Feuille d'entraînement : Rayonnement thermique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q20

   Il existe trois modes de transfert thermique :

   • la conduction (ou diffusion) thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de matière ;
   • la convection thermique : transfert d'énergie accompagné d'un déplacement macroscopique de matière, propre aux fluides (liquides ou gaz) ;
   • le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques (photons), ne nécessitant aucun milieu matériel pour se propager.

   Le tube électronique est sous vide : l'espace séparant le filament chauffant de la cathode est dépourvu de milieu matériel. En l'absence de fluide, la convection est impossible ; de même, en l'absence de contact solide continu ou de gaz interstitiel, la conduction thermique dans cet espace est exclue.

   Le chauffage de la cathode par le filament est donc assuré par rayonnement thermique.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q22

   Considérons le système fermé constitué par le filament de tungstène entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Le filament est modélisé par une phase condensée indilatable et incompressible de température uniforme T(t).

   Sa masse s'exprime en fonction de son rayon r_{\mathrm{f}} et de sa longueur L par :

   m_{\mathrm{f}} = \mu_{\mathrm{W}} \pi r_{\mathrm{f}}^2 L

   Sa capacité thermique est donc :

   C = m_{\mathrm{f}} c = \mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L

   La variation de son énergie interne entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = C\,\mathrm{d}T = \mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L\,\mathrm{d}T

   Pendant cette durée \mathrm{d}t, le filament échange de l'énergie avec l'extérieur :

   • Il reçoit un travail électrique (effet Joule) :

     \delta W = P_{\text{él}}\,\mathrm{d}t

   • Il émet un flux thermique radiatif par sa surface extérieure. Le rayon r_{\mathrm{f}} étant très petit devant la longueur L (r_{\mathrm{f}}/L = 5{,}0\times 10^{-3} \ll 1), la surface d'échange se réduit à sa surface latérale :

     S_{\mathrm{f}} \approx 2\pi r_{\mathrm{f}} L

     D'après la loi de Stefan-Boltzmann et en négligeant le flux reçu du milieu extérieur, le transfert thermique s'écrit :

     \delta Q = - \phi S_{\mathrm{f}}\,\mathrm{d}t = - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4\,\mathrm{d}t

   D'après le premier principe de la thermodynamique :

   \mathrm{d}U = \delta W + \delta Q = \left( P_{\text{él}} - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4 \right)\mathrm{d}t

   Soit, en divisant par \mathrm{d}t et en explicitant C :

   \mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = P_{\text{él}} - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4

   Ce qui conduit à l'équation différentielle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{2\sigma}{\mu_{\mathrm{W}} c r_{\mathrm{f}}} T^4 = \frac{P_{\text{él}}}{\mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{2\sigma }{{\mu }_{\mathrm{W}}c{r}_{\mathrm{f}}}{T}^4=\frac{P_{\text{eˊl}}}{{\mu }_{\mathrm{W}}c\pi r_{\mathrm{f}}^{2}L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q25

   D'après le formulaire, la loi de déplacement de Wien s'écrit :

   \lambda_{\max} T_{\text{éq}} = 2{,}9\ \mathrm{mm\cdot K}

   À la température d'équilibre T_{\text{éq}} \approx 2{,}2 \times 10^3\ \mathrm{K} obtenue à la question Q23, la longueur d'onde au sommet du spectre d'émission vaut :

   \begin{aligned} \lambda_{\max} &= \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{2{,}16 \times 10^3} \approx 1{,}3 \times 10^{-6}\ \mathrm{m} = 1{,}3\ \mu\mathrm{m} \end{aligned}

   Cette longueur d'onde se situe dans le domaine du proche infrarouge (\lambda_{\max} > 750\ \mathrm{nm}).

   Puisque le spectre d'émission du corps noir est une fonction strictement croissante de la longueur d'onde pour \lambda < \lambda_{\max}, l'émittance spectrale dans le domaine visible (\lambda \in [400\ \mathrm{nm},\, 750\ \mathrm{nm}]) est d'autant plus intense que la longueur d'onde est grande : le rouge et l'orange sont très prédominants par rapport au bleu et au vert.

   Le filament présente donc une teinte chaude :

   \boxed{\text{Le filament apparaît rouge-orangé (ou orange).}}

   Résultat

   $$\text{Le filament apparaıˆt rouge-orangeˊ (ou orange).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q21

   L'énergie électromagnétique \mathcal{E}_{12} contenue dans la cavité pour les fréquences comprises entre \nu_1 et \nu_2 s'obtient en sommant les contributions élémentaires \mathrm{d}\mathcal{E} fournies par l'équation (II.1) :

   \mathcal{E}_{12} = \int_{\nu_1}^{\nu_2} \mathrm{d}\mathcal{E} = V \int_{\nu_1}^{\nu_2} u(\nu)\,\mathrm{d}\nu = V \frac{8\pi h}{c^3} \int_{\nu_1}^{\nu_2} \frac{\nu^3\,\mathrm{d}\nu}{\exp\left(\frac{h\nu}{k_{\mathrm{B}}T}\right) - 1}

   Effectuons le changement de variable :

   \xi = \frac{h\nu}{k_{\mathrm{B}}T} \implies \nu = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\xi \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\nu = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\,\mathrm{d}\xi

   Les bornes d'intégration deviennent :

   \xi_1 = \frac{h\nu_1}{k_{\mathrm{B}}T} \quad \text{et} \quad \xi_2 = \frac{h\nu_2}{k_{\mathrm{B}}T}

   Le produit \nu^3\,\mathrm{d}\nu s'écrit alors :

   \nu^3\,\mathrm{d}\nu = \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)^3 \xi^3 \times \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)\,\mathrm{d}\xi = \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)^4 \xi^3\,\mathrm{d}\xi

   En reportant cette expression dans l'intégrale, on obtient :

   \begin{aligned} \mathcal{E}_{12} &= V \frac{8\pi h}{c^3} \left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h}\right)^4 \int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{\xi^3\,\mathrm{d}\xi}{\exp(\xi) - 1} \\ &= V \frac{8\pi k_{\mathrm{B}}^4 T^4}{h^3 c^3} \int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{\xi^3\,\mathrm{d}\xi}{\exp(\xi) - 1} \end{aligned}

   On retrouve bien l'expression demandée :

   \boxed{\mathcal{E}_{12} = V \frac{8\pi k_{\mathrm{B}}^4 T^4}{h^3 c^3} I_{[\xi_1, \xi_2]} \quad \text{avec} \quad I_{[\xi_1, \xi_2]} = \int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{\xi^3\,\mathrm{d}\xi}{\exp(\xi) - 1}}

   Résultat

   $${\mathcal{E}}_{12}=V\frac{8\pi k_{\mathrm{B}}^4{T}^4}{h^3{c}^3}{I}_{[{\xi }_1,{\xi }_2]}\text{avec}{I}_{[{\xi }_1,{\xi }_2]}={\int }_{{\xi }_1}^{{\xi }_2}\frac{{\xi }^3\mathrm{d}\xi }{\exp (\xi )-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique MPI 2023, Q31

   La puissance surfacique moyenne absorbée par la Terre s'obtient en retranchant la fraction réfléchie (l'albédo \alpha) de la puissance surfacique incidente moyenne \Phi :

   \Phi_{\mathrm{abs}} = (1 - \alpha)\Phi

   D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique totale (ou émittance) rayonnée par un corps noir à l'équilibre à la température T_E dans un demi-espace vaut :

   M^\circ(T_E) = \sigma T_E^4

   où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann.

   En égalant la puissance surfacique rayonnée par ce corps noir à celle absorbée par la Terre, M^\circ(T_E) = \Phi_{\mathrm{abs}}, il vient :

   \sigma T_E^4 = (1 - \alpha)\Phi

   d'où l'expression de la température d'émission équivalente T_E :

   \boxed{T_E = \left( \frac{(1 - \alpha)\Phi}{\sigma} \right)^{1/4}}

   Résultat

   $$T_E={\left(\frac{(1-\alpha )\Phi }{\sigma }\right)}^{1/4}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MPI 2023, Q34

   L'aire sous la courbe du spectre d'émission d'un corps noir correspond à la puissance totale rayonnée par unité de surface dans tout le demi-espace, c'est-à-dire à l'émittance totale (ou flux surfacique total émis) \Phi(T) :

   \mathcal{A} = \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n} \, \mathrm{d}n = \Phi(T)

   D'après la loi de Stefan-Boltzmann, l'émittance totale d'un corps noir à l'équilibre thermique à la température T est donnée par :

   \Phi(T) = \sigma T^4

   où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann.

   L'aire sous un spectre de corps noir est donc proportionnelle à la quatrième puissance de la température absolue :

   \boxed{\mathcal{A} \propto T^4}

   Résultat

   $$\mathcal{A}\propto T^4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q25

   1. Relation générale analogue à celle de la question Q23

   D'après le bilan d'énergie thermique établi à la question Q23 :

   \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r = -\mathrm{d}(j 4\pi r^2)\,\mathrm{d}t + p_v' 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

   En utilisant l'analogie proposée :

   • la densité volumique d'énergie thermique \mu C T correspond à la densité volumique d'énergie électromagnétique u_{\mathrm{em}} ;
   • la densité de flux thermique j correspond au module du vecteur de Poynting R ;
   • dans le vide interstellaire, en l'absence de charges et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), il n'y a pas de création ou d'absorption d'énergie électromagnétique (terme source volumique p_v' = 0).

   La relation analogue s'écrit donc :

   \boxed{4\pi r^2 \frac{\partial u_{\mathrm{em}}}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r = -\mathrm{d}\left(4\pi r^2 R\right)\mathrm{d}t}

   ce qui correspond, sous forme locale, à l'équation locale de Poynting en coordonnées sphériques dans le vide :

   \frac{\partial u_{\mathrm{em}}}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 R\right)

   2. Relation entre P_{\mathrm{em}}(r = D) et P_S

   En régime permanent, la dérivée temporelle est nulle : \dfrac{\partial u_{\mathrm{em}}}{\partial t} = 0. Il en résulte :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(4\pi r^2 R\right) = 0 \implies 4\pi r^2 R(r) = \text{constante}

   La puissance rayonnée à travers une sphère de rayon r centrée sur le Soleil s'écrit :

   P_{\mathrm{em}}(r) = \oiint_{S(r)} \vec{R}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 4\pi r^2 R(r)

   Comme cette grandeur est indépendante de r dans le vide interstellaire, la puissance rayonnée traversant la sphère de rayon D (orbite terrestre) est égale à la puissance totale émise par la surface du Soleil P_S :

   \boxed{P_{\mathrm{em}}(r=D) = P_S}

   Résultat

   $$4\pi r^2\frac{\partial u_{\mathrm{em}}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r=-\mathrm{d}\left(4\pi r^{2}R\right)\mathrm{d}t$$

   $$P_{\mathrm{em}}(r=D)=P_S$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q26

   Le Soleil émet une puissance totale P_S de manière isotrope dans tout l'espace. D'après le résultat de la question Q25, en régime permanent et dans le vide, le flux électromagnétique total se conserve à travers toute sphère centrée sur le Soleil.

   À la distance D, la puissance surfacique (norme du vecteur de Poynting radial) vaut :

   R(D) = \frac{P_S}{4\pi D^2}

   Puisque la distance Terre-Soleil est très grande devant le rayon terrestre (D \gg R_T), le faisceau de rayons solaires arrivant au voisinage de la Terre peut être considéré comme parallèle. La Terre intercepte ainsi le rayonnement sur sa section droite apparente perpendiculaire aux rayons, correspondant à un disque d'aire :

   \mathcal{S}_{\text{app}} = \pi R_T^2

   La puissance totale P_T reçue à la face supérieure de l'atmosphère terrestre s'écrit donc :

   P_T = R(D)\,\mathcal{S}_{\text{app}} = \frac{P_S}{4\pi D^2} \times \pi R_T^2

   On en déduit l'expression demandée :

   \boxed{P_T = P_S\,\frac{R_T^2}{4 D^2}}

   Résultat

   $$P_T=P_S\frac{R_T^2}{4D^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q27

   Le Soleil, assimilé à un corps noir à la température uniforme T_S, émet d'après la loi de Stefan un flux d'énergie surfacique (exitance) :

   \varphi = \sigma T_S^4

   La puissance totale rayonnée à travers toute sa surface S_S s'écrit donc :

   P_S = \varphi S_S = \sigma S_S T_S^4

   D'autre part, la loi du déplacement de Wien stipule que la longueur d'onde \lambda_S correspondant au maximum d'émission spectrale vérifie :

   \lambda_S T_S = C_W \implies T_S = \frac{C_W}{\lambda_S}

   En injectant cette expression de la température dans la loi de Stefan, on obtient bien :

   \boxed{P_S = \sigma S_S \left(\frac{C_W}{\lambda_S}\right)^4}

   Résultat

   $$P_S=\sigma S_S{\left(\frac{C_W}{{\lambda }_S}\right)}^4$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q29

    D'après la loi de Wien fournie dans le formulaire, la longueur d'onde \lambda_m au maximum d'émission du corps noir à la température T vérifie :

    \lambda_m T \approx 3 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}.

    À température ambiante, pour T \approx 300\text{ K}, la longueur d'onde caractéristique du rayonnement thermique est donc de l'ordre de :

    \lambda_T \approx \frac{3 \times 10^{-3}}{300} = 10^{-5}\text{ m} = 10\,\mu\text{m}.

    \boxed{\lambda_T \sim 10\,\mu\text{m} \quad (\text{infrarouge thermique})}

    D'après la question Q11, les modes propres longitudinaux de la cavité imposent une longueur d'onde de coupure maximale :

    \lambda_{\max} = 2a = 200\text{ nm} = 0{,}2\,\mu\text{m}.

    On constate ainsi que :

    \lambda_T \gg \lambda_{\max}.

    L'énergie minimale nécessaire pour exciter le premier mode propre de la cavité vaut :

    \hbar\omega_1 = \frac{hc}{\lambda_{\max}} \approx \frac{2\pi \times 1{,}05 \times 10^{-34} \times 2{,}99 \times 10^8}{200 \times 10^{-9}} \approx 9{,}9 \times 10^{-19}\text{ J} \approx 6{,}2\text{ eV},

    alors que l'énergie thermique disponible par degré de liberté à 300\text{ K} n'est que de :

    k_B T \approx 1{,}38 \times 10^{-23} \times 300 \approx 4{,}1 \times 10^{-21}\text{ J} \approx 0{,}026\text{ eV}.

    Comme \hbar\omega_1 \gg k_B T (soit \hbar\omega_1 / k_B T \approx 240), le facteur de Boltzmann \exp(-\hbar\omega / k_B T) est extraordinairement petit : les modes autorisés dans la cavité ne sont pas excités thermiquement.

    Conclusion : la contribution des photons d'origine thermique à l'intérieur de la cavité est totalement négligeable.

    Résultat

    $${\lambda }_T\sim 10\mu \text{m}(\text{infrarouge thermique})$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question