Physique autour du manga One Piece : chaîne d'oscillateurs, plasma et machine frigorifique
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Le sujet s'inspire du manga One Piece et couvre la mécanique, l'électromagnétisme et la thermodynamique de première et deuxième années. Il étudie une chaîne d'oscillateurs harmoniques et la propagation d'ondes dans un cristal, puis les champs dans un condensateur, l'écrantage dans un plasma et une décharge électrique. Il se termine par une machine frigorifique et la cinétique de formation d'une couche de glace.
1Partie I : chaîne d'oscillateurs et onde mécaniquePotentiels de Morse et de Lennard-Jones approchés par un ressort, chaîne infinie d'oscillateurs, relation de dispersion, énergie d'un cristal et passage au continu.
2Partie II : électrodynamique classiqueChamp dans un condensateur plan, équations de Maxwell, écrantage dans un plasma thermique avec le facteur de Boltzmann, puis décharge du condensateur.
3Partie III : thermodynamiqueMachine frigorifique refroidissant une source de température variable, puis croissance d'une couche de glace par conduction thermique.
Difficulté moyenne. Le jury décrit une épreuve progressive et équilibrée, accessible à tout élève sérieux qui maîtrise son cours, avec une dernière partie moins réussie.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Équilibre mal caractérisé · Vitesse de groupe et vitesse de phase · Condensateur plan et théorème de Gauss
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Le jury tire un bilan très positif : l'épreuve classe bien les candidats et toutes les questions ont été abordées. La partie sur les ondes et la décharge du condensateur sont souvent bien traitées, alors que la thermodynamique finale est la moins réussie. Deux erreurs d'énoncé (Q19 et Q39) ont été neutralisées dans le barème.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Équilibre mal caractériséQ1, Q2
Beaucoup de candidats écrivent que le potentiel est nul au lieu d'annuler sa dérivée. L'énergie potentielle élastique est parfois inconnue.
2
Vitesse de groupe et vitesse de phaseQ10, Q11
Les définitions sont confondues, la lecture sur le graphe de dispersion est presque jamais évoquée et la notion de dispersion n'est pas maîtrisée.
« Beaucoup confondent les définitions de vitesse de groupe et de phase. »
3
Condensateur plan et théorème de GaussQ24 à Q26
Nombreuses fautes de signe et mauvais usage du théorème de Gauss sur une question de cours classique.
4
Facteur de Boltzmann oubliéQ33
La densité d'ions à haute température devait s'obtenir avec la loi de Boltzmann, partie propre au programme de MP.
« Très rarement la formule de Boltzmann a été utilisée. »
5
Sens des transferts énergétiquesQ45, Q47 à Q50
Le schéma de la machine frigorifique est souvent faux ou contradictoire avec la suite, et les bilans énergétiques posent problème.
« Beaucoup de fautes sur les sens des transferts énergétiques »
6
Équation de D'Alembert non exploitéeQ22, Q23
L'approximation continue n'a pas été vue et l'équation fournie n'a pas servi à obtenir la célérité.
Ce qui a été bien réussi
Le développement limité imposé en Q2 est souvent bien fait.
Les questions Q3, Q5 à Q8 et Q18 sont assez bien traitées.
Les équations de Maxwell (Q29 à Q31) sont connues de la majorité.
La décharge du condensateur (Q40 à Q44) est souvent bien réussie.
Les bilans en Q51 et Q52 sont souvent bien faits.
Conseils du jury
Légender complètement les graphiques : axes, courbes, asymptotes, extrema.
Vérifier la dimension de chaque formule et donner l'unité des applications numériques.
Algébriser correctement les transferts énergétiques.
Utiliser les symétries du problème.
Revenir en arrière plutôt que d'écrire des résultats contradictoires.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
56 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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56 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet s'inspire du manga One Piece et couvre la mécanique, l'électromagnétisme et la thermodynamique de première et deuxième années. Il étudie une chaîne d'oscillateurs harmoniques et la propagation d'ondes dans un cristal, puis les champs dans un condensateur, l'écrantage dans un plasma et une décharge électrique. Il se termine par une machine frigorifique et la cinétique de formation d'une couche de glace.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. ◻
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est constitué de 3 parties totalement indépendantes :
la partie I fait appel au cours de mécanique du point et à la propagation des ondes mécaniques,
la partie II fait appel au cours d'électromagnétisme,
la partie III fait appel au cours de thermodynamique.
Un formulaire est placé en fin de sujet.
One Piece est une série de mangas Shōnen créée par Eiichirō Oda.
L'histoire suit les aventures de Monkey D. Luffy, un garçon dont le corps a acquis les propriétés du caoutchouc après avoir mangé par inadvertance un fruit du démon.
Avec son équipage de pirates, appelé l'équipage au Chapeau de paille, Luffy explore Grand Line à la recherche du trésor ultime connu sous le nom de One Piece afin de devenir le prochain roi des pirates.
Ce sujet aborde diverses questions de physique très librement inspirées de cette œuvre.
PARTIE I - Gomu no jet pistol : chaîne d'oscillateurs et onde mécanique
Luffy peut étendre ses bras, notamment en emmagasinant l'énergie potentielle élastique et frapper son adversaire. On se propose ici de modéliser un exemple d'extension élastique.
I. 1 - Oscillateur harmonique
Soit une molécule diatomique dont les deux atomes ne peuvent se déplacer que sur la direction (Ox). En notant x la distance interatomique, l'énergie potentielle d'interaction s'écrit, selon la relation de Morse :
V(x) = V_o[1 − e^(− a(x − x_o))]^2
avec V_O, a et x_O des constantes réelles positives.
Q1. Déterminer la distance interatomique d'équilibre, appelée longueur de liaison à l'équilibre x_(éq).
On s'intéresse aux petits mouvements autour de la position d'équilibre : x = x_(éq) + ε, avec |ε|≪x_(éq).
Q2. En développant l'énergie potentielle V(x) au second ordre en ε, montrer que la force d'interaction résultante est équivalente à celle d'un ressort de constante de raideur k dont on donnera l'expression en fonction de V_o et de a.
Q3. Si on appliquait cette force à une particule de masse m et de position ε(t), quelle serait la pulsation des oscillations ω_0 de celle-ci? Représenter la vibration au cours du temps t → ε(t) pour des conditions initiales données : ε(0) = β et ε˙(0) = 0.
Q4. Donner, sur le même graphique, l'allure des courbes représentatives de l'énergie potentielle de Morse et de l'énergie potentielle harmonique approchée en fonction de la distance interatomique.
I. 2 - Chaîne unidimensionnelle infinie d'oscillateurs harmoniques
On considère une chaîne unidimensionnelle infinie d'oscillateurs harmoniques identiques, de constante de raideur k et de longueur à vide ℓ_0. Les masses sont toutes égales et désignées par des indices entiers successifs n ∈ ℕ. On note m cette masse des masselottes entre les ressorts, r⃗_n(t) = x_n(t)u⃗_x le vecteur position de la n^(ième) masse et u_n(t) son déplacement par rapport à sa position d'équilibre. Le référentiel est supposé galiléen. On ne prend en compte que les interactions harmoniques entre les masses.
Initialement, à t = 0, la chaîne est au repos. La distance entre deux atomes successifs à l'équilibre a (figure 1) est égale à la longueur à vide, ℓ_0 = a.
On prend comme origine sur l'axe la position repérée par n = 0 à t = 0.
Figure 1 - Chaîne d'oscillateurs identiques
Q5. Pour n ∈ ℕ, écrire la position initiale de la n^(ième) masse ( x_n(0) ) en fonction de n et de a. En déduire son écart u_n(t) par rapport à sa position d'équilibre en fonction de x_n(t), n et de a.
Q6. Établir que l'équation du mouvement de la n^(ième) masse, se met sous la forme: u¨_n = ω_o^2[u_(n + 1) + u_(n − 1) − αu_n] avec α, constante réelle à déterminer.
On s'intéresse à la propagation d'ondes mécaniques dans cette chaîne. On cherche à savoir s'il existe un réel q strictement positif tel que, en notation complexe, on puisse écrire : u_n(t)_– = U_o exp(i(ωt − qna)) avec i^2 = − 1, ω et U_o strictement positifs.
Q7. Cette onde est-elle harmonique ? Que représentent U_0 et ω ?
Cette onde présente une périodicité spatiale s'il existe une p^(ieme) masse (avec p > n ) telle que : u_p(t)_– = u_n(t)_–. On définit la longueur d'onde comme la plus petite distance séparant deux telles masses au repos.
Q8. Établir l'expression de la longueur d'onde λ en fonction de a. Que représente finalement q ?
Q9. Montrer que la relation de dispersion, reliant ω et q, est ω^2 = 4ω_o^2(sin(qa)/2)^2. Représenter graphiquement la fonction : [q ↦ ω(q)] en se restreignant à l'intervalle [0, (2π)/a].
Q10. Rappeler les définitions et les significations de la vitesse de groupe v_g et de la vitesse de phase v_φ. Comment lit-on ces vitesses sur le graphe de la question Q9?
Q11. La chaîne est-elle dispersive ? Quelle condition doit satisfaire ω pour que q existe ? Préciser la nature du filtre que constitue la chaîne d'oscillateurs vis-à-vis de ces ondes.
Q12. Déterminer v_g et v_φ pour q≪π/a et pour q = π/a. On précisera la nature de l'onde dans les deux cas.
Le fluide (ou haki en VO) est un pouvoir mystérieux du manga, qui permet à son possesseur d'utiliser sa propre énergie spirituelle à des fins diverses, notamment pour renforcer sa peau et la rendre aussi dure qu'un diamant.
1.3 - Solide cristallin
On considère ici un cristal parfait, c'est-à-dire un assemblage spatial triplement périodique d'un très grand nombre d'atomes.
Hypothèses du modèle :
tous les défauts du cristal réel sont négligés ;
l'agitation thermique n'est qu'une vibration autour d'une position moyenne des atomes qui sera prise comme position d'équilibre ;
les vibrations d'origine thermique sont décomposables en ondes planes ;
seules les interactions entre plus proches voisins dans une maille cristalline cubique simple sont considérées : les trois dimensions de l'espace sont découplées et l'étude sera faite sur l'une d'elles selon le modèle d'un cristal à une dimension;
l'énergie potentielle de liaisons entre deux atomes de masse m, distants de x, sera modélisée par le potentiel de Lennard-Jones :
V(x) = A/(x^(12)) − B/(x^6), (A, B) ∈ ℝ_+^(∗2)
Q13. À quelles interactions correspondent les deux termes du potentiel de Lennard-Jones ?
Q14. En notant a, la distance entre deux atomes à l'équilibre, montrer que V se met sous la forme : V(x) = Θ_o[(a/x)^(12) − 2(a/x)^6], où la profondeur du puits de potentiel Θ_o est à exprimer en fonction de B et de a.
Q15. Sur le graphique ci-après, ont été représentées les courbes:
[x/a ↦ (V(x))/(Θ_0)], [x/a ↦ (a/x)^(12)] et [x/a ↦ 2(a/x)^6].
Identifier ces courbes.
Q16. Montrer que, tant que l'amplitude des oscillations reste négligeable devant a, la liaison entre deux atomes est modélisable par un ressort de constante de raideur k que l'on exprimera en fonction de Θ_o et de a. On pourra développer le potentiel au seconde ordre grâce à la formule de Taylor.
Q17. Calculer k et ω_0 pour a = 2, 0 ⋅ 10^(− 10) m, Θ_0 = 0, 10eV et m = 1, 0 ⋅ 10^(− 25) kg.
Cette modélisation du solide cristallin permet de décrire la propagation d'ondes mécaniques longitudinales dans les solides et on s'intéresse ici aux aspects énergétiques. On suppose que le mouvement des masses correspond au passage d'une onde plane harmonique de pulsation ω dont la formule est indiquée entre les questions Q6 et Q7.
Q18. Exprimer la valeur moyenne temporelle de l'énergie cinétique ⟨E_c⟩ d'un atome indicé par n en fonction de m, U_0 et ω. En déduire l'énergie cinétique moyenne pour N atomes.
Q19. Justifier que l'énergie potentielle moyenne ⟨E_p⟩ du n^(ième) atome se met sous la forme :
Q20. Grâce à la forme de l'onde et à la formule de dispersion obtenue précédemment, exprimer < E_p > en fonction de m, U_o et de ω.
Q21. En déduire l'énergie interne du cristal en fonction de la température T.
I. 4 - Du discret au continu
Figure 2 - Passage au continu
Q22. À partir de la relation de dispersion, exprimer la longueur d'onde λ de l'onde qui se propage en fonction de ω, ω_0 et de a.
Calculer λ pour des fréquences ultrasonores ( f = 500kHz ). Commenter.
Q23. La comparaison de la longueur d'onde au paramètre a permet d'écrire u_n(t) = u(x, t) (figure 2) et d'obtenir une équation de D'Alembert de la forme ((∂^2 u)/(∂t^2)) = k/ma^2((∂^2 u)/(∂x^2)). Calculer la célérité de l'onde dans le cristal pour des fréquences ultrasonores.
Grâce à ce corps élastique, malléable, Luffy peut étirer son bras loin derrière lui et le ramener brutalement en avant, frappant son adversaire ; l'énergie élastique emmagasinée est alors relâchée à l'impact...
PARTIE II - Kami no Sabaki - Électrodynamique classique
Enel (Eneru en VO) est l'antagoniste principal de l'Arc Skypiea. Son fruit du démon, le goro goro no mi, lui permet de produire de la foudre et du courant électrique en maîtrisant la formation de particules chargées....
II. 1 - Champs électromagnétiques dans un condensateur
Figure 3 - Condensateur créé par Enel
Les échelles ne sont pas respectées par souci de représentation.
Le pouvoir d'Enel lui permet d'imposer un potentiel à un volume d'air extrêmement fin au-dessus de lui. On s'intéresse ici au condensateur formé par cette surface d'air circulaire et le sol, localement plan (figure 3).
Dans cette modélisation, on pourra considérer deux disques (plans) parallèles de surfaces S distants de d avec d≪√S de potentiels électriques respectifs U_(sol) = 0 et U_(air) ( U_(air) potentiel électrique de la couche d'air chargé). On négligera les effets de bord. On appellera (Oz) l'axe vertical ascendant dont l'origine est prise au sol et u⃗_z son vecteur unitaire.
On assimile l'air non chargé entre ces plaques au vide de permittivité ε_0 = 8, 85 ⋅ 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1).
On se place ici en régime statique, U_(air) = U_o = constante positive et on note σ_(air) = σ_o la densité surfacique des charges électriques de la surface d'air chargée.
Q24. Justifier que le champ électrique est de direction Oz : E⃗ = Eu_z^(→−). Exprimer ce champ électrique créé dans l'espace 0 < Z < d en fonction de σ_O et de ε_O.
Q25. En déduire la différence de potentiel U_o en fonction de σ_o, ε_o et de d.
Q26. Calculer E et σ_o pour d = 5, 0 m et U_o = 1, 0 ⋅ 10^5 V.
Q27. Doit-on craindre une telle tension ? On donne la valeur du champ disruptif de l'air dans les conditions d'étude : E_(disruptif) (air) = 3, 6 ⋅ 10^6 V ⋅ m^(− 1).
Le condensateur est soumis désormais à une tension alternative de basse fréquence f, de telle sorte que U_(air) = U_o cos(ωt). On travaillera en coordonnées cylindriques d'axe ( Oz ). On admet qu'à cette fréquence, la relation entre le champ électrique E⃗ et le potentiel électrique est la même qu'en régime statique.
Q28. Écrire E⃗ sous la forme E⃗ = E_o cos(ωt)u⃗_z avec E_o à préciser en fonction de U_o et des autres données de l'énoncé.
Q29. Rappeler les équations de Maxwell du champ électromagnétique.
Q30. Justifier l'existence d'un champ magnétique B⃗ et montrer que B(M, t)^(→−) = B(r, z, t)e_θ→.
Q31. Justifier que, si l'on reste dans l'espace entre les armatures, la circulation du champ magnétique le long d'un contour orienté s'écrit : ∮ B⃗ ⋅ dℓ⃗ = 1/(c^2)(dΦ_(E⃗))/(dt), avec c et Φ_(E⃗) à préciser.
II. 2 - Écrantage dans un plasma thermique
En fait, la création d'un tel potentiel électrique augmente drastiquement la température, ionisant au passage l'atmosphère. L'air ne sera plus assimilé à du vide mais à un plasma, un milieu globalement neutre électriquement, partiellement ou totalement ionisé, contenant en moyenne et par unité de volume, n_e électrons libres de masse m_e et de charge q_e = − e et n_i = n_e ions X^+, de masse m_i et n_o atomes X de masse m_o.
L'atmosphère est à l'équilibre thermodynamique à une haute température T.
Intéressons-nous à l'environnement d'un ion X^+particulier dont la position sera prise pour l'origine O. Notons respectivement n_+et n_−, les densités volumiques d'ions et d'électrons en un point M situé à une distance r de l'origine. On se place dans le cadre de l'électrostatique.
Q32. Rappeler l'énergie potentielle d'une charge e placée en un point du plasma tel que le potentiel électrique en ce point soit égal à U. On suppose que ce potentiel ne dépend que de r : U = U(r).
Q33. Justifier qu'à " très haute température ", n_+ = n_e(1 − (eU)/(k_B T)). À quelle inégalité correspond la notion de " haute température " ?
Q34. En déduire n_−.
Q35. Représenter les fonctions [U ↦ n_+(U)] et [U ↦ n_−(U)].
Q36. Comment s'écrit, dans ce milieu, l'équation de Poisson ? En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit U(r).
Q37. En posant Z(r) = rU(r), montrer que la fonction Z(r) vérifie l'équation : (d^2 Z)/(dr^2) − Z/(λ_D^2) = 0 avec λ_D une constante à exprimer en fonction des données de l'énoncé.
Q38. Résoudre cette équation et montrer que le potentiel électrique s'écrit :
pour r ≠ 0, U(r) = e/(4πε_0 r)e^(− r/λ_D)
Interpréter ce que représente λ_D. Commenter.
Q39. En déduire la densité volumique de charge ρ(r) ainsi que la charge Q(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r.
On donne ∫_0^r rexp(− x/(λ_D))dx = [1 − exp(− r/(λ_D))(r/(λ_D) + 1)].
II. 3 - Décharge du condensateur de plasma
On (re)considère deux disques (plans) parallèles de surface S distants de d avec d≪√S de charges surfaciques électriques respectives σ_(air) = σ_o (pour la surface d'air chargée) et σ_(sol) = − σ_o (au sol). On négligera les effets de bord. On appellera ( Oz ) l'axe vertical ascendant dont l'origine est prise au sol et u⃗_z son vecteur unitaire.
À l'instant initial ( t = 0 ), suite à l'élévation brutale de température, l'air contenu entre ces deux plans devient un conducteur ohmique, caractérisé par sa conductivité électrique γ. Cet air, entre les plaques, est supposé rester localement neutre. La relation entre le champ électrique E⃗ et le potentiel électrique est supposée être la même qu'en régime statique.
Q40. Quelle est l'unité (ou la dimension) de γ ?
Q41. Déterminer la densité volumique de courant j⃗ en fonction de σ_(air)(t) et des données de l'énoncé.
Q42. Montrer que l'équation différentielle relative à la densité surfacique de charge d'air s'écrit : (dσ_(air))/(dt) + (σ_(air))/τ = 0, avec τ une constante de temps à exprimer en fonction des données de l'énoncé.
Q43. Représenter [t ↦ σ_(air)(t)] en faisant apparaître σ_o et τ.
Q44. Calculer le temps caractéristique de décharge τ ainsi que la densité de courant arrivant au sol à l'instant initial pour γ = 1, 0 ⋅ 10^(20)USI et σ_O = 1, 0 ⋅ 10^8 C ⋅ m^(− 2).
Grâce au fulguro-fruit, Enel peut rendre l'air conducteur et faire propager un courant électrique d'intensité gigantesque, le rendant tout puissant face à tout élément conducteur...
PARTIE III - Hie Hie no Mi - Thermodynamique
Kuzan, plus connu sous le nom d'Aokiji est l'un des Trois Amiraux de la Marine. Possesseur du Hie Hie no Mi, ou Givro-Fruit en français, il peut créer, contrôler ou devenir de la glace en maîtrisant les changements d'états.
Les candidats trouveront les données numériques relatives à cette partie III dans le document : l'eau liquide et/ou solide.
Document - L'eau liquide et/ou solide
Formule chimique : H_2 O
Masse molaire : M = 18, 0 g ⋅ mol^(− 1)
Conditions d'équilibre
liquide-solide atmosphérique
Pression P^0 = 1bar
Température T_f = 273, 15 K
Enthalpie massique de fusion (1 bar et 273, 15 K )
L_(fus) = 333, 3 kJ ⋅ kg^(− 1)
Glace
Eau liquide
Masse volumique
990 kg ⋅ m^(− 3)
1000 kg ⋅ m^(− 3)
Capacité calorifique massique
isobare
c_(glace) = 2, 05 kJ ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1)
c_(eau) = 4, 18 kJ ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1)
III. 1 - Machine frigorifique avec une source de température variable
Aokiji souhaite refroidir une partie de la mer et la geler ; il sera considéré ici comme une machine frigorifique (𝒮). Cette machine est supposée réversible, cyclique et de puissance 𝒫 constante. Elle fonctionne, pendant un temps Δt, entre l'atmosphère qui constitue un thermostat de température θ_C constante et une masse d'eau de mer m = 1, 0 ⋅ 10^3 kg, assimilée à de l'eau pure, de température T^′ qui passera de θ_c à T_f.
Les transferts thermiques et le travail seront comptés en convention récepteur: on appellera respectivement δQ_f et δQ_c les transferts thermiques reçus par ( 𝒮 ) de la part de la source froide et de la source chaude et δW le travail reçu par ( 𝒮 ) entre les instants t et t + dt. On suppose que la durée d'un cycle est petit devant le temps caractéristique de refroidissement de la mer qu'on assimile à de l'eau pure. La machine décrit toujours un nombre entier de cycles.
On néglige les échanges thermiques entre la masse m (partie de la mer " refroidie (ou gelée) ") et le reste de la mer.
Q45. Donner le schéma de principe de cette machine frigorifique, en indiquant le sens réel des transferts thermiques et du travail à un instant quelconque du fonctionnement de la machine frigorifique.
On s'intéresse au refroidissement de la mer qui reste dans son état liquide pendant toute la transformation, passant de θ_c à T_f.
Q46. En appliquant le second principe sous forme infinitésimale, écrire la relation entre δQ_f, δQ_c, T^′ et θ_C.
Q47. En appliquant le premier principe sous forme infinitésimale, déterminer le temps nécessaire Δt pour faire passer la mer de θ_c à T_f.
Q48. Calculer la puissance minimale 𝒫_(min) pour que ce refroidissement dure moins que Δt = 10 min, avec θ_c = 293 K.
On s'intéresse maintenant à la solidification de l'eau.
Q49. En faisant l'hypothèse que la puissance 𝒫 reste constante et égale à 𝒮_(min), exprimer le temps nécessaire Δt^′ pour congeler la mer. Calculer Δt^′.
Q50. Exprimer l'efficacité totale η de la machine frigorifique en fonction de 𝒫, Δt, Δt^′, T_f, m, L_(fus), θ_c et de c_(eau), puis la calculer.
III. 2 - Cinétique de la formation de la glace
Figure 4 - " pont de glace créé par Aokiji "
Les échelles ne sont pas respectées par souci de représentation.
On modélise ici la croissance unidimensionnelle, en régime quasi stationnaire, de la couche de glace horizontale qui se forme lentement à la surface de la mer immobile, assimilée à de l'eau pure.
On suppose que l'eau de mer est en permanence à la température de congélation T_f, l'air audessus de la mer est à pression constante P_a = 1 bar et à température constante θ_c = 293 K. On choisira un axe ( Ox ) horizontal, dont l'origine coïncide avec Aokiji, c'est-à-dire la machine frigorifique de puissance 𝒫^′ (puissance enlevée à la source froide qui est la glace) (figure 4).
La couche de glace est modélisée par un parallélépipède de section carrée, de surface droite S et de longueur D; le système infinitésimal étudié est donc un parallélépipède à base carré de côté √S compris entre x et x + dx.
On néglige les échanges thermiques entre la masse m (partie de la mer " refroidie (ou gelée) ") et le reste de la mer.
On néglige les échanges avec l'atmosphère.
Q51. On assimile le régime à un régime stationnaire. En appliquant le premier principe à un système infinitésimal de glace, écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur densité de courant thermique j⃗_Q = j_Q u⃗_x en notant σ la puissance thermique créée par unité de volume.
Q52. Vérifier que, dans notre modélisation, le vecteur densité de courant thermique est à flux conservatif.
Q53. Montrer que la vitesse de formation du front de glace v_o est constante et l'exprimer en fonction des données de l'énoncé. Sachant que Aokiji est capable de créer un pont de longueur D = 50 km, pour une section S = 10 cm^2, en une durée δt = 10 min, exprimer 𝒫 'en fonction des données et calculer v_o.
On considère les échanges thermiques avec l'atmosphère, en régime stationnaire.
Le transfert thermique δQ à l'interface glace/air, reçu par la glace pour une surface dS, pendant une durée élémentaire dt, est donné par la relation de Newton δQ = − h(T(x, t) − θ_C)dSdt.
Q54. Déterminer l'unité du coefficient h.
Pour les transferts de conducto-convection entre l'air et la glace, on supposera que le coefficient h de la loi de Newton vaut 42 USI.
Q55. En appliquant le premier principe au système infinitésimal, en régime stationnaire, établir la nouvelle équation liant le vecteur densité volumique de courant à la température T(x). En déduire que la nouvelle vitesse du front de glace v^′ peut s'écrire comme la différence de deux termes : v^′ = v_o − v_a avec v_a vitesse qui prend en compte le caractère non calorifugé de la surface de contact glace-atmosphère. Exprimer v_a en fonction des données de l'énoncé en supposant que la situation est peu modifiée par rapport à celle où on ne tient pas compte de la loi de Newton.
Q56. Calculer l'augmentation relative de la puissance nécessaire.
Grâce au givro-fruit, Aokiji peut développer une puissance incroyable (quasiment une demi-centrale nucléaire !), lui permettant notamment de se déplacer sur la mer en la congelant...
Formulaire
Développement de Taylor
Soit I un intervalle de ℝ, x_0 ∈ I, f : I → ℝ une fonction et n ∈ ℕ.
Si f est de classe 𝒞^n sur I, ∀h ∈ ℝ, (x_o + h) ∈ I,
Pour un champ de vecteur A⃗ de classe suffisante, le théorème de Stokes-Ampère s'écrit: ∮ _C A⃗ ⋅ dℓ⃗ = ∬rot(A⃗) ⋅ dS⃗ avec C une courbe fermée bordant la surface à travers laquelle on calcule le flux de rot^(→−)(A⃗). L'orientation du contour C donne l'orientation du vecteur dS^(→−).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique CCINP MP 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique CCINP MP 2023 ?
+
Sur les oscillateurs et la propagation d'ondes dans une chaîne d'atomes, l'électrostatique et les équations de Maxwell, le facteur de Boltzmann dans un plasma, les machines frigorifiques et la diffusion thermique.
Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique CCINP MP 2023 ?
+
La moyenne est de 9,33 sur 20 avec un écart-type de 3,43.
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique CCINP MP 2023 ?
+
Des confusions entre vitesse de groupe et vitesse de phase, des fautes de signe avec le théorème de Gauss, l'oubli du facteur de Boltzmann et des erreurs sur le sens des transferts énergétiques de la machine frigorifique.
Le sujet de physique CCINP MP 2023 contenait-il des erreurs ?
+
Oui, une erreur de signe en Q19 et une formule fausse en Q39. Le barème en a tenu compte au bénéfice des candidats.
Pas de description pour le moment
Commentaires• CCINP Physique MP 2023
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