Feuille d'entraînement : Physique quantique

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q5

   D'après la relation obtenue à la question 4 :

   E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

   Pour un photon se propageant dans le vide, la vitesse est v = c. Le dénominateur \sqrt{1 - v^2/c^2} s'annule. Pour que l'énergie E du photon reste finie et non nulle, il est nécessaire que le numérateur s'annule également, soit E_0 = 0. Comme E_0 = m c^2, on en déduit que :

   \boxed{m = 0}

   La masse au repos d'un photon est rigoureusement nulle.

   En injectant m = 0 dans la relation du triangle relativiste (1), il vient :

   E^2 = p^2 c^2 \implies E = pc

   D'après la relation de De Broglie (2), \lambda = \frac{h}{p}, soit p = \frac{h}{\lambda}. On obtient l'expression de l'énergie en fonction de la longueur d'onde :

   \boxed{E = \frac{hc}{\lambda}}

   Pour une onde électromagnétique dans le vide, la fréquence \nu et la longueur d'onde sont liées par \nu = \frac{c}{\lambda}, d'où la relation de Planck-Einstein :

   \boxed{E = h\nu}

   Applications numériques : En utilisant la valeur fournie hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} :

   • Domaine bleu (\lambda \sim 400\text{ nm} = 0{,}40\ \mu\text{m}) :

     E_{\text{bleu}} = \frac{1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0{,}40\ \mu\text{m}} \implies \boxed{E_{\text{bleu}} \simeq 3{,}0\text{ eV}}

   • Domaine rouge (\lambda \sim 600\text{ nm} = 0{,}60\ \mu\text{m}) :

     E_{\text{rouge}} = \frac{1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0{,}60\ \mu\text{m}} \implies \boxed{E_{\text{rouge}} \simeq 2{,}0\text{ eV}}

   Résultat

   $$m=0$$

   $$E=\frac{hc}{\lambda }$$

   $$E=h\nu$$

   $$E_{\text{bleu}}\simeq 3,0\text{ eV}$$

   $$E_{\text{rouge}}\simeq 2,0\text{ eV}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q8

   D'après la question Q7, l'énergie du photon émis est E \simeq \Delta E = E_{n_i} - E_{n_f}, avec n_i > n_f. En utilisant l'expression des niveaux d'énergie E_n = -\frac{H}{2n^2} et la relation de Planck-Einstein E = \frac{hc}{\lambda} (question Q5), il vient :

   \frac{hc}{\lambda} = \frac{H}{2}\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right) \implies \lambda = \frac{2hc}{H} \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)^{-1}

   1. Cas n_f = 1 :

   L'état initial le plus proche est n_i = 2. La fonction n_i \mapsto \Delta E est strictement croissante, donc l'écart énergétique est minimal pour n_i = 2 :

   \Delta E_{\min} = \frac{H}{2}\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3H}{8}

   Puisque \lambda = \frac{hc}{\Delta E} est une fonction décroissante de l'énergie, la longueur d'onde est maximale pour cette transition :

   \lambda \leqslant \lambda_{\max} = \frac{8hc}{3H}

   Avec hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} = 1{,}2\times 10^3\text{ eV}\cdot\text{nm} et H = 27{,}2\text{ eV} :

   \lambda_{\max} = \frac{8 \times 1{,}2\times 10^3}{3 \times 27{,}2} \approx 1{,}2\times 10^2\text{ nm}

   \boxed{\lambda \leqslant \lambda_{\max} \simeq 120\text{ nm}}

   Comme \lambda \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm}, toutes ces raies se situent dans le domaine de l'ultraviolet (série de Lyman).

   2. Cas n_f > 2 (soit n_f \geqslant 3) :

   L'écart énergétique maximal correspond à la limite d'ionisation n_i \to \infty pour la plus petite valeur possible de n_f, c'est-à-dire n_f = 3 :

   \Delta E < \frac{H}{2n_f^2} \leqslant \frac{H}{2 \times 3^2} = \frac{H}{18}

   On en déduit l'existence d'une borne inférieure pour la longueur d'onde :

   \lambda \geqslant \lambda_{\min} = \frac{18hc}{H}

   Numériquement :

   \lambda_{\min} = \frac{18 \times 1{,}2\times 10^3\text{ nm}}{27{,}2} \approx 7{,}9\times 10^2\text{ nm} \approx 800\text{ nm}

   \boxed{\lambda \geqslant \lambda_{\min} \simeq 0{,}79\text{ }\mu\text{m} \approx 800\text{ nm}}

   Puisque \lambda \geqslant 800\text{ nm} > 700\text{ nm}, ces raies d'émission appartiennent toutes au domaine de l'infrarouge (séries de Paschen, Brackett, Pfund, etc.).

   3. Raies du domaine visible (raies de Balmer) :

   Les transitions vers n_f = 1 sont entièrement situées dans l'ultraviolet (\lambda \leqslant 120\text{ nm}) et celles vers n_f \geqslant 3 dans l'infrarouge (\lambda \geqslant 800\text{ nm}). Le domaine visible (400\text{ nm} \lesssim \lambda \lesssim 750\text{ nm}) ne peut donc correspondre qu'à l'unique valeur :

   \boxed{n_f = 2}

   Résultat

   $$\lambda ⩽{\lambda }_{\max }\simeq 120\text{ nm}$$

   $$\lambda ⩾{\lambda }_{\min }\simeq 0,79\mu \text{m}\approx 800\text{ nm}$$

   $$n_f=2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q23

   • Nature de l'onde dans le domaine x \in [0, a] : Dans ce domaine, le potentiel est constant et vaut V_0 > E. L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

     -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + V_0 \underline{\psi}(x) = E \underline{\psi}(x) \iff \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} = K^2 \underline{\psi}(x)

     avec K = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \in \mathbb{R}^{+*}. La solution générale s'exprime comme une combinaison linéaire d'exponentielles réelles :

     \underline{\psi}(x) = A \mathrm{e}^{-Kx} + B \mathrm{e}^{Kx} \quad (A, B \in \mathbb{C})

     Il s'agit donc d'une onde évanescente (ou onde non propagative / amortie).

   • Relations permettant de déterminer \underline{R} et \underline{T} : Le potentiel V(x) ne présentant que des discontinuités de première espèce (marches finies), la fonction d'onde spatiale et sa dérivée spatiale première doivent être continues en tout point, en particulier aux frontières de la barrière :

     \begin{aligned} \text{Continuité de } \underline{\psi}(x) \text{ en } x = 0 \quad &\text{et} \quad x = a \\ \text{Continuité de } \frac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(x) \text{ en } x = 0 \quad &\text{et} \quad x = a \end{aligned}

     Ces quatre conditions aux limites fournissent un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues (A, B, \underline{R} et \underline{T}).

   • Phénomène physique mis en évidence : Bien que l'énergie mécanique E de la particule soit strictement inférieure à la hauteur de la barrière de potentiel V_0 (zone classiquement interdite), l'onde transmise pour x > a a une amplitude non nulle. Ce phénomène purement quantique est l'effet tunnel.

   • Interprétation physique de |\underline{T}|^2 : Puisque le potentiel est identique dans les régions x < 0 et x > a (V=0), la vitesse de groupe et l'impulsion p sont les mêmes pour l'onde incidente et l'onde transmise. Le courant de probabilité incident s'écrit j_{\text{inc}} = \frac{p}{m}|\underline{\psi}_0|^2 et le courant transmis j_{\text{trans}} = \frac{p}{m}|\underline{T}|^2 |\underline{\psi}_0|^2.

     La quantité |\underline{T}|^2 s'interprète donc comme le coefficient de transmission en probabilité :

     \boxed{|\underline{T}|^2 = \frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}}

     Elle représente la probabilité pour une particule incidente de traverser la barrière de potentiel par effet tunnel.

   Résultat

   $$|\underline{T}{|}^2=\frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q19

   D'après l'hypothèse des quanta de Planck reprise et généralisée par Einstein, l'énergie d'un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu est quantifiée et s'écrit :

   \boxed{\epsilon = h \nu}

   où h désigne la constante de Planck.

   Résultat

   $$ϵ=h\nu$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q21

   L'énergie électromagnétique \mathcal{E}_{12} contenue dans la cavité pour les fréquences comprises entre \nu_1 et \nu_2 s'obtient en sommant les contributions élémentaires \mathrm{d}\mathcal{E} fournies par l'équation (II.1) :

   \mathcal{E}_{12} = \int_{\nu_1}^{\nu_2} \mathrm{d}\mathcal{E} = V \int_{\nu_1}^{\nu_2} u(\nu)\,\mathrm{d}\nu = V \frac{8\pi h}{c^3} \int_{\nu_1}^{\nu_2} \frac{\nu^3\,\mathrm{d}\nu}{\exp\left(\frac{h\nu}{k_{\mathrm{B}}T}\right) - 1}

   Effectuons le changement de variable :

   \xi = \frac{h\nu}{k_{\mathrm{B}}T} \implies \nu = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\xi \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\nu = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\,\mathrm{d}\xi

   Les bornes d'intégration deviennent :

   \xi_1 = \frac{h\nu_1}{k_{\mathrm{B}}T} \quad \text{et} \quad \xi_2 = \frac{h\nu_2}{k_{\mathrm{B}}T}

   Le produit \nu^3\,\mathrm{d}\nu s'écrit alors :

   \nu^3\,\mathrm{d}\nu = \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)^3 \xi^3 \times \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)\,\mathrm{d}\xi = \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)^4 \xi^3\,\mathrm{d}\xi

   En reportant cette expression dans l'intégrale, on obtient :

   \begin{aligned} \mathcal{E}_{12} &= V \frac{8\pi h}{c^3} \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)^4 \int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{\xi^3\,\mathrm{d}\xi}{\exp(\xi) - 1} \\ &= V \frac{8\pi k_{\mathrm{B}}^4 T^4}{h^3 c^3} \int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{\xi^3\,\mathrm{d}\xi}{\exp(\xi) - 1} \end{aligned}

   On retrouve bien l'expression demandée :

   \boxed{\mathcal{E}_{12} = V \frac{8\pi k_{\mathrm{B}}^4 T^4}{h^3 c^3} I_{[\xi_1, \xi_2]} \quad \text{avec} \quad I_{[\xi_1, \xi_2]} = \int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{\xi^3\,\mathrm{d}\xi}{\exp(\xi) - 1}}

   Résultat

   $${\mathcal{E}}_{12}=V\frac{8\pi k_{\mathrm{B}}^4{T}^4}{h^3{c}^3}{I}_{[{\xi }_1,{\xi }_2]}\text{avec}{I}_{[{\xi }_1,{\xi }_2]}={\int }_{{\xi }_1}^{{\xi }_2}\frac{{\xi }^3\mathrm{d}\xi }{\exp (\xi )-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q21

   En injectant \Psi(x,t) = \psi(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} dans l'équation de Schrödinger fournie, avec \mathrm{j}^2 = -1 et en posant E = \hbar \omega, il vient :

   -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} = \mathrm{j}\hbar(-\mathrm{j}\omega)\psi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} = \hbar\omega\psi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} = E\psi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}

   Soit, pour l'onde spatiale à l'intérieur de la boîte (x \in [0, a]) :

   \frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2} + k^2\psi(x) = 0 \quad \text{avec} \quad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

   La solution générale est de la forme \psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx).
   Le confinement strict impose l'annulation de la fonction d'onde aux parois :

   \begin{aligned} \psi(0) = 0 &\implies B = 0 \\ \psi(a) = 0 &\implies A\sin(ka) = 0 \implies ka = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*) \end{aligned}

   L'état fondamental correspond au premier niveau d'énergie non nul, soit n = 1 :

   k_1 = \frac{\pi}{a} \implies e_1 = \frac{\hbar^2 k_1^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m a^2}

   En exprimant \hbar en fonction de la constante de Planck (\hbar = \frac{h}{2\pi}) :

   \boxed{e_1 = \frac{h^2}{8m a^2}}

   La constante A est déterminée par la condition de normalisation \displaystyle\int_0^a |\psi_1(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1 :

   |A|^2 \int_0^a \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)\mathrm{d}x = |A|^2 \frac{a}{2} = 1 \implies A = \sqrt{\frac{2}{a}} \quad \text{(à une phase globale près)}

   La fonction d'onde spatiale de l'état fondamental s'écrit donc :

   \boxed{\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)} \quad \text{pour } x \in [0, a] \quad (\text{et } 0 \text{ ailleurs})

   Illustration du principe d'indétermination de Heisenberg : La particule étant confinée dans un segment de longueur a, l'indétermination sur sa position est de l'ordre de la taille de la boîte : \Delta x \sim a.
   D'après la relation d'indétermination de Heisenberg spatio-cinétique :

   \Delta x \cdot \Delta p_x \gtrsim \frac{\hbar}{2} \implies \Delta p_x \gtrsim \frac{\hbar}{2a} \sim \frac{h}{a}

   Comme la fonction d'onde correspond à une onde stationnaire, la valeur moyenne de l'impulsion est nulle (\langle p_x \rangle = 0), de sorte que :

   \langle p_x^2 \rangle = (\Delta p_x)^2 \gtrsim \left(\frac{h}{a}\right)^2

   L'énergie cinétique moyenne minimale imposée par la mécanique quantique est alors :

   \langle E_c \rangle = \frac{\langle p_x^2 \rangle}{2m} \sim \frac{h^2}{m a^2}

   On retrouve bien, à un facteur numérique d'ordre 1 près, l'énergie fondamentale e_1 = \frac{h^2}{8m a^2}. Le confinement spatial interdit à la particule d'être au repos et lui confère nécessairement une énergie cinétique minimale non nulle, appelée énergie de point zéro ou énergie de confinement.

   Résultat

   $$e_1=\frac{h^2}{8m{a}^2}$$

   $${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique MPI 2024, Q1

   La longueur d'onde de de Broglie associée au neutron de quantité de mouvement p = mv s'écrit :

   \lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{h}{p} = \frac{2\pi\hbar}{mv}

   Avec les données numériques fournies par l'énoncé (\hbar = 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, m = 10^{-27}\text{ kg} et v = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), on obtient :

   \begin{aligned} \lambda_{\mathrm{dB}} &= \frac{2\pi \times 10^{-34}}{10^{-27} \times 10} \\ \lambda_{\mathrm{dB}} &\approx 6 \times 10^{-8}\text{ m} = 60\text{ nm} \end{aligned}

   La taille d'un atome et la distance interatomique typique au sein d'un réseau cristallin sont de l'ordre de a \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm} (1 Å). On constate que :

   \lambda_{\mathrm{dB}} \sim 600\,a \gg a

   \boxed{\text{La condition }\lambda_{\mathrm{dB}} \gg a\text{ est donc largement respectée.}}

   Résultat

   $$\text{La condition }{\lambda }_{\mathrm{dB}}\gg a\text{ est donc largement respecteˊe.}$$

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8. Exercice 8X-ENS Physique MPI 2024, Q2

   Pour une particule non relativiste de masse m, se déplaçant à une dimension suivant l'axe x et soumise au potentiel indépendant du temps V(x), l'équation de Schrödinger dépendante du temps régissant la fonction d'onde \psi(x,t) s'écrit :

   \boxed{\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}(x,t) + V(x)\psi(x,t)}

   Résultat

   $$\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}(x,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}(x,t)+V(x)\psi (x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique MPI 2024, Q3

   Pour un état stationnaire d'énergie E, la fonction d'onde se factorise sous la forme :

   \Psi(x,t) = \psi(x) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{E}{\hbar}t}

   En injectant cette forme dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps établie à la question Q2, on obtient l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la partie spatiale \psi(x) :

   -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) + V(x)\psi(x) = E\,\psi(x)

   Pour x < 0 : le potentiel est nul (V(x) = 0), l'équation différentielle s'écrit :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) = 0}

   Pour x > 0 : le potentiel est constant et vaut V_0 (V(x) = V_0), l'équation différentielle s'écrit :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{2m(E - V_0)}{\hbar^2}\psi(x) = 0}

   Conditions de continuité en x = 0 :
   Le potentiel V(x) présentant une discontinuité finie (discontinuité de première espèce) en x = 0, l'intégration de l'équation différentielle au voisinage immédiat de l'origine impose que :

   • la fonction d'onde spatiale est continue en x = 0 :

     \boxed{\psi(0^-) = \psi(0^+)}

   • la dérivée première spatiale de la fonction d'onde est continue en x = 0 :

     \boxed{\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}(0^-) = \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}(0^+)}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}(x)+\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi (x)=0$$

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{x}^2}(x)+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}\psi (x)=0$$

   $$\psi (0^{-})=\psi (0^{+})$$

   $$\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}(0^{-})=\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}(0^{+})$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q36

    L'effet tunnel intervient dans de nombreux dispositifs et phénomènes physiques, parmi lesquels on peut citer :

    1. Le microscope à effet tunnel (STM) : une pointe conductrice extrêmement fine est approchée à une distance nanométrique d'une surface conductrice. Les électrons franchissent la barrière de potentiel séparant la pointe de la surface par effet tunnel. La mesure du courant tunnel, qui décroît exponentiellement avec la distance, permet de cartographier la surface avec une résolution atomique.
    2. La radioactivité \alpha (modèle de Gamow) : le noyau d'hélium (^4_2\text{He}) confiné au sein d'un noyau lourd franchit par effet tunnel la barrière de potentiel coulombienne, bien que son énergie soit inférieure à la hauteur de cette barrière, ce qui explique l'émission spontanée de particules \alpha.

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