La pluie et l'arc-en-ciel : chute des gouttes, disdromètres, optique de l'arc-en-ciel et électrolyse de l'eau de pluie
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Le sujet, en huit parties indépendantes, étudie les gouttes de pluie et l'arc-en-ciel. Il traite la vitesse limite de chute, la mesure du diamètre des gouttes par des disdromètres à impact et optique, la distribution des diamètres dans une averse, puis les théories géométrique et ondulatoire de l'arc-en-ciel. Une partie de chimie, comptant pour 20 % des points, porte sur l'électrolyse de l'eau de pluie.
1Partie I : vitesse des gouttes de pluieRéférentiel galiléen, poids, vitesse limite de chute dans l'air.
2Partie II : disdromètre à impact avec platineÉquilibre d'une platine sur ressort, équation différentielle du second ordre et régime critique.
3Partie III : disdromètre à impact avec piézoélectriqueChamp d'un plan chargé par symétries et théorème de Gauss, superposition, condensateur plan.
4Partie IV : dimensionnement et étalonnageDistribution des diamètres des gouttes, intégrales de normalisation et changement de variable.
5Partie V : disdromètre optiqueTraitement électronique du signal d'occultation d'un faisceau, filtrage et mesure de la vitesse et du diamètre.
6Parties VI et VII : théories géométrique et ondulatoire de l'arc-en-cielLois de Descartes, déviation minimale dans une goutte, puis interférences à deux ondes et cohérence.
7Partie VIII : valorisation des eaux de pluie par électrolyseDemi-réactions, enthalpie standard de réaction, formule de Nernst, courbes intensité-potentiel et cellule d'électrolyse.
Difficulté moyenne. Les correcteurs jugent le sujet bien calibré en niveau et classant ; la plupart des candidats l'ont traité jusqu'au bout.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Définitions de cours approximatives · Ressort vertical et signes · Théorème de Gauss mal appliqué
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Le sujet alternait questions de cours, questions de réflexion et questions plus techniques, sur les programmes de première et deuxième années. Les questions de cours (condensateur, interférences à deux ondes, réponse indicielle du second ordre) permettaient d'atteindre 5 sur 20. Le jury regrette une lecture trop rapide de l'énoncé et un cours su de façon approximative, notamment celui de première année.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Définitions de cours approximativesQ1
Le référentiel galiléen reçoit des définitions circulaires et le poids est souvent confondu avec la force de gravitation.
« La définition du repère galiléen, qui est un fondement de la mécanique, est mal connue. »
2
Ressort vertical et signesQ5, Q6, Q8
Beaucoup d'erreurs de signe à l'équilibre et dans l'élimination des termes constants ; le régime critique est rarement nommé et rarement bien tracé.
« La force de rappel d'un ressort vertical pose toujours d'énormes problèmes »
3
Théorème de Gauss mal appliquéQ9 à Q11
Oubli que les plans de symétrie doivent passer par M, surface non fermée, charge intérieure fausse et superposition mal utilisée.
« Beaucoup ne savent qu'énoncer le théorème de Gauss. »
4
Intégrales de distributionQ14 à Q17
La partie IV est la plus maltraitée : intégrale de normalisation absente, élément différentiel dD oublié dans le changement de variable.
« L'intégrale de normalisation au dénominateur est quasi -systématiquement absente. »
5
Raisonnements qualitatifs trop vaguesQ21
L'intensité occultée est proportionnelle à la surface d'un disque de diamètre D ; une dépendance ne suffit pas à conclure à une proportionnalité.
« ce n'est pas parce que l'intensité dépend du diamètre qu'il y a proportionnalité. »
6
Fonctionnement de l'électrolyseurQ34, Q37
Confusion avec l'autoprotolyse de l'eau, réaction écrite dans le mauvais sens, et générateur mal compris, ce qui fausse le sens du courant et des ions.
« semblent penser que la cellule fonctionne comme une pile qui imposerait le courant. »
Ce qui a été bien réussi
La partie I, conçue pour entrer dans le sujet, est dans l'ensemble bien traitée.
La relation entre charge et tension d'un condensateur est connue (Q12).
Le passage de la goutte dans le faisceau est bien compris par une majorité, avec la bonne expression de v (Q20).
Les questions Q36 et Q39 sont souvent bien traitées.
Conseils du jury
Commencer par les questions de cours, qui suffisent pour obtenir une note minimale de 5 sur 20.
Bien travailler les équations différentielles.
Lire l'énoncé attentivement, par exemple sur le nombre stœchiométrique de l'eau (Q34).
S'aider d'un schéma plutôt que de longues digressions (Q20).
Soigner la rédaction : 5 % du barème y était consacré.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
43 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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43 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet, en huit parties indépendantes, étudie les gouttes de pluie et l'arc-en-ciel. Il traite la vitesse limite de chute, la mesure du diamètre des gouttes par des disdromètres à impact et optique, la distribution des diamètres dans une averse, puis les théories géométrique et ondulatoire de l'arc-en-ciel. Une partie de chimie, comptant pour 20 % des points, porte sur l'électrolyse de l'eau de pluie.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Le soleil a rendez-vous avec la pluie
Ce sujet traite des gouttes d'eau et de l'arc-en-ciel qui résulte de l'interaction des rayons solaires avec la pluie.
II est constitué de 8 parties qui peuvent être résolues de manière totalement indépendante les unes des autres.
Dans les parties I et II (mécanique du point) et III (électrostatique), on s'intéresse d'abord à la vitesse limite de chute des gouttes de pluie et à la mesure de leurs diamètres, puis, dans la partie IV, à la répartition (distribution) de ces diamètres dans une averse et, dans la partie V (étude d'un signal), à une autre mesure de ces diamètres.
Ensuite, dans les parties VI (optique géométrique) et VII (interférences), on étudie les phénomènes optiques engendrés par les gouttes d'eau éclairées par le Soleil.
Enfin, la dernière partie VIII (chimie) s'intéresse à la valorisation des eaux de pluie.
Dans tout le sujet, on suppose les gouttes d'eau sphériques. L'ordre de grandeur de leur diamètre, noté D, est le millimètre.
Partie I - Vitesse des gouttes de pluie
On s'intéresse à la chute dans l'air d'une goutte d'eau de diamètre D et de masse volumique ρ = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3). On prendra pour l'air une masse volumique égale à ρ_a = 1, 3 kg ⋅ m^(− 3).
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. L'axe Oz est vertical descendant. L'accélération de la pesanteur vaut g⃗ = ge_z→ avec g = 9, 8 m ⋅ s^(− 2).
Q1. Définir " référentiel galiléen ". Définir et exprimer le poids d'une goutte d'eau.
Q2. On admet que la seule autre force mise en jeu est la force de frottement, due à l'air, proportionnelle au carré de la vitesse v de la goutte. Elle s'écrit :
F_(frott)^(→−) = − Cπρ_a D^2 v^2 e_z→ avec C = 6, 0 ⋅ 10^(− 2)
Vérifier l'homogénéité de cette formule.
Q3. En appliquant la seconde loi de Newton à la goutte dans le référentiel terrestre, montrer que sa vitesse limite, donc indépendante du temps, s'écrit :
v_(lim)^(→−) = K√De_z→
où K est un coefficient à exprimer en fonction de ρ, ρ_a, C et de g.
Calculer la vitesse limite pour des diamètres égaux à 1 mm, 3 mm et 5 mm .
Gunn et Kinzer ont mesuré en 1949 avec précision des vitesses limites de gouttes de différents diamètres. Les résultats de leurs mesures avec les barres d'incertitudes sont reportés sur la figure 1 en trait plein ainsi que la représentation de la relation obtenue en Q3 en traits pointillés.
Q4. Pour quelle(s) raison(s) le modèle théorique élaboré aux questions de Q1 à Q3 n'est-il pas validé pour toutes les tailles de gouttes?
Figure 1 - Influence du diamètre sur la vitesse limite
Selon les précipitations, la taille des gouttes de pluie est très variable. La distribution des tailles de goutte, qui renseigne sur les événements météorologiques, doit souvent être mesurée. On utilise pour cela un disdromètre ("Distribution of Drops Meter").
Partie II - Disdromètre à impact avec platine
On suppose dans cette partie que la vitesse limite atteinte par une goutte de diamètre D qui tombe dans l'atmosphère est donnée par la relation :
V_(lim)^(→−) = K√De_z→ avec K = 150 m^(1/2) ⋅ s^(− 1).
II existe deux types de disdromètres : le plus ancien est le disdromètre à impact (photo 1).
Photo 1 - Disdromètre Joss-Waltvogel
Il se compose d'une platine sensible recevant les gouttes de pluie de masse m(D) ayant atteint leur vitesse limite et d'un système de traitement permettant la mesure de celle-ci.
On modélise la platine par un disque plan horizontal, de rayon R et de masse M, relié à un support fixe par l'intermédiaire d'une suspension, modélisée par un système masse-ressort amorti.
On note k la raideur du ressort liant la platine au support, I_0 sa longueur à vide et λ le coefficient de frottement traduisant l'amortissement du disque : la force de frottement, qui s'oppose à la vitesse de la platine, s'écrit donc f⃗ = − λv⃗_(platine).
La goutte exerce, lors de son impact sur la platine, une force F(t)^(→−) = F(t)e_z→ verticale sur celle-ci.
Le référentiel lié au support est supposé galiléen.
Le déplacement de la platine du disdromètre par rapport à sa position d'équilibre est Z(t) (figure 2).
Figure 2 - Modélisation du disdromètre à impact à platine
Q5. Exprimer la longueur I_(équ) du ressort à l'équilibre de la platine, sans impact de goutte.
Q6. Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est :
et exprimer les coefficients γ et β en fonction de k, M et de λ.
La force F(t) est modélisée par :
F = F_0 = m(D)(V_(lim)(D))/(τ(D)) pour 0 < t < τ;
F = 0 pour t > τ.
Q7. Donner la signification physique de τ et justifier que son ordre de grandeur est :
τ(D) ≈ D/(v_(lim)(D)).
On utilise en pratique un facteur correctif ξ = 0, 65 tel que :
τ(D) = ξD/(v_(lim)(D)).
Calculer τ pour D = 2, 5 mm.
Q8. On se place à 0 ≤ t ≤ τ(D) et on souhaite que la réponse du disdromètre soit la plus rapide possible.
a) Quelle doit être la relation entre les coefficients β et γ ?
On se place dans ce cas.
b) Le système étant à l'équilibre avant la chute de la goutte, montrer que la réponse du disdromètre s'écrit alors pour 0 ≤ t ≤ τ :
Z(t) = (F_0)/k[1 − (1 + γt/2)e^(− γt/2)]
c) Comment choisir γ pour réaliser Z(τ) = (F_0)/k ? Montrer alors que Z(τ) est proportionnel à D^α et donner la valeur de α.
d) Tracer l'allure de Z(t) pour 0 ≤ t ≤ 2τ.
e) Comment la mesure de Z(t) permet-elle de connaître D ?
Partie III - Disdromètre à impact avec piezoélectrique
Ce disdromètre est un disdromètre à impact utilisant un capteur piézoélectrique (photo 2).
Figure 3 - Modélisation du capteur piézoélectrique
Les cristaux piézoélectriques, par exemple le quartz, génèrent une tension lorsqu'ils sont soumis à une contrainte mécanique et ils se déforment lorsqu'ils sont soumis à une tension électrique.
On modélise le capteur piézoélectrique par l'ensemble de deux électrodes planes de surface S chargées + Q et − Q et séparées par le matériau piézoélectrique, d'épaisseur e (figure 3).
On considère tout d'abord l'électrode chargée + Q : on la modélise par un plan infini d'épaisseur nulle, situé en z = e/2 et on cherche le champ électrostatique E⃗ créé par cette distribution placée dans le vide.
Q9. En étudiant les symétries, puis les invariances de la distribution, donner la direction du champ électrique E(M)^(→−) en un point M quelconque de l'espace et les coordonnées dont ce champ dépend.
Q10. En utilisant un théorème d'électromagnétisme à énoncer, calculer le champ électrique créé par cette distribution en tout point de l'espace.
Q11. En déduire l'expression du champ électrique E(M)^(→−) vide créé par l'association des deux électrodes chargées + Q et − Q, en un point M entre les deux électrodes s'il y avait le vide. Dans un matériau ayant une permittivité ε, on remplace la permittivité diélectrique du vide par ε. En déduire le champ E(M)^(→−) piezo à l'intérieur du matériau piézoélectrique.
Q12. On admet que la charge Q est proportionnelle à la force F(t) exercée par une goutte sur le capteur lors de son impact. Montrer, en utilisant la modélisation de F(t) proposée en haut de la page 5 , que la tension u(t) aux bornes du capteur piézoélectrique est proportionnelle à D^3.
Partie IV - Dimensionnement et étalonnage du disdromètre à impact
On considère tout d'abord une averse dont toutes les gouttes ont le même diamètre D, tombent à la vitesse v_(lim)(D) et sont réparties en volume de manière homogène avec une densité volumique N.
On suppose dans cette partie que la vitesse limite atteinte par une goutte de diamètre D qui tombe dans l'atmosphère est donnée par la relation : v_(lim)^(→−) = K√De_z→ avec K = 150 m^(1/2) ⋅ s^(− 1) et que la durée de l'impact est :
τ(D) = ξD/(v_(lim)(D)) avec ξ = 0, 65
Q13. Exprimer le nombre de gouttes G tombant sur la surface S du disdromètre pendant la durée τ d'un impact, en fonction de N, S, D et de ξ. En déduire l'expression de la surface maximale S_(max) du capteur du disdromètre permettant d'éviter des chevauchements du signal dus à deux impacts successifs.
Dans une averse, on trouve en fait plusieurs tailles de gouttes. La distribution des tailles de gouttes est caractérisée par la valeur n(D), telle que le nombre de gouttes de pluie par unité de volume, de diamètre compris entre D et D + dD, s'écrit : dN = n(D)dD.
Une distribution empirique très utilisée est celle de Marshall et Palmer :
Q14. On considère une averse contenant toutes les tailles de gouttes, répondant à la distribution de Marshall et Palmer. Montrer que D_0 représente le diamètre moyen des gouttes.
On donne :
∫_0^∞xe^(− x)dx = 1
Q15. Exprimer pour la distribution de Marshall et Palmer le nombre de gouttes G tombant sur la surface S du disdromètre pendant une durée τ.
En déduire une seconde expression de S_(max). En pratique, le constructeur applique une marge. On prend librement la valeur ξ = 6, 5. Calculer S_(max) numériquement pour D_0 = 1, 5 mm et commenter au regard de la photo 2.
On peut étalonner le disdromètre à l'aide d'un pluviomètre : c'est un simple récipient cylindrique gradué recueillant l'eau de pluie (photo 3). Il ne permet pas de mesurer n(D), mais seulement l'intensité R de l'averse.
Cette intensité R est définie comme la hauteur d'eau tombant au sol par unité de temps. Elle est donnée en pratique en mm ⋅ h^(− 1). Il suffit donc de graduer le pluviomètre pour lire la hauteur d'eau après une durée définie et calculer l'intensité R.
Photo 3 - Pluviomètre
Q16. On considère tout d'abord une averse dont toutes les gouttes ont le même diamètre D_0, tombant à la vitesse v_(lim)(D_0) et réparties en volume de manière homogène avec une densité volumique N.
Exprimer l'intensité R de cette averse en fonction de N, D_0 et de v_(lim)(D_0).
Q17. Justifier que R s'exprime de manière générale par:
R = ∫_0^∞n(D)v_(lim)(D)π(D^3)/6dD
et calculer R. On donne ∫_0^∞x^(3, 5)e^(− x)dx = (105√π)/(16) ≈ 11, 6.
Faire l'application numérique en mm ⋅ h^(− 1) pour D_0 = 1, 5 mm.
En général, le disdromètre sépare les gouttes en " classes " : à chaque classe correspond un diamètre D moyen et une " largeur " δD en diamètre. Cela signifie qu'appartiennent à la même classe toutes les gouttes dont le diamètre est compris dans l'intervalle [D − (δD)/2, D + (δD)/2].
On donne (figure 4) l'histogramme obtenu après une mesure sur une durée de 24 heures avec un disdromètre de surface S = 80 cm^2.
Cet histogramme donne le nombre de gouttes mesuré pour chaque classe, de largeur en diamètre variable :
δD = 0, 1 mm pour 0 mm < D ≤ 1 mm,
δD = 0, 2 mm pour 1 mm < D ≤ 2 mm,
δD = 0, 4 mm pour D > 2 mm.
Figure 4 - Résultats d'une mesure sur une durée de 24 heures
Q18. Expliquer comment il est possible de calculer R à l'aide de ces données (le calcul n'est pas demandé).
Partie V - Disdromètre optique
Le second type de disdromètre, plus récent, est le disdromètre optique (photo 4).
Il est constitué :
d'une source émettant un faisceau lumineux de section rectangulaire traversé par les gouttes de pluie. Le faisceau a une épaisseur h = 1, 0 cm, une largeur I = 4, 0 cm et une longueur L = 25, 0 cm (figure 5);
d'un capteur, sur lequel est focalisé le faisceau lumineux qui délivre une tension e(t) proportionnelle à l'intensité lumineuse reçue.
Sans passage de goutte : e(t) = kI_0 où I_0 est l'intensité du faisceau et k une constante. Lors du passage d'une goutte : e(t) = k(I_0 − I(t)) où I(t) est l'intensité occultée par la goutte.
Photo 4 - Disdromètre Parsivel
Gouttes
Figure 5 - Modèle de disdromètre optique
Le signal e(t) est traité de la manière représentée sur le schéma ci-dessous :
Q19. Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. Quel composant électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?
Après traitement de e(t), on obtient le signal s(t), dû au passage d'une goutte dans le faisceau présenté figure 6. On suppose que le diamètre de la goutte est inférieur à h.
Figure 6 - Signal s(t) généré par le passage d'une goutte dans le faisceau lumineux
Q20. Calculer la vitesse de chute de la goutte en expliquant la démarche.
Q21. Montrer que le maximum s_(max) du signal s(t) est proportionnel au diamètre D de la goutte détectée :
s_(max) = K^′ D.
Q22. Quel avantage présente le disdromètre optique par rapport au disdromètre à impact ?
Partie VI - Théorie géométrique de l'arc-en-ciel
Lorsque le soleil éclaire les gouttes d'eau, on peut observer dans certaines conditions un arc-en-ciel.
On considère une goutte d'eau sphérique, de diamètre D et d'indice de réfraction n. Les trajets des rayons lumineux sont représentés sur la figure 7.
Soit un rayon lumineux incident, arrivant avec un angle d'incidence i (qui n'est pas nécessairement petit) sur la goutte. On note r l'angle de réfraction associé à l'angle d'incidence i.
L'indice de l'air vaut n_(air) = 1.
On considère un rayon sortant de la goutte d'eau après une seule réflexion à l'intérieur de la goutte et deux réfractions à l'entrée et à la sortie de la goutte (figure 7) : ce rayon est à l'origine de l'arc-en-ciel principal.
Figure 7 - Cas d'une réflexion et de deux réfractions
Q23. Rappeler les lois de Descartes de la réfraction et donner la relation entre l'angle d'incidence i et l'angle de réfraction r.
Q24. La déviation est l'angle dont il faut tourner le rayon incident pour l'amener sur le rayon émergent ; afin d'avoir une valeur positive, on considère ici son opposé, l'angle orienté Δ (figure 7). Montrer que : Δ = π − 4r + 2i.
Exprimer l'angle Δ en fonction de n et de x = sin(i).
Q25. Montrer que Δ(x) passe par un extremum lorsque x a pour valeur :
x_m = sin(i_m) = √((4 − n^2)/3).
Donnée : d/(du)Arcsin(u) = 1/(√(1 − u^2)).
Q26. Justifier à l'aide de la figure 8 qu'on observe une accumulation de lumière dans la direction Δ_m = Δ(x_m).
Figure 8 - Déviation en fonction de l'angle d'incidence
Q27. Calculer x_m et Δ_m (en degrés) dans le cas de l'eau, pour le violet ( λ = 400 nm, n = 1, 343 ) et le rouge ( λ = 700 nm, n = 1, 330 ).
Q28. Sur un schéma faisant apparaître les rayons incidents, parallèles, le rideau de pluie et l'œil de l'observateur, tracer les rayons émergents rouge et bleu dans la direction Δ_m. L'observateur observe-t-il le rouge à l'intérieur ou à l'extérieur de l'arc?
Partie VII - Théorie ondulatoire de l'arc-en-ciel
Q29. Cette question a pour but de rappeler certaines conditions d'observation des interférences lumineuses.
Deux sources lumineuses ponctuelles S_1 et S_2 émettent deux ondes électromagnétiques monochromatiques de pulsations respectives ω_1 et ω_2.
Ces deux ondes se propagent dans un milieu d'indice n et interfèrent en un point P après avoir parcouru les distances x_1 = S_1 P et x_2 = S_2 P. On modélise les amplitudes des ondes en P par les grandeurs scalaires:
avec k_i = n(ω_i)/c(i = 1, 2), a_1, a_2, φ_1, φ_2 constantes.
c est la célérité de la lumière dans le vide.
a) Donner un ordre de grandeur de ω_1 et ω_2 pour la lumière visible.
b) L'intensité lumineuse I(P) observée à l'œil nu en P est proportionnelle à la valeur moyenne du carré de l'amplitude reçue en P, soit : I(P) = K⟨s^2(P, t)⟩_τ. Sur quelle durée τ cette valeur moyenne est-elle calculée ?
c) Calculer l'intensité I(P) et montrer qu'elle s'écrit : I(P) = I_1 + I_2 + I_(12)(P).
À quelle(s) condition(s) le terme I_(12)(P) est-il non nul ?
Donnée: cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a + b) + cos(a − b)].
d) On suppose dans la suite que ω_1 = ω_2 = ω et φ_1 = φ_2.
Montrer que l'intensité en P s'écrit I(P) = I_1 + I_2 + 2√(I_1 I_2)cos((2π)/λδ(P))
où λ est la longueur d'onde dans le vide. La grandeur δ(P) sera exprimée en fonction de l'indice n du milieu, de x_1 et de x_2.
Il est possible (photo 5) dans un arc-en-ciel d'observer, outre les arcs décrits par l'optique géométrique, un phénomène d'interférences responsable d'arcs dits " surnuméraires ".
Photo 5 - Franges d'interférences obtenues en lumière monochromatique avec une goutte d'eau
Q30. Représenter la courbe I(P) en fonction de δ(P). En observant la photo 5, que peut-on dire de I_1 et I_2 ?
On considère (figure 9 ) deux rayons d'incidences i_1 et i_2, voisins du rayon d'incidence i_m (en pointillés) sur une goutte d'eau, se réfléchissant une seule fois à l'intérieur de la goutte d'eau et émergeant dans des directions parallèles.
Figure 9 - Rayons responsables des interférences
Q31. Où ces rayons interfèrent-ils ?
Q32. On admet que la différence de marche en un point P du champ d'interférences s'écrit :
Exprimer la condition permettant d'observer des interférences constructives. L'écart angulaire entre les franges est-il plus grand pour les petites ou les grosses gouttes? Justifier qualitativement.
Q33. Les rayons incidents d'angles d'incidence i_1 = 50, 13^∘ et i_2 = 67, 98^∘ donnent pour une radiation rouge ( λ = 700 nm, n = 1, 330 ) des rayons émergents parallèles.
Quel diamètre de goutte permettra d'observer la frange claire d'ordre - 2 dans la direction des rayons émergents?
Partie VIII - Valorisation des eaux de pluie par électrolyse en ligne
Données à 298 K :
Enthalpies standard de formation :
O_2 (gaz)
H_2 O (liq)
H_2 (gaz)
Δ_f H^∘(kJ ⋅ mol^(− 1))
0
− 285, 5
0
Potentiels redox standard en V, à 298 K :
Cl_2/Cl^−
Na^+/Na
O_2/H_2 O
H^+/H_2
E^∘(V)
1,36
− 2, 71
1,23
0
Surpotentiels seuils sur électrode de platine :
Cl_2/Cl^−
O_2/H_2 O
H^+/H_2
η_a(V)
0,08
0,77
η_c(V)
− 0, 07
Masses molaires (en g ⋅ mol^(− 1) ) : M(Na) = 23, 0 et M(Cl) = 35, 5.
Charge par mole de charges élémentaires : 1 Faraday = 𝔉 = 96500C ⋅ mol^(− 1).
Constante des gaz parfaits: R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1). RTLn(10)/𝔉 = 0, 06 ∨.
La récupération d'eau de pluie dans des bacs de stockage permet de nombreuses utilisations : arrosage, alimentation des chasses d'eau et lave-linge entre autres.
Dans l'agriculture, on l'utilise également pour le bétail au prix d'un traitement de désinfection par production de dichlore, qui peut être réalisé par électrolyse.
On considère tout d'abord l'électrolyse de l'eau pure à T = 298 K, avec deux électrodes de platine, sous l'action d'une différence de potentiel U, permettant de recueillir du dioxygène et du dihydrogène gazeux.
On donne le schéma de principe de la cellule d'électrolyse (figure 10).
Figure 10 - Cellule d'électrolyse
Q34. Préciser les demi-réactions électroniques qui se produisent lors de l'électrolyse de l'eau pure et en donner le bilan (pour une unité stœchiométrique d'eau). On précise que le platine des électrodes ne participe à aucune réaction.
Q35. Calculer la constante d'équilibre K^0 de l'équation bilan ainsi que l'enthalpie libre standard de réaction Δ_r G^∘ à la température T = 298 K.
Q36. Déterminer l'enthalpie standard Δ_r H^∘ de la réaction à T = 298 K. Est-il préférable de pratiquer cette électrolyse à haute température ou à basse température ? Justifier.
Q37. Reproduire le schéma de la figure 10 sur votre copie et faire apparaître le sens de circulation du courant et des électrons, les noms des électrodes et le sens de circulation des ions dans la solution.
Q38. En considérant uniquement l'aspect thermodynamique, quelle tension minimale U_(min) doit être appliquée pour que l'électrolyse démarre ? On suppose p(H_2) = p(O_2) = 1 bar .
Q39. On constate qu'en réalité il faut appliquer une différence de potentiel supérieure à U_(cin) = 2, 07 V afin d'observer une réaction sur des électrodes de platine, en raison de l'aspect cinétique de la réaction. On propose en figure 11 les courbes intensité-potentiel relatives à l'électrolyse. Identifier les courbes et justifier la valeur de U_(cin) par un calcul.
Figure 11 - Courbes intensité-potentiel pour l'électrolyse de l'eau
Q40. En réalisant expérimentalement cette manipulation, on constate que le courant circulant est extrêmement faible. Pourquoi?
Q41. Pour traiter cette eau, on ajoute du chlorure de sodium Na^+ + Cl^−à raison de 100 g par m^3 de solution. On considère p(Cl_2) = 1 bar. Les demi-réactions électroniques sont-elles modifiées ? Pourquoi ? Écrire la réaction d'oxydo-réduction correspondante.
Q42. L'intensité du courant circulant dans l'électrolyseur vaut I = 10 A . Quel volume de solution peuton traiter par heure?
Q43. Le dichlore se décompose au contact de l'eau en acide hypochloreux HClO et en acide chlorhydrique. Écrire le bilan de cette réaction. Cette réaction est-elle une réaction acidobasique ou une réaction redox ? Justifier.
FIN
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique-chimie CCINP MP 2023 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique-chimie CCINP MP 2023 ?
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Sur la pluie : vitesse de chute des gouttes, disdromètres à impact et optique, distribution des diamètres, optique géométrique et ondulatoire de l'arc-en-ciel, et électrolyse de l'eau de pluie en chimie.
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie CCINP MP 2023 ?
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Des erreurs de cours : référentiel galiléen, force de rappel d'un ressort vertical, théorème de Gauss, intégrales de distribution, sens du courant et des ions dans l'électrolyseur.
Quelle partie du CCINP physique-chimie MP 2023 a été la moins réussie ?
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La partie IV sur la distribution des diamètres des gouttes, qualifiée de plus maltraitée du problème par le jury. La partie III, pourtant une question de cours classique, a aussi déçu.
Combien compte la chimie au CCINP physique-chimie MP 2023 ?
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La partie de chimie, sur l'électrolyse de l'eau de pluie, comptait pour 20 % des points.
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Commentaires• CCINP Physique Chimie MP 2023
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