Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MPI 2024

Le phénomène à l'origine du signal électrique est l'induction électromagnétique :

1. Aimantation de la corde : La corde, constituée d'un matériau ferromagnétique, acquiert une aimantation sous l'effet du champ magnétique créé par les aimants permanents du micro. Elle se comporte ainsi comme une source auxiliaire de champ magnétique (modélisée ici par un dipôle magnétique).
2. Variation du champ magnétique : Lorsque la corde vibre, sa position relative par rapport au bobinage varie périodiquement dans le temps. Le champ magnétique total \vec{B} régnant au niveau de la bobine est donc modulé à la fréquence de vibration de la corde.
3. Variation de flux et induction : Le circuit constitué par la bobine étant fixe dans le référentiel d'étude, la dépendance temporelle de \vec{B}(t) entraîne une variation temporelle du flux magnétique \Phi(t) à travers les spires de la bobine (\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t \neq 0).

4. Apparition d'une force électromotrice : D'après la loi de Faraday, cette variation temporelle de flux induit une force électromotrice :

   \boxed{e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}

   aux bornes de la bobine, convertissant ainsi l'onde mécanique en un signal électrique de même fréquence fondamentale.

Pour un circuit filiforme orienté \mathcal{C} s'appuyant sur une surface ouverte \mathcal{S}, toute variation au cours du temps du flux magnétique \Phi à travers le circuit donne naissance à une force électromotrice induite e donnée par :

où :

• \Phi = \displaystyle\iint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} désigne le flux du champ magnétique \vec{B} à travers la surface \mathcal{S} ;
• le vecteur surface infinitésimal \mathrm{d}\vec{S} est orienté en cohérence avec le sens de parcours choisi sur le contour \mathcal{C} selon la règle de la main droite ;
• le signe négatif traduit la loi de modération de Lenz : les effets induits s'opposent à la cause qui les a créés.

Soit \mathcal{C} le contour fermé orienté modélisant une spire de la bobine, et soit S une surface orientée quelconque s'appuyant sur ce contour.

Le flux magnétique \phi du champ \vec{B} à travers cette spire est défini par l'intégrale de surface :

où :

• \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n} \, \mathrm{d}S est le vecteur surface élémentaire orienté localement par le vecteur unitaire normal \vec{n} ;
• le sens de \vec{n} est relié à l'orientation du contour de la spire par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon) ;
• le flux magnétique s'exprime en webers (\mathrm{Wb} = \mathrm{T} \cdot \mathrm{m}^2 = \mathrm{V} \cdot \mathrm{s}).

Le champ magnétique étant à divergence nulle (\mathrm{div}\,\vec{B} = 0), son flux est conservatif. Le flux de \vec{B} à travers la spire circulaire (disque plan \mathcal{D}) est donc identique au flux à travers une calotte sphérique \mathcal{S} centrée sur l'aimant (origine du repère sphérique) et s'appuyant sur la spire.

Pour tout point situé sur la spire de rayon R à la distance axiale z du dipôle, la distance à l'aimant est constante :

Le demi-angle au sommet \theta_{\max} du cône sous-tendant la spire vérifie :

Sur la calotte sphérique \mathcal{S}, le vecteur surface élémentaire s'écrit :

Le flux élémentaire fait uniquement intervenir la composante radiale de \vec{B} :

En intégrant sur la calotte sphérique, pour \phi \in [0, 2\pi] et \theta \in [0, \theta_{\max}] :

En remplaçant r = \sqrt{R^2 + z^2} et \sin\theta_{\max} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + z^2}} :

La bobine est modélisée par l'empilement de N spires identiques et coaxiales de rayon R. Le flux total \Phi du champ magnétique à travers l'ensemble de la bobine s'obtient par sommation sur les N spires :

D'après la loi de Faraday énoncée à la question Q2, la force électromotrice induite e(t) vaut :

En dérivant le flux \phi(z) par rapport à la coordonnée z :

En réinjectant cette expression dans la loi de Faraday, les deux signes négatifs se compensent, ce qui conduit à :

Le mouvement sinusoïdal de l'aimant autour de sa position d'équilibre \bar{z} s'écrit :

d'où une vitesse de déplacement :

L'amplitude de la vitesse vaut :

D'après la question Q5, la force électromotrice induite s'exprime par :

Comme z_0 < \bar{z} < R, on évalue l'ordre de grandeur de l'amplitude e_0 de cette fem en évaluant le terme géométrique en z \approx \bar{z} :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs fournies :

• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• N = 5000
• M = 1 \cdot 10^{-3}\text{ A}\cdot\text{m}^2
• R = 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}
• \bar{z} = 5\text{ mm} = 5 \cdot 10^{-3}\text{ m}
• z_0 = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m}
• f = 500\text{ Hz}

On a :

Ce qui donne pour le terme géométrique :

On en déduit l'amplitude de la fem induite :

L'ordre de grandeur de la fem induite est donc de l'ordre du dixième de volt :

D'après la question Q5, la force électromotrice induite s'écrit sous la forme :

Pour que la réponse du micro soit strictement linéaire vis-à-vis de la vitesse de la corde, le coefficient g(z) devrait être indépendant de z, ce qui n'est pas le cas :

• Au sens strict, la réponse n'est pas linéaire, car g(z) varie avec la position z(t) de la corde, ce qui engendre des harmoniques supérieures dans le spectre de e(t).

Examinons la sensibilité de g(z) autour de la position d'équilibre \bar{z}. La dérivée de g(z) par rapport à z vaut :

Cette dérivée s'annule exactement pour :

Or, d'après les données numériques :

La position d'équilibre \bar{z} correspond donc précisément à un extremum (maximum) de la fonction g(z), où sa dérivée première s'annule :

Par conséquent, au voisinage de \bar{z}, la variation de g(z) n'intervient qu'au deuxième ordre en (z - \bar{z}) :

Évaluons numériquement l'écart relatif maximal pour z \in [\bar{z} - z_0, \bar{z} + z_0] = [4\text{ mm}, 6\text{ mm}] en posant h(z) = \frac{z}{(R^2+z^2)^{5/2}} :

L'écart relatif maximal est de :

Dans le plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y), un déplacement élémentaire en coordonnées polaires (r, \theta) s'écrit :

L'élément de surface élémentaire correspond à l'aire du rectangle infinitésimal délimité par des variations \mathrm{d}r et \mathrm{d}\theta :

Compte tenu de l'orientation directe de la spire choisie selon +\vec{e}_z, l'élément de surface orienté s'écrit :

La spire délimite un disque plan de rayon R, situé dans le plan z = 0 et centré à l'origine O. Orientée selon la règle de la main droite (sens trigonométrique dans le plan (Oxy), d'après les figures 2 et 3), le vecteur surface élémentaire s'écrit, d'après le résultat de la question précédente :

Le flux magnétique \phi du champ \vec{B} à travers cette surface s'exprime donc par l'intégrale double :

En explicitant les bornes d'intégration sur le disque délimité par la spire (r variant de 0 à R et \theta variant de 0 à 2\pi), on obtient :

Le principe de la méthode des rectangles pour évaluer numériquement une intégrale simple \displaystyle I = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x repose sur les étapes suivantes :

1. On discrétise l'intervalle [a, b] en N sous-intervalles de même largeur (le pas de discrétisation) :

   h = \frac{b - a}{N}, \quad \text{avec les points } x_k = a + k\,h \quad (k \in \{0, \dots, N\}).
2. Sur chaque sous-intervalle [x_k, x_{k+1}], on approxime la fonction f par une constante, égale à sa valeur en un point du sous-intervalle, par exemple l'extrémité gauche x_k (méthode des rectangles à gauche).
3. L'intégrale est alors approchée par la somme des aires algébriques des rectangles de largeur h et de hauteur f(x_k) :

Ce principe se généralise directement à une intégrale double sur un domaine rectangulaire [a, b] \times [c, d] (comme celle du flux de la question précédente) en maillant le domaine selon un quadrillage de pas h_r et h_\theta. L'intégrale est alors approchée par la somme des volumes élémentaires de parallélépipèdes de surface de base h_r\,h_\theta :

D'après la question Q9, le flux du champ magnétique à travers une spire s'écrit :

On subdivise les intervalles d'intégration :

• [0, R] en N_r intervalles de largeur \Delta r = \frac{R}{N_r}, avec les points d'évaluation r_i = \left(i + \frac{1}{2}\right) \Delta r pour i \in \{0, \dots, N_r-1\} (méthode du point milieu, ou r_i = i\,\Delta r pour les rectangles à gauche) ;
• [0, 2\pi] en N_\theta intervalles de largeur \Delta \theta = \frac{2\pi}{N_\theta}, avec les points d'évaluation \theta_j = j\,\Delta\theta pour j \in \{0, \dots, N_\theta-1\}.

L'approximation du flux par la méthode des rectangles bidimensionnelle s'écrit alors :

Comme la fonction B(r, theta, y) prend des flottants en argument, on implémente cette somme à l'aide d'une double boucle :

import numpy as np

def phi(y: float) -> float:
    R = 0.01          # Rayon de la spire en m (1 cm, donnee de Q6)
    Nr = 100          # Nombre de pas selon r
    Ntheta = 100      # Nombre de pas selon theta

    dr = R / Nr
    dtheta = 2.0 * np.pi / Ntheta

    somme = 0.0
    for i in range(Nr):
        r = (i + 0.5) * dr  # Point milieu selon r
        for j in range(Ntheta):
            theta = j * dtheta
            somme += B(r, theta, y) * r

    return somme * dr * dtheta

Pour utiliser les fonctions physiques en unités SI, la variable spatiale y doit être exprimée en mètres :

Le script Python complet est le suivant :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Discretisation de y entre -1 cm et 1 cm (en metres pour le systeme SI)
y_vals = np.linspace(-0.01, 0.01, 200)

# Evaluation du flux pour chaque position y via la fonction phi de la Q11
phi_vals = [phi(y) for y in y_vals]

# Affichage du flux en fonction de y (en cm pour une lecture directe)
plt.figure()
plt.plot(y_vals * 100, phi_vals)
plt.xlabel("y (cm)")
plt.ylabel("Flux phi (Wb)")
plt.title("Flux magnetique a travers une spire en fonction de y")
plt.grid(True)
plt.show()

D'après la figure 4, la fonction \phi(y) présente une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées : c'est une fonction paire de l'ordonnée y de l'aimant :

Elle admet un maximum en y = 0, si bien que sa dérivée première y est nulle : \phi'(0) = 0.

Au repos, la corde se trouve à la verticale de l'axe de la bobine en y = 0. Pour une vibration sinusoïdale de faible amplitude y_0 à la fréquence f = 200\text{ Hz}, l'ordonnée de la corde s'écrit :

Examinons la périodicité du flux temporel \phi(t) = \phi(y(t)) sur une demi-période T/2 de la vibration mécanique (T = 1/f) :

Le flux magnétique \phi(t) est donc périodique de période T' = \frac{T}{2} = \frac{1}{2f}, ce qui signifie que son développement en série de Fourier ne contient que des harmoniques de fréquences multiples paires de f.

Pour le quantifier, effectuons un développement de Taylor de \phi(y) au voisinage de y = 0 :

En injectant y(t) = y_0 \cos(\omega t) :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans l'ensemble des N spires vaut :

Si l'on prend en compte les termes d'ordre supérieur dans le développement de \phi(y) (notamment en y^4), ceux-ci font intervenir \cos^4(\omega t), générant des composantes à 2\omega et 4\omega.

On en déduit que le spectre d'amplitude de e(t) :

• ne comporte aucune composante à la fréquence fondamentale de la corde f = 200\text{ Hz} ;
• possède une raie principale très dominante à la fréquence double 2f = 400\text{ Hz} ;
• présente d'éventuelles raies secondaires d'amplitudes décroissantes aux harmoniques pairs d'ordres supérieurs : 4f = 800\text{ Hz}, 6f = 1200\text{ Hz}, etc.

Pour une corde de longueur L fixée en x = 0 et x = L, les modes propres de vibration transversale stationnaire s'écrivent :

D'après l'étude menée en I.A (Q7), pour une vibration de faible amplitude (z_0 \approx 100\,\mu\text{m} \ll R), la réponse du micro est linéaire : la f.é.m. induite e(t) est proportionnelle à la vitesse locale \frac{\partial z}{\partial t}(x_{\text{micro}}, t). L'amplitude de la raie de fréquence f_n = n f_1 enregistrée par un micro situé en x s'écrit donc :

Sur le spectre de la figure 5 (x_1 = 16\text{ cm}), on observe :

• un pic parasite à 50\text{ Hz} (ronflette secteur captée par la bobine) d'amplitude \approx 0{,}2\text{ mV} ;
• le fondamental à f_1 \approx 220\text{ Hz} avec A_1(x_1) \approx 7{,}2\text{ mV} ;
• l'harmonique 2 à f_2 \approx 440\text{ Hz} avec A_2(x_1) \approx 2{,}3\text{ mV} ;
• l'harmonique 3 à f_3 \approx 660\text{ Hz} avec A_3(x_1) \approx 1{,}3\text{ mV}.

L'amplitude de chaque harmonique captée en x_2 = 4\text{ cm} se déduit de celle en x_1 = 16\text{ cm} par :

Avec L = 67\text{ cm}, calculons les facteurs de pondération :

Le parasite secteur à 50\text{ Hz}, d'origine extérieure, reste inchangé à environ 0{,}2\text{ mV}.

Influence de la position du micro sur le son restitué :

À l'inverse, un micro éloigné du chevalet (x = 16\text{ cm}, micro manche) capte majoritairement le fondamental : le son est plus rond, chaud et riche en basses.

On étudie le circuit en régime sinusoïdal forcé à vide (aucun courant n'est prélevé en sortie) :

• À basse fréquence (\omega \to 0) :

  • L'impédance de la bobine \underline{Z}_L = j L \omega tend vers 0 : la bobine se comporte comme un fil (court-circuit).
  • L'impédance du condensateur \underline{Z}_C = \frac{1}{j C \omega} tend vers l'infini : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

  Aucun courant ne circule dans la maille, donc la chute de tension aux bornes du résistor est nulle (u_R = R i = 0). La tension de sortie est alors égale à la tension d'entrée :

  s(t) \underset{\omega \to 0}{\longrightarrow} e(t) \quad \implies \quad |H(j\omega)| \underset{\omega \to 0}{\longrightarrow} 1 \neq 0

• À haute fréquence (\omega \to \infty) :

  • L'impédance de la bobine tend vers l'infini : elle se comporte comme un interrupteur ouvert.
  • L'impédance du condensateur tend vers 0 : il se comporte comme un court-circuit.

  La tension de sortie étant prise aux bornes d'un court-circuit (et le circuit d'entrée étant bloqué par la bobine), la tension de sortie s'annule :

  s(t) \underset{\omega \to \infty}{\longrightarrow} 0 \quad \implies \quad |H(j\omega)| \underset{\omega \to \infty}{\longrightarrow} 0

Le signal est donc transmis sans atténuation aux basses fréquences et coupé aux hautes fréquences.

En régime sinusoïdal forcé, en notation complexe, les impédances respectives du résistor, de la bobine et du condensateur s'écrivent :

Le circuit de la figure 6 n'étant pas chargé en sortie, la tension complexe de sortie \underline{s} s'obtient directement par application de la formule du pont diviseur de tension aux bornes du condensateur :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par jC\omega, on en déduit la fonction de transfert du micro :

D'après le résultat de la question Q16, la fonction de transfert du circuit s'écrit :

On souhaite l'identifier à la forme canonique d'un filtre passe-bas du second ordre :

L'identification terme à terme donne immédiatement :

• pour le gain statique :

  \boxed{H_0 = 1}

• pour la pulsation propre \omega_0 (définie positive) :

  \frac{1}{\omega_0^2} = LC \implies \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

• pour le facteur de qualité Q :

  \frac{1}{Q\omega_0} = RC \implies Q = \frac{1}{RC\omega_0} = \frac{\sqrt{LC}}{RC} \implies \boxed{Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}

D'après la question Q17, la fonction de transfert s'écrit avec H_0 = 1 :

Le gain en amplitude s'en déduit par passage au module :

où l'on a introduit, pour x = \left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \geqslant 0, la fonction :

Une résonance en amplitude correspond à un maximum strict du gain G(\omega) pour une pulsation non nulle \omega > 0, ce qui équivaut à un minimum strict de f(x) sur ]0, +\infty[.

La fonction f est un polynôme du second degré de coefficient dominant positif (1 > 0). Sa dérivée par rapport à x vaut :

Elle s'annule en une valeur unique :

Deux cas se présentent :

• Si 1 - \dfrac{1}{2Q^2} \leqslant 0, c'est-à-dire si Q \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}, alors f'(x) \geqslant 0 pour tout x \geqslant 0. La fonction f est strictement croissante sur \mathbb{R}_+, donc G(\omega) décroît de façon monotone : il n'y a pas de résonance.

• Si 1 - \dfrac{1}{2Q^2} > 0, c'est-à-dire si :

  Q > \frac{1}{\sqrt{2}}

  alors x_r > 0. La fonction f décroît sur [0, x_r] puis croît sur [x_r, +\infty[ : elle présente donc un minimum strict en x_r.

Par conséquent, pour Q > \dfrac{1}{\sqrt{2}}, le gain G(\omega) présente un maximum strict à la pulsation de résonance \omega_r = \omega_0 \sqrt{x_r} :

Le gain en décibels est défini par :

L'étude des comportements asymptotiques et des points remarquables donne :

• Basses fréquences (\omega \ll \omega_0) : |\underline{H}(j\omega)| \to 1 \implies G_{\mathrm{dB}} \to 0\text{ dB}. L'asymptote basse fréquence est une droite horizontale de pente nulle (0\text{ dB/décade}).
• Hautes fréquences (\omega \gg \omega_0) : |\underline{H}(j\omega)| \sim \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \implies G_{\mathrm{dB}} \sim -40 \log_{10}\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right). L'asymptote haute fréquence est une droite de pente -40\text{ dB/décade}.
• Intersection des asymptotes : les deux asymptotes se coupent en \omega = \omega_0.

• Pulsation propre \omega = \omega_0 :

  |\underline{H}(j\omega_0)| = Q \implies G_{\mathrm{dB}}(\omega_0) = 20 \log_{10} Q

• Résonance : pour Q > \frac{1}{\sqrt{2}}, le gain présente un maximum à la pulsation \omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} < \omega_0 (question Q18), de valeur :

  G_{\mathrm{dB},\max} = 20 \log_{10} \left( \frac{Q}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \right) > 20 \log_{10} Q > 0\text{ dB}

On en déduit l'allure du diagramme de Bode en amplitude :

Le protocole expérimental se déroule en trois étapes :

1. Montage expérimental

• On alimente l'entrée du quadripôle avec un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension purement sinusoïdale e(t) = E_m \cos(2\pi f t).
• On visualise simultanément à l'oscilloscope numérique la tension d'entrée e(t) (voie 1) et la tension de sortie s(t) (voie 2), en veillant à relier les masses du GBF, du filtre et de l'oscilloscope en un même point.

2. Mesures pour une fréquence f fixée Après avoir attendu l'extinction du régime transitoire pour observer le régime sinusoïdal forcé, on détermine :

• Le gain : on mesure les amplitudes (ou valeurs crête-à-crête) E_m et S_m sur chaque voie. Le gain en tension vaut G = \frac{S_m}{E_m} et le gain en décibels est donné par :

  \boxed{G_{\mathrm{dB}} = 20 \log_{10}\left(\frac{S_m}{E_m}\right)}

• La phase : on mesure le décalage temporel \Delta t entre les passages par zéro à pente de même signe de s(t) et e(t). Le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée s'exprime par :

  \boxed{\varphi = \pm \, 2\pi f\,\Delta t = \pm \, \frac{\Delta t}{T} \times 2\pi}

  le signe étant déterminé par l'avance (\varphi > 0) ou le retard (\varphi < 0) de la sortie sur l'entrée.

3. Balayage fréquentiel et tracé

• On répète ces mesures sur une large gamme de fréquences s'étendant sur plusieurs décades de part et d'autre de la fréquence caractéristique (typiquement de 0{,}1\,f_0 à 10\,f_0).
• On adopte une répartition régulière des points en échelle logarithmique (par exemple 5 à 10 points par décade), en resserrant le maillage au voisinage de la fréquence propre ou de résonance.
• On trace enfin les deux courbes G_{\mathrm{dB}} et \varphi en fonction de \log_{10}(f) (ou directement sur papier semi-logarithmique).

Pour tracer expérimentalement le diagramme de Bode de la fonction de transfert \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{s}}{\underline{e}}, il est indispensable de mesurer simultanément la tension d'entrée e(t) et la tension de sortie s(t), tout en faisant varier la fréquence de la tension d'entrée sur plusieurs décades.

Dans le cas réel d'un micro de guitare :

1. Inaccessibilité physique de la tension d'entrée : la force électromotrice e(t) est d'origine inductive, répartie au sein même de l'enroulement de fil de cuivre. Les éléments R, L et C modélisent des grandeurs internes et parasites (résistance du fil, inductance propre, capacités inter-spires). Seules les deux bornes extérieures délivrant la tension de sortie s(t) sont accessibles : la grandeur d'entrée e(t) ne peut donc pas être mesurée directement.
2. Impossibilité d'imposer électriquement e(t) : la tension e(t) est générée par le mouvement mécanique de la corde ferromagnétique et non par un générateur électrique. Il est techniquement impossible de faire vibrer une corde de guitare de façon purement sinusoïdale, avec une amplitude constante, à une fréquence continûment variable balayant tout le spectre de quelques dizaines de hertz à plusieurs dizaines de kilohertz.

En régime statique (\omega \to 0) :

• l'inductance L se comporte comme un court-circuit (impédance jL\omega \to 0) ;
• le condensateur C se comporte comme un circuit ouvert (admittance jC\omega \to 0).

La branche parallèle constituée de C et du potentiomètre de résistance r se réduit donc à la seule résistance r. Le micro en régime statique forme ainsi un simple pont diviseur de tension entre la résistance interne R de la bobine et la résistance r :

Le nouveau gain statique du micro, noté H'_0, s'écrit alors :

Utilité pour le guitariste : Le potentiomètre permet au guitariste de faire varier continûment la résistance r entre 0 et sa valeur nominale maximale r_{\max} (typiquement de l'ordre de 250\text{ k}\Omega à 500\text{ k}\Omega, très supérieure à la résistance interne du bobinage R \sim \text{quelques k}\Omega) :

• lorsque r \to 0, le gain statique s'annule (H'_0 = 0) et le signal de sortie est coupé ;
• lorsque r = r_{\max} \gg R, le gain statique tend vers 1 (H'_0 \simeq 1).

Ce potentiomètre permet donc de régler l'amplitude du signal envoyé à l'amplificateur : il s'agit du bouton de réglage du volume de la guitare électrique.

L'admittance complexe équivalente \underline{Y} du dipôle s'écrit comme la somme des admittances des deux branches en dérivation :

L'impédance complexe \underline{Z} = \frac{1}{\underline{Y}} du micro en convention récepteur s'exprime donc sous la forme :

D'après le schéma de montage de la figure 7 (à droite), le résistor de résistance r et le dipôle d'impédance \underline{Z} sont branchés en série dans une maille fermée sur le générateur idéal de tension e(t).

Ils sont par conséquent traversés par le même courant électrique, dont l'amplitude complexe est notée \underline{I}.

En adoptant la convention récepteur pour chacun de ces deux dipôles (conformément à l'orientation des flèches de tension opposées au sens de circulation du courant dans la branche supérieure) :

Pour un courant non nul (\underline{I} \neq 0), on en déduit l'expression de \underline{I} à partir de la première relation :

En substituant cette expression dans la seconde relation, il vient :

ce qui conduit immédiatement à la relation demandée :

D'après la question Q23, l'impédance complexe du micro s'écrit :

À basse fréquence, c'est-à-dire pour \omega \to 0 :

On obtient ainsi immédiatement :

Le comportement du micro est donc purement résistif en continu et à très basse fréquence.

D'après la question Q24, on a :

En basse fréquence, où le rapport \frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|} atteint un plateau horizontal indépendant de la fréquence, on en déduit :

avec r = 10\text{ k}\Omega.

Par lecture graphique sur la figure 8 dans la zone de plateau (f \lesssim 100\text{ Hz}) :

• Pour le micro Fender Lace Sensor (trait plein) : le plateau se situe légèrement au-dessus de 10^0, à une valeur proche de :

  \left(\frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|}\right)_{\mathrm{BF}} \approx 1{,}4

  ce qui donne :

  R_{\mathrm{Fender}} \approx 1{,}4 \times 10\text{ k}\Omega = 14\text{ k}\Omega

• Pour le micro DeArmond Dynasonic (pointillés) : le plateau se situe en dessous de 10^0, à une valeur proche de :

  \left(\frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|}\right)_{\mathrm{BF}} \approx 0{,}8

  ce qui donne :

  R_{\mathrm{Dynasonic}} \approx 0{,}8 \times 10\text{ k}\Omega = 8\text{ k}\Omega

D'après l'énoncé, pour des fréquences de l'ordre de 1\text{ kHz}, l'effet de la capacité C est négligeable (la branche capacitive se comporte comme un circuit ouvert, ce qui revient à LC\omega^2 \ll 1 et RC\omega \ll 1 au dénominateur de l'impédance établie à la question Q23). L'impédance du micro se réduit donc à l'association série de sa résistance et de son inductance :

Le module de cette impédance s'écrit :

D'après la question Q24, on a également |\underline{Z}| = r \frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|} (noté |\underline{U}_R| dans le texte de la question). On en déduit :

Comme \omega > 0 et L > 0, on obtient bien :

Applications numériques : À la fréquence f = 1{,}0\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}, la pulsation vaut \omega = 2\pi f \simeq 6{,}28 \cdot 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. La résistance de mesure vaut r = 10\text{ k}\Omega = 10^4\ \Omega.

• Micro Fender (trait plein) : Sur l'axe logarithmique de la figure 8, à f = 10^3\text{ Hz}, on lit :

  \frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|} \simeq 3{,}6 \quad \implies \quad r\frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|} \simeq 36\text{ k}\Omega

  En reprenant R_{\mathrm{Fender}} \simeq 14\text{ k}\Omega déterminée à la question Q25 :

  L_{\mathrm{Fender}} \simeq \frac{1}{2\pi \times 10^3}\sqrt{(36 \cdot 10^3)^2 - (14 \cdot 10^3)^2} \simeq \frac{33{,}2 \cdot 10^3}{6{,}28 \cdot 10^3} \simeq 5{,}3\text{ H}
  \boxed{L_{\mathrm{Fender}} \simeq 5\text{ H}}

• Micro Dynasonic (pointillés) : À f = 10^3\text{ Hz}, on lit :

  \frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|} \simeq 2{,}1 \quad \implies \quad r\frac{|\underline{U}_Z|}{|\underline{U}_r|} \simeq 21\text{ k}\Omega

  Avec R_{\mathrm{Dynasonic}} \simeq 8\text{ k}\Omega (question Q25) :

  L_{\mathrm{Dynasonic}} \simeq \frac{1}{2\pi \times 10^3}\sqrt{(21 \cdot 10^3)^2 - (8 \cdot 10^3)^2} \simeq \frac{19{,}4 \cdot 10^3}{6{,}28 \cdot 10^3} \simeq 3{,}1\text{ H}
  \boxed{L_{\mathrm{Dynasonic}} \simeq 3\text{ H}}

1. Simplification de l'impédance \underline{Z} au voisinage de \omega_0

Au numérateur, comme Q \gg 1 et \frac{\omega}{\omega_0} \simeq 1, le terme imaginaire domine largement le terme réel :

Au dénominateur, posons \omega = \omega_0 + \Delta\omega avec |\Delta\omega| \ll \omega_0. Au premier ordre en \frac{\Delta\omega}{\omega_0} :

Le terme d'amortissement vaut quant à lui j\frac{\omega}{Q\omega_0} \simeq \frac{j}{Q}. L'impédance s'écrit donc au voisinage de \omega_0 :

En particulier, à la pulsation propre \omega = \omega_0 (\Delta\omega = 0), l'impédance est purement réelle et vaut :

Son module s'écrit :

Puisque Q \gg 1, |\underline{Z}| présente un pic d'anti-résonance extrêmement étroit et culmine à la valeur maximale |\underline{Z}|_{\max} \simeq RQ^2 obtenue en \omega = \omega_0.

2. Méthode d'évaluation de la capacité C

D'après la question Q24, on a |\underline{Z}| = r \frac{|U_Z|}{|U_r|}. Le rapport \frac{|U_Z|}{|U_r|} tracé sur la figure 8 est donc directement proportionnel à |\underline{Z}|.

Le pic observé sur chaque courbe correspond ainsi précisément à la pulsation propre \omega_0 = 2\pi f_0. Connaissant \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} (question Q17), on en déduit immédiatement la capacité équivalente :

Remarque : On pourrait également déterminer Q = \sqrt{\frac{|\underline{Z}|_{\max}}{R}} = \sqrt{\frac{r}{R}\left(\frac{|U_Z|}{|U_r|}\right)_{\max}}, puis C = \frac{L}{R^2 Q^2}. Cependant, la lecture de la fréquence de résonance f_0 est bien plus robuste et précise que celle de l'amplitude crête, cette dernière étant fortement sensible aux pertes supplémentaires non prises en compte par le modèle.

3. Application numérique pour chaque micro

• Micro Fender Lace Sensor (trait plein) : La fréquence de résonance se lit au sommet du pic :

  f_{0,\text{Fender}} \simeq 5{,}0\text{ kHz}

  Avec L_{\text{Fender}} \simeq 5{,}3\text{ H} (d'après la question Q26) :

  C_{\text{Fender}} = \frac{1}{4\pi^2 \times 5{,}3 \times (5{,}0 \cdot 10^3)^2} \simeq 1{,}9 \cdot 10^{-10}\text{ F}
  \boxed{C_{\text{Fender}} \simeq 0{,}2\text{ nF} = 200\text{ pF}}

• Micro De Armond Dynasonic (pointillés) : La fréquence de résonance se lit au sommet du pic (au premier sous-trait après 10^4\text{ Hz}) :

  f_{0,\text{Dynasonic}} \simeq 2{,}0 \cdot 10^4\text{ Hz} = 20\text{ kHz}

  Avec L_{\text{Dynasonic}} \simeq 3{,}1\text{ H} (d'après la question Q26) :

  C_{\text{Dynasonic}} = \frac{1}{4\pi^2 \times 3{,}1 \times (2{,}0 \cdot 10^4)^2} \simeq 2{,}0 \cdot 10^{-11}\text{ F}
  \boxed{C_{\text{Dynasonic}} \simeq 20\text{ pF}}

D'après l'étude précédente, le micro agit comme un filtre passe-bas du second ordre dont le gain présente un pic de résonance très prononcé (Q \gg 1) au voisinage de sa fréquence propre f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}.

La lecture expérimentale de la figure 8 (et les résultats de la question Q27) donne pour chaque micro :

• Micro Fender Lace Sensor : f_{0,\text{Fender}} \simeq 5\text{ kHz} ;
• Micro De Armond Dynasonic : f_{0,\text{Dynasonic}} \simeq 20\text{ kHz}.

Le spectre audible d'une guitare électrique s'étend typiquement entre le fondamental le plus grave (environ 82\text{ Hz}) et des harmoniques supérieures n'excédant guère 5\text{ à }6\text{ kHz} :

• Pour le micro Dynasonic, la résonance se produit à 20\text{ kHz}, c'est-à-dire à l'extrême limite supérieure de l'audition humaine et bien au-delà du spectre émis par la guitare. Sur toute la bande utile (f \leqslant 5\text{ kHz}), la fonction de transfert est quasi constante (|H| \simeq H_0 = 1) : le spectre n'est pas coloré dans les aigus.
• Pour le micro Fender, la résonance se situe vers 5\text{ kHz}, précisément dans le registre des fréquences aiguës de l'instrument. La forte surtension amplifie considérablement les harmoniques situées entre 3\text{ kHz} et 5\text{ kHz}.

Dans un milieu quelconque caractérisé par une distribution volumique de charge \rho et un vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath}, les équations locales fondamentales de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) s'écrivent :

où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

Dans le vide, en l'absence de charges et de courants sources, on a \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell deviennent alors :

en introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}.

D'après la question Q29, les équations de Maxwell régissant le champ électrique dans le vide (\rho = 0, \vec{\jmath} = \vec{0}) s'écrivent :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

D'une part, on utilise l'identité vectorielle reliant le rotationnel du rotationnel, le gradient de la divergence et le laplacien vectoriel :

Comme l'espace est dépourvu de charges (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0), le terme de gradient s'annule :

D'autre part, en vertu du théorème de Schwarz, on permute les opérateurs différentiels d'espace et de temps :

En substituant l'expression de \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} donnée par l'équation de Maxwell-Ampère :

En égalant les deux expressions obtenues, il vient :

En introduisant la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert pour le champ électrique :

D'après la question Q30, le champ électrique vérifie dans le vide l'équation de d'Alembert :

avec c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}.

Pour un champ de la forme \vec{E}(z,t) = \vec{E}_0 \exp(j\omega t - jkz) (onde plane se propageant selon l'axe Oz), les dérivées temporelle et spatiales s'écrivent :

L'équation de d'Alembert devient :

Une telle onde non triviale (\vec{E}_0 \neq \vec{0}) peut donc se propager dans le vide dès lors que la relation de dispersion est satisfaite :

(le choix k > 0 pour \omega > 0 correspond à une onde se propageant dans le sens des z croissants).

On en déduit l'expression du vecteur d'onde :

Structure de l'onde plane Avec les règles de dérivation en régime harmonique pour une phase de la forme (\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}) :

les équations de Maxwell dans le vide imposent :

• Transversalité :

  \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} = 0 &\implies -j\vec{k}\cdot\vec{E} = 0 \implies \vec{k}\cdot\vec{E} = 0 \\ \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 &\implies -j\vec{k}\cdot\vec{B} = 0 \implies \vec{k}\cdot\vec{B} = 0 \end{aligned}

  Les champs \vec{E} et \vec{B} sont perpendiculaires à la direction de propagation \vec{e}_z : l'onde est purement transverse (mode TEM dans le vide).

• Relation de structure (équation de Maxwell-Faraday) :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \implies -j\vec{k}\wedge\vec{E} = -j\omega\vec{B}

  soit :

  \boxed{\vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega} = \frac{1}{c}\,\vec{e}_z \wedge \vec{E}}

• Propriétés déduites :

  1. Les vecteurs (\vec{E}, \vec{B}, \vec{k}) forment un trièdre trirectangle direct.
  2. Les amplitudes satisfont à tout instant la relation E = c B.
  3. Le facteur de proportionnalité étant réel positif, \vec{E} et \vec{B} vibrent en phase dans le temps et dans l'espace.

Un conducteur est qualifié de parfait lorsque sa conductivité électrique tend vers l'infini : \sigma \to \infty.
La densité volumique de courant \vec{\jmath}_v devant rester d'énergie et d'amplitude finies, la loi d'Ohm locale \vec{\jmath}_v = \sigma \vec{E}_{\text{int}} impose à l'intérieur du conducteur :

En régime variable (\omega \neq 0), l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

L'équation de Maxwell-Ampère à l'intérieur du matériau donne alors :

Il n'existe donc aucun courant volumique au sein du conducteur.
Ce résultat s'interprète également par l'effet de peau : la profondeur de pénétration électromagnétique vaut

Le courant électrique total non nul i(z,t) ne pouvant circuler en volume, il est strictement confiné à la périphérie des conducteurs :

L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit sous forme locale :

Considérons le contour circulaire \mathcal{C} de rayon r, centré sur l'axe (Oz), contenu dans un plan perpendiculaire à l'axe du câble (z = \text{cste}) et orienté selon \vec{e}_\theta.

Soit S le disque d'axe (Oz) et de rayon r délimité par le contour \mathcal{C}. D'après la règle de la main droite, le vecteur surface élémentaire associé à ce disque s'écrit :

En intégrant l'équation de Maxwell-Ampère sur la surface S et en appliquant le théorème de Stokes-Ampère, il vient :

Par définition, le flux de la densité volumique et/ou surfacique de courant à travers la surface S représente l'intensité totale des courants enlacés par \mathcal{C} :

Or, d'après l'énoncé, l'onde se propage selon le mode TEM : le champ électrique est purement radial, \vec{E}(M,t) = E(r,z,t)\,\vec{e}_r. Par conséquent :

Le flux du courant de déplacement à travers la surface transverse S est donc strictement nul à chaque instant :

On en déduit immédiatement la forme annoncée du théorème d'Ampère :

Sur le cercle \mathcal{C} de rayon r orienté par \vec{e}_\theta, l'élément de longueur s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta. Comme le champ magnétique est orthoradial \vec{B} = B_\theta(r,z,t)\,\vec{e}_\theta, sa circulation vaut :

D'après la relation démontrée en Q33, on a :

Distinguons les trois zones de l'espace :

• Pour r < a : Le contour \mathcal{C} est situé à l'intérieur du conducteur central. Comme le conducteur est parfait, le courant est purement surfacique et circule en r = a (question Q32). Le contour n'enlace donc aucun courant :

  i_{\text{enlacé}} = 0 \implies B(r) = 0

  Ce résultat est parfaitement cohérent avec l'annulation du champ électromagnétique au sein d'un conducteur parfait.

• Pour a < r < b : Le contour \mathcal{C} enlace le conducteur intérieur qui transporte le courant i(z,t) = i_0\cos(\omega t - kz) dans le sens de \vec{e}_z. Le courant enlacé est donc :

  i_{\text{enlacé}} = i(z,t) = i_0 \cos(\omega t - kz)

  On en déduit l'expression du champ magnétique :

  B_\theta(r,z,t) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}\cos(\omega t - kz)

  En termes d'amplitude radiale B_0(r) associée à la notation de l'énoncé \vec{B} = B_0(r)\mathrm{e}^{j(\omega t - kz)}\vec{e}_\theta, on a :

  B_0(r) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}

• Pour r > b : Le contour \mathcal{C} enlace simultanément le conducteur intérieur parcouru par i(z,t) et le conducteur extérieur parcouru par -i(z,t). Le courant total enlacé est donc nul :

  i_{\text{enlacé}} = i(z,t) + \big(-i(z,t)\big) = 0 \implies B(r) = 0

En résumé :

soit, sous forme instantanée :

D'après la question Q34, pour a < r < b, le champ magnétique s'écrit sous forme réelle :

ou, en notation complexe associée à la forme G_X proposée à la question Q33 :

Dans le vide séparant les deux conducteurs, il n'y a ni charges ni courants volumiques (\vec{\jmath} = \vec{0}). L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

Calculons le rotationnel de \vec{B} en coordonnées cylindriques pour un champ purement orthoradial \vec{B} = B_\theta(r, z, t)\,\vec{e}_\theta :

Comme r B_\theta(r, z, t) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi} \cos(\omega t - kz) est indépendant de r, la composante axiale est identiquement nulle :

La dérivée par rapport à z vaut :

En introduisant l'expression du champ électrique \vec{E}(M, t) = E_r(r, z, t)\,\vec{e}_r, l'équation de Maxwell-Ampère projetée sur \vec{e}_r donne :

En simplifiant par \mu_0 et en intégrant par rapport au temps (la constante d'intégration étant nulle en régime sinusoïdal) :

L'énoncé désigne par E_0(r) le champ électrique instantané E_r(r, z, t) (ou son amplitude modulée dans le temps et l'espace), on obtient bien la relation demandée :

1. Caractère d'onde plane

Une onde plane est une onde dont les surfaces équiphases sont des plans, et dont l'état vibratoire (amplitude, polarisation et direction des champs) est rigoureusement uniforme sur chacun de ces plans.

Pour le mode TEM considéré :

• La phase \varphi(z, t) = \omega t - k z ne dépend que de z : les surfaces d'onde sont bien des plans perpendiculaires à l'axe (Oz) (z = \text{cte}).
• Cependant, l'amplitude des champs dépend de la coordonnée radiale r (décroissance en 1/r, d'après les questions Q34 et Q35) : les champs ne sont pas spatialement uniformes dans le plan transverse.
• De plus, la direction de polarisation dépend de l'angle \theta puisque les vecteurs de base \vec{e}_r et \vec{e}_\theta tournent avec la position azimutale.

Par conséquent, le mode TEM ne décrit pas une onde plane (il s'agit d'une onde guidée transverse).

2. Relation de structure

Dans l'espace vide entre les deux conducteurs, le champ électromagnétique vérifie l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ électrique s'écrit en représentation complexe :

En coordonnées cylindriques, avec une composante radiale pure dépendant uniquement de r et de z (indépendante de \theta) :

Comme la dépendance en z est portée par le terme de propagation \mathrm{e}^{-jkz}, la dérivée spatiale vaut :

D'où :

Par ailleurs, en régime harmonique :

L'équation de Maxwell-Faraday conduit donc à :

Calculons à présent le produit vectoriel \vec{k} \wedge \vec{E} avec \vec{k} = k\,\vec{e}_z :

On constate ainsi directement l'égalité :

Dans le vide séparant les deux conducteurs (a < r < b), l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

Avec \vec{B} = B_0(r)\exp(j\omega t - jkz)\vec{e}_\theta, le rotationnel en coordonnées cylindriques se réduit à :

Comme B_0(r) \propto \frac{1}{r}, la quantité r B_\theta est indépendante de r, donc la composante axiale est nulle. Il reste :

L'équation de Maxwell-Ampère impose alors :

où c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} est la célérité de la lumière dans le vide.

D'autre part, la relation de structure établie à la question précédente donne :

En identifiant ces deux relations, on en déduit :

Pour une onde se propageant dans le sens des z croissants (k > 0), la vitesse de phase v_\varphi vaut par définition :

La vitesse de phase v_\varphi est strictement constante et indépendante de la pulsation \omega (la relation de dispersion \omega = c k est linéaire) : il n'y a donc pas de dispersion.

D'après les questions Q34 et Q35, pour a < r < b, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

où i(z, t) = i_0\cos(\omega t - kz) et \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c} = \sqrt{\varepsilon_0\mu_0}. On note que E = c B.

Vecteur de Poynting instantané Par définition, le vecteur de Poynting s'écrit :

En remplaçant les expressions des champs :

Densité volumique d'énergie instantanée La densité volumique d'énergie électromagnétique s'écrit :

Comme E = cB et c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}, la densité d'énergie électrique s'identifie à la densité d'énergie magnétique :

Il y a donc équipartition de l'énergie à tout instant, d'où :

Vitesse de propagation de l'énergie Le flux d'énergie et la densité d'énergie sont reliés par le vecteur vitesse de propagation de l'énergie \vec{v}_e tel que \vec{\Pi} = u_{\mathrm{em}} \vec{v}_e. On constate immédiatement que :

La vitesse de propagation de l'énergie est donc colinéaire à l'axe du câble et a pour norme :

La puissance instantanée \mathcal{P}(t) se propageant dans le sens des z croissants à travers une section droite transverse \mathcal{S} (z = \text{cte}) orientée selon \vec{e}_z est donnée par le flux du vecteur de Poynting :

Les champs \vec{E} et \vec{B} étant nuls à l'intérieur des conducteurs parfaits (r < a et r > b), le vecteur de Poynting est nul en dehors de l'espace inter-conducteurs. Avec l'élément de surface en coordonnées cylindriques \mathrm{d}\vec{S} = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_z et l'expression de \vec{\Pi} issue de la question Q38 :

La puissance moyenne temporelle \langle \mathcal{P} \rangle s'obtient en prenant la moyenne sur une période T = 2\pi/\omega :

D'où l'expression de la puissance moyenne transportée par le câble coaxial :

Dans un conducteur ohmique de conductivité \sigma et de perméabilité magnétique \mu_0, l'atténuation du champ électromagnétique par effet de peau est régie par l'épaisseur de peau :

Avec la conductivité du cuivre \sigma = 5{,}9\cdot 10^7\ \Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} et \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} :

d'où l'expression numérique approchée :

Évaluons cette épaisseur sur l'ensemble du spectre audible :

• à la fréquence centrale typique f = 1\text{ kHz} : \delta \simeq \dfrac{65{,}5}{\sqrt{1000}} \simeq 2{,}1\text{ mm} ;
• dans les graves (f = 100\text{ Hz}) : \delta \simeq 6{,}6\text{ mm} ;
• à la limite aiguë (f = 20\text{ kHz}) : \delta \simeq 0{,}46\text{ mm} \approx 460\ \mu\text{m}.

Dans un câble d'instrument standard (guitare), le rayon de l'âme centrale est typiquement de l'ordre de a \sim 0{,}3\text{ à } 0{,}5\text{ mm}, et l'épaisseur du blindage tressé extérieur est également de l'ordre de quelques dixièmes de millimètre. On constate que :

sur la quasi-totalité de la bande audio.

Discussion de la pertinence du modèle :

1. À l'échelle locale (distribution des courants) : Le modèle du conducteur parfait suppose une conductivité infinie (\sigma \to \infty), ce qui implique une épaisseur de peau strictement nulle (\delta \to 0) et des courants purement surfaciques (question Q32). Puisque \delta \ge a, l'onde électromagnétique pénètre en réalité dans tout le volume du conducteur : les courants sont donc volumiques et répartis dans toute la section du cuivre. Sur ce point précis, l'hypothèse d'un courant surfacique n'est pas rigoureusement vérifiée.
2. À l'échelle globale (propagation du signal) : La conductivité du cuivre reste néanmoins immense (\sigma \gg \varepsilon_0 \omega). Le champ électrique longitudinal nécessaire pour entretenir le courant, E_z \approx j/\sigma, demeure infime devant la composante transverse E_r (E_z \ll E_r). Par conséquent, la structure des champs à l'extérieur des conducteurs reste quasi transverse (mode quasi-TEM). De plus, la résistance linéique d'un tel câble est de l'ordre de 0{,}1\ \Omega\cdot\text{m}^{-1}, ce qui engendre des pertes ohmiques totalement négligeables sur une longueur usuelle de quelques mètres devant l'impédance de sortie du micro (R \sim 10\text{ k}\Omega) ou l'impédance d'entrée d'un amplificateur (R_e \sim 1\text{ M}\Omega).

Le modèle du conducteur parfait est donc pleinement pertinent pour décrire la propagation guidée sans distorsion ni atténuation notable, bien qu'il ne décrive pas fidèlement la répartition interne des densités de courant.

Les trois comparateurs de la figure 10 présentent une impédance d'entrée infinie (modélisés par des amplificateurs en régime non linéaire idéal, symbolisés par \triangleright \infty). Les courants prélevés par leurs bornes inverseuses sont donc rigoureusement nuls :

Par conséquent, la chaîne verticale constituée des quatre résistors de même résistance R est traversée par un unique courant d'intensité I. Elle forme un pont diviseur de tension non chargé entre le potentiel d'alimentation V_{cc} et la masse (0\text{ V}).

La résistance équivalente de la branche vaut :

L'intensité du courant traversant les résistors s'écrit alors :

Les potentiels des nœuds intermédiaires, pris par rapport à la masse, s'obtiennent par la loi d'Ohm ou la formule du pont diviseur de tension :

On retrouve bien les valeurs attendues :