Feuille d'entraînement : Réflexion, transmission et ondes stationnaires électromagnétiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q1

   À l'interface z = 0 entre le vide (milieu 1, z < 0) et le conducteur parfait (milieu 2, z > 0), la relation de passage s'écrit avec la normale unitaire \vec{n}_{12} = \vec{e}_z :

   \vec{E}_2(0^+, t) - \vec{E}_1(0^-, t) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{e}_z

   Or, à l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électromagnétique est nul, soit \vec{E}_2(0^+, t) = \vec{0}. De plus, la densité surfacique de charge est nulle (\sigma = 0). On en déduit la continuité de la composante tangentielle ainsi que la nullité du champ total en z = 0^- :

   \vec{E}(0^-, t) = \vec{0} \quad \forall t

   Le champ électrique total dans le vide résulte de la superposition du champ incident \vec{E}_i et d'un éventuel champ réfléchi \vec{E}_r :

   \vec{E}(0^-, t) = \vec{E}_i(0^-, t) + \vec{E}_r(0^-, t) = \vec{0}

   Le champ incident en z = 0^- étant non nul :

   \vec{E}_i(0^-, t) = E_0 \cos(\omega t) \vec{e}_x

   il existe nécessairement une onde réfléchie vérifiant à tout instant t :

   \vec{E}_r(0^-, t) = - \vec{E}_i(0^-, t) = - E_0 \cos(\omega t) \vec{e}_x

   Cette égalité devant être satisfaite à chaque instant t, l'onde réfléchie doit osciller à la même pulsation \omega que l'onde incidente. De plus, la relation vectorielle impose que l'onde réfléchie possède le même état de polarisation rectiligne selon \vec{e}_x.

   L'onde réfléchie étant une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le vide dans le sens des z décroissants (vecteur d'onde \vec{k}_r = -\frac{\omega}{c}\vec{e}_z), son champ électrique s'écrit sous la forme générale :

   \vec{E}_r(M, t) = \vec{E}_{0r} \cos\left(\omega\left(t + \frac{z}{c}\right) + \phi\right)

   La condition en z = 0^- donne immédiatement \vec{E}_{0r} = -E_0 \vec{e}_x (en choisissant \phi = 0). D'où, pour tout z < 0 :

   \boxed{\vec{E}_r(M, t) = - E_0 \cos\left(\omega\left(t + \frac{z}{c}\right)\right) \vec{e}_x}

   Résultat

   $${\vec{E}}_r(M,t)=-E_0\cos \left(\omega \left(t+\frac{z}{c}\right)\right){\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q3

   Dans le demi-espace z < 0, le champ électrique s'écrit d'après la question Q2 :

   \vec{E}(M, t) = 2 E_0 \sin\left(\frac{\omega z}{c}\right) \sin(\omega t) \,\vec{e}_x

   L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Le champ \vec{E} ne dépendant spatialement que de z et étant dirigé selon \vec{e}_x, son rotationnel vaut :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial z}\,\vec{e}_y = \frac{2\omega E_0}{c} \cos\left(\frac{\omega z}{c}\right) \sin(\omega t)\,\vec{e}_y

   On en déduit :

   \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{2\omega E_0}{c} \cos\left(\frac{\omega z}{c}\right) \sin(\omega t)\,\vec{e}_y

   En intégrant par rapport au temps, la constante d'intégration étant nulle en régime harmonique établi (absence de champ magnétostatique), on obtient :

   \boxed{\vec{B}(M, t) = \frac{2E_0}{c} \cos\left(\frac{\omega z}{c}\right) \cos(\omega t)\,\vec{e}_y}

   Résultat

   $$\vec{B}(M,t)=\frac{2E_0}{c}\cos \left(\frac{\omega z}{c}\right)\cos (\omega t){\vec{e}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q5

   Considérons l'interface plane en z = 0 séparant :

   • le milieu 1 (le vide, z < 0) où le champ magnétique au voisinage immédiat de la surface vaut, d'après la question Q3 :

     \vec{B}_1 = \vec{B}(z \to 0^-, t) = \frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y\, ;

   • le milieu 2 (le conducteur parfait, z > 0) à l'intérieur duquel les champs sont nuls :

     \vec{B}_2 = \vec{0}.

   Le vecteur unitaire normal orienté du milieu 1 vers le milieu 2 est \vec{n}_{12} = \vec{e}_z. La relation de passage pour le champ magnétique s'écrit :

   \vec{B}_2 - \vec{B}_1 = \mu_0 \vec{j}_s(t) \wedge \vec{n}_{12},

   soit :

   -\frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y = \mu_0 \vec{j}_s(t) \wedge \vec{e}_z.

   Le courant surfacique étant confiné au plan de l'interface, on a \vec{j}_s \cdot \vec{e}_z = 0. En effectuant le produit vectoriel par \vec{e}_z à droite et en utilisant la formule du double produit vectoriel :

   \left(\vec{j}_s \wedge \vec{e}_z\right) \wedge \vec{e}_z = \underbrace{(\vec{j}_s \cdot \vec{e}_z)}_{=\,0}\vec{e}_z - (\vec{e}_z \cdot \vec{e}_z)\vec{j}_s = -\vec{j}_s,

   il vient :

   -\mu_0 \vec{j}_s(t) = -\frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,(\vec{e}_y \wedge \vec{e}_z) = -\frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_x,

   d'où :

   \vec{j}_s(t) = \frac{2E_0}{\mu_0 c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_x.

   En utilisant la relation entre constantes fondamentales \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, on obtient l'expression demandée :

   \boxed{\vec{j}_s(t) = 2\varepsilon_0 c E_0 \cos(\omega t)\,\vec{e}_x}

   Résultat

   $${\vec{j}}_s(t)=2{\epsilon }_{0}c{E}_0\cos (\omega t){\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q13

   D'après la question Q12, la fonction f vérifie l'équation différentielle spatiale :

   \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} + k^2 f(x) = 0 \quad \text{avec} \quad k = \frac{\omega}{c}.

   La solution générale est de la forme :

   f(x) = A \cos(kx) + B \sin(kx) \quad (A, B \in \mathbb{R}).

   Le champ électrique étant nul au sein des miroirs assimilés à des conducteurs parfaits (question Q11) et continu en x = 0 et x = L à tout instant, les conditions aux limites s'écrivent :

   E(0, t) = 0 \implies f(0) = 0, \qquad E(L, t) = 0 \implies f(L) = 0.

   • La condition en x = 0 donne immédiatement A = 0, d'où f(x) = B \sin(kx).

   • La condition en x = L impose alors :

     B \sin(kL) = 0.

   Pour obtenir une solution non identiquement nulle (B \neq 0), il faut :

   k_n L = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^*).

   Comme k_n = \dfrac{\omega_n}{c} = \dfrac{2\pi \nu_n}{c}, on en déduit les fréquences propres quantifiées :

   \boxed{\nu_n = n \frac{c}{2L}}

   L'Intervalle Spectral Libre s'obtient directement par différence de deux fréquences propres consécutives :

   \mathrm{ISL} = \nu_{n+1} - \nu_n = (n+1)\frac{c}{2L} - n\frac{c}{2L},

   soit :

   \boxed{\mathrm{ISL} = \frac{c}{2L}}

   Résultat

   $${\nu }_n=n\frac{c}{2L}$$

   $$\mathrm{ISL}=\frac{c}{2L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q22

   Le plan de la surface métallique fixe est situé en z_S = 0. On définit :

   • le milieu I (z < 0) : le vide, où règne le champ total \vec{E}_{\mathrm{I}} = \vec{E}_{\mathrm{inc}} + \vec{E}_{\mathrm{ref}} ;
   • le milieu II (z > 0) : le métal, où l'on admet l'absence totale d'onde transmise, soit \vec{E}_{\mathrm{II}} = \vec{0} ;
   • le vecteur unitaire normal orienté de I vers II : \vec{n}_{\mathrm{I}\to\mathrm{II}} = \vec{e}_z.

   1. Absence de charge surfacique sur le métal :

   La relation de passage pour le champ électrique s'écrit à la frontière z = 0 :

   \vec{E}_{\mathrm{II}}(0,t) - \vec{E}_{\mathrm{I}}(0,t) = \frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0}\vec{e}_z

   En projetant cette relation sur la normale \vec{e}_z, on a :

   \frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0} = \left(\vec{E}_{\mathrm{II}}(0,t) - \vec{E}_{\mathrm{I}}(0,t)\right)\cdot \vec{e}_z

   Or :

   • \vec{E}_{\mathrm{II}} = \vec{0}, donc \vec{E}_{\mathrm{II}}\cdot \vec{e}_z = 0 ;
   • les ondes incidente et réfléchie sont polarisées rectilignement selon \vec{e}_x, de sorte que \vec{E}_{\mathrm{I}}\cdot \vec{e}_z = 0 (l'onde est purement transverse).

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{\sigma(t) = 0}

   Il n'y a donc aucune accumulation de charge surfacique sur la face d'entrée du métal.

   2. Champ électrique de l'onde réfléchie :

   L'onde réfléchie se propage dans le vide selon les z décroissants, avec la même pulsation \omega, le même vecteur d'onde de norme k = \omega/c (d'après la relation de dispersion établie en Q17) et la même polarisation selon \vec{e}_x. Sa représentation complexe s'écrit sous la forme générale :

   \vec{E}_{\mathrm{ref}}(z,t) = \underline{E}_{0,\mathrm{ref}} \exp[\mathrm{i}(\omega t + kz)]\vec{e}_x

   La composante tangentielle du champ électrique (ici la composante selon \vec{e}_x) est continue en z = 0 car \sigma(t)\vec{e}_z est purement normale :

   \vec{E}_{\mathrm{I},t}(0,t) = \vec{E}_{\mathrm{II},t}(0,t) = \vec{0}

   Soit, en notation complexe :

   \begin{aligned} \vec{E}_{\mathrm{inc}}(0,t) + \vec{E}_{\mathrm{ref}}(0,t) &= \vec{0} \\ E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_x + \underline{E}_{0,\mathrm{ref}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_x &= \vec{0} \\ \underline{E}_{0,\mathrm{ref}} &= -E_0 = E_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} \end{aligned}

   On obtient ainsi l'expression complexe complète du champ électrique réfléchi :

   \boxed{\vec{E}_{\mathrm{ref}}(z,t) = -E_0 \exp\left[\mathrm{i}\left(\omega t + \frac{\omega}{c}z\right)\right]\vec{e}_x}

   En grandeur réelle, le champ s'écrit :

   \vec{E}_{\mathrm{ref}}(z,t) = -E_0 \cos\left(\omega t + \frac{\omega}{c}z\right)\vec{e}_x = E_0 \cos\left(\omega t + \frac{\omega}{c}z + \pi\right)\vec{e}_x

   Résultat

   $$\sigma (t)=0$$

   $${\vec{E}}_{\mathrm{ref}}(z,t)=-E_0\exp \left[\mathrm{i}\left(\omega t+\frac{\omega }{c}z\right)\right]{\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MPI 2025, Q23

   La seule composante de \vec{E} parallèle à l'interface z = 0 est la composante suivant l'axe x. En z = 0, le champ électrique s'écrit de chaque côté sous la forme d'une onde plane monochromatique :

   \begin{aligned} E_{x1}(x, 0, t) &= E_{x1} \, \mathrm{e}^{i(\omega_1 t - k_{x1} x)} \quad \text{pour } z \to 0^+, \\ E_{x2}(x, 0, t) &= E_{x2} \, \mathrm{e}^{i(\omega_2 t - k_{x2} x)} \quad \text{pour } z \to 0^-. \end{aligned}

   La continuité de la composante tangentielle du champ électrique impose :

   E_{x1}(x, 0, t) = E_{x2}(x, 0, t) \quad \forall x \in \mathbb{R}, \; \forall t \in \mathbb{R}.

   Comme les amplitudes E_{x1} et E_{x2} sont non nulles, cette égalité doit être vérifiée pour tout t et pour tout x. En dérivant successivement par rapport à t puis par rapport à x, on obtient :

   • l'invariance temporelle exige l'égalité des pulsations : \omega_1 = \omega_2 = \omega ;
   • l'invariance par translation le long de l'interface (selon x) exige l'égalité des composantes tangentielles du vecteur d'onde : k_{x1} = k_{x2} = k_x.

   \boxed{\omega_1 = \omega_2 = \omega \quad \text{et} \quad k_{x1} = k_{x2} = k_x}

   On en déduit également la continuité des amplitudes complexes : E_{x1} = E_{x2} = E_x.

   Résultat

   $${\omega }_1={\omega }_2=\omega \text{et}{k}_{x1}=k_{x2}=k_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q34

   Sur le cercle \mathcal{C} de rayon r orienté par \vec{e}_\theta, l'élément de longueur s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta. Comme le champ magnétique est orthoradial \vec{B} = B_\theta(r,z,t)\,\vec{e}_\theta, sa circulation vaut :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} B_\theta(r,z,t)\,r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r\,B_\theta(r,z,t)

   D'après la relation démontrée en Q33, on a :

   2\pi r\,B_\theta(r,z,t) = \mu_0\,i_{\text{enlacé}}(z,t)

   Distinguons les trois zones de l'espace :

   • Pour r < a : Le contour \mathcal{C} est situé à l'intérieur du conducteur central. Comme le conducteur est parfait, le courant est purement surfacique et circule en r = a (question Q32). Le contour n'enlace donc aucun courant :

     i_{\text{enlacé}} = 0 \implies B(r) = 0

     Ce résultat est parfaitement cohérent avec l'annulation du champ électromagnétique au sein d'un conducteur parfait.

   • Pour a < r < b : Le contour \mathcal{C} enlace le conducteur intérieur qui transporte le courant i(z,t) = i_0\cos(\omega t - kz) dans le sens de \vec{e}_z. Le courant enlacé est donc :

     i_{\text{enlacé}} = i(z,t) = i_0 \cos(\omega t - kz)

     On en déduit l'expression du champ magnétique :

     B_\theta(r,z,t) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}\cos(\omega t - kz)

     En termes d'amplitude radiale B_0(r) associée à la notation de l'énoncé \vec{B} = B_0(r)\mathrm{e}^{j(\omega t - kz)}\vec{e}_\theta, on a :

     B_0(r) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}

   • Pour r > b : Le contour \mathcal{C} enlace simultanément le conducteur intérieur parcouru par i(z,t) et le conducteur extérieur parcouru par -i(z,t). Le courant total enlacé est donc nul :

     i_{\text{enlacé}} = i(z,t) + \big(-i(z,t)\big) = 0 \implies B(r) = 0

   En résumé :

   \boxed{ B_0(r) = \begin{cases} 0 & \text{pour } r < a \\ \dfrac{\mu_0 i_0}{2\pi r} & \text{pour } a < r < b \\ 0 & \text{pour } r > b \end{cases} }

   soit, sous forme instantanée :

   \boxed{ \vec{B}(r,z,t) = \begin{cases} \vec{0} & \text{pour } r < a \\ \dfrac{\mu_0 i_0}{2\pi r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_\theta & \text{pour } a < r < b \\ \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases} }

   Résultat

   $$B_0(r)=\{\begin{array}{ll}0& \text{pour }r<a\\ \frac{{\mu }_0{i}_0}{2\pi r}& \text{pour }a<r<b\\ 0& \text{pour }r>b\end{array}$$

   $$\vec{B}(r,z,t)=\{\begin{array}{ll}\vec{0}& \text{pour }r<a\\ \frac{{\mu }_0{i}_0}{2\pi r}\cos (\omega t-kz){\vec{e}}_{\theta }& \text{pour }a<r<b\\ \vec{0}& \text{pour }r>b\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q38

   D'après les questions Q34 et Q35, pour a < r < b, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{E}(r, z, t) &= \frac{1}{2\pi\varepsilon_0 r}\frac{k}{\omega} i(z, t)\,\vec{e}_r = \frac{c\mu_0}{2\pi r} i(z, t)\,\vec{e}_r \\ \vec{B}(r, z, t) &= \frac{\mu_0}{2\pi r} i(z, t)\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

   où i(z, t) = i_0\cos(\omega t - kz) et \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c} = \sqrt{\varepsilon_0\mu_0}. On note que E = c B.

   Vecteur de Poynting instantané Par définition, le vecteur de Poynting s'écrit :

   \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0} = \frac{E B}{\mu_0}(\vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta) = \frac{E B}{\mu_0}\,\vec{e}_z

   En remplaçant les expressions des champs :

   \vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \left(\frac{c\mu_0}{2\pi r} i(z, t)\right) \left(\frac{\mu_0}{2\pi r} i(z, t)\right)\vec{e}_z = \frac{\mu_0 c}{4\pi^2 r^2} i_0^2 \cos^2(\omega t - kz)\,\vec{e}_z

   \boxed{\vec{\Pi}(r, z, t) = \frac{1}{4\pi^2 r^2}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} i_0^2 \cos^2(\omega t - kz)\,\vec{e}_z}

   Densité volumique d'énergie instantanée La densité volumique d'énergie électromagnétique s'écrit :

   u_{\mathrm{em}} = \frac{\varepsilon_0}{2}E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}

   Comme E = cB et c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}, la densité d'énergie électrique s'identifie à la densité d'énergie magnétique :

   \frac{\varepsilon_0}{2}E^2 = \frac{\varepsilon_0}{2}c^2 B^2 = \frac{B^2}{2\mu_0}

   Il y a donc équipartition de l'énergie à tout instant, d'où :

   u_{\mathrm{em}} = \frac{B^2}{\mu_0} = \frac{1}{\mu_0} \left(\frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}\cos(\omega t - kz)\right)^2

   \boxed{u_{\mathrm{em}}(r, z, t) = \frac{\mu_0 i_0^2}{4\pi^2 r^2} \cos^2(\omega t - kz)}

   Vitesse de propagation de l'énergie Le flux d'énergie et la densité d'énergie sont reliés par le vecteur vitesse de propagation de l'énergie \vec{v}_e tel que \vec{\Pi} = u_{\mathrm{em}} \vec{v}_e. On constate immédiatement que :

   \vec{\Pi}(r, z, t) = c\,u_{\mathrm{em}}(r, z, t)\,\vec{e}_z

   La vitesse de propagation de l'énergie est donc colinéaire à l'axe du câble et a pour norme :

   \boxed{v_e = c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}}

   Résultat

   $$\vec{\Pi }(r,z,t)=\frac{1}{4{\pi }^2{r}^2}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}{i}_0^2{\cos }^2(\omega t-kz){\vec{e}}_z$$

   $$u_{\mathrm{em}}(r,z,t)=\frac{{\mu }_0{i}_0^2}{4{\pi }^2{r}^2}{\cos }^2(\omega t-kz)$$

   $$v_e=c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q18

   Dans le demi-espace z < 0 (le vide), le champ électrique total \underline{\vec{E}}_1(z, t) résulte de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

   \underline{\vec{E}}_1(z, t) = \underline{\vec{E}}_i(z, t) + \underline{\vec{E}}_r(z, t) = \left[ \underline{E}_{0,i} \exp(\mathrm{i}(\omega t - kz)) + \underline{E}_{0,r} \exp(\mathrm{i}(\omega t + kz)) \right] \vec{e}_x

   Dans le demi-espace z \ge 0 (le conducteur), le champ électrique est le champ transmis :

   \underline{\vec{E}}_2(z, t) = \underline{\vec{E}}_c(z, t) = \underline{E}_{0,c} \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}_t z)) \vec{e}_x

   L'interface dioptrique est le plan z = 0, dont le vecteur normal unitaire est \vec{n}_{1\to 2} = \vec{e}_z. Les champs électriques incident, réfléchi et transmis sont tous dirigés selon \vec{e}_x, qui appartient au plan de l'interface : ils sont donc purement tangentiels.

   D'après les relations de passage rappelées dans le formulaire, la composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée d'une interface, y compris en présence d'éventuelles charges surfaciques :

   \underline{\vec{E}}_{2,t}(0^+, t) - \underline{\vec{E}}_{1,t}(0^-, t) = \vec{0}

   En évaluant cette condition en z = 0 :

   \underline{E}_{0,c} \exp(\mathrm{i}\omega t) = \left( \underline{E}_{0,i} + \underline{E}_{0,r} \right) \exp(\mathrm{i}\omega t)

   Cette relation étant vraie à tout instant t, on simplifie par \exp(\mathrm{i}\omega t) :

   \underline{E}_{0,i} + \underline{E}_{0,r} = \underline{E}_{0,c}

   En divisant cette égalité par l'amplitude incidente \underline{E}_{0,i}, il vient directement :

   \boxed{1 + \underline{r} = \underline{t}}

   Résultat

   $$1+\underline{r}=\underline{t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q19

    L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

    \vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{E}} = -\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t} = -\mathrm{i}\omega \underline{\vec{B}}

    Pour une onde plane de vecteur d'onde (éventuellement complexe) \underline{\vec{k}}, l'opérateur rotationnel complexe s'exprime par \vec{\mathrm{rot}} = -\mathrm{i}\underline{\vec{k}}\times, ce qui donne directement la relation de structure :

    \underline{\vec{B}} = \frac{\underline{\vec{k}} \times \underline{\vec{E}}}{\omega}

    1. Onde incidente (z < 0) :
    L'onde se propage selon +z avec \vec{k}_i = k\vec{e}_z et k = \frac{\omega}{c}. Comme \vec{e}_z \times \vec{e}_x = \vec{e}_y, il vient :

    \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_i(z, t) &= \frac{k}{\omega}\vec{e}_z \times \underline{\vec{E}}_i(z, t) \\ &= \frac{1}{c} \underline{E}_{0,i} \exp(\mathrm{i}(\omega t - k z))\,\vec{e}_y \end{aligned}

    2. Onde réfléchie (z < 0) :
    D'après la question Q17, le vecteur d'onde s'écrit \vec{k}_r = -k\vec{e}_z. Par suite :

    \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_r(z, t) &= -\frac{k}{\omega}\vec{e}_z \times \underline{\vec{E}}_r(z, t) \\ &= -\frac{1}{c} \underline{E}_{0,r} \exp(\mathrm{i}(\omega t + k z))\,\vec{e}_y \end{aligned}

    3. Onde transmise (z \geqslant 0) :
    L'onde transmise se propage selon +z dans le conducteur avec \underline{\vec{k}}_t = \underline{k}_t\vec{e}_z où \underline{k}_t = \alpha + \mathrm{i}\beta = \frac{1-\mathrm{i}}{\delta} d'après les questions Q13 et Q14. On a donc :

    \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_c(z, t) &= \frac{\underline{k}_t}{\omega}\vec{e}_z \times \underline{\vec{E}}_c(z, t) \\ &= \frac{\underline{k}_t}{\omega}\underline{E}_{0,c} \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}_t z))\,\vec{e}_y \\ &= \frac{1 - \mathrm{i}}{\omega\delta}\underline{E}_{0,c} \exp\left(-\frac{z}{\delta}\right) \exp\left(\mathrm{i}\left(\omega t - \frac{z}{\delta}\right)\right)\vec{e}_y \end{aligned}

    \boxed{ \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_i(z, t) &= \frac{1}{c} \underline{E}_{0,i} \exp(\mathrm{i}(\omega t - k z))\,\vec{e}_y \\ \underline{\vec{B}}_r(z, t) &= -\frac{1}{c} \underline{E}_{0,r} \exp(\mathrm{i}(\omega t + k z))\,\vec{e}_y \\ \underline{\vec{B}}_c(z, t) &= \frac{\underline{k}_t}{\omega}\underline{E}_{0,c} \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}_t z))\,\vec{e}_y = \frac{1 - \mathrm{i}}{\omega\delta}\underline{E}_{0,c} \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}_t z))\,\vec{e}_y \end{aligned} }

    Résultat

    $$\begin{array}{rl}{\underline{\vec{B}}}_i(z,t)& =\frac{1}{c}{\underline{E}}_{0,i}\exp (\mathrm{i}(\omega t-kz)){\vec{e}}_y\\ {\underline{\vec{B}}}_r(z,t)& =-\frac{1}{c}{\underline{E}}_{0,r}\exp (\mathrm{i}(\omega t+kz)){\vec{e}}_y\\ {\underline{\vec{B}}}_c(z,t)& =\frac{{\underline{k}}_t}{\omega }{\underline{E}}_{0,c}\exp (\mathrm{i}(\omega t-{\underline{k}}_{t}z)){\vec{e}}_y=\frac{1-\mathrm{i}}{\omega \delta }{\underline{E}}_{0,c}\exp (\mathrm{i}(\omega t-{\underline{k}}_{t}z)){\vec{e}}_y\end{array}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question