Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2024

Le système constitué des deux astres \{\mathscr{A}, \mathscr{P}\} est supposé isolé dans le référentiel galiléen (\mathcal{R}_0). Le centre de masse G du système est défini par :

Pour que l'astre attracteur \mathscr{A} reste immobile au cours du mouvement, le centre de masse du système doit être pratiquement confondu avec le point A, ce qui impose l'inégalité forte :

Sous cette hypothèse, le référentiel lié à A peut être assimilé à un référentiel galiléen.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle attractive \vec{F} exercée par l'astre ponctuel \mathscr{A} situé en A sur l'astre ponctuel \mathscr{P} situé en P s'écrit, avec \vec{r} = \overrightarrow{AP} = r\hat{u}_r :

La distribution de masse de l'astre \mathscr{A} étant à symétrie sphérique de centre A et invariante par toute rotation autour de A, tout plan contenant la droite (AP) est un plan de symétrie. Le champ gravitationnel \vec{G}(P) créé en P est donc radial et ne dépend que de la distance radiale r = AP :

Appliquons le théorème de Gauss pour le champ de gravitation à travers une surface fermée \Sigma, choisie comme la sphère de centre A et de rayon r > R_A, orientée vers l'extérieur :

Comme r > R_A, la masse intérieure totale est la masse complète de l'astre : M_{\text{int}} = m_A. Le calcul du flux donne :

On en déduit :

Le point matériel P de masse m_P subit ainsi la force gravitationnelle \vec{F} = m_P \vec{G}(P) :

L'expression de la force gravitationnelle reste donc strictement identique à celle obtenue pour deux points matériels.

Oui, cette expression reste parfaitement applicable, à condition que les deux astres soient disjoints (r > R_A + R_P).

En effet :

• L'astre \mathscr{A} possédant une répartition de masse à symétrie sphérique, le champ gravitationnel qu'il crée en tout point extérieur (r > R_A) est identique à celui d'une masse ponctuelle m_A située en son centre A. La force exercée par \mathscr{A} sur l'astre \mathscr{P} est donc identique à la force exercée par une masse ponctuelle m_A placée en A sur \mathscr{P}.
• D'après le principe des actions réciproques, la force exercée par \mathscr{P} sur une masse ponctuelle située en A (extérieur à \mathscr{P}) est l'opposée de la force précédente. Or, \mathscr{P} présente lui aussi une répartition de masse à symétrie sphérique : il crée donc en A le même champ qu'une masse ponctuelle m_P concentrée en son centre P.

Par conséquent, l'interaction entre deux corps à symétrie sphérique disjoints se réduit rigoureusement à l'interaction entre deux points matériels situés en leurs centres de masse respectifs A et P :

où r = \|\overrightarrow{AP}\| est la distance séparant les deux centres.

On étudie le point matériel P de masse m_P dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 où le centre attracteur A est fixe. Le point P n'est soumis qu'à la force gravitationnelle \vec{F} = -\frac{\mathcal{G} m_A m_P}{r^2}\hat{u}_r.

Le moment de cette force par rapport au point fixe A s'écrit :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en A fixe dans \mathcal{R}_0 :

Le moment cinétique \vec{\sigma}_A = \overrightarrow{AP} \times (m_P \vec{v}) est donc un vecteur constant au cours du temps.

En excluant le cas d'une trajectoire rectiligne de collision (\vec{\sigma}_A = \vec{0}), le vecteur \vec{\sigma}_A définit une direction fixe de l'espace. Par définition du produit vectoriel :

Le rayon vecteur \overrightarrow{AP} est donc orthogonal à tout instant à \vec{\sigma}_A : le mouvement de P est plan, contenu dans le plan passant par A et orthogonal à \vec{\sigma}_A. On note (Axy) ce plan.

On introduit la constante C, composante selon le vecteur unitaire \hat{u}_z = \hat{u}_x \times \hat{u}_y du moment cinétique par unité de masse (ou constante des aires) :

La vitesse aréolaire de P, correspondant à l'aire élémentaire balayée par unité de temps, vaut \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\|\vec{r} \times \vec{v}\| = \frac{|C|}{2} = \text{cste}, ce qui traduit la loi des aires.

Dans le repère polaire (r, \theta) du plan (Axy), la position et la vitesse s'écrivent :

Le produit vectoriel devient :

On en déduit l'expression de la constante C :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point P dans le référentiel galiléen (\mathcal{R}_0) s'écrit :

D'après la loi des aires établie à la question Q4, C = r^2 \dot{\theta}, d'où \dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{C}{r^2}. En utilisant la dérivation en chaîne \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta} \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}, il vient :

Sachant que \frac{\mathrm{d}\hat{u}_\theta}{\mathrm{d}\theta} = -\hat{u}_r, cette relation devient :

Par intégration vectorielle par rapport à \theta, on obtient :

où \vec{v}_0 est un vecteur constant d'intégration. En factorisant par C/p, cette expression se met sous la forme demandée :

par identification :

et \vec{e} = \frac{p}{C}\vec{v}_0 est un vecteur constant.

Dimension et planéité du vecteur \vec{e} :

• La constante des aires vérifie [C] = \mathrm{L^2\cdot T^{-1}}. D'autre part, [\mathcal{G} m_A] = \mathrm{L^3\cdot T^{-2}}, d'où [p] = \frac{[C]^2}{[\mathcal{G} m_A]} = \frac{\mathrm{L^4\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^3\cdot T^{-2}}} = \mathrm{L}. Ainsi, p est homogène à une longueur.
• Il s'ensuit que [C/p] = \mathrm{L\cdot T^{-1}}, ce qui correspond à la dimension d'une vitesse. Comme [\vec{v}] = \mathrm{L\cdot T^{-1}} et que le vecteur unitaire \hat{u}_\theta est sans dimension, le vecteur \vec{e} est sans dimension.

• Le mouvement de P a lieu dans le plan (Axy) (Q4), donc à tout instant \vec{v} \cdot \hat{u}_z = 0. Comme \hat{u}_\theta appartient également au plan (Axy) (\hat{u}_\theta \cdot \hat{u}_z = 0), on a :

  \vec{e} \cdot \hat{u}_z = \left( \frac{p}{C}\vec{v} - \hat{u}_\theta \right) \cdot \hat{u}_z = 0

  Le vecteur \vec{e} est donc situé dans le plan (Axy) du mouvement.

En choisissant l'axe (Ay) selon la direction et le sens de \vec{e}, on peut poser sans perte de généralité :

D'après la figure 1, les vecteurs de la base cartésienne s'expriment dans la base polaire (\hat{u}_r, \hat{u}_\theta) selon :

Avec \vec{e} = e\hat{u}_y, le vecteur \vec{e} s'écrit dans la base polaire :

La vitesse de P dans le plan (Axy) est donnée par \vec{v} = \dot{r}\,\hat{u}_r + r\dot{\theta}\,\hat{u}_\theta. En utilisant le résultat de la question Q5, \vec{v}(\theta) = \frac{C}{p}(\hat{u}_\theta + \vec{e}), il vient :

Par identification des composantes radiale et orthoradiale, on obtient :

D'après la question Q4, la constante des aires s'écrit C = r^2\dot{\theta} = r(r\dot{\theta}). En remplaçant r\dot{\theta} par son expression :

Comme C \neq 0, on en déduit directement l'équation de la trajectoire :

Pour un mouvement borné, la distance r(\theta) doit rester finie et strictement positive pour tout angle polaire \theta \in [0, 2\pi]. Étant donné que p = C^2/(\mathcal{G}m_A) > 0 et e \geqslant 0, le dénominateur 1 + e\cos\theta ne doit jamais s'annuler et doit rester strictement positif :

La valeur minimale de cette quantité est atteinte pour \cos\theta = -1 (soit \theta = \pi), ce qui impose :

L'équation polaire obtenue est celle d'une conique d'excentricité e < 1 dont l'origine A est un foyer. Il s'agit donc d'une ellipse (ou d'un cercle dans le cas particulier e = 0).

D'après la question 4, la constante des aires s'écrit :

Le mouvement s'effectuant dans le sens des angles croissants (C > 0), la durée élémentaire \mathrm{d}t s'exprime sous la forme :

La trajectoire étant fermée et périodique de période T, l'angle polaire \theta balaie l'intervalle [0, 2\pi] lorsque t varie de 0 à T :

En injectant l'équation polaire de la trajectoire obtenue à la question 6, r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e\cos\theta}, on obtient :

où l'on a posé :

Par ailleurs, le paramètre p défini à la question 5 vérifie p = \dfrac{C^2}{\mathcal{G}m_A}, soit :

Le facteur géométrique devient ainsi :

On en déduit l'expression demandée de la période :

D'après la question Q6, l'équation polaire de la trajectoire est :

Pour e = 0, la distance au centre attracteur est constante : r(\theta) = p.

L'intégrale \mathcal{I} introduite à la question Q7 se calcule immédiatement pour e = 0 :

En injectant cette valeur dans l'expression de la période T issue de la question Q7 :

En élevant cette expression au carré, on obtient :

Cette constante est universelle pour tous les corps en orbite autour d'un même astre attracteur \mathscr{A} car elle ne dépend que de sa masse m_A. On reconnaît la troisième loi de Kepler (ou loi des périodes).

Énoncé historique de la troisième loi de Kepler :

Conformément aux syntaxes fournies en annexe, on propose le script Python suivant :

import numpy as np
import scipy.integrate
import matplotlib.pyplot as plt

# Definition de l'integrale pour une valeur de e donnee
def I(e):
    def integrande(theta):
        return 1.0 / (1.0 + e * np.cos(theta))**2
    valeur, erreur = scipy.integrate.quad(integrande, 0, 2 * np.pi)
    return valeur

# 1. Echantillonnage fin pour la courbe en trait plein
e_continu = np.linspace(0, 0.5, 200)
I_continu = [I(e) for e in e_continu]

# 2. Une dizaine de points regulierement repartis (10 points)
e_points = np.linspace(0, 0.5, 10)
I_points = [I(e) for e in e_points]

# 3. Traces
plt.figure()
plt.plot(e_continu, I_continu, '-')       # trace en trait plein
plt.plot(e_points, I_points, 'o')         # mise en exergue des points
plt.xlabel("parametre e")
plt.ylabel("integrale I")
plt.grid(True)
plt.show()

D'après l'énoncé, lors de la mesure, le Soleil S, la Terre et Mars sont alignés dans cet ordre, ce qui minimise la distance Terre–Mars :

Les paramètres géométriques à faire figurer sont :

• a_0 = ST : rayon de l'orbite circulaire de la Terre autour du Soleil ;
• a_1 = SM : rayon de l'orbite circulaire de Mars autour du Soleil ;
• \ell = PC : distance rectiligne entre l'observatoire de Paris (P) et celui de Cayenne (C) ;
• \alpha = \widehat{PMC} : angle de visée sous-tendu par la base Paris–Cayenne depuis Mars (angle de parallaxe).

Le schéma géométrique correspondant (hors échelle) est représenté ci-dessous :

D'après la troisième loi de Kepler démontrée à la question 8, pour les mouvements circulaires de la Terre et de Mars autour du Soleil (de masse M_\odot) :

On en déduit le rayon de l'orbite martienne en fonction de a_0 et des périodes :

Au moment de la configuration considérée (Soleil, Terre et Mars alignés dans cet ordre), la distance entre la Terre et Mars est minimale et vaut :

La distance \ell entre les deux observatoires étant très faible devant la distance Terre–Mars (\ell \ll d), l'angle de parallaxe \alpha est très petit (\alpha \ll 1\text{ rad}). Dans l'approximation des petits angles, on a :

En combinant ces deux relations, on obtient l'expression de l'unité astronomique a_0 :

D'après la question Q11, l'expression de l'unité astronomique est :

À l'aide des données du sujet :

• \left(\dfrac{T_1}{T_0}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{687}{365}\right)^{1/3} \simeq \dfrac{5}{4}, d'où \left(\dfrac{T_1}{T_0}\right)^{2/3} \simeq \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \simeq 1{,}6 ;

• le facteur entre crochets vaut donc :

  \left(\frac{T_1}{T_0}\right)^{2/3} - 1 \simeq 1{,}6 - 1 = 0{,}6 = \frac{3}{5}

• l'angle en radians vaut :

  \alpha = 14'' = 14 \times 4{,}85\cdot 10^{-6}\text{ rad} = 6{,}79\cdot 10^{-5}\text{ rad}
• la distance entre les deux observatoires est \ell = 7\,070\text{ km} = 7{,}07\cdot 10^6\text{ m}.

On en déduit la valeur de a_0 :

La valeur de référence indiquée dans les données est a_0 = 1{,}50\cdot 10^{11}\text{ m}. L'écart relatif est de :

La valeur annoncée par Cassini est donc tout à fait compatible avec la valeur attendue, ce qui constitue une remarquable première mesure historique de la taille absolue du Système solaire.