Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2024

On se place dans le référentiel d'étude lié à l'observateur (récepteur).

À l'instant d'émission t = 0, la source se trouve à la distance d de l'observateur. L'onde électromagnétique se propageant dans le vide en ligne droite vers l'observateur à la célérité c, la durée de propagation du premier pic est :

Le pic ayant été émis à l'instant initial t=0, l'observateur le reçoit à l'instant :

Le second pic est émis à l'instant t_{\text{ém}} = T_0.

L'émetteur s'éloignant en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v depuis sa position initiale située à la distance d, la distance séparant l'émetteur de l'observateur à l'instant t = T_0 vaut :

L'onde électromagnétique se propageant à la célérité c dans le vide vers l'observateur, la durée de parcours de ce second pic est :

L'instant de réception t_2 par l'observateur s'écrit donc :

En faisant apparaître t_1 = \frac{d}{c} établi à la question Q1, on peut également l'écrire sous la forme :

La période temporelle T_{\text{mes}} de l'onde mesurée par l'observateur correspond à la durée séparant la réception de deux pics successifs émis à un intervalle T_0 d'intervalle :

D'après les résultats des questions Q1 et Q2 :

Ainsi, la période apparente reçue s'écrit :

Les fréquences émise f_0 et mesurée f_{\text{mes}} étant les inverses des périodes correspondantes (f_0 = 1/T_0 et f_{\text{mes}} = 1/T_{\text{mes}}), on obtient directement :

ce qui conduit bien à :

L'onde électromagnétique se propageant dans le vide à la célérité c, les longueurs d'onde émise \lambda_0 et mesurée \lambda_{\text{mes}} sont reliées aux fréquences correspondantes par la relation générale de dispersion dans le vide :

D'après le résultat de la question Q3, la fréquence mesurée s'exprime sous la forme :

En substituant les fréquences par les longueurs d'onde associées, il vient :

On en déduit immédiatement la relation entre \lambda_{\text{mes}} et \lambda_0 :

Par définition, le décalage vers le rouge est donné par :

Les longueurs d'onde \lambda_{\text{mes}} et \lambda_0 ont la dimension d'une longueur :

Par conséquent :

1. Justification du terme « décalage vers le rouge »

Lorsque la source s'éloigne de l'observateur (v > 0), la relation établie à la question précédente conduit à :

La longueur d'onde reçue par l'observateur est donc supérieure à la longueur d'onde émise. Dans le spectre visible, les longueurs d'onde les plus grandes correspondent aux radiations rouges (\sim 700\text{ nm}), tandis que les plus courtes correspondent au violet (\sim 400\text{ nm}). L'augmentation de la longueur d'onde se traduit donc par un déplacement des raies spectrales vers la partie rouge du spectre, d'où l'expression « décalage vers le rouge » (redshift).

2. Intérêt d'une sensibilité dans l'infrarouge pour le JWST

En raison de l'expansion de l'Univers, les astres très éloignés s'éloignent de la Terre avec des vitesses de récession considérables, conduisant à des valeurs de décalage vers le rouge z importantes.

La longueur d'onde mesurée par un observateur terrestre vaut :

Pour des objets extrêmement distants (z \gtrsim 1), le rayonnement émis au voisinage du maximum d'émission dans le domaine visible (\lambda_0 \in [400\text{ nm}, 750\text{ nm}]) est décalé vers des longueurs d'onde nettement plus grandes :

Ces radiations parviennent donc sur les détecteurs du télescope dans le domaine de l'infrarouge. Pour observer ces galaxies primitives et collecter le maximum d'énergie lumineuse émise, il est par conséquent indispensable que le JWST dispose d'un maximum de sensibilité dans l'infrarouge.

D'après la définition du décalage vers le rouge rappelée dans l'énoncé :

En utilisant la relation obtenue à la question Q4, \lambda_{\text{mes}} = \lambda_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right), il vient :

D'où l'expression recherchée :

L'expression relativiste du décalage vers le rouge est donnée par :

Dans la limite non relativiste où v \ll c, posons \beta = \dfrac{v}{c} \ll 1. Effectuons un développement limité à l'ordre 1 en \beta :

En effectuant le produit de ces deux développements :

On en déduit :

On retrouve bien l'expression z = \dfrac{v}{c} obtenue à la question Q7.

Puisque cette approximation repose sur v \ll c, et que dans ce régime z \approx \dfrac{v}{c}, l'expression simplifiée est valide pour :

D'après la table issue de la commande df.describe() pour la colonne H :

• le nombre de galaxies mesurées est N = 24 ;
• la moyenne empirique vaut \bar{H} = 812{,}04\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} ;
• l'écart-type expérimental de l'échantillon vaut s = 1988{,}81\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}.

L'incertitude-type associée à la valeur moyenne (évaluation de type A) s'écrit :

Numériquement :

En arrondissant l'incertitude-type à un ou deux chiffres significatifs, la valeur de H sous forme normalisée s'écrit :

D'après la loi de Hubble-Lemaître, la constante de Hubble vérifie :

Sa dimension est donc :

Par conséquent, la grandeur inverse \frac{1}{H} a la dimension d'un temps.

Considérons un modèle simple dans lequel l'Univers est issu d'un point initial unique il y a une durée t_{\text{univ}} (l'âge de l'Univers). Si l'on fait l'hypothèse que l'éloignement d'une galaxie s'est effectué à vitesse de récession v constante au cours du temps, la distance d parcourue depuis l'origine s'écrit :

En injectant la loi de Hubble v = H d, il vient :

On en déduit :

Ainsi, sous l'hypothèse d'une vitesse d'expansion constante depuis une origine ponctuelle, l'inverse de la constante de Hubble (appelé « temps de Hubble ») s'interprète directement comme l'âge de l'Univers.

D'après la question Q10, l'âge de l'Univers dans le modèle d'expansion linéaire s'écrit :

D'après la question Q9, la valeur moyenne issue des données de 1929 est H \approx 812\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}.

Convertissons cette valeur dans le Système international à l'aide des données de l'énoncé :

• 1\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• 1\text{ Mpc} = 10^6\text{ pc} = 10^6 \times 3,08 \times 10^{16}\text{ m} = 3,08 \times 10^{22}\text{ m}.

Ainsi :

On en déduit l'âge estimé de l'Univers en secondes :

En prenant une année julienne (1\text{ an} = 365,25 \times 86400\text{ s} \approx 3,156 \times 10^7\text{ s}, cohérente avec 1\text{ al} = c \times 1\text{ an} = 9,46 \times 10^{15}\text{ m}) :

Commentaire :
L'âge ainsi obtenu pour l'Univers (1,2\text{ Ga}) est nettement inférieur à l'âge du Système solaire (4,5\text{ Ga}).

Physiquement, cela constitue une contradiction majeure : le « contenant » (l'Univers) ne peut pas être plus jeune que les objets qu'il contient (la Terre et le Système solaire). Ce paradoxe historique s'explique par la surestimation considérable de la constante de Hubble en 1929 (H \approx 800\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} contre environ 67\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} aujourd'hui), due notamment à une sous-estimation systématique des distances extragalactiques à cette époque.

La régression linéaire de la vitesse v par la distance d est nettement plus pertinente que le calcul de la moyenne de H, pour plusieurs raisons majeures :

• Instabilité numérique et biais liés aux faibles distances :
  Dans le premier traitement, on calcule H_i = v_i / d_i. Pour les galaxies très proches (d faible, par exemple d \approx 0{,}03\text{ Mpc} pour les Nuages de Magellan), une faible distance au dénominateur amplifie de façon disproportionnée les incertitudes de mesure et les vitesses propres des galaxies (mouvements gravitationnels locaux indépendants de l'expansion cosmique). Cela conduit à des valeurs extrêmes et aberrantes de H (jusqu'à plus de 8\,500\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}), ce qui tire artificiellement la moyenne vers le haut et donne un écart-type gigantesque (\sigma \approx 1\,989\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} > \text{moyenne}).
• Adéquation avec le modèle physique :
  La loi de Hubble-Lemaître prédit une relation linéaire v = H d. La régression linéaire (méthode des moindres carrés) recherche la droite minimisant la somme des résidus au carré sur la vitesse \sum (v_i - (H d_i + v_0))^2. Chaque mesure de vitesse intervient avec un poids équitable, sans amplification artificielle aux petites distances.
• Validation globale du modèle :
  La régression linéaire fournit une pente de 454\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} et une ordonnée à l'origine faible (-40{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}), cohérente avec une droite passant au voisinage de l'origine (les écarts à zéro s'expliquant par les vitesses propres locales).

D'après l'équation (I.1), la loi de Hubble-Lemaître s'écrit :

Par ailleurs, dans le domaine des vitesses non relativistes (v \ll c), le décalage vers le rouge s'exprime selon le résultat de la question Q7 sous la forme :

En substituant cette expression de la vitesse de récession v dans la relation de Hubble, on obtient :

Cette relation permet de déduire directement la distance d d'un astre à partir de la mesure spectroscopique de son décalage vers le rouge z via d = \frac{c z}{H}.

À partir du tableau associé au spectre de la figure 5, calculons le décalage vers le rouge pour la raie la plus intense, la raie d'émission \mathrm{H}_\alpha :

Un calcul similaire sur l'ensemble des raies du tableau conduit à des valeurs très resserrées, dont la moyenne vaut :

Puisque z \approx 0{,}06 \ll 1, le régime non relativiste est pleinement vérifié.

D'après la loi de Hubble établie à la question Q13 :

Calculons d'abord la distance en mégaparsecs avec H = 67\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} et c \approx 3{,}00 \times 10^5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

D'après les données de l'énoncé, 1\text{ pc} = 3{,}26\text{ al}, soit 1\text{ Mpc} = 3{,}26 \times 10^6\text{ al} :

En tenant compte des deux chiffres significatifs sur la constante de Hubble (67\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}) :