L'épreuve prend pour support la guitare électrique et se compose de quatre parties indépendantes : l'électromagnétisme à travers le microphone, le filtrage électrocinétique du signal, la propagation des ondes dans un câble coaxial, et la numérisation puis le traitement du signal. Elle mobilise aussi la programmation en Python et des compétences expérimentales.

1I - MicrophoneÉtudie l'induction électromagnétique dans le microphone à travers le mouvement vertical puis horizontal de la corde, et le positionnement du micro.
2II - Aspect électriqueÉtudie le filtrage électrocinétique du signal issu du microphone, dont un filtre du second ordre et un diagramme de Bode.
3III - Transmission dans un câble coaxialÉtudie la propagation des ondes électromagnétiques dans le câble coaxial reliant l'instrument à l'amplificateur.
4IV - Numérisation et traitement du signalÉtudie la numérisation du signal par un convertisseur analogique-numérique et son traitement par des circuits logiques.

Difficulté moyenne. Le jury indique que le sujet a permis de classer efficacement les candidats, avec quelques copies de très belle facture, et que la progressivité des questions a permis aux candidats sérieux mais modestes de s'exprimer de façon honorable.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,45 / 20 · écart-type 3,96 · 708 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,45/ 20
Écart-type: 3,96
Présents: 708
Coefficient: 10
Durée: 4 h
1er quartile: 6,4
Médiane: 9,6
3e quartile: 12,4

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusions entre lois de l'électromagnétisme · Réflexes expérimentaux insuffisants · Confusion entre caractère oscillatoire et résonance

Le jury constate que l'immense majorité des candidats maîtrise les connaissances de base, mais déplore un manque de réflexes expérimentaux et de nombreuses imprécisions ou dérives hors programme. Il insiste fortement sur la forme des copies, près de la moitié ayant reçu un malus, et sur la probité scientifique, sanctionnant les tentatives de dissimuler un raisonnement faux pour arriver à un résultat attendu.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusions entre lois de l'électromagnétisme1-2
Certains candidats confondent la loi de Faraday, l'équation de Maxwell-Faraday et la loi de Lenz.
« quelques confusions entre « loi de Faraday » et « équation de Maxwell Faraday » ou « loi de Lenz »
2
Réflexes expérimentaux insuffisants
Le jury déplore que beaucoup de candidats ne s'approprient pas les bases attendues, par exemple pour établir un diagramme de Bode en amplitude.
« le jury déplore que bon nombre de candidats ne s’approprient pas les bases des réflexes expérimentaux que l’on est en droit d’attendre »
3
Confusion entre caractère oscillatoire et résonance18
De nombreuses confusions sont relevées entre le caractère oscillatoire de la réponse indicielle d'un filtre du second ordre et sa condition de résonance.
« De nombreuses confusions sont relevées ici entre le caractère oscillatoire de la réponse indicielle d’un filtre du second ordre et la condition de résonance »
4
Confusion entre théorème d'Ampère stationnaire et généralisé33-34
Le jury relève régulièrement des confusions entre le théorème d'Ampère en régime stationnaire et sa version généralisée.
« le jury relève cependant régulièrement des confusions entre le théorème d’Ampère en régime stationnaire et le théorème d’Ampère généralisé »
5
Présentation des copies pénalisée
Près de la moitié des copies a reçu un malus de forme, ce que le jury juge déraisonnable au vu des critères évalués.
« près de la moitié des copies s’est vue attribuer un malus, ce qui est déraisonnable »

Ce qui a été bien réussi

L'immense majorité des candidats maîtrise les connaissances de base.
Les deux premières questions du sujet ont été récompensées par le maximum de points dans la très grande majorité des cas.
Les questions 15 à 17 sur le filtrage ont été bien traitées par la majorité des candidats.

Conseils du jury

Soigner la présentation (lisibilité, clarté, mise en évidence des résultats) pour éviter le malus de forme.
Toujours citer explicitement les théorèmes utilisés, comme le théorème de Stokes ou d'Ampère.
Ne jamais chercher à masquer un résultat faux par un raisonnement forcé ; le jury valorise la probité scientifique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

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Description

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Sujet en PDF

Ce sujet s'intéresse à la restitution, au transport et au traitement numérique du son produit par une guitare électrique.
Il comporte quatre parties indépendantes.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

I Microphone

Une guitare électrique se distingue d'une guitare classique par l'absence de caisse de résonance. Comme la vibration des cordes métalliques est très inefficacement transformée en onde acoustique, celle-ci est directement convertie en un signal électrique grâce à un transducteur électromagnétique : le micro. Apparus au début du XXe siècle, les micros de guitares électriques ont la particularité de restituer la vibration des cordes sans entendre le son que ces dernières produisent.

Figure 1

Un micro de guitare (figure 1) est constitué d'un ou de plusieurs aimants permanents entourés d'une bobine. Les aimants produisent un champ magnétique. Les cordes sont faites d'un matériau ferromagnétique. En vibrant, celles-ci modifient le champ magnétique créé par les aimants. Cette partie présente une modélisation du micro, qui, bien que rudimentaire, permet de capturer les principales caractéristiques d'un micro réel. On modélise le micro par l'association d'une bobine circulaire de rayon

R

, constituée de

N

spires et d'un aimant permanent. La bobine modélise le bobinage du micro tandis que l'aimant modélise la corde ferromagnétique en mouvement.
La spire est contenue dans le plan (

O, Ox, Oy

) d'un repère cartésien associé à la base (

e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z

). Son axe de symétrie de révolution est confondu avec l'axe

Oz

. L'aimant est supposé ponctuel et peut se déplacer selon l'axe

(Oz)

(on parlera de mouvement vertical) ou selon l'axe (

Oy

) (on parlera de mouvement horizontal). Le moment magnétique de l'aimant est noté

M⃗ = Me⃗_z

(figure 2).
Q 1. Justifier qualitativement l'apparition d'une force électromotrice dans la bobine lorsqu'une corde vibre.
Q 2. Énoncer la loi de Faraday.

I.A - Mouvement vertical

On s'intéresse au mouvement vertical de l'aimant. Celui-ci est repéré par un point de coordonnées cartésiennes

(0, 0, z(t))

. En coordonnées sphériques, le champ magnétique créé par un moment magnétique

M⃗ = Me⃗_z

placé à l'origine du repère vaut

B⃗ = (μ_0 Mcosθ)/(2πr^3)e⃗_r + (μ_0 Msinθ)/(4πr^3)e⃗_θ

où

μ_0 = 4π \cdot 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)

est la perméabilité du vide.
Q 3. Donner la définition du flux de

B⃗

à travers une spire de la bobine.
Q 4. On oriente la spire dans le sens direct (indiqué sur le schéma plus haut), et on rappelle que l'élément de surface infinitésimal

dS⃗

à rayon constant en coordonnées sphériques s'écrit

dS⃗ = r^2 sin(θ)dθdφ

. Montrer que le flux du champ

B⃗

à travers une spire vaut:

φ = (μ_0 M)/(2(R^2 + z^2)^(3/2))R^2.

Figure 2

Q 5. En déduire l'expression de la force électromotrice,

e

, induite dans toute la bobine.
Q 6. On considère une vibration sinusoïdale de l'aimant autour de la position

z¯ = 5 mm

, d'amplitude

z_0 = 1

mm et à la fréquence

f = 500 Hz

. Évaluer numériquement l'ordre de grandeur de

e

. On prendra

R = 1 cm

M = 1 \cdot 10^(- 3) A \cdot m^2

N = 5000

.
Q 7. La réponse du micro est-elle linéaire ? Justifier à l'aide des valeurs numériques données à la question précédente.

I.B - Étude du mouvement horizontal

On s'intéresse dans cette partie au mouvement horizontal de l'aimant. On suppose qu'il se déplace uniquement selon l'axe (

Oy

) à l'altitude

z

constante et à l'abscisse

x = 0

(figure 3).

Figure 3

Soit

P

, un point du plan de la bobine (i.e. le plan

z = 0

P

est repéré par ses coordonnées polaires (

r, θ

). On peut obtenir l'expression du champ magnétique en

P

, ce calcul est non demandé ici. On note

B_z(r, θ, y)

la composante du champ

B⃗

selon

e⃗_z

, au point

P(r, θ)

lorsque l'aimant est à l'ordonnée

y

.
Q 8. Rappeler l'expression de l'élément de surface infinitésimal dS en coordonnées polaires.
Q 9. Exprimer,

φ

, le flux du vecteur

B⃗

à travers une spire sous forme d'une intégrale double, on prendra soin d'expliciter les bornes d'intégration.
Q 10. Cette intégrale n'a pas d'expression explicite à l'aide des fonctions usuelles, on choisit de l'évaluer numériquement. Rappeler le principe de la méthode des rectangles.
Q 11. On dispose d'une fonction Python

B(r : float, theta : float, y : float) - > float

qui prend en argument les coordonnées

r

θ

d'un point

M

du plan de la spire, ainsi que l'ordonnée

y

de l'aimant, et qui renvoie la valeur de

B_z(r, θ, y)

. Écrire une fonction

phi(y : float) -> float

qui prend en argument la position

y

de l'aimant et qui renvoie la valeur du flux de

B⃗

à travers une spire.
Q 12. Écrire un script Python qui affiche à l'écran l'allure de

φ

en fonction de

y

, pour

- 1 cm ⩽ y ⩽ 1 cm

.
Q 13. On obtient l'allure de la figure 4 pour

φ

en fonction de

y

. En déduire l'allure du spectre de

e(t)

pour une vibration sinusoïdale de la corde à la fréquence

f = 200 Hz

Figure 4

I.C - Positionnement du micro

Une guitare électrique est souvent munie de plusieurs micros. On peut les activer séparément grâce à un commutateur.
On pince une corde de longueur

L = 67 cm

d'une guitare de façon à produire une onde stationnaire, de vibration verticale, et de faible amplitude (environ

100μ m

). La figure 5 présente le spectre de la tension

e(t)

fournie par un micro placé à 16 cm du point d'attache de la corde.

Figure 5

Q 14. Tracer, le plus précisément possible, l'allure du spectre de la tension

e(t)

enregistrée par un micro placé à 4 cm de point d'attache, pour corde excitée de la même manière. Quel est l'influence de la position du micro sur le son restitué ?

II Aspect électrique

D'un point de vue électrique, le micro se modélise de la façon représentée à la figure 6 .

Figure 6

e(t)

est la force électromotrice induite par le mouvement de la corde.

L

désigne l'inductance propre du bobinage et

R

sa résistance. De plus, le grand nombre de spires présentes dans le bobinage provoque un effet capacitif représenté par le condensateur

C

.
Q 15. Étudier le comportement asymptotique de ce circuit. En déduire le type de filtrage réalisé par le micro.
Q 16. Donner l'expression de la fonction de transfert du micro en régime sinusoïdal forcé

H_-(jω) = (s_-)/(e_-)

.
Q 17. Écrire la fonction de transfert sous la forme

H_-(jω) = (H_0)/(1 - (ω^2)/(ω_0^2) + jω/(Qω_0))

et exprimer les paramètres

H_0

ω_0

Q

en fonction de

R, L

C

.
Q 18. Montrer que, si

Q > 1/(\sqrt2)

, il y a résonance à une pulsation

ω_r

à déterminer.
Q 19. Tracer l'allure du diagramme de Bode en amplitude dans le cas

Q > 1/(\sqrt2)

.
Q 20. Expliquer comment tracer expérimentalement un diagramme de Bode.
Q 21. Dans le cas précis du micro de guitare, expliquer pourquoi il n'est pas possible de tracer expérimentalement le diagramme de Bode.
Q 22. Un potentiomètre de résistance

r

est traditionnellement ajouté en parallèle de la capacité

C

. Donner l'expression littérale du nouveau gain statique du circuit en présence de ce potentiomètre. Ce dernier est accessible pour le guitariste. Quelle est son utilité ?
On souhaite mesurer les paramètres

R, L

C

de deux micros différents : le micro Fender Lace Sensor et le mirco De Armond Dynasonic. En l'absence de vibration de la corde, le micro est modélisé par le dipôle, d'impédance

Z_-

, représenté à la figure 7 gauche.

Figure 7

On réalise le montage de la figure 7 à droite, dans lequel

e

est une source de tension idéale, délivrant une tension sinusoïdale de la forme :

e(t) = Ecos(ωt)

r

est un résistor de résistance

r = 10kΩ

.
Q 23. Exprimer

Z_-

, l'impédance du micro orienté en convention récepteur, en fonction de

R, L, C

ω

.
Q 24. Montrer que

Z_- = r(U_-_Z)/(U_-_r)

.
Q 25. Le graphe de la figure 8 représente

(|U_-_Z|)/(|U_-_r|)

en fonction de la pulsation

ω

pour les deux micros étudiés : trait plein pour le le micro Fender et pointillés pour micro Dynasonic.
Montrer qu'en basses fréquences

Z_- ≃ R

et en déduire la valeur de

R

pour chaque micro.
Q 26. Les relevés expérimentaux mettent en évidence que pour des fréquences de l'ordre de

1kHz, Z_-

est dominée par

R

L

. Montrer que pour ces fréquences

L ≃ 1/ω\sqrt((r| (U_-_Z)/(|U_-_R|))^2 - R^2)

. En déduire la valeur de

L

pour chaque micro.
Q 27.

Z_-

peut s'écrire sous la forme

Z_- = R(1 + jQω/(ω_0))/(1 - (ω^2)/(ω_0^2) + jω/(Qω_0))

. Simplifier l'expression de

Z_-

dans l'hypothèse

Q≫1

ω

proche de

ω_0

. Expliquer comment évaluer

C

à partir des relevés expérimentaux. En déduire la valeur de

C

pour chaque micro.

Q 28. Justifier, à partir des mesures expérimentales, l'affirmation suivante : « Le micro Fender sonne plus aigu que le micro Dynasonic ».

Figure 8

III Transmission dans un câble coaxial

Le signal électrique fourni par le micro est transmis via un câble coaxial. Celui-ci est constitué de deux conducteurs cylindriques coaxiaux infinis, de rayons respectifs

a

b(a < b)

(figure 9). L'espace entre les deux conducteurs est assimilé à du vide.

Figure 9

On étudie le champ électromagnétique (

E⃗, B⃗

) dans le câble en coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) d'axe (

Oz

) colinéaire à l'axe du câble. Le conducteur intérieur est parcouru par un courant électrique

i(z, t) = i_0 cos(ωt - kz)

, tandis que le conducteur est parcouru par

- i(z, t)

.
Q 29. Rappeler les équations de Maxwell. Que deviennent-elles dans le vide ?
Q 30. Établir l'équation de propagation du champ électrique dans le vide.
Q 31. Montrer que des ondes planes de la forme

E⃗ = E⃗_0 exp(jωt - jkz)

B⃗ = B⃗_0 exp(jωt - jkz)

peuvent se propager dans le vide. En déduire l'expression du vecteur d'onde

k⃗ = ke⃗_z

. Caractériser la structure des ondes planes.
Q 32. On cherche, maintenant, des solutions compatibles avec les conditions aux limites imposées par le câble. On suppose que les conducteurs sont parfaits. Justifier que le courant

i(z, t)

est surfacique.
Q 33. On suppose qu'en un point

M

de coordonnées (

r, θ, z

), le champ électromagnétique est de la forme:

G_X : {E⃗(M, t) = E_0(r)exp(jωt − jkz)e⃗_r; B⃗(M, t) = B_0(r)exp(jωt − jkz)e⃗_θ

Cette forme est appelée mode Transverse Électrique et Magnétique (mode TEM). En intégrant l'équation de Maxwell Ampère sur un contour

C

judicieusement choisi, montrer que

\oint _C B⃗ \cdot dl^(\to-) = μ_0 i_(enlace)

où

é i_(enlacé)

sont les courants enlacés par le contour

C

.
Q 34. En déduire l'expression de

B(r)

pour

r < a, a < r < b

puis

r > b

.
Q 35. Montrer que, pour

a < r < b, E_0(r) = 1/(2πε_0 r)k/ωi_0 cos(ωt - kz)

.
Q 36. Le mode TEM décrit-il une onde plane? Montrer que la relation de structure s'écrit :

B⃗ = (k⃗ \land E⃗)/ω

.
Q 37. Calculer la vitesse de phase

v_φ

. Y a-t-il dispersion ?
Q 38. Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique d'énergie instantanée dans la partie

a < r < b

. En déduire la vitesse de propagation de l'énergie.
Q 39. Calculer la puissance moyenne se propageant le long du câble.
Q 40. En pratique, la conductivité n'est pas infinie et le champ électromagnétique pénètre dans les conducteurs. La conductivité du cuivre vaut

σ = 5, 9.10^7 Ω^(- 1) \cdot m^(- 1)

. Discuter la pertinence de l'utilisation du modèle du conducteur parfait.

IV Numérisation et traitement du signal

Le signal fourni par la guitare électrique est finalement numérisé puis traité. On considère dans tout ce qui suit que ce signal est une tension positive comprise entre 0 V (potentiel de la masse) et

V_(cc)

(potentiel haut). On étudie, en premier lieu, un convertisseur analogique numérique de type flash. Le schéma de la figure 10 représente le circuit électronique d'un convertisseur flash sur deux bits.

Figure 10

Q 41. Justifier que les tensions

V_0, V_1

V_2

valent respectivement

1/4V_(cc), 1/2V_(cc)

3/4V_(cc)

Dans la figure figure 10, la porte 1 réalise la fonction ET et la porte 2 la fonction OU.
Q 42. Reproduire et compléter la table de vérité ci-dessous relative au convertisseur flash.

	$S_0$	$S_1$	$S_2$	$b_0$	$b_1$
$0 < V_e < 1/4V_(cc)$
$1/4V_(cc) < V_e < 1/2V_(cc)$
$1/2V_(cc) < V_e < 3/4V_(cc)$
$3/4V_(cc) < V_e$

Q 43. La norme Hi-Res Audio des fichiers audios (utilisé dans les fichiers .flac, par exemple) impose un encodage sur 24 bits à une fréquence égale ou supérieure à 96 kHz . Combien d'amplificateurs linéaires intégrés seraient nécessaires pour réaliser un convertisseur flash sur 24 bits?
En pratique, il n'existe pas dans le commerce de convertisseur flash sur plus de 12 bits (au delà, ils seraient trop chers et trop encombrants). On peut, néanmoins, mettre à profit leur grande rapidité de conversion dans des convertisseurs pipeline semi-flash. Prenons l'exemple du convertisseur pipeline 24 bits à trois étages représenté à la figure 11.

E/B

désigne un circuit échantillonneur bloqueur,

CAN

un convertisseur analogique numérique flash 8 bits et

CNA

un convertisseur numérique analogique 8 bits.

Figure 11

Le premier étage détermine les valeurs des 8 bits de poids fort, l'étage suivant les valeurs des 8 bits suivants, enfin le dernier étage détermine les valeurs des 8 bits de poids faible. Trois circuits échantillonneurs bloqueurs sont intercalés afin de synchroniser les trois conversions. Un échantillonneur bloqueur peut être réalisé selon le schéma de la figure 12, dans lequel l'interrupteur

K

est commandé par une tension créneau, appelé signal d'horloge, à la fréquence d'échantillonnage

f_e

Figure 12

On suppose

K

fermé et le condensateur initialement déchargé. De plus, on suppose que les variations temporelles de

V_e(t)

sont très lentes devant le produit

RC

.
Q 44. Au bout de combien de temps le condensateur atteint-il la tension

V_e

99%

? En déduire une contrainte sur le produit

RC

pour que

u_C

diffère de

V_e

de moins de

1%

à chaque front descendant du signal d'horloge .
Q 45. Que vaut la tension de sortie lorsque l'interrupteur est ouvert ? Quel est l'intérêt de ce circuit ?

Q 46. La tension d'horloge pilotant l'interrupteur

K

est réalisée à l'aide du circuit de la figure 13. L'interrupteur

I

est fermé pour

Q

à l'état bas, et ouvert quand

Q

est à l'état haut et ainsi qu'à la mise sous tension. Tracer le chronogramme de la tension

u_C

, des entrées

R, S

et de la sortie

Q

, en partant de l'état initial

R = 0

S = 1, I

ouvert et

u_C = 0

. On tracera l'allure des chronogrammes sans chercher l'expression littérale de

U_c

au cours du temps.

Figure 13

Q 47. Comment choisir

R_A

R_B

pour obtenir un signal d'horloge en forme de peigne (i.e. signal créneau pour lequel le temps à l'état haut est faible devant le temps à l'état bas) ?
Q 48. Le flanger est un effet sonore obtenu en additionnant au signal d'origine ce même signal mais légèrement retardé. De plus, ce retard est lentement modulé dans le temps. Ainsi, pour un signal d'entrée

e(t)

, le signal de sortie est

s(t) = e(t) + e(t + τ)

avec

τ = τ_0 + δτsinωt

δτ < τ

.
Proposer une fonction Pyhton
phaser(e : list, omega : float, tau : float, dtau : float) -> list :
qui prend, respectivement, en argument:

le signal $e(t)$ numérisé à la période d'échantillonnage $T_e$ et stocké sous forme de liste ;
$ω$ la pulsation de la modulation;
$τ_0$ la valeur moyenne du déphasage;
$dτ$ l'amplitude du déphasage ;
et qui renvoie le signal filtré sous forme de liste. On supposera que $e$ a été enregistré pendant une durée grande devant $τ$ et que la fréquence d'échantillonnage a déjà été définie dans une variable globale fe.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Physique-chimie 2 Centrale MPI 2024 sur la guitare électrique ?

Le sujet porte sur l'induction électromagnétique du microphone, le filtrage électrocinétique, la propagation des ondes dans un câble coaxial, et la numérisation du signal.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique-chimie 2 Centrale MPI 2024 ?

Des confusions entre lois de l'électromagnétisme, un manque de réflexes expérimentaux, une confusion entre oscillation et résonance, et des confusions sur le théorème d'Ampère.

Le sujet Physique-chimie 2 Centrale MPI 2024 sur la guitare électrique est-il difficile ?

Le jury indique que le sujet a permis de classer efficacement les candidats, avec une progressivité des questions qui a permis aux candidats sérieux mais modestes de s'exprimer honorablement.

La forme des copies compte-t-elle beaucoup pour Physique-chimie 2 Centrale MPI 2024 ?

Oui, le jury insiste fortement sur la présentation : près de la moitié des copies a reçu un malus de forme.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie 2 MPI 2024

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