Centrale Physique Chimie 2 MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Les téléphones portables

Figure 1 Messages d'alerte en cas d'utilisation d'un téléphone à haute et basse température

def maFonction(n:int, x:float) -> (int, np.ndarray):

I Étude du module photographique d'un smartphone

I.A - Etude du capteur de l'appareil photographique

Figure 2 Module photographique d'un smartphone (source : wikimediacommons)

I.B - Étude des aberrations géométriques dues à la lentille de l'appareil photographique

I.B.1) Condition de traversée de la lentille

I.B.2) Étude des rayons proches de l'axe optique

I.B.3) Étude de l'aberration sphérique de la lentille

I.B.4) Détermination du profil d'une lentille asphérique

Figure 3 Aberration sphérique

Figure 4 Lentille asphérique

II Étude des pixels de l'écran d'un smartphone

II.A - Estimation de la taille d'un pixel

Figure 5 Écran de téléphone (source wikimediacommons)

II.B - Dispositif expérimental de mesure d'un pixel

• un banc optique et divers supports ;
• une lampe spectrale à sodium ;
• un laser ;
• deux lentilles convergentes L_1 et L_2 de distances focales respectives f_1^′ = 10, 5 mm, f_2^′ = 45, 5 mm;
• un écran percé d'un trou ;
• un téléphone portable.

II.B.1) Premier montage

II.B.2) Modélisation numérique de l'expérience du premier montage

II.B.3) Montage avec laser

a : intensité relative

II.B.4) Détermination de la taille d'un pixel

• On place sur un banc optique, dans l'ordre de la droite vers la gauche, un laser, une lentille L_1, un écran troué en son centre, une lentille L_2 et le téléphone.
• On s'assure du centrage du système, la tache du laser est visible sur l'écran du smartphone.
• Sur la face gauche de l'écran, une figure géométrique caractéristique d'un phénomène de diffraction est visible, cette figure est exploitée ci-après.
• Les distances focales utilisées sont f_1^′ = 10, 50 cm et f_2^′ = 45, 50 cm. Leur incertitude-type vaut u(f^′) = 0, 30 cm.

Figure 7 Deuxième montage : laser et miroirs

Figure 8 Disposition des 4 miroirs

Figure 9 Dernier montage : détermination de la taille d'un pixel

Figure 10 Image visible sur l'écran

III Étude de la batterie lithium-ion

IV Étude d'un congélateur

IV.A - Congélateur à compresseur

IV.B - Résolution approchée de l'équation de la diffusion thermique dans le congélateur

IV.B.1) Modèle à une dimension

Figure 12 Discrétisation dans la direction x

IV.B.2) Modèle à deux dimensions x et y

Figure 13
a : contours de T(x, y) corrects dans les parois du congélateur
b : tracé erroné de T(x, y) le long de la ligne horizontale en pointillés
c : tracé correct de T(x, y) le long de la ligne horizontale en pointillés

◻
◻
Question 4

Figure A Modèle de la lentille demi-boule

Figure B Premier montage : lampe spectrale et miroirs

Question 28

Figure C

import numpy as np
N_int = 100 # nombre de points par axe à l'intérieur du congélateur
N_paroi = 40 # nombre de points dans l'épaisseur de chaque paroi
T_out = 19.0 # température extérieure en }\mp@subsup{}{}{\circ}\textrm{C
T_in = -18.0 # température intérieure en }\mp@subsup{}{}{\circ}\textrm{C
res = 1 # erreur résiduelle initialisée à une valeur élevée
compteur = 0 # compteur d'itérations
N = N_int + 2 * N_paroi # nombre total de points sur chaque axe (x et y)
def cond_lim(T:np.ndarray) -> None:
    # Fixer les conditions aux limites (modifie T)
    T[N_paroi:N_int+N_paroi, N_paroi:N_int+N_paroi] = T_in # intérieur
    T[:, 0] = T_out # extérieur de la paroi gauche
    T[:, N-1] = T_out # extérieur de la paroi droite
    T[0, :] = T_out # extérieur de la paroi supérieure
    T[N-1, :] = T_out # extérieur de la paroi inférieure
def iterate(T:np.ndarray, old:np.ndarray) -> None:
    # Calculer la température moyenne en chacun des points de la grille
    T_s = old[0:N-2, 1:N-1] # les valeurs supérieures de l'ancienne grille [i-1, j]
    T_i = old[2:N, 1:N-1] # les valeurs inférieures de l'ancienne grille [i+1; j]
    T_g = old[1:N-1, 0:N-2] # les valeurs de gauche de l'ancienne grille [i, j-1]
    T_d = old[1:N-1, 2:N] # les valeurs de droite de l'ancienne grille [i, j+1]
    T[1:N-1, 1:N-1] = (T_s + T_i + T_g + T_d) / 4
T = np.zeros((N, N)) # grille de calcul
cond_lim(T) # la valeur de départ (arbitraire) doit vérifier les conditions aux limites
while (res > 1e-3 and compteur < 20):
    old = np.copy(T) # mémoriser le résultat du tour précédent
    iterate(T, old) # calculer la nouvelle grille de température
    cond_lim(T) # s'assurer de respecter les conditions aux limites
    res = np.max(np.abs(T - old)) # variation apportée par cette itération
    compteur += 1 # comptabiliser une nouvelle itération

Instructions Python : opérations sur les tableaux numpy

• np.ones(n), np.ones((n, m)) fonctionne comme np.zeros en initialisant chaque coefficient à la valeur un.
• np.min(a), np.max(a) renvoie la valeur du plus petit (respectivement plus grand) élément du tableau a.
• np.abs(a) crée un tableau similaire au tableau a dont les coefficients sont les valeurs absolues des coefficients de a.

Données

Estimation d'une incertitude-type composée