Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2026

À l'interface z = 0 entre le vide (milieu 1, z < 0) et le conducteur parfait (milieu 2, z > 0), la relation de passage s'écrit avec la normale unitaire \vec{n}_{12} = \vec{e}_z :

Or, à l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électromagnétique est nul, soit \vec{E}_2(0^+, t) = \vec{0}. De plus, la densité surfacique de charge est nulle (\sigma = 0). On en déduit la continuité de la composante tangentielle ainsi que la nullité du champ total en z = 0^- :

Le champ électrique total dans le vide résulte de la superposition du champ incident \vec{E}_i et d'un éventuel champ réfléchi \vec{E}_r :

Le champ incident en z = 0^- étant non nul :

il existe nécessairement une onde réfléchie vérifiant à tout instant t :

Cette égalité devant être satisfaite à chaque instant t, l'onde réfléchie doit osciller à la même pulsation \omega que l'onde incidente. De plus, la relation vectorielle impose que l'onde réfléchie possède le même état de polarisation rectiligne selon \vec{e}_x.

L'onde réfléchie étant une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le vide dans le sens des z décroissants (vecteur d'onde \vec{k}_r = -\frac{\omega}{c}\vec{e}_z), son champ électrique s'écrit sous la forme générale :

La condition en z = 0^- donne immédiatement \vec{E}_{0r} = -E_0 \vec{e}_x (en choisissant \phi = 0). D'où, pour tout z < 0 :

Le champ électrique total dans le demi-espace z < 0 est obtenu par le principe de superposition du champ incident et du champ réfléchi déterminé à la question Q1 :

En remplaçant par leurs expressions respectives :

En appliquant l'identité trigonométrique classique \cos p - \cos q = -2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{p-q}{2}\right) avec p = \omega t - \frac{\omega z}{c} et q = \omega t + \frac{\omega z}{c}, il vient :

On en déduit l'expression du champ électrique total sous la forme demandée :

Par identification directe avec la forme proposée :

Dans le demi-espace z < 0, le champ électrique s'écrit d'après la question Q2 :

L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

Le champ \vec{E} ne dépendant spatialement que de z et étant dirigé selon \vec{e}_x, son rotationnel vaut :

On en déduit :

En intégrant par rapport au temps, la constante d'intégration étant nulle en régime harmonique établi (absence de champ magnétostatique), on obtient :

Dans le vide, la densité volumique d'énergie électromagnétique s'écrit :

En utilisant la relation entre la célérité de la lumière et les constantes diélectrique et magnétique du vide, \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, il vient \frac{1}{\mu_0} = \varepsilon_0 c^2. La contribution magnétique s'exprime donc sous la forme :

D'après les questions Q2 et Q3, les champs électrique et magnétique s'écrivent pour z < 0 :

On en déduit les contributions électrique et magnétique :

En sommant ces deux contributions, la densité volumique d'énergie instantanée s'écrit :

Pour calculer la moyenne temporelle \langle u_{\mathrm{em}} \rangle sur une période T, on utilise :

Il vient alors immédiatement :

Comme \sin^2\left(\frac{\omega z}{c}\right) + \cos^2\left(\frac{\omega z}{c}\right) = 1, on obtient :

Considérons l'interface plane en z = 0 séparant :

• le milieu 1 (le vide, z < 0) où le champ magnétique au voisinage immédiat de la surface vaut, d'après la question Q3 :

  \vec{B}_1 = \vec{B}(z \to 0^-, t) = \frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y\, ;

• le milieu 2 (le conducteur parfait, z > 0) à l'intérieur duquel les champs sont nuls :

  \vec{B}_2 = \vec{0}.

Le vecteur unitaire normal orienté du milieu 1 vers le milieu 2 est \vec{n}_{12} = \vec{e}_z. La relation de passage pour le champ magnétique s'écrit :

soit :

Le courant surfacique étant confiné au plan de l'interface, on a \vec{j}_s \cdot \vec{e}_z = 0. En effectuant le produit vectoriel par \vec{e}_z à droite et en utilisant la formule du double produit vectoriel :

il vient :

d'où :

En utilisant la relation entre constantes fondamentales \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, on obtient l'expression demandée :

Le champ magnétique total s'écrit comme la superposition :

Par conséquent, au voisinage immédiat de la surface :

D'après la question Q3, pour z \rightarrow 0^- :

Et à l'intérieur du conducteur parfait (z > 0), les champs sont nuls, donc :

Calculons le terme \frac{1}{2}\mu_0\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{e}_z. Avec l'expression de \vec{j}_s(t) obtenue à la question Q5 et la relation \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1 :

D'après les expressions admises dans l'énoncé pour le champ créé par l'élément \mathrm{d}S :

On en déduit :

Le champ \vec{B}^* est donc continu à la traversée de la surface et vaut :

La densité surfacique de charge étant nulle à la surface du conducteur (\sigma = 0), la force électromagnétique élémentaire se réduit à la force de Laplace surfacique. Un élément de surface ne pouvant exercer de force sur lui-même, le champ magnétique agissant sur les porteurs de charge de l'élément \mathrm{d}S est le champ extérieur \vec{B}^*(z \to 0, t) obtenu à la question Q6.

La force élémentaire s'écrit donc :

D'après les résultats des questions Q5 et Q6 :

En calculant le produit vectoriel sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z :

La moyenne temporelle d'un terme en \cos^2(\omega t) sur une période étant égale à \frac{1}{2}, on obtient immédiatement :

D'après le résultat de la question Q7, la force moyenne exercée par le champ électromagnétique sur l'élément de surface \mathrm{d}S situé en z = 0 s'écrit :

Cette force est normale à la surface du conducteur et dirigée vers l'intérieur de celui-ci (sens de \vec{e}_z, c'est-à-dire le sens de propagation de l'onde incidente). Elle a donc le caractère d'une force pressante.

Par définition d'une pression, la force moyenne pressante s'exprime sous la forme :

où P_{\mathrm{rad}} désigne la pression de radiation. On en déduit :

Or, d'après la question Q4, la moyenne temporelle de la densité volumique d'énergie électromagnétique dans le demi-espace z < 0 vaut :

On en déduit bien la relation attendue :

1. Bilan cinétique pour un photon individuel :
L'interaction du photon avec le conducteur parfait est modélisée par un choc élastique unidimensionnel selon l'axe (Oz) contre une paroi fixe. Avant réflexion, le photon incident possède la quantité de mouvement :

L'énergie \hbar\omega étant conservée lors du choc élastique, la pulsation ne varie pas et le photon repart en sens inverse à la vitesse c :

La variation de quantité de mouvement subie par le photon lors de la réflexion s'écrit :

Par conservation de la quantité de mouvement du système isolé \{\text{photon}, \text{plan réflecteur}\}, la quantité de mouvement cédée au plan par un photon vaut :

2. Flux de photons incidents et quantité de mouvement cédée :
Considérons un élément de surface \mathrm{d}S de la paroi au repos en z = 0, orienté par sa normale sortante du domaine vide \vec{e}_z. Les photons incidents se déplaçant à la vitesse c suivant \vec{e}_z, l'ensemble des photons incidents qui atteignent \mathrm{d}S entre les instants t et t+\mathrm{d}t est contenu dans le cylindre droit de base \mathrm{d}S, de hauteur c\,\mathrm{d}t et de génératrice parallèle à \vec{e}_z. Le volume de ce cylindre est \mathrm{d}V = c\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}S.

Le nombre de photons frappant la surface \mathrm{d}S pendant \mathrm{d}t est donc :

La quantité de mouvement totale cédée au plan par unité de temps et par unité de surface s'obtient alors par :

3. Pression de radiation et lien avec la densité volumique d'énergie :
D'après le principe fondamental de la dynamique, la force moyenne exercée par le rayonnement sur l'élément de surface \mathrm{d}S s'identifie au débit temporel de quantité de mouvement cédé :

La pression de radiation P_{\text{rad}} exercée sur la surface correspond à la composante scalaire selon la normale \vec{e}_z de la force par unité de surface :

Chaque photon emporte une énergie \hbar\omega. La densité volumique d'énergie associée au flux incident est donc u_i = n_\gamma \hbar\omega. Le conducteur étant parfait, la réflexion est totale sans perte d'énergie, de sorte que la densité volumique de photons réfléchis est identique à celle des photons incidents (n_{\gamma, r} = n_\gamma). La densité volumique d'énergie associée au flux réfléchi est donc également u_r = n_\gamma \hbar\omega. La densité volumique d'énergie totale associée aux deux flux (incidents et réfléchis) vaut :

On en déduit l'expression demandée de la pression de radiation :

Commentaire :
On retrouve exactement l'expression établie à la question Q8 par l'électromagnétisme continu : P_{\text{rad}} = \langle u_{\mathrm{em}} \rangle. Cela illustre le principe de correspondance : la description corpusculaire (transfert d'impulsion par chocs discrets de photons) et la description ondulatoire continue de Maxwell (force de Lorentz moyenne exercée sur les courants surfaciques induits) aboutissent à des prédictions strictement identiques.

À l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électrique est identiquement nul. D'après la relation de passage du champ électrique (rappelée dans le formulaire avec une densité surfacique de charge nulle ou en projetant sur le plan de l'interface), la composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée de la surface du conducteur :

D'après le résultat de la question Q2, le champ électrique de l'onde stationnaire dans le domaine -a < z < 0 est purement tangentiel aux surfaces conductrices et s'écrit :

Cette expression vérifie déjà automatiquement la condition aux limites en z = 0, car \sin(0) = 0.

En z = -a, la condition aux limites impose :

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (E_0 \neq 0), il est nécessaire que :

Par convention, une pulsation est strictement positive (\omega > 0). La valeur n = 0 conduirait à un champ nul partout (absence d'onde). Les pulsations des modes propres ne peuvent donc prendre que des valeurs discrètes indexées par un entier n > 0 :

À chaque entier n \geqslant 1 correspond un mode propre stationnaire de la cavité.

D'après la question Q10, la pulsation spatiale (ou nombre d'onde) associée au mode d'ordre n \in \mathbb{N}^* est quantifiée sous la forme :

La longueur d'onde dans le vide \lambda_n du mode d'ordre n s'écrit alors :

La plus grande longueur d'onde \lambda_{\max} pouvant exister dans la cavité correspond à la plus petite valeur non nulle permise pour l'entier n, soit le mode fondamental n = 1 :

Avec a = 100\text{ nm}, on obtient numériquement :

Cette valeur étant inférieure aux longueurs d'onde du spectre visible (\lambda \in [400, 800]\text{ nm}) et supérieure à celles des rayons X (\lambda \lesssim 10\text{ nm}), elle appartient au domaine de l'ultraviolet (UV).

L'équation de Schrödinger régissant l'évolution de la fonction d'onde \psi(x, t) d'une particule soumise au potentiel harmonique V(x) = \frac{1}{2}m\omega_0^2 x^2 est :

Pour un état stationnaire d'énergie E, la fonction d'onde s'écrit \psi(x,t) = \varphi(x) \exp\left(-i\frac{Et}{\hbar}\right). On calcule les dérivées partielles :

En reportant ces expressions dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par le facteur non nul \exp\left(-i\frac{Et}{\hbar}\right), il vient :

soit encore :

ou, sous forme canonique :

La probabilité totale de présence de la particule dans tout l'espace doit être égale à 1 à chaque instant :

Comme |\psi(x, t)|^2 = |\varphi(x)|^2\left|\mathrm{e}^{-iEt/\hbar}\right|^2 = |\varphi(x)|^2, et sachant que \varphi(x) est choisie à valeurs réelles, la condition de normalisation s'écrit :

L'énergie potentielle du puits harmonique V(x) = \frac{1}{2}m\omega_0^2 x^2 est une fonction paire : V(-x) = V(x).

D'après l'équation différentielle établie à la question Q12 :

L'opérateur hamiltonien est invariant par la transformation x \mapsto -x car l'opérateur de dérivation seconde vérifie \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}(-x)^2} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}. Par conséquent, si \varphi(x) est solution associée à l'énergie E, la fonction \tilde{\varphi}(x) = \varphi(-x) est également solution associée à la même valeur propre E.

À une dimension, les niveaux d'énergie des états stationnaires liés sont non dégénérés. Les fonctions \varphi(x) et \varphi(-x) sont donc proportionnelles, ce qui impose l'existence d'une parité définie :

La fonction d'onde spatiale \varphi(x) est ainsi soit paire, soit impaire.

Dans les deux cas, le carré de la fonction d'onde, qui s'identifie à la densité de probabilité de présence spatiale puisque \varphi est réelle, vérifie :

La fonction x \mapsto \varphi^2(x) est donc rigoureusement paire.

L'intégrande intervenant dans le calcul de la valeur moyenne de la position s'écrit f(x) = x |\psi(x, t)|^2 = x \varphi^2(x). Il s'agit du produit d'une fonction impaire (x \mapsto x) par une fonction paire (x \mapsto \varphi^2(x)) : f(x) est donc une fonction impaire.

Le domaine d'intégration étant symétrique par rapport à l'origine et l'intégrale étant convergente (état lié normalisé), l'intégrale d'une fonction impaire est nulle :

La fonction d'onde de l'état stationnaire s'écrit \psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-iEt/\hbar} avec \varphi(x) à valeurs réelles. Son complexe conjugué est donc :

et sa dérivée spatiale vaut :

Le produit apparaissant dans l'intégrale de définition de \langle p_x \rangle se simplifie en :

La valeur moyenne de la quantité de mouvement s'écrit alors :

Ce résultat est nul, ce que l'on peut justifier de deux manières indépendantes :

• Par parité : comme établi à la question Q13, la fonction \varphi(x) possède une parité déterminée (paire ou impaire). Sa dérivée \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x) a donc la parité opposée (impaire ou paire). Le produit \varphi(x)\,\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x) est par conséquent une fonction impaire de x. L'intégrale sur l'intervalle symétrique [-\infty, +\infty] d'une fonction impaire intégrable est strictement nulle.

• Par intégration directe : on reconnaît une dérivée exacte :

  \varphi(x)\,\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x) = \frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\varphi(x)^2\right)

  L'intégrale se calcule immédiatement :

  \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)\,\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{2}\,\varphi(x)^2 \right]_{-\infty}^{+\infty} = 0

  car pour un état lié normalisable, la fonction d'onde tend nécessairement vers zéro en \pm\infty (\lim_{x \to \pm\infty}\varphi(x) = 0).

On en déduit :

D'après les résultats des questions Q13 et Q14, les valeurs moyennes de la position et de l'impulsion sont nulles : \langle x \rangle = 0 et \langle p_x \rangle = 0. Les indéterminations spatiales se réduisent donc directement aux moyennes des carrés :

Dans un état stationnaire lié associé à l'énergie E, la valeur moyenne de l'énergie totale coïncide avec la valeur propre E de l'hamiltonien (\langle \hat{H} \rangle = E). Par linéarité de l'opération de moyenne, on obtient :

En substituant \langle x^2 \rangle et \langle p_x^2 \rangle par leurs expressions en fonction des indéterminations, il vient :

D'après le résultat de la question Q15, l'énergie d'un état stationnaire lié s'écrit :

L'inégalité spatiale de Heisenberg s'écrit \Delta x\,\Delta p_x \geqslant \dfrac{\hbar}{2}. Les grandeurs \Delta x et \Delta p_x étant strictement positives pour un état lié, on a :

En injectant cette minoration dans l'expression de l'énergie, il vient :

On identifie ainsi l'inégalité souhaitée E \geqslant f_{\mathrm{H}}(\Delta x) avec :

Pour trouver le minimum de la fonction f_{\mathrm{H}} sur ]0, +\infty[, dérivons-la par rapport à \Delta x :

La dérivée s'annule pour une valeur \Delta x_0 > 0 vérifiant :

Puisque f_{\mathrm{H}}'(\Delta x) < 0 pour \Delta x < \Delta x_0 et f_{\mathrm{H}}'(\Delta x) > 0 pour \Delta x > \Delta x_0, la fonction f_{\mathrm{H}} admet bien un minimum absolu en \Delta x_0. Sa valeur vaut :

On obtient ainsi :

À température nulle (T = 0\text{ K}), il n'y a aucun photon excité dans la cavité : l'énergie de chaque mode propre se résume à son énergie de point zéro (énergie du vide) :

L'énergie électromagnétique totale contenue dans la cavité est la somme des énergies de point zéro de tous les modes :

Ce résultat n'est pas acceptable pour plusieurs raisons :

1. Divergence mathématique et physique : la série numérique \sum_{n=1}^{+\infty} n diverge grossièrement vers +\infty. Une énergie infinie contenue dans un volume spatial fini est physiquement impossible.
2. Limite du modèle du conducteur parfait : cette divergence, de nature ultraviolette, provient de la prise en compte de modes à des fréquences arbitrairement élevées (courtes longueurs d'onde). En réalité, à très haute fréquence (dans le domaine X ou \gamma), les métaux ne peuvent plus être modélisés comme des conducteurs parfaits : ils deviennent transparents au rayonnement, de sorte que le confinement des modes n'est plus assuré au-delà d'une certaine fréquence de coupure.

Dans la cavité de dimension longitudinale \tilde{a}, les pulsations spatiales des modes propres longitudinaux sont quantifiées selon :

L'écart entre deux modes consécutifs est :

Lorsque la cavité est macroscopique (\tilde{a} très grand), les modes forment un continuum. Le nombre de modes \mathrm{d}n = \rho_{k_z} \mathrm{d}k_z compris dans un intervalle élémentaire [k_z, k_z + \mathrm{d}k_z] s'écrit :

d'où la densité de modes par unité de pulsation spatiale :

En injectant cette expression dans la définition de E_\infty donnée par l'énoncé :

On obtient ainsi :

D'après l'énoncé, l'énergie tronquée dans la cavité discrète de dimension a s'écrit :

D'après le résultat de la question Q18, l'énergie dans la cavité continue de dimension \tilde{a} avec la même troncature spectrale vaut :

L'énergie de Casimir s'obtient par différence :

Dans la limite n_0 \gg 1, on a n_0 (n_0 + 1) \approx n_0^2 (ou de façon équivalente, n_0 \ll n_0^2). L'expression se simplifie en :

Puisque la dimension \tilde{a} est très grande devant a (a \ll \tilde{a}, soit \frac{\tilde{a}}{a} \gg 1), le terme 1 est négligeable devant \frac{\tilde{a}}{a} :

On en déduit l'expression de l'énergie de Casimir dans cette double limite :

D'après le résultat obtenu à la question Q19, l'énergie de Casimir s'écrit dans la limite n_0 \gg 1 et a \ll \tilde{a} :

La constante multiplicative \frac{\hbar \pi c \tilde{a} n_0^2}{4} étant strictement positive, la dérivée de E_{\mathrm{Cas}} par rapport à la dimension a vaut :

La fonction a \mapsto E_{\mathrm{Cas}}(a) est donc strictement croissante : l'énergie de Casimir diminue lorsque la distance a diminue (elle prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue).

Puisque le système tend spontanément à évoluer vers une configuration minimisant son énergie potentielle E_{\mathrm{Cas}}, la distance a séparant les deux plaques conductrices tend à diminuer.

D'après l'énoncé, la fonction g(u, a) s'écrit sous la forme :

1. Ligne 12 : L'intégrale est approchée par la méthode des rectangles à droite sur l'intervalle [0, n_0\pi/a] avec le pas \mathrm{d}k = \frac{\pi}{aN}. Pour chaque sous-intervalle, la fonction à intégrer est évaluée en k_{\text{droite}} = (i+1)\,\mathrm{d}k :

La variable s1 accumule ces valeurs. La ligne 12 s'écrit donc :

(Le facteur a\,\mathrm{d}k étant ensuite appliqué à la ligne 13 : s1 = a * s1 * dk).

2. Ligne 17 : La somme discrète est tronquée à n_0 termes. Pour un indice j \in [\![1, n_0]\!], le terme général à sommer vaut \sqrt{u^2 + \left(\frac{j\pi}{a}\right)^2}. La ligne 17 s'écrit donc :

3. Ligne 19 : La fonction g(u, a) s'obtient en retranchant à l'intégrale s_1 le terme u/2 ainsi que la somme discrète s_2. La ligne 19 s'écrit donc :

La figure 2 représente \log_{10}(f(a)) en fonction de \log_{10}(a). Les points sont alignés selon une droite d'équation :

où p est la pente de la droite.

Relevons deux points remarquables sur le graphe :

• pour a_1 = 10^{-7}\text{ m}, on lit f(a_1) = 10^{20}\text{ unités SI} ;
• pour a_2 = 10^{-5}\text{ m}, on lit f(a_2) = 10^{14}\text{ unités SI} (et on vérifie bien que pour a = 10^{-6}\text{ m}, f(a) = 10^{17}\text{ unités SI}).

La pente vaut ainsi :

On en déduit que :

D'après la relation admise au préambule du paragraphe III :

En posant la constante positive B = \frac{\hbar c L^2}{2\pi} C > 0, l'énergie de Casimir s'écrit bien sous la forme :

L'exposant entier recherché est donc :

La paroi fixe occupe le plan z = 0, tandis que la paroi mobile est située en z_p = -a le long de l'axe (Oz).

Un déplacement élémentaire de cette paroi correspond à \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}z_p\,\vec{e}_z = -\mathrm{d}a\,\vec{e}_z.

Puisque la force \vec{F} exercée sur cette paroi dérive de l'énergie de Casimir comme d'une énergie potentielle, le travail élémentaire reçu lors de ce déplacement s'écrit :

En projetant la force sur l'axe (Oz), \vec{F} = F_z \vec{e}_z, on obtient :

D'après le résultat de la question Q22, E_{\text{Cas}}(a) = -\dfrac{B}{a^3}, d'où :

La force ressentie par la paroi en z = -a s'écrit donc :

Une force a pour dimension [F] = \mathrm{M\,L\,T^{-2}}. Une force par unité de surface (analogue à une pression) a donc pour dimension :

Les dimensions des grandeurs intervenant dans la formule sont :

• [a] = \mathrm{L} ;
• [c] = \mathrm{L\,T^{-1}} ;
• [\hbar] = [E \cdot t] = (\mathrm{M\,L^2\,T^{-2}})\,\mathrm{T} = \mathrm{M\,L^2\,T^{-1}}.

L'expression proposée étant \kappa a^\alpha c^\beta \hbar^\delta, où le facteur \kappa est sans dimension, l'égalité dimensionnelle s'écrit :

Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

La force par unité de surface s'écrit par conséquent :

Chacun des deux miroirs plans possède une dimension transversale L selon (Ox) et (Oy), soit une surface L^2. La norme de la force exercée sur l'un des miroirs s'écrit :

D'après le résultat de la question Q23, la norme de cette force ressentie par la paroi est F = \frac{3B}{a^4}. Par identification :

D'après les questions Q23 et Q24, la force par unité de surface s'exerçant sur une plaque a pour intensité :

Cette grandeur représente la différence de pression de radiation du vide entre l'extérieur et l'intérieur de la cavité, responsable du rapprochement des armatures.

Cas a = 100\text{ nm} : Avec \hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, c = 2{,}99 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et a = 100\text{ nm} = 1{,}00 \times 10^{-7}\text{ m} :

Pour deux miroirs de surface transverse S = L^2 = 1\text{ cm}^2 = 1{,}00 \times 10^{-4}\text{ m}^2, la norme de la force de Casimir vaut :

Cas a = 1\text{ mm} : Pour une séparation a' = 1\text{ mm} = 1{,}00 \times 10^{-3}\text{ m}, le rapport des distances est a'/a = 10^4. La force évoluant comme a^{-4} :

Commentaire :

• À l'échelle nanométrique (a = 100\text{ nm}), la force est de l'ordre du millinewton (\approx 1{,}3\text{ mN}), ce qui est tout à fait mesurable à l'aide d'instruments de laboratoire (microbalances, leviers de microscope à force atomique). La pression associée (\sim 13\text{ Pa}) est significative et peut entraîner le collage indésirable de microcomposants (stiction en microélectromécanique MEMS).
• À l'échelle millimétrique (a = 1\text{ mm}), la force chute de seize ordres de grandeur (\sim 10^{-19}\text{ N}), devenant rigoureusement indétectable et masquée par toutes les perturbations environnementales.
• La décroissance extrêmement abrupte en a^{-4} illustre le fait que l'effet Casimir est une interaction purement mésoscopique et nanométrique, sans effet direct à notre échelle macroscopique.

L'utilisation d'une configuration sphère-plan présente deux avantages expérimentaux majeurs par rapport à la géométrie plan-plan :

• Suppression du problème de parallélisme : Deux plans parallèles distants de a \sim 100\text{ nm} sur une largeur macroscopique L \sim 1\text{ cm} nécessitent un contrôle angulaire de l'ordre de

  \theta < \frac{a}{L} \sim \frac{10^{-7}\text{ m}}{10^{-2}\text{ m}} = 10^{-5}\text{ rad},

  faute de quoi les bords des plaques entrent prématurément en contact. De plus, la force dépendant très fortement de la distance (F \propto a^{-4}), le moindre défaut de parallélisme modifie considérablement la mesure. À l'inverse, une sphère face à un plan définit naturellement un unique point de plus courte approche d, rendant le système intrinsèquement insensible aux erreurs d'alignement angulaire.

• Réduction de l'impact des poussières et de la rugosité : Dans la configuration plan-plan, la présence d'une seule impureté de taille supérieure à a sur toute l'étendue des plaques (1\text{ cm}^2) interdit l'approche à faible distance. Dans la géométrie sphère-plan, la force est confinée à une région micrométrique au voisinage du point de contact potentiel, ce qui réduit considérablement la probabilité d'une collision parasite avec une impureté.

D'après la géométrie de la figure 5, le centre O de la sphère de rayon R est situé sur l'axe de symétrie. Pour un point de la surface sphérique repéré par sa distance radiale x à cet axe, la coordonnée le long de l'axe vertical vérifie :

Au voisinage du point de plus courte approche, e \ll R, ce qui donne au premier ordre :

La distance locale entre la surface de la sphère et le plan conducteur s'écrit ainsi :

D'après les questions Q23 et Q24, la force de Casimir par unité de surface décroît très rapidement avec la distance, selon une loi en H^{-4} :

La densité de force est maximale en x = 0 (où H = d) et s'atténue considérablement dès que la distance locale double, c'est-à-dire pour e \sim d, où la densité surfacique de force est déjà divisée par 2^4 = 16.

La zone d'interaction significative est donc confinée au domaine radial vérifiant e \lesssim d, soit :

Pour d \approx 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et R = 100\text{ }\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}, on obtient :

Cette étendue latérale est très petite devant le rayon de la sphère :

On en déduit que la force de Casimir provient quasi-exclusivement d'une calotte sphérique de très faible ouverture angulaire (\theta \approx x_{\text{eff}}/R \approx 2{,}6^\circ) située au voisinage immédiat de la zone de plus courte approche.

D'après la figure 6, pour une distance d = 100\text{ nm} = 0{,}1\ \mu\text{m}, le facteur de correction en énergie vaut approximativement :

L'expression de la force de Casimir dans la géométrie sphère-plan est :

Avec les données numériques fournies :

• \hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• c = 2{,}99 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• R = 100\ \mu\text{m} = 1{,}00 \times 10^{-4}\text{ m} ;
• d = 100\text{ nm} = 1{,}00 \times 10^{-7}\text{ m}.

Calculons d'abord le terme préfactoriel idéal (sans correction, \eta_E = 1) :

En appliquant le facteur de correction \eta_E \approx 0{,}50, on obtient :

Commentaire au vu de la figure 4 :

• Sur la figure 4, la force est orientée de façon attractive (valeurs négatives sur l'axe des ordonnées).

• Pour d = 100\text{ nm}, on lit directement sur la courbe expérimentale :

  F_{\text{Cas, exp}} \approx -0{,}13\text{ à } -0{,}14 \times 10^{-9}\text{ N} = -0{,}13\text{ à } -0{,}14\text{ nN}.
• La norme calculée F_{sp} \approx 0{,}14\text{ nN} est en excellent accord avec cette mesure expérimentale.

D'après la loi de Wien fournie dans le formulaire, la longueur d'onde \lambda_m au maximum d'émission du corps noir à la température T vérifie :

À température ambiante, pour T \approx 300\text{ K}, la longueur d'onde caractéristique du rayonnement thermique est donc de l'ordre de :

D'après la question Q11, les modes propres longitudinaux de la cavité imposent une longueur d'onde de coupure maximale :

On constate ainsi que :

L'énergie minimale nécessaire pour exciter le premier mode propre de la cavité vaut :

alors que l'énergie thermique disponible par degré de liberté à 300\text{ K} n'est que de :

Comme \hbar\omega_1 \gg k_B T (soit \hbar\omega_1 / k_B T \approx 240), le facteur de Boltzmann \exp(-\hbar\omega / k_B T) est extraordinairement petit : les modes autorisés dans la cavité ne sont pas excités thermiquement.

Conclusion : la contribution des photons d'origine thermique à l'intérieur de la cavité est totalement négligeable.

D'après l'indication de l'énoncé et la loi de Planck fournie en annexe, la densité volumique d'énergie du rayonnement thermique s'écrit :

En effectuant le changement de variable sans dimension x = \frac{\hbar \omega}{k_B T} (soit \mathrm{d}\omega = \frac{k_B T}{\hbar}\,\mathrm{d}x), il vient :

En utilisant la valeur de l'intégrale fournie dans le formulaire, \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{\mathrm{e}^x - 1}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}, on obtient la loi de Stefan-Boltzmann volumique :

À température ambiante T \approx 300\text{ K}, l'application numérique donne :

D'après le résultat de la question Q8, la pression de radiation sur un miroir parfaitement réfléchissant est de l'ordre de la densité volumique d'énergie électromagnétique (P_{\mathrm{rad}} \sim \langle u_{\mathrm{em}} \rangle). Ainsi, l'ordre de grandeur de la pression de radiation sur la face externe due aux photons thermiques est :

À la question Q25, la différence de pression due à l'effet Casimir pour une cavité d'épaisseur a = 100\text{ nm} a été évaluée à :

On constate ainsi que :

La pression de radiation d'origine thermique est inférieure de près de sept ordres de grandeur à la pression de Casimir à l'échelle nanométrique (a = 100\text{ nm}).

Conclusion : Dans les mesures de l'effet Casimir à cette échelle de distance, l'effet de la température ambiante sur la pression de radiation est totalement négligeable devant les fluctuations quantiques du vide.

L'équation régissant le mouvement d'un électron de conduction s'écrit :

Elle correspond au principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

• m^* \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} est le terme d'inertie, où la masse effective m^* modélise l'influence du potentiel périodique du réseau cristallin sur la dynamique de l'électron ;
• -e \vec{E} représente la force électrique exercée par le champ de l'onde électromagnétique sur la charge -e de l'électron ;
• -e(\vec{v} \wedge \vec{B}) représente la force magnétique de Lorentz ;
• aucun terme de frottement phénoménologique (tel que -m^*\vec{v}/\tau) n'apparaît, conformément à l'hypothèse de l'énoncé négligeant la relaxation des électrons.

Pour comparer les deux composantes de la force de Lorentz, considérons une onde plane progressive pour laquelle les amplitudes des champs vérifient la relation de structure B \sim E / v_\varphi, où v_\varphi est la vitesse de phase de l'onde dans le milieu (ou B \sim E/c dans le vide). L'ordre de grandeur de la force magnétique par rapport à la force électrique s'écrit :

Le terme magnétique est donc négligeable devant le terme électrique si :

Cette condition correspond à l'approximation non relativiste pour le mouvement oscillatoire de l'électron sous l'action de l'onde, ce qui est vérifié tant que l'amplitude du champ électrique reste modérée.

Dans le métal, chaque ion de charge q_i et de masse M_i subit l'action du champ électrique de l'onde. En négligeant la force magnétique conformément à l'hypothèse de la question Q31, l'équation du mouvement d'un ion s'écrit :

La masse d'un ion est très supérieure à la masse effective des électrons de conduction (M_i \gg m^*, d'un facteur typiquement supérieur à 10^4). En régime sinusoïdal de pulsation \omega, les vitesses sont inversement proportionnelles aux masses, d'où :

Comme le plasma est localement neutre (n_i q_i = n_e e), la contribution ionique à la densité volumique de courant est négligeable devant la contribution électronique :

Avec la convention temporelle adoptée en \mathrm{e}^{+i\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \to i\omega. L'équation du mouvement de l'électron de conduction s'écrit en notation complexe :

On en déduit l'expression du vecteur densité de courant volumique :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma} \underline{\vec{E}}, on obtient l'expression de la conductivité complexe :

Dans le plasma d'électrons de conduction, la loi d'Ohm locale en régime sinusoïdal s'écrit \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\,\underline{\vec{E}}. L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit donc en notation complexe (avec \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow i\omega) :

Prenons le rotationnel de cette relation :

D'une part, d'après la formule d'analyse vectorielle fournie et la nullité de la divergence du champ magnétique (\operatorname{div}\underline{\vec{B}} = 0) :

D'autre part, d'après l'équation de Maxwell-Faraday :

On en déduit :

En injectant l'expression de la conductivité complexe établie à la question Q32, \underline{\sigma} = \frac{n_e e^2}{i m^*\omega} = -i\frac{n_e e^2}{m^*\omega}, il vient :

Le champ magnétique vérifie ainsi l'équation de propagation de Helmholtz :

ou de manière équivalente, exprimée en fonction de la conductivité complexe \underline{\sigma} :

Pour une onde plane progressive harmonique (opph) se propageant selon l'axe (Oz) dans le sens des z croissants, le champ magnétique s'écrit en notation complexe sous la forme :

où \underline{\vec{B}}_0 est un vecteur constant transverse (orthogonal à \vec{e}_z).

Le laplacien vectoriel de ce champ s'exprime simplement par la dérivée spatiale seconde selon z :

En injectant cette expression dans l'équation aux dérivées partielles établie à la question Q33 :

on obtient, pour un champ non identiquement nul :

En utilisant la relation fondamentale \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, on aboutit à la relation de dispersion :

qui peut également s'écrire sous la forme équivalente :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q34 :

Posons la grandeur caractéristique homogène à une pulsation :

La relation de dispersion s'écrit alors :

Le comportement de l'onde dépend du signe de \omega^2 - \omega_{\mathrm{P}}^2 :

• si \omega > \omega_{\mathrm{P}}, k^2 > 0 : le vecteur d'onde k est réel. L'onde se propage dans le métal sans atténuation (milieu transparent) ;
• si \omega < \omega_{\mathrm{P}}, k^2 < 0 : le nombre d'onde k = \pm i \kappa est imaginaire pur. L'onde est stationnaire et évanescente (décroissance exponentielle de l'amplitude dans le métal), il n'y a pas de propagation d'énergie : l'onde incidente est totalement réfléchie.

La pulsation \omega_{\mathrm{P}} marque ainsi la frontière entre un régime évanescent et un régime propagatif : il s'agit bien d'une pulsation de coupure, dite pulsation plasma.

Dans le domaine de propagation (\omega > \omega_{\mathrm{P}}), le vecteur d'onde k est réel et s'écrit d'après la relation de dispersion :

La vitesse de phase de l'onde dans le plasma est donc donnée par :

Puisque \sqrt{1 - (\omega_{\mathrm{P}}/\omega)^2} < 1, on a :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday pour une onde plane progressive harmonique, le champ magnétique s'exprime en fonction du champ électrique selon :

Le rapport de la partie magnétique de la force de Lorentz à la partie électrique se majore ainsi :

Les électrons de conduction ayant une vitesse non relativiste (v \ll c), on a immédiatement :

L'hypothèse faite à la question Q31 consistant à négliger la force magnétique devant la force électrique est donc pleinement validée.

D'après la question Q35, la pulsation plasma s'exprime sous la forme :

Par définition de la longueur d'onde plasma \lambda_{\mathrm{P}} donnée par l'énoncé, on a :

En égalant les deux expressions de \omega_{\mathrm{P}}^2, il vient :

On en déduit l'expression littérale de la masse effective m^* des électrons de conduction :

Effectuons l'application numérique pour l'aluminium avec les données de l'énoncé :

• n_e = 1{,}96 \times 10^{29}\text{ m}^{-3} ;
• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• \lambda_{\mathrm{P}} = 78{,}6\text{ nm} = 78{,}6 \times 10^{-9}\text{ m} ;
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• c = 2{,}99 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le calcul numérique donne :

D'où :

D'après l'énoncé, le facteur correctif sans dimension \eta_{\mathrm{F}} est défini par :

D'après les questions Q23 et Q24, la force théorique entre deux conducteurs parfaits plans varie selon :

La figure 8 représente \eta_{\mathrm{F}} en fonction du rapport sans dimension \frac{a}{\lambda_{\mathrm{P}}} en coordonnées logarithmiques décimales. Pour les courtes distances (a \ll \lambda_{\mathrm{P}}), le comportement asymptotique est modélisé par la droite en tirets :

où p désigne la pente de cette droite.

En effectuant une lecture graphique sur la droite en tirets de la figure 8 :

• pour \frac{a}{\lambda_{\mathrm{P}}} = 10^{-2}, on lit \eta_{\mathrm{F}} = 10^{-2} ;
• pour \frac{a}{\lambda_{\mathrm{P}}} = 10^{0} = 1, on lit \eta_{\mathrm{F}} = 10^{0} = 1.

La pente vaut donc :

Le facteur correctif varie donc proportionnellement à la distance :

On en déduit immédiatement la dépendance de la norme de la force mesurée :

L'exposant cherché \alpha' est bien un entier négatif, de valeur :

1. Discussion dans les deux cas limites de dimension a :

• Cas 2 : a = 10\,µ\text{m} (10^{-5}\text{ m})
  D'après la figure 7, à a = 10\,\mu\text{m}, le facteur correctif tend vers l'unité pour tous les métaux :

  \eta_{\mathrm{F}}(\text{Al}) \approx \eta_{\mathrm{F}}(\text{Au}) \approx 1.

  À cette grande distance, les pulsations optiques caractéristiques des modes pertinents (\omega \sim c/a) sont très faibles devant les pulsations plasma (\omega \ll \omega_{\mathrm{P}}, soit a \gg \lambda_{\mathrm{P}}). Les deux métaux se comportent donc comme des miroirs quasi-parfaits : le choix du conducteur n'a aucune incidence notable sur la mesure de la force de Casimir.

• Cas 1 : a = 0{,}1\,\mu\text{m} = 100\text{ nm} (10^{-7}\text{ m})
  La figure 7 montre un écart sensible entre les deux métaux :

  \eta_{\mathrm{F}}(\text{Al}) \approx 0{,}53 \quad \text{et} \quad \eta_{\mathrm{F}}(\text{Au}) \approx 0{,}47.

  Le facteur correctif est plus élevé pour l'aluminium que pour l'or.

2. Comparaison entre l'or et l'aluminium pour a \sim 100\text{ nm} :

• La longueur d'onde plasma de l'aluminium (\lambda_{\mathrm{P},\text{Al}} = 78{,}6\text{ nm}) est plus courte que celle de l'or (\lambda_{\mathrm{P},\text{Au}} = 137\text{ nm}), du fait d'une densité d'électrons de conduction plus élevée dans l'aluminium (n_e \approx 1{,}96 \times 10^{29}\text{ m}^{-3}).

• Pour a = 100\text{ nm}, on a :

  \left(\frac{a}{\lambda_{\mathrm{P}}}\right)_{\!\text{Al}} = \frac{100}{78{,}6} \approx 1{,}27 > 1 \quad \text{alors que} \quad \left(\frac{a}{\lambda_{\mathrm{P}}}\right)_{\!\text{Au}} = \frac{100}{137} \approx 0{,}73 < 1.

  D'après la figure 8, l'aluminium se situe déjà dans le régime où \eta_{\mathrm{F}} commence à saturer vers 1, tandis que l'or est plus profondément engagé dans la zone de chute liée aux effets de transparence/pénétration de champ. L'aluminium conduit donc à une force plus intense et plus proche de la prédiction du modèle des conducteurs parfaits.

3. Justification du choix pratique de l'or :
En dépit de cet avantage théorique de l'aluminium, l'or est privilégié en pratique pour des raisons de stabilité chimique de surface :

• L'aluminium s'oxyde spontanément à l'air libre pour former une couche d'alumine \text{Al}_2\text{O}_3 passivante, diélectrique et d'épaisseur typique de 2 à 5\text{ nm}. À une séparation de a \sim 100\text{ nm}, la présence de cette couche d'oxyde altère profondément les conditions de réflexion, piège des charges électrostatiques parasites et crée des potentiels de contact inhomogènes (effets de « patch ») qui faussent la mesure de la force.
• L'or est un métal noble chimiquement inerte, exempt d'oxydation de surface, ce qui garantit une interface métallique propre, stable dans le temps et un potentiel électrostatique de surface bien maîtrisé.

L'angle de déflexion du micro-levier étant supposé très faible, les rayons incidents sous incidence normale reviennent sur eux-mêmes selon des directions rigoureusement parallèles.

Par rapport au rayon réfléchi sur la base fixe prise pour référence, le rayon atteignant l'extrémité du micro-levier défléchi d'une distance d parcourt :

• une distance supplémentaire d lors du trajet incident avant d'atteindre la surface réfléchissante ;
• une distance supplémentaire d lors du trajet réfléchi pour revenir au niveau du plan d'onde de référence.

Dans le vide (indice optique n = 1), la différence de chemin optique entre le rayon mobile et le rayon de référence est donc :

Avec la convention temporelle adoptée par l'énoncé en \mathrm{e}^{+i\omega t}, un retard de propagation d'une durée \tau = \delta/c = 2d/c introduit un facteur de phase \mathrm{e}^{-i\omega\tau} = \mathrm{e}^{-i\varphi}. Le retard de phase \varphi s'exprime ainsi :

Le faisceau issu de \mathrm{BD}_0 se propageant vers la voie d'analyse possède une amplitude complexe de la forme :

D'après l'énoncé, le déplaceur \mathrm{BD}_1 sépare ce faisceau en deux faisceaux polarisés rectilignement selon deux vecteurs unitaires et orthogonaux \vec{e}_{A_1} et \vec{e}_{B_1} atteignant respectivement les cadrans A_1 et B_1, d'amplitudes :

Or, décomposons \underline{\vec{E}}_{\mathrm{inc}} sur la base (\vec{e}_{A_1}, \vec{e}_{B_1}) :

Pour obtenir des termes proportionnels respectivement à (1 + \mathrm{e}^{-i\varphi}) et (1 - \mathrm{e}^{-i\varphi}), il faut que :

On en déduit l'expression des vecteurs propres de polarisation de \mathrm{BD}_1 :

qui vérifient bien \|\vec{e}_{A_1}\| = \|\vec{e}_{B_1}\| = 1 et \vec{e}_{A_1} \cdot \vec{e}_{B_1} = 0.

Le déplaceur polarisant \mathrm{BD}_1 doit donc avoir :

• son axe normal d'entrée \vec{e}_w aligné avec la direction de propagation du faisceau (selon l'axe Oz) ;
• ses axes neutres propres (\vec{e}_u, \vec{e}_v) tournés d'un angle de \pm 45^\circ (soit \pm \pi/4) par rapport aux axes (\vec{e}_x, \vec{e}_y) dans le plan transverse (Oxy).

1. Calcul du contraste C_1 (détecteur \mathrm{PD}_1) :

D'après l'énoncé, les amplitudes complexes des champs atteignant les cadrans A_1 et B_1 sont :

Comme \vec{e}_{A_1} et \vec{e}_{B_1} sont unitaires, les intensités relevées s'écrivent :

Le contraste C_1 mesuré par \mathrm{PD}_1 vaut donc :

2. Calcul du contraste C_2 (détecteur \mathrm{PD}_2) :

En l'absence de la lame quart d'onde, les amplitudes complexes sur A_2 et B_2 avaient la même forme que sur A_1 et B_1. Dans cette voie, le terme \mathrm{e}^{-i\varphi} provient de la composante polarisée selon l'axe y, tandis que le terme 1 est associé à la composante de référence (selon l'axe z).

La lame quart d'onde introduit une avance de phase de \pi/2 sur la composante selon y par rapport à celle selon z. Avec la convention adoptée en régime sinusoïdal (\vec{E} = \mathrm{Re}\left[\underline{\vec{E}}_0 \mathrm{e}^{i\omega t}\right]), une avance de phase de \pi/2 se traduit par la multiplication de l'amplitude complexe selon y par le facteur \mathrm{e}^{i\pi/2} = i. Les amplitudes complexes atteignant les cadrans A_2 et B_2 deviennent ainsi :

Les intensités associées valent :

Le contraste C_2 mesuré par \mathrm{PD}_2 est par conséquent :

3. Interprétation géométrique dans le plan complexe :

Le contraste complexe s'écrit donc :

Dans le plan complexe (C_1, C_2), le point représentatif de \underline{C} décrit le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

Le déphasage \varphi s'obtient donc directement par la mesure de l'angle polaire \theta :

D'après la question Q42, l'angle polaire dans le plan complexe des contrastes est directement égal au déphasage : \theta = \varphi.

D'après la question Q40, le retard de phase s'écrit \varphi = \dfrac{4\pi d}{\lambda_0}. Il vient donc par différentiation :

Pour la plus petite variation angulaire détectable \delta\theta = 10^{-5}\text{ rad}, avec un faisceau LASER de longueur d'onde \lambda_0 = 633\text{ nm} :

Conclusion dans le contexte de l'étude de l'effet Casimir :

• Cette résolution spatiale est sub-picométrique, soit nettement inférieure au diamètre d'un atome (\sim 10^{-10}\text{ m}) et tout à fait négligeable devant les distances d'approche explorées (d \in [60, 900]\text{ nm}).

• Pour un micro-levier classique de raideur k \sim 0{,}1\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}, une telle résolution sur la déflexion correspond à une sensibilité en force :

  \delta F \sim k\,\delta d \sim 0{,}1 \times 5 \times 10^{-13} \sim 5 \times 10^{-14}\text{ N} = 0{,}05\text{ pN}.

  Cette sensibilité sub-piconewton est parfaitement adaptée pour mesurer avec une excellente précision (évaluée à 2\,\% dans le texte) les forces de Casimir, dont les intensités typiques sont de l'ordre de 10\text{ à }500\text{ pN} (voir figure 4).