Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2024 (page 2/2 : Partie II)

L'interaction gravitationnelle est exclusivement attractive : les masses s'attirent mutuellement vers le centre de constitution de l'astre.

Pour amener la matière depuis l'infini de manière quasi-statique (sans lui communiquer d'énergie cinétique, \Delta E_c = 0), l'opérateur doit à chaque instant compenser exactement l'attraction gravitationnelle :

Puisque la force gravitationnelle est dirigée vers le centre d'attraction, la force de l'opérateur \vec{F}_{\text{op}} est nécessairement orientée vers l'extérieur (force de retenue). Lors du rapprochement vers le centre, le déplacement élémentaire d\vec{r} est centripète, si bien que le travail élémentaire fourni par l'opérateur est résistant :

Par intégration, le travail total fourni par l'opérateur est donc négatif :

L'étoile constituée est dans un état énergétiquement plus stable (puits de potentiel) que le gaz initial dispersé à l'infini ; elle a cédé de l'énergie vers l'extérieur au cours de son effondrement gravitationnel.

Pour dissocier complètement l'étoile et renvoyer toutes ses particules constitutives à l'infini au repos, un opérateur extérieur doit fournir un travail opposé, égal à -W_g. Cette grandeur, positive :

représente l'énergie minimale à apporter au système pour briser sa cohésion gravitationnelle. C'est exactement la définition d'une énergie de liaison, par analogie directe avec la cohésion d'un noyau atomique ou d'une liaison chimique.

L'étoile est modélisée par une boule de rayon R et de masse totale M, de masse volumique \rho uniforme. Le volume total de la boule étant V = \frac{4}{3}\pi R^3, on a :

La masse m(r) contenue dans la sphère de rayon r \leqslant R s'obtient immédiatement en intégrant la masse volumique sur le volume \frac{4}{3}\pi r^3 :

soit :

La masse \mathrm{d}m à apporter pour faire passer le rayon de r à r+\mathrm{d}r correspond à la masse d'une coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r et de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r, ou encore à la différentielle de m(r) :

d'où :

D'après le théorème de Gauss (ou la question 2), la masse m déjà rassemblée dans la sphère de rayon r crée en tout point extérieur (r' \geqslant r) un champ de gravitation identique à celui d'une masse ponctuelle située au centre :

Pour déplacer quasi-statiquement un élément de masse \mathrm{d}m depuis l'infini jusqu'au rayon r, l'opérateur doit compenser à chaque instant la force d'attraction gravitationnelle exercée par la sphère, soit exercer la force :

Le travail fourni par l'opérateur pour amener cette couche élémentaire \mathrm{d}m s'écrit :

On en déduit bien :

En utilisant les expressions obtenues à la question 14, m(r) = M\left(\frac{r}{R}\right)^3 et \mathrm{d}m = \frac{3M}{R^3}r^2\,\mathrm{d}r, on obtient :

L'énergie gravitationnelle totale W_g nécessaire pour constituer l'étoile complète de rayon R s'obtient par intégration de r = 0 à r = R :

On étudie la colonne de fluide de section constante S, comprise entre les altitudes z_1 et z_2 (avec z_1 < z_2). Le système est à l'équilibre dans le référentiel galiléen.

Les forces extérieures appliquées à cette colonne sont :

• les forces de pression sur la surface délimitant la colonne :

  • sur la base inférieure en z_1 (normale extérieure -\hat{u}_z) :

    \vec{F}_{p,1} = P(z_1)\,S\,\hat{u}_z

  • sur la base supérieure en z_2 (normale extérieure +\hat{u}_z) :

    \vec{F}_{p,2} = -P(z_2)\,S\,\hat{u}_z
  • sur la paroi latérale : les forces pressantes élémentaires sont perpendiculaires à l'axe (Oz) et leur résultante s'annule par symétrie radiale / invariance par rotation autour de l'axe : \vec{F}_{p,\text{lat}} = \vec{0}.

• la force gravitationnelle s'exerçant sur chaque élément de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z de masse \mathrm{d}m = \rho(z)\,S\,\mathrm{d}z, soit sous forme intégrale :

  \vec{F}_g = \int_{z_1}^{z_2} \vec{G}(z)\,\mathrm{d}m = \left( \int_{z_1}^{z_2} \rho(z)\,G(z)\,S\,\mathrm{d}z \right) \hat{u}_z

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique impose :

En projetant sur l'axe vertical \hat{u}_z et en simplifiant par S \neq 0 :

soit :

En dérivant cette relation par rapport à z_2 (ou en considérant une tranche d'épaisseur infinitésimale \mathrm{d}z), on obtient l'équation différentielle locale :

Cette relation s'applique dans le cadre du modèle du gaz parfait monoatomique classique (non relativiste).

En effet, pour un gaz parfait constitué de N particules sans interactions mutuelles à distance occupant un volume V à la température T :

• l'équation d'état s'écrit :

  PV = N k_B T

• les particules étant ponctuelles (monoatomiques), l'énergie microscopique se résume à l'énergie cinétique de translation à trois degrés de liberté. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie (ou la théorie cinétique des gaz), l'énergie cinétique moyenne d'une particule vaut :

  \langle \varepsilon_c \rangle = \frac{3}{2} k_B T

L'énergie cinétique totale d'agitation thermique du volume V est donc :

En combinant ces deux relations, on obtient directement :

La distribution de masse présente une symétrie sphérique, donc le champ gravitationnel est purement radial : \vec{G}(\vec{r}) = G_r(r)\,\hat{u}_r.

D'après le théorème de Gauss appliqué à une surface sphérique de rayon r \leqslant R centrée en O (ou en appliquant le théorème des coquilles sphériques de Newton), seule la masse intérieure m(r) contribue au champ gravitationnel en r :

D'après la question Q14, la masse intérieure s'écrit m(r) = M\left(\frac{r}{R}\right)^3. On en déduit :

D'après l'énoncé, l'équation différentielle d'équilibre local obtenue à la question Q16 (\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho(z)G(z)) se transpose en coordonnées sphériques par z \to r avec G_r(r) = -\frac{\mathcal{G}Mr}{R^3} :

En injectant l'expression de la masse volumique \rho = \frac{3M}{4\pi R^3} établie à la question Q14, il vient :

L'étoile étant entourée par le vide spatial, la pression à sa surface est nulle : P(R) = 0. On intègre alors entre le rayon r et le rayon R :

On obtient bien :

D'après la question Q17, l'énergie cinétique d'agitation thermique contenue dans un volume infinitésimal \mathrm{d}V soumis à la pression P(r) est :

Par symétrie sphérique, on découpe l'étoile en coquilles sphériques de rayon r, d'épaisseur \mathrm{d}r et de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r. En utilisant l'expression de la pression obtenue à la question Q18 :

on obtient la contribution élémentaire :

L'énergie cinétique totale s'obtient par intégration de r = 0 à r = R :

Ce qui se simplifie en :

Commentaires :

• Lien avec l'énergie gravitationnelle : À la question Q15, nous avions obtenu W_g = -\frac{3}{5}\frac{\mathcal{G}M^2}{R}. On constate la relation remarquable :

  E_c = -\frac{1}{2} W_g \quad \Longleftrightarrow \quad 2E_c + W_g = 0

  On retrouve ainsi la forme globale du théorème du viriel appliqué à un système auto-gravitant en équilibre hydrostatique.

• Énergie mécanique totale et stabilité : L'énergie mécanique totale de l'étoile vaut :

  E_m = E_c + W_g = \frac{1}{2}W_g = -E_c = -\frac{3}{10}\frac{\mathcal{G}M^2}{R} < 0

  Étant strictement négative, elle confirme que l'étoile constitue un état lié stable : il faut fournir de l'énergie à l'étoile pour en disperser la matière à l'infini.

L'étoile est modélisée par une sphère de rayon R, son volume vaut donc :

Elle est composée de N atomes d'hydrogène formés chacun d'un proton et d'un électron. La masse totale de l'étoile s'écrit :

Comme la masse de l'électron est négligeable devant celle du proton (m_e \ll m_p), on a l'excellente approximation :

Le volume disponible par particule est \vartheta = \frac{V}{N}. En utilisant la relation a^3 = \vartheta, il vient :

On en déduit l'expression de la dimension de confinement a :

Pour un état stationnaire, on injecte \Psi(x,t) = \psi(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} dans l'équation de Schrödinger fournie :

En identifiant l'énergie de l'état stationnaire e = \hbar\omega, l'équation spatiale s'écrit :

La solution générale est de la forme \psi(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx). Le confinement strict à l'intervalle [0,a] impose des parois infinies en x=0 et x=a, d'où les conditions aux limites :

• \psi(0) = 0 \implies A = 0 ;
• \psi(a) = 0 \implies B\sin(ka) = 0 \implies ka = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*).

L'état fondamental correspond au niveau d'énergie minimale, soit n=1, ce qui donne k_1 = \frac{\pi}{a}.

La normalisation de la fonction d'onde sur [0,a] donne :

On en déduit l'expression de la fonction d'onde spatiale de l'état fondamental :

L'énergie de cet état fondamental vaut alors :

Comme \hbar = \frac{h}{2\pi}, on a \hbar^2 \pi^2 = \frac{h^2}{4}, d'où :

Lien avec le principe d'indétermination de Heisenberg : Selon la relation de Heisenberg spatiale, les incertitudes quantiques sur la position et la quantité de mouvement vérifient \Delta x \cdot \Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}. Ici, la particule étant localisée dans un intervalle spatial de taille a, l'indétermination sur sa position est de l'ordre de grandeur de la dimension du puits : \Delta x \sim a.

Il en résulte nécessairement une dispersion minimale sur l'impulsion :

Par symétrie, l'impulsion moyenne est nulle (\langle p_x \rangle = 0), de sorte que l'énergie cinétique moyenne minimale s'estime par :

L'état fondamental possède ainsi une énergie de point zéro non nulle e_1 \propto \frac{h^2}{m a^2} : le confinement spatial (a fini) impose une agitation quantique irréductible, ce qui illustre directement le principe d'indétermination de Heisenberg.

L'équation de Schrödinger stationnaire pour une particule libre de masse m dans la boîte tridimensionnelle s'écrit :

avec la condition d'annulation de la fonction d'onde sur les frontières de la boîte cubique [0,a]^3.

Par séparation des variables, la fonction d'onde spatiale s'écrit sous la forme factorisée :

Chacune des composantes spatiales vérifie indépendamment l'équation différentielle 1D étudiée à la question Q21 avec des conditions aux limites identiques :

L'état fondamental correspond aux nombres quantiques minimaux non nuls n_x = n_y = n_z = 1. La fonction d'onde normalisée est donc le produit des trois fonctions d'ondes fondamentales 1D :

ce qui donne, pour (x, y, z) \in [0, a]^3 (et \psi_1 = 0 à l'extérieur) :

L'énergie totale étant la somme des énergies associées à chaque dimension indépendante (e_1 = e_{1,x} + e_{1,y} + e_{1,z}), l'énergie de l'état fondamental 3D vaut :

soit :

L'énergie cinétique totale de confinement de l'étoile correspond à la somme des énergies fondamentales des N électrons et des N protons :

Comme m_e \ll m_p, le rapport \frac{e_{1,p}}{e_{1,e}} = \frac{m_e}{m_p} \approx 5{,}5 \cdot 10^{-4} est tout à fait négligeable : l'énergie cinétique de confinement est quasi intégralement portée par les électrons, d'où :

D'après la question Q20, on a N = \frac{M}{m_p} et a = R\left(\frac{4\pi m_p}{3M}\right)^{1/3}, soit :

En injectant cette relation dans l'expression de E_c, il vient :

L'énergie cinétique totale s'écrit donc bien sous la forme :

D'après le préambule de la partie II.D, les effets thermiques sont négligés devant ceux du confinement quantique. L'énergie mécanique totale de la naine blanche s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique de confinement des électrons E_c (partie II.C) et de l'énergie gravitationnelle propre W_g (question Q15) :

L'état d'équilibre stable correspond au minimum de l'énergie totale par rapport au rayon R. La condition d'extremum s'écrit :

En multipliant par R^3, on obtient :

d'où :

Vérifions le caractère minimal de cet extremum à l'aide de la dérivée seconde :

En évaluant en R = R_{\mathrm{eq}}, le second terme entre parenthèses vaut \frac{6}{5}\mathcal{G}M^2 \left(\frac{10}{3}\frac{\gamma}{\mathcal{G}M^{1/3}}\right) = 4\gamma M^{5/3}, ce qui conduit à :

Il s'agit donc bien d'un minimum strict d'énergie.

D'après l'expression établie à la question Q24, le rayon d'équilibre d'une naine blanche de masse M = M_{\odot} s'écrit :

Pour l'application numérique, on utilise les données de l'énoncé :

• \gamma = 1{,}6 \cdot 10^6\text{ SI} ;
• \mathcal{G} = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} \simeq \frac{20}{3}\cdot 10^{-11}\text{ SI} ;
• M_{\odot} = 1{,}99 \cdot 10^{30}\text{ kg} \simeq 2{,}0 \cdot 10^{30}\text{ kg}, d'où M_{\odot}^{1/3} \simeq 2^{1/3} \cdot 10^{10}\text{ kg}^{1/3} \simeq 1{,}26 \cdot 10^{10}\text{ kg}^{1/3} \simeq \frac{5}{4}\cdot 10^{10}\text{ kg}^{1/3} (puisque (5/4)^3 = 1{,}95 \simeq 2).

Le dénominateur vaut :

On en déduit :

Conclusion : En comparant ce résultat aux données numériques :

Une naine blanche de masse comparable à celle du Soleil possède une taille de l'ordre de grandeur de celle de la Terre. Cela justifie pleinement le qualificatif de « naine » et implique une masse volumique colossale (\rho \sim 10^9\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} soit de l'ordre d'une tonne par centimètre cube), caractéristique de la matière dégénérée.

Dans le modèle de Fowler, l'étoile contient N = M/m_p électrons, et l'énergie cinétique totale du gaz d'électrons dégénéré s'écrit de manière classique :

où v représente la vitesse caractéristique (quadratique moyenne) des électrons.

À l'équilibre mécanique établi à la question Q24, la condition de minimum de l'énergie totale conduit à la relation du viriel :

On en déduit l'expression du carré de la vitesse des électrons :

Effectuons l'application numérique pour une masse solaire M = M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\text{ kg} et le rayon d'équilibre obtenu à la question Q25 R_{\mathrm{wd}} \simeq 6{,}4\cdot 10^6\text{ m} :

Ce qui donne pour la vitesse des électrons :

La vitesse des électrons représente environ la moitié de la célérité de la lumière dans le vide (c \simeq 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Elle n'est donc absolument pas négligeable devant c : les effets relativistes sont prépondérants et l'approximation newtonienne \mathcal{E}_c = p^2/(2m_e) n'est plus valable.

Cela justifie pleinement l'argument de Chandrasekhar (1931), qui a montré que la prise en compte de la relation de dispersion ultra-relativiste \mathcal{E} \approx pc conduit à une modification fondamentale de l'équation d'état, introduisant une masse limite maximale pour les naines blanches (la masse de Chandrasekhar, environ 1{,}4\,M_\odot).