculer sa valeur en

K.m^(- 1)

puis en K.

km^(- 1)

.
5. Effectuer le bilan des forces sur la parcelle d'air à l'altitude

z_0 + u

et l'exprimer en fonction de

V_a(z_0 + u), ρ_a(z_0 + u), ρ(z_0 + u)

g

.
6. Démontrer au premier ordre en

u/z_0

que

ρ(z_0 + u) - ρ_a(z_0 + u) = [(dρ)/(dz)(z = z_0) - (dρ_a)/(dz)(z = z_0)]u

En déduire l'équation différentielle qui régit le déplacement $u(t)$ de la parcelle autour de l'altitude $z_0$ en fonction du temps. On fera apparaître la grandeur caractéristique $N$ définie localement par

N^2(z_0) = g/(T(z_0))[g/(c_p) + (dT)/(dz)(z = z_0)]

et dont on précisera l'unité.
8. Donner les solutions du mouvement de la parcelle d'air suivant la valeur du gradient de température local en

z = z_0

. En déduire un critère d'instabilité de la parcelle d'air.
9. Les dix premiers kilomètres de l'atmosphère forment la troposphère et les observations montrent que le gradient vertical de température peut être considéré comme constant et de l'ordre de

- 6, 5 K.km^(- 1)

. Discuter la stabilité générale de la troposphère et indiquer comment varie

N

dans la troposphère.
10. Calculer la période d'oscillation (appelée période de Brunt-Väisälä) d'une parcelle d'air à la base et au sommet de la troposphère.

Application à la formation des mirages optiques

On cherche à préciser les conditions dans lesquelles peuvent se former les mirages optiques inférieurs étudiés dans la partie 2.
11. A l'aide d'une analyse dimensionnelle, estimer le temps nécessaire à la conduction thermique pour que le profil de température entre une fine couche d'air chaud située près du sol et une couche d'air moins chaud située par exemple à 1 mètre au-dessus atteigne l'état stationnaire. Commenter ce résultat.
12. Il n'est pas rare d'observer en été des différences de température de l'ordre de

10^\circC

entre un sol fortement chauffé et les couches supérieures proches. En utilisant les résultats de la partie précédente, prévoir qualitativement le mouvement d'une telle couche d'air chaud.
13. On admet que l'indice optique

n

de l'air suit la loi de Gladstone telle que

n - 1 = Kρ

où

K

est une constante dimensionnée et

ρ

la masse volumique de l'air. En utilisant la partie 2 , montrer qu'un mirage inférieur ne peut se former que si le gradient vertical de température vérifie la condition

(dT)/(dz) < - g/(c_p - c_v)

Déduire des résultats précédents que l'observation d'un mirage n'est pas compatible avec une atmosphère en équilibre stable.

4 Formation des nuages

Bien que la vapeur d'eau soit un constituant minoritaire de l'atmosphère, elle joue un rôle fondamental dans de nombreux processus climatiques comme les précipitations neigeuses ou la pluie. On se propose dans cette partie d'étudier la formation des nuages et on considère à présent l'air comme un mélange d'air sec et de vapeur d'eau, se comportant tous les deux comme des gaz parfaits.

Questions préliminaires : Propriétés d'un air humide

La masse de vapeur d'eau présente par kilogramme d'air sec est appelée rapport de mélange et sera notée $r$ . Exprimer la capacité thermique massique d'un air humide à pression constante en fonction de $r, c_p$ et $c_(p, eau)$ où $c_(p, eau)$ est la capacité thermique massique de la vapeur d'eau à pression constante.
Au sol et pour un air saturé en vapeur d'eau, le rapport de mélange est de l'ordre de $10^(- 2)$ . Justifier que, dans ces conditions, il est raisonnable de prendre la capacité thermique massique d'un air humide à pression constante égale à celle d'un air sec en calculant l'erreur relative engendrée sur la valeur de la capacité thermique massique.

Questions préliminaires : Equilibre liquide-vapeur

On considère le changement d'état entre la vapeur d'eau et l'eau liquide au sein de l'atmosphère.
3. Justifier que l'enthalpie libre

G

est la fonction d'état la plus pertinente pour décrire l'évolution et l'équilibre de l'eau entre les deux phases.
4. A l'équilibre thermodynamique, quelle est la relation entre les potentiels chimiques standards de référence de l'eau

μ_l^0, μ_v^0

(respectivement pour les phases liquide et vapeur), la pression de vapeur saturante

P_(sat)(T)

et la pression de référence

P_0

prise égale à 1 bar.
5. A partir de l'équation de Clapeyron, retrouver l'équation donnant

P_(sat)(T)

en fonction de

L_v, M_(eau), R, T_(sol), P_(sat)(T_(sol))

T

. On considérera que l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau est indépendante de la température.

Hauteur de formation des nuages

Pour étudier certaines propriétés des nuages, on fait l'hypothèse que les échanges thermodynamiques entre les différentes parcelles d'air de l'atmosphère sont adiabatiques conformément à la question 3.4. On ne tiendra donc pas compte du profil réel de température évoqué à la question 3.9.
6. Donner le profil de température

T(z)

de l'air en fonction de l'altitude.
7. Déterminer le profil de pression

P(z)

. On pourra introduire le facteur

γ = C_p/C_v = c_p/c_v

La sensation d'un individu de se trouver dans un air plus ou moins humide est liée à l'humidité relative ou degré hygrométrique

h

défini par

h = P_v/P_(sat)

où

P_v

est la
pression partielle de vapeur d'eau et

P_(sat)

la pression de vapeur saturante de l'eau à la température

T

locale de l'air humide.
8. On considère que la pression partielle de vapeur d'eau est proportionnelle à la pression de l'air. En prenant un degré d'humidité au sol

h_(sol) = 20%

, donner la loi

P_v(z)

.
9. Montrer que pour des altitudes inférieures à dix kilomètres,

P_v(z)

peut être approximée par une fonction affine.
10. A partir de la condition de saturation de l'atmosphère, estimer avec la méthode de votre choix, la hauteur à laquelle se forment des nuages.
11. En déduire la température de formation des nuages ainsi que la pression partielle de vapeur d'eau correspondante.
12. Un tel équilibre liquide-vapeur est-il thermodynamiquement possible dans ces conditions? En déduire une information supplémentaire sur la composition probable des nuages.

Croissance et formation des gouttelettes d'eau

Les observations montrent que l'apparition de gouttelettes d'eau en suspension ne se fait que pour des humidités relatives supérieures à

100%

. On parle alors d'air supersaturé. Une des raisons est que la formation de ces gouttes approximativement sphériques nécessite une énergie supplémentaire appelée tension superficielle correspondant à l'énergie de formation d'une interface entre la phase liquide et la phase vapeur. La surface de cette interface est donc égale à la surface de la goutte.
On considère le système constitué de

n_v

moles de vapeur d'eau entourant une gouttelette d'eau sphérique de rayon

a

et contenant

n_l

moles d'eau. Le nombre total de moles d'eau

n = n_v + n_l

est supposé constant ainsi que la température

T

et la pression totale imposées par l'air environnant. On suppose aussi que la pression partielle de l'eau dans la phase liquide

P_l

est égale à celle de la vapeur d'eau

P_v

.
Pour tenir compte de la tension superficielle, il faut rajouter à la fonction d'état

G

, l'énergie supplémentaire

ΓΣ

où

Σ

est la surface de la goutte et

Γ

le coefficient de tension superficielle.
13. Avant l'apparition d'une gouttelette d'eau, on suppose que toute l'eau est sous forme de vapeur à la pression partielle

P_v

. Quelle est l'expression de l'enthalpie libre initiale

G_0

en fonction de

n

μ_v

où

μ_v

est le potentiel chimique de l'eau dans la phase vapeur, puis de

n, R, T, P_0

P_v

?
14. Lorsqu'une gouttelette s'est formée, donner l'expression de l'enthalpie libre

G

du système en fonction de

n_l, n_v, μ_l, μ_v, Γ

Σ

où

μ_l

est le potentiel chimique de l'eau dans la phase liquide.
15. A l'aide de la question 4.4 , montrer que la fonction

G - G_0

peut s'écrire comme un polynôme en

a

de la forme

G(a) - G_0 = A_2 a^2 + A_3(lnh)a^3,

où

A_2

A_3

sont des coefficients que l'on déterminera en fonction de

Γ, ρ_l

la masse volumique de l'eau,

M_(eau), R

T

.
16. A partir du tracé de

G(a) - G_0

, montrer que seules les gouttelettes ayant un rayon initial supérieur à une valeur critique

a_c

, dont on donnera l'expression, peuvent croître spontanément.
17. Tracer qualitativement la fonction

a_c(h)

. Estimer la valeur du rayon critique pour une humidité relative caractéristique

h = 101%

.
18. A votre avis, quel rôle jouent les poussières atmosphériques dont la taille est de l'ordre du micromètre dans la formation des nuages?

Stabilité des nuages

Sous l'effet de la gravité, les gouttelettes formées peuvent chuter vers le sol. Estimer la vitesse limite de chute des gouttelettes de rayons 10 et $100μ m$ . On vérifiera et discutera la validité des lois utilisées.
En déduire leur temps caractéristique de descente jusqu'au sol. Commenter les résultats.
La taille moyenne des gouttelettes d'eau formant un nuage est de $10μ m$ . Pourquoi ne voit-on pas les nuages tomber?

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