Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2024 (page 2/2 : Partie II)

L'interaction gravitationnelle étant purement attractive, les éléments de matière sont naturellement attirés vers le centre de l'étoile au cours de sa constitution depuis l'infini.

Pour que la formation s'effectue de manière quasi-statique, l'opérateur doit à chaque instant exercer une force opposée à la force d'attraction gravitationnelle, c'est-à-dire dirigée vers l'extérieur alors que le déplacement de la matière s'effectue vers l'intérieur. Le travail élémentaire exercé par l'opérateur est donc résistant :

D'un point de vue énergétique, en choisissant l'état de référence de l'énergie potentielle gravitationnelle nul à l'infini (E_p(\infty) = 0), l'énergie potentielle finale de l'étoile liée est strictement négative (E_{p} < 0). L'évolution étant quasi-statique (\Delta E_c = 0), le premier principe ou le théorème de l'énergie mécanique donne W_g = \Delta E_p = E_p - 0 < 0.

Par définition, l'énergie de liaison E_\ell d'un système lié est l'énergie minimale qu'un opérateur extérieur doit fournir au système pour dissocier totalement ses constituants et les renvoyer à l'infini au repos.

En inversant le processus de formation de manière quasi-statique, le travail à fournir pour disperser l'étoile vaut :

L'énergie de liaison de l'étoile est donc bien une grandeur positive égale à l'opposé du travail de constitution :

L'étoile est modélisée par une boule homogène de masse totale M et de rayon R. Son volume total est donc :

La masse volumique \rho étant uniforme, elle s'écrit :

La masse m(r) déjà constituée à l'intérieur de la sphère de rayon r \leqslant R s'exprime comme le produit de la masse volumique par le volume de cette sphère :

soit :

L'accroissement de masse \mathrm{d}m nécessaire pour faire passer le rayon de r à r + \mathrm{d}r correspond à la masse contenue dans une couche sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r et de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r. Il s'obtient directement par différentiation de m(r) ou par \rho\,\mathrm{d}V :

La masse m déjà rassemblée forme une boule de rayon r à symétrie sphérique. D'après le théorème de Gauss (ou les résultats de la question Q2), le champ gravitationnel extérieur créé par cette boule à une distance r' \geqslant r est identique à celui d'une masse ponctuelle m située en O :

Pour amener de manière quasi-statique une masse élémentaire \mathrm{d}m depuis l'infini (où l'interaction est nulle) jusqu'au rayon r, l'opérateur doit compenser à chaque instant la force gravitationnelle :

L'auto-interaction de la couche élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}r étant d'ordre (\mathrm{d}m)^2, elle est négligeable. Le travail fourni par l'opérateur lors de cette étape s'écrit donc :

ce qui conduit bien à :

D'après la question Q14, la masse intérieure et la masse de la couche élémentaire valent :

En substituant ces expressions dans \mathrm{d}W_g :

L'énergie gravitationnelle totale s'obtient en intégrant de r = 0 (début de la constitution) à r = R (étoile entièrement formée) :

Soit finalement :

Considérons la colonne de fluide immobile de section droite d'aire S, délimitée par les plans horizontaux de cotes z_1 et z_2 (avec z_1 < z_2).

Les forces extérieures appliquées à cette colonne sont :

• la force pressante exercée sur la face inférieure en z_1, dirigée vers le haut :

  \vec{F}_1 = P(z_1) \, S \, \hat{u}_z

• la force pressante exercée sur la face supérieure en z_2, dirigée vers le bas :

  \vec{F}_2 = - P(z_2) \, S \, \hat{u}_z

• les forces pressantes exercées par le fluide environnant sur la surface latérale : perpendiculaires à la paroi verticale en chaque point, leur résultante est purement horizontale et ne possède aucune composante selon \hat{u}_z :

  \vec{F}_{\text{lat}} \cdot \hat{u}_z = 0

• la force de gravitation volumique : pour une tranche élémentaire de fluide comprise entre z et z + \mathrm{d}z, de masse \mathrm{d}m = \rho(z) \, S \, \mathrm{d}z, le poids élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{F}_g = \vec{G}(z) \, \mathrm{d}m = \rho(z) \, G(z) \, S \, \mathrm{d}z \, \hat{u}_z. La résultante sur la colonne vaut donc :

  \vec{F}_g = \left( \int_{z_1}^{z_2} \rho(z) \, G(z) \, S \, \mathrm{d}z \right) \hat{u}_z

À l'équilibre mécanique de la colonne dans le référentiel d'étude, la résultante des forces est nulle :

En projetant sur le vecteur unitaire \hat{u}_z, il vient :

Soit, en simplifiant par S \neq 0 :

Cette relation étant valable pour tout couple d'altitudes (z_1, z_2), on dérive par rapport à z_2 (ou on pose z_1 = z et z_2 = z + \mathrm{d}z), ce qui donne l'équation différentielle fondamentale de la statique des fluides :

Cette relation s'obtient dans le cadre du modèle du gaz parfait monoatomique classique (non relativiste) :

• Les constituants sont modélisés par des particules ponctuelles sans structure interne, n'interagissant entre elles que par des collisions élastiques instantanées (pas d'énergie potentielle d'interaction à distance).

• Chaque particule ne possède que 3 degrés de liberté de translation. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie (ou la théorie cinétique des gaz), l'énergie cinétique moyenne d'une particule à la température T s'écrit :

  \langle e_c \rangle = \frac{3}{2} k_B T

  Pour un système de N particules, l'énergie cinétique totale de translation (agitation thermique) vaut donc :

  E_c = N \langle e_c \rangle = \frac{3}{2} N k_B T
• L'équation d'état du gaz parfait s'écrit P V = N k_B T. En combinant ces deux relations, on obtient directement :

De manière équivalente, la théorie cinétique des gaz relie directement la pression cinétique P à la densité volumique d'énergie cinétique de translation u_c = E_c / V par la relation fondamentale :

qui reste valable pour tout gaz parfait où les particules n'ont pas d'énergie interne de rotation ou de vibration contribuant à la pression.

La distribution de masse possède une symétrie sphérique centrée en O. Le champ gravitationnel est donc purement radial et ne dépend que de la distance r au centre :

D'après le théorème de Gauss appliqué au champ gravitationnel à travers une sphère de centre O et de rayon r \leqslant R :

Par invariance et symétrie, le flux s'écrit \iint_{S(r)} \vec{G} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 4\pi r^2 G_r(r). La masse intérieure m_{\text{int}}(r) = m(r) vaut, d'après la question Q14, m(r) = M\frac{r^3}{R^3}. On en déduit :

soit :

D'après le préambule de la question, l'équation différentielle d'équilibre s'obtient en transposant celle de la question Q16 en coordonnées sphériques par la substitution z \to r, avec \rho(r) = \rho = \text{cste} :

En remplaçant \rho = \frac{3M}{4\pi R^3} (question Q14) et G_r(r) = -\frac{\mathcal{G}Mr}{R^3} :

À la surface de l'étoile (r = R), le fluide est au contact du vide, ce qui impose la condition aux limites P(R) = 0. On intègre alors entre r et R :

On retrouve bien :

D'après l'hypothèse de la question Q17, l'énergie cinétique d'agitation thermique contenue dans un volume élémentaire \mathrm{d}V soumis à la pression locale P(r) s'écrit :

En raison de la symétrie sphérique, on découpe l'étoile en couches concentriques d'épaisseur \mathrm{d}r, de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r. L'énergie cinétique totale s'obtient donc par intégration :

En injectant l'expression de la pression issue de la question Q18, P(r) = \dfrac{3\mathcal{G}M^2}{8\pi R^6}(R^2 - r^2) :

Ce qui se simplifie en :

Commentaires :

1. Théorème du viriel : À la question Q15, nous avons trouvé pour l'énergie potentielle gravitationnelle de l'étoile W_g = -\dfrac{3}{5}\dfrac{\mathcal{G}M^2}{R}. On constate la relation remarquable :

   E_c = -\frac{1}{2} W_g \quad \Longleftrightarrow \quad 2E_c + W_g = 0

   On retrouve exactement le théorème du viriel pour un système auto-gravitant à l'équilibre dynamique soumis à un potentiel d'interaction en 1/r.

2. Cohérence des ordres de grandeur : Cela confirme que l'énergie thermique d'agitation et l'énergie gravitationnelle sont du même ordre de grandeur, comme annoncé dans le préambule.

3. Énergie mécanique totale et stabilité : L'énergie mécanique totale de l'étoile vaut :

   E_m = E_c + W_g = -E_c = \frac{1}{2} W_g = -\frac{3}{10} \frac{\mathcal{G}M^2}{R} < 0

   Le signe négatif confirme que l'étoile forme un système gravitationnellement lié et stable.

L'étoile est constituée de N atomes d'hydrogène, soit N protons de masse m_p et N électrons de masse m_e. La masse totale s'écrit :

Puisque m_e \ll m_p, la masse de l'étoile est très majoritairement portée par les protons :

L'étoile étant sphérique de rayon R, son volume total est :

Le volume disponible par particule est \vartheta = \frac{V}{N}, d'où le côté a du volume cubique élémentaire tel que a^3 = \vartheta :

En prenant la racine cubique, on obtient :

En injectant \Psi(x,t) = \psi(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} dans l'équation de Schrödinger fournie, avec \mathrm{j}^2 = -1 et en posant E = \hbar \omega, il vient :

Soit, pour l'onde spatiale à l'intérieur de la boîte (x \in [0, a]) :

La solution générale est de la forme \psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx).
Le confinement strict impose l'annulation de la fonction d'onde aux parois :

L'état fondamental correspond au premier niveau d'énergie non nul, soit n = 1 :

En exprimant \hbar en fonction de la constante de Planck (\hbar = \frac{h}{2\pi}) :

La constante A est déterminée par la condition de normalisation \displaystyle\int_0^a |\psi_1(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1 :

La fonction d'onde spatiale de l'état fondamental s'écrit donc :

Illustration du principe d'indétermination de Heisenberg : La particule étant confinée dans un segment de longueur a, l'indétermination sur sa position est de l'ordre de la taille de la boîte : \Delta x \sim a.
D'après la relation d'indétermination de Heisenberg spatio-cinétique :

Comme la fonction d'onde correspond à une onde stationnaire, la valeur moyenne de l'impulsion est nulle (\langle p_x \rangle = 0), de sorte que :

L'énergie cinétique moyenne minimale imposée par la mécanique quantique est alors :

On retrouve bien, à un facteur numérique d'ordre 1 près, l'énergie fondamentale e_1 = \frac{h^2}{8m a^2}. Le confinement spatial interdit à la particule d'être au repos et lui confère nécessairement une énergie cinétique minimale non nulle, appelée énergie de point zéro ou énergie de confinement.

Pour une particule confinée dans la boîte cubique [0, a]^3, le potentiel est nul à l'intérieur et infini à l'extérieur. L'équation de Schrödinger stationnaire à trois dimensions s'écrit à l'intérieur du domaine :

avec la condition d'annulation de la fonction d'onde sur les frontières de la boîte.

La géométrie cartésienne permet de chercher la fonction d'onde sous forme à variables séparées :

L'équation se scinde alors en trois équations indépendantes identiques à celle résolue à la question Q21. Pour l'état fondamental, chaque direction correspond au mode fondamental (n_x = n_y = n_z = 1).

La fonction d'onde spatiale normalisée de l'état fondamental devient ainsi :

pour (x, y, z) \in [0, a]^3, et \psi_1(x, y, z) = 0 à l'extérieur.

L'énergie totale de l'état fondamental est la somme des énergies associées à chaque degré de liberté :

En injectant l'expression de e_1 établie à la question Q21, on obtient :

L'étoile est constituée de N protons et de N électrons, avec d'après la question Q20 :

D'après la question Q22, l'énergie cinétique de confinement dans l'état fondamental pour une particule de masse m dans la boîte cubique de côté a s'écrit :

L'énergie cinétique totale de confinement de l'étoile est la somme des énergies de confinement de l'ensemble des particules :

Comme m_e \ll m_p, le terme électronique domine très largement : \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_p} \simeq \frac{1}{m_e}. Il vient donc :

En injectant l'expression de a établie à la question Q20, a = R \left( \frac{4\pi m_p}{3M} \right)^{1/3}, on obtient :

En remplaçant N et a^2 dans l'expression de E_c :

On retrouve bien la forme demandée E_c = \gamma \frac{M^{5/3}}{R^2} avec :

(ou de façon rigoureusement exacte sans l'approximation m_e \ll m_p, en remplaçant 1/m_e par 1/m_e + 1/m_p).

Dans le modèle des naines blanches présenté, les effets de l'agitation thermique sont négligés. L'énergie totale de l'étoile est la somme de l'énergie cinétique de confinement des électrons et de l'énergie gravitationnelle :

D'après les résultats des questions Q15 et Q23 (rappelé dans le préambule de la partie II.D) :

L'énergie totale s'écrit donc en fonction du rayon R :

Pour trouver le rayon R_{\mathrm{eq}} minimisant cette énergie, on calcule la dérivée de E_{\mathrm{tot}} par rapport à R :

L'annulation de cette dérivée impose :

Soit finalement :

Vérifions qu'il s'agit bien d'un minimum en calculant la dérivée seconde :

En R = R_{\mathrm{eq}}, comme \frac{2\gamma M^{5/3}}{R_{\mathrm{eq}}} = \frac{3}{5}\mathcal{G}M^2, on obtient :

La dérivée seconde étant strictement positive, le rayon R_{\mathrm{eq}} correspond bien à un minimum strict de l'énergie totale.

D'après la question 24, le rayon d'équilibre d'une naine blanche s'écrit :

Pour mener le calcul sans calculatrice :

• On remarque que \mathcal{G} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} \simeq \dfrac{20}{3}\cdot 10^{-11}\text{ SI} ;
• La masse du Soleil vaut M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\text{ kg} \simeq 2{,}0\cdot 10^{30}\text{ kg} ;

• En utilisant la donnée de l'énoncé \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \simeq 1{,}6, on déduit :

  \left(\frac{5}{4}\right)^3 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 \times 1{,}25 \simeq 1{,}6 \times 1{,}25 = 2{,}0 \implies M_\odot^{1/3} \simeq \frac{5}{4}\cdot 10^{10}\text{ kg}^{1/3}

En injectant ces approximations dans l'expression de R_{\mathrm{wd}} :

On obtient finalement :

Conclusion : Cette valeur est quasiment identique au rayon terrestre (R_T = 6{,}37\cdot 10^6\text{ m}) et est environ 100 fois plus petite que le rayon solaire (R_\odot \simeq 7{,}0\cdot 10^8\text{ m}). Une naine blanche concentre donc la masse du Soleil dans un volume comparable à celui de la Terre, ce qui correspond à une matière extraordinairement dense, de masse volumique moyenne :

Dans le modèle classique (non relativiste) adopté, l'énergie cinétique totale de confinement E_c est portée par les électrons, supposés de vitesse quadratique moyenne v :

où N est le nombre total d'électrons dans l'étoile. À l'équilibre mécanique de la naine blanche, l'énergie cinétique de confinement vaut (d'après l'équilibre de la question Q24) :

En reprenant l'approximation de la partie II.C pour laquelle la masse de l'étoile est assurée par les nucléons (protons) de sorte que M \simeq N m_p, le nombre d'électrons s'écrit N \simeq \frac{M}{m_p} (ou N \simeq \frac{M}{2 m_p} pour un cœur de carbone, ce qui ne change pas l'ordre de grandeur). On en déduit :

soit :

Avec les valeurs numériques fournies pour une naine blanche de masse solaire M = M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\text{ kg} et de rayon R_{\mathrm{wd}} \simeq 6{,}4\cdot 10^6\text{ m} :

(ou v \simeq 2{,}1\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} en considérant du carbone où N \simeq M/(2m_p)).

Dans les deux cas, on obtient :

La vitesse moyenne des électrons atteint une fraction notable de la vitesse de la lumière c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'approximation non relativiste v \ll c n'est donc plus vérifiée : l'argument de Chandrasekhar est pleinement justifié, il est indispensable d'utiliser la mécanique quantique relativiste.