L'épreuve de physique MP de X-ENS 2025, sans calculatrice, étudie la lévitation électrique d'une particule chargée dans un piège en anneau. Le sujet mobilise l'électrostatique, la mécanique du point et du solide, ainsi que la thermique, en quatre parties : le piège électrique, des perturbations externes liées au gaz et au laser, la rotation de la particule chargée, puis une analogie mécanique indépendante portant sur une bille sur une surface tournante.

1Partie 1 : Le piège électrique (Q1 à Q11)Établit le potentiel électrique harmonique du piège en anneau et la condition de stabilité de la lévitation obtenue grâce à une tension oscillante.
2Partie 2 : Quelques perturbations externes (Q12 à Q22)Étudie l'effet du gaz résiduel et de l'échauffement par un laser de mesure sur la position et la température de la particule piégée.
3Partie 3 : La rotation de la particule (Q23 à Q31)Analyse la rotation d'une particule portant deux charges, son couplage au piège électrique et le couple visqueux exercé par le gaz raréfié.
4Partie 4 : Une analogie mécanique (Q32 à Q34)Propose une analogie mécanique indépendante, avec une bille sur une surface courbée en rotation, pour étudier la stabilité du mouvement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,71 / 20 · écart-type 3,24 · 1 462 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,71/ 20
Écart-type: 3,24
Présents: 1 462
Coefficient: 6
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 16 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre équilibre et immobilisme · Applications numériques mal présentées · Produit vectoriel mal maîtrisé

Le rapport décrit une épreuve qui associe électrostatique, mécanique et thermique autour d'un même dispositif, la partie 4 étant volontairement indépendante du reste. Il relève des lacunes transversales : maîtrise insuffisante du produit vectoriel, présentation incorrecte des résultats numériques et confusions sur des notions de cours comme l'équilibre ou la stabilité. Il pointe aussi un manque de rigueur rédactionnelle, avec des abréviations non définies et des questions mal numérotées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre équilibre et immobilismeQ2
Plusieurs candidats pensent qu'une position n'est pas un équilibre si la particule peut osciller autour d'elle. Le critère correct est l'extremum spatial de l'énergie potentielle, pas une dérivée temporelle nulle.
« Un nombre surprenant de copies confondent la notion d'équilibre et la notion d'immobilisme »
2
Applications numériques mal présentées
De nombreuses copies donnent des résultats avec des puissances de dix non entières ou gardent des facteurs pi, au lieu d'un facteur multiplié par une puissance entière de 10.
« Beaucoup de copies présentent un résultat avec des puissances non entières »
3
Produit vectoriel mal maîtrisé
Beaucoup de copies ne prennent pas le réflexe d'écrire les composantes des vecteurs en colonne, ce qui entraîne des erreurs de calcul ou de signe, notamment pour le moment cinétique et la force de Coriolis.
« Un nombre important de copies n'a pas le réflexe d'écrire en colonne les composantes des vecteurs »
4
Résultats numériques aberrants non contrôlésQ9, Q15, Q24
Sur plusieurs questions d'application numérique, les valeurs rendues s'étalent sur des dizaines d'ordres de grandeur sans que les candidats s'interrogent sur leur vraisemblance physique.
« sans qu'aucune de ces valeurs extrêmes ne semblent préoccuper leurs auteurs »
5
Concept de stabilité mal comprisQ34
Certains candidats pensent qu'un mouvement autour de la position d'équilibre signifie que cette position est instable, alors que la stabilité correspond à une trajectoire bornée autour d'elle.
« Le concept de stabilité est lié à la possibilité d'avoir une trajectoire bornée autour de la position d'équilibre »
6
Théorème d'équipartition mal appliquéQ12, Q16
Le théorème est mieux connu pour l'énergie cinétique que pour l'énergie potentielle, et les facteurs liés au nombre de degrés de liberté sont souvent mal traités dans les deux cas.
« les facteurs numériques comptant le nombre de degrés de libertés impliqués sont souvent mal traités »

Ce qui a été bien réussi

Une majorité de candidats a repéré l'indépendance de la partie 4 et a choisi de traiter ses dernières questions plutôt que de rester bloqués plus tôt dans l'épreuve.

Conseils du jury

Écrire les composantes des vecteurs en colonne avant de calculer un produit vectoriel, pour limiter les erreurs de signe.
Donner les résultats numériques sous la forme d'un facteur multiplié par une puissance entière de 10, accompagné de son unité.
Vérifier l'homogénéité des expressions littérales obtenues avant de conclure.
Définir toute notation ou abréviation qui n'est pas déjà introduite dans l'énoncé.
Soigner la présentation de la copie : phrases complètes, écriture lisible, questions correctement numérotées.
Vérifier la vraisemblance physique des résultats numériques obtenus, en particulier les valeurs extrêmes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MERCREDI 16 AVRIL 2025 08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n $^\circ5$
PHYSIQUE (XULSR)

Le sujet comprend 8 pages, numérotées de 1 à 8. L'usage des calculatrices n'est pas autorisé. Les résultats numériques peuvent être donnés avec un seul chiffre significatif.

La lévitation électrique

Certains objets peuvent être maintenus en lévitation à l'aide de forces électriques, optiques, magnétiques ou acoustiques. Stabiliser la lévitation de particules de taille micrométrique représente aujourd'hui un enjeu crucial en physique fondamentale, ainsi que pour le développement de capteurs de forces ultra-précis.

Dans cette étude, nous cherchons à identifier les régimes dans lesquels la lévitation électrique est stable, c'est-à-dire où la particule reste à la même position moyenne au cours du temps. Dans ce but, il est essentiel que l'oscillateur harmonique, qui décrit le mouvement de la particule, soit suffisamment rigide pour résister aux perturbations, qu'elles soient intrinsèques (comme les asymétries des pièges) ou environnementales (par exemple, les collisions avec des particules de gaz ou le chauffage provoqué par le laser d'imagerie). Les particules étudiées possèdent des électrons fixés à leur surface par des liaisons chimiques. Nous supposons, pour l'ensemble de cette étude, que ces charges restent immobiles à la surface des particules.

La dernière partie (concernant l'analogie mécanique) peut être abordée de manière indépendante du reste de l'étude.

Données, notations et formulaire

La particule à piéger est une particule en diamant, de masse volumique

ρ_m = 3, 5 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

, parfaitement sphérique, de centre C , de diamètre

d = 100 nm

et de masse

m = 2 \times 10^(- 18) kg

. Cette particule est chargée négativement sur sa surface. Dans les parties 1 et 2 , elle est supposée ne porter qu'une seule charge électronique,

q = - e

Pour les applications numériques, on adoptera les valeurs suivantes :

La constante de Boltzmann : $k_B = 1, 4 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
La charge élémentaire : $e = 1, 6 \times 10^(- 19)C$
La vitesse de la lumière dans le vide : $c = 3, 0 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
L'accélération de la pesanteur : $g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)$
La masse du proton : $m_p = 1, 7 \times 10^(- 27) kg$
La masse de l'électron : $m_e = 9, 1 \times 10^(- 31) kg$

Les dérivées temporelles première et seconde d'une grandeur

X(t)

dépendant du temps seront notées respectivement

X˙

X¨

On rappelle l'expression du moment d'inertie

I

d'une particule sphérique homogène, de diamètre

d

et de masse

m

, par rapport à un axe passant par son centre :

I = 2/5m(d/2)^2

Enfin, on rappelle la formule du double produit vectoriel :

u⃗ \land (v⃗ \land w⃗) = (u⃗ \cdot w⃗)v⃗ - (u⃗ \cdot v⃗)w⃗

1 Le piège électrique

Figure 1: Schéma d'un piège électrique en anneau. Un générateur délivrant une tension

V

est connecté entre la masse et le fil à gauche du piège. Le schéma de droite est une coupe du piège dans le plan

Ozx

. L'axe vertical

Oz

est un axe ascendant.

On considère un piège électrique en forme d'anneau tel que celui montré à la Fig 1, placé dans le vide. On se donne un repère $Oxyz$ tel que $O$ est au centre du piège et $Oz$ est l'axe de symétrie de révolution de l'anneau. On note $u⃗_x, u⃗_y$ et $u⃗_z$ les vecteurs unitaires de ce repère. On note par ailleurs $l_0$ le rayon de l'anneau, en ignorant son épaisseur, exagérée sur la figure.
À une position $r⃗$ de coordonnées ( $x, y, z$ ) proche du centre du piège, où $x, y$ et $z$ sont donc tous très petits devant $l_0$ , le potentiel électrique $V_(el)(r⃗)$ , dans le vide, prend la forme

V_(el)(r⃗) = (ηV)/(l_0^2)(z^2 + αx^2 + βy^2),

où

V

est la tension appliquée entre le piège et la masse (supposée à une distance de celui-ci grande devant

l_0

), et

η > 0

est un facteur sans dimension qui dépend de la géométrie du piège. On suppose jusqu'à la question 9 incluse que le fil (à gauche du piège) où se connecte le générateur perturbe peu le potentiel au centre du piège et qu'il y a invariance parfaite du potentiel par rotation autour de

Oz

.
Déterminer les coefficients

α

β

.
2. On place maintenant une particule supposée ponctuelle, de charge

q = - e

, au centre du piège. Pourquoi ne peut-elle pas y léviter de manière stable ?
3. Pour résoudre ce problème, on impose une tension variable au cours du temps, de sorte que la particule est maintenant soumise au potentiel dépendant du temps

V_(el)(r⃗, t) = (ηV(t))/(l_0^2)(z^2 + αx^2 + βy^2),

où

V(t) = V_0 cos(Ωt)

. Écrire l'équation du mouvement pour les trois composantes du vecteur position

r⃗

de la particule dans le repère

Oxyz

, soit

r_i = (r_x, r_y, r_z) = (x, y, z)

, sous la forme

r¨_i + q_i cos(Ωt)(Ω^2)/2r_i = 0

en faisant apparaître 3 paramètres (

q_x, q_y, q_z

) que l'on écrira

q_i = n_i(ω/Ω)^2

, où

n_i \in ℤ

est une constante numérique et

ω^2 = eηV_0/(ml_0^2)

. On indiquera les valeurs de

n_x, n_y

n_z

.
4. On suppose que

Ω≫ω

. On admet que la variable

r_i(t)

peut alors s'exprimer comme une somme de deux variables,

r_i(t) = R_i(t) + ξ_i(t)

, où

R_i(t)

varie sur une échelle de temps beaucoup plus grande que

Ω^(- 1)

ξ_i(t)

est un signal périodique de pulsation

Ω

tel que

ξ_i(t)

et ses dérivées sont de moyenne nulle sur une période d'oscillation du potentiel. Montrer, en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement, que

⟨R¨_i⟩ + q_i(Ω^2)/2⟨ξ_i(t)cos(Ωt)⟩ = 0,

où

⟨ \cdot ⟩

représente une moyenne sur une période d'oscillation, définie par

⟨X⟩ = Ω/(2π)\int_0^(2π/Ω)X(t)dt

pour une grandeur

X(t)

quelconque dépendant du temps.
5. Dans cette question, on néglige toutes les harmoniques de pulsation supérieure ou égale à

2Ω

.
a - Quelle est la forme la plus générale de

ξ_i(t)

respectant les conditions spécifiées?
b - Exprimer

ξ¨_i(t)

en fonction de

Ω, q_i

R_i(t)

, puis en déduire l'expression de

ξ_i(t)

en fonction des mêmes grandeurs. On justifiera soigneusement le raisonnement.
c - Dans le régime

Ω≫ω

, que peut-on dire de

ξ_i

par rapport à

R_i

?
6. Montrer que la variable lente

R_i(t)

a une dynamique qui se réduit à celle associée à un potentiel harmonique effectif

U_(eff)(R_i) = 1/2mω_i^2 R_i^2

qui ne dépend pas du temps et dont on donnera la fréquence propre

ω_i

. Comparer

ω_i

Ω

.
7. Puisque le potentiel électrique donné à la question 3 est de moyenne temporelle nulle, on aurait pu s'attendre à ce qu'il n'y ait pas de force de rappel. Expliquer, avec des dessins montrant la dépendance temporelle et spatiale de la composante

F_z(r⃗, t)

de la force électrique selon la direction

z

, dans le régime

q_z≪1

, pourquoi la particule subit bien, en moyenne sur une période

2π/Ω

, une force de rappel. On distinguera deux cas avec deux positions initiales

z_0 > 0

z_0 < 0

. Pour fixer les idées, on prendra

V_0 < 0

, sachant que le même raisonnement s'appliquerait pour

V_0 > 0

.
8. Pourquoi faut-il que

q_i

ne soit pas trop petit pour satisfaire aux critères d'une lévitation stable définie dans l'énoncé ?
9. On suppose que

|q_z| \in [0, 1 - 0, 3]

permet d'obtenir un bon confinement dans la direction

z

, dans un piège où

l_0 = 100μ m, η = 0, 1

, et

Ω = (2π)1kHz^1

. La particule a toujours un électron à sa surface. Pour quelle gamme de tension électrique

V_0

obtient-on un bon confinement dans cette direction?
10. On souhaite prendre en compte le fil qui permet de connecter le piège au générateur de tension (voir Fig. 1) dans le modèle. L'influence de ce fil peut être modélisée par l'ajout au potentiel d'un terme supplémentaire, anharmonique, de la forme

V_a(r⃗, t) = (ηV(t))/(l_1^3)((b_x)/3x^2 + b_y y^2 + b_z z^2)x

où

l_1

est une longueur dont on ne précise pas la signification ici. En quoi ce potentiel respecte-t-il la symétrie du piège incluant le fil ?
11. La présence du fil, et donc du terme anharmonique, modifie également l'expression de la partie harmonique du potentiel de l'Eq.(1), c'est-à-dire que les valeurs des coefficients ne sont plus nécessairement celles trouvées alors. On écrit donc cette partie harmonique sous la forme plus générale :

V_(el) = (ηV(t))/(l_0^2)(a_z z^2 + a_x x^2 + a_y y^2)

Quelles sont les deux équations que doivent vérifier les coefficients (

a_x, a_y, a_z

) et (

b_x, b_y, b_z

2 Quelques perturbations externes

Le mouvement de la particule peut être traité comme celui d'un oscillateur harmonique à l'équilibre avec le gaz environnant à une température $T = 300 K$ . Quel est l'écart-type de l'amplitude du mouvement dans la direction $x$ dans le cas où $q_x = 0, 2$ et $Ω = (2π)1kHz$ ?
Est-il alors possible de confiner cette particule dans un piège avec $l_0 \approx 100μ m$ ?
On n'a considéré jusqu'à présent qu'une particule portant une unique charge élémentaire. On admettra que notre approche est valable pour une particule portant une charge $q$ plus importante en valeur absolue, et que la pulsation $ω_z$ est proportionnelle à cette charge. On prend alors une particule avec une charge suffisante pour que $ω_z = (2π)1kHz$ . Déterminer la position $z_0$ d'équilibre du centre d'inertie de cette particule dans la direction $z$ , en présence de la gravité terrestre, dont la direction est indiquée sur la Fig. 1.
On considère que la particule lévite dans une chambre à vide où règne une pression résiduelle $P = 1hPa$ . On peut distinguer deux régimes d'écoulement selon la valeur d'un nombre sans dimension, dit nombre de Knudsen, $K_n = l^*/d$ , où $d$ est le diamètre de la particule et $l^*$ le libre parcours moyen. Lorsque $K_n < 1$ , le régime d'écoulement est dit continu multiphasique alors que lorsque $K_n > 1$ , l'écoulement est dit libre.

On suppose le gaz parfait monoatomique et on donne le libre parcours moyen

l^* = 1/(\sqrt2πa^2 n)

où

n

est la densité d'atomes du gaz et

a \approx 10^(- 10) m

est une longueur qui caractérise les collisions entre atomes du gaz.
Dans lequel des deux régimes décrits ci-dessus la particule se trouve-t-elle à cette pression ?
16. Calculer la vitesse quadratique moyenne

v_(qm)

des atomes du gaz, en supposant qu'il n'y a que du diazote dans une enceinte à 300 K .
17. On considère que la particule en lévitation est en diamant, de capacité calorifique massique

c_m = 500 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)

. Un laser de puissance

P_0 = 1 mW

est utilisé pour mesurer la position de la particule. Cette puissance, focalisée sur la particule en lévitation, est modulée dans le temps à la pulsation

ω_m

, de sorte que

P_ℓ(t) = P_0[1 + cos(ω_m t)]

. On considère que

10%

de la puissance de ce faisceau est absorbée et transmise à la particule sous forme de chaleur, de sorte que la puissance lumineuse absorbée par la particule est

P_(abs)(t) = P_ℓ(t)/10

.
On cherche à estimer la température

T(t)

de la particule en fonction du temps.
Les échanges thermiques entre la particule et l'environnement sont d'une part l'apport d'énergie par le laser et d'autre part une fuite thermique vers le gaz thermostaté.
Quelle est la quantité d'énergie perdue par unité de temps, notée

Φ

, en fonction du coefficient de transfert thermique de surface

h

, des températures

T_0

du gaz et

T

de la surface du diamant, et de la surface

S

de la particule ?
18. On suppose que la température de la particule est homogène. Écrire l'équation différentielle régissant son évolution temporelle

T(t)

. On posera

P_(abs, 0) = P_0/10

K = hS

.
19. Résoudre cette équation différentielle en considérant qu'au temps

t = 0

, la température de la particule est

T_0

. Exprimer la solution comme la somme de trois contributions.
20. Donner l'allure de

T(t)

sur un graphe.
21. Quel est le temps caractéristique

τ

de passage du régime transitoire au régime permanent ?

On fera l'application numérique en prenant

h = 100 W \cdot K^(- 1) \cdot m^(- 2)

et on rappelle ici que

c_m = 500 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)

et que la particule est une sphère de diamètre

d = 100 nm

et de masse

m = 2 \times 10^(- 18) kg

.
22. Après un temps suffisamment long devant

τ

, montrer que la mesure de l'amplitude de la variation de

T(t)

à différentes pulsations

ω_m

de la modulation du laser permet d'accéder à la valeur de la capacité thermique de la particule, connaissant sa surface

S

et le coefficient

h

3 La rotation de la particule

On tient maintenant compte du fait que la particule n'est pas ponctuelle et qu'elle peut être sujette à des rotations.

On commence par supposer que ces rotations sont limitées au plan

Oxy

perpendiculaire à l'axe

Oz

de symétrie de révolution du piège, en repérant l'orientation de la particule dans ce plan par un angle algébrique

φ

. On suppose, jusqu'à la question 25 incluse, que la particule est suffisamment bien confinée selon

Ox, Oy

Oz

pour que son centre d'inertie

C

soit constamment confondu avec l'origine

O

. On note

I

le moment d'inertie de la particule par rapport à l'axe

Oz

, qui est donc dans cette configuration un axe de symétrie de la particule.
23. Les collisions avec le gaz discutées aux questions 15 et 16 donnent lieu à un couple visqueux de la forme

- Iγφ˙

. Dans le régime libre introduit à la question 15, on peut montrer que

γ = (40Pd^2)/(3mv_(qm))

où

m

est la masse de la particule,

P

la pression dans la chambre à vide et

v_(qm)

la vitesse quadratique moyenne des atomes du gaz. Que vaut

γ

pour les valeurs numériques déjà évoquées de ces grandeurs physiques ?
24. On suppose que l'angle

φ

oscille autour d'une position d'équilibre et que son évolution temporelle en l'absence de ce couple visqueux peut être décrite comme celle d'un oscillateur harmonique de pulsation propre

ω_φ = (2π)10kHz

. À partir du résultat précédent, calculer le facteur de qualité

Q

de cet oscillateur tenant compte du couple visqueux.
25. On met la particule en rotation au moyen d'un laser exerçant un couple

C⃗_l = C_l u⃗_z

À quelle vitesse angulaire maximale

ω_(max) = φ˙_(max)

peut-on faire tourner la particule avec ce couple ? On négligera ici le couple de rappel, on utilisera le résultat de la question 23 et on fera l'application numérique pour un couple de module

C_l = 10^(- 19) N \cdot m

et en supposant la particule homogène et sphérique. On prendra comme valeurs numériques de

m

d

celles déjà mentionnées.
26. L'objet des questions suivantes de cette partie (i.e. des questions 26 à 31) est d'étudier les régimes dans lesquels la particule est stabilisée angulairement grâce au piège électrique.

Pour ce faire, on considère désormais que la particule porte deux charges

- e

fixées à sa surface en deux points

P_1

P_2

diamétralement opposés. Désormais, le centre d'inertie

C

de la particule n'est plus nécessairement confondu avec

O

, et on le repère par ses coordonnées

x, y, z

dans le repère

Oxyz

, comme on repérait la particule ponctuelle dans la première partie. On pose

CP^(\to-)_1 = - CP^(\to-)_2 = (δx)u⃗_x + (δy)u⃗_y + (δz)u⃗_z

Enfin on suppose que la particule n'est soumise à aucune autre force que les forces électriques du piège, et on ignorera les effets d'anharmonicité induits par la présence du fil. Montrer que le mouvement du centre de masse de la particule est régi par les mêmes équations que celles de la question 3, à condition de multiplier par deux la charge de la particule.
27. La présence de deux charges électriques à la surface suggère qu'un couple de forces électriques peut exister, influençant la rotation de la particule. Cette rotation n'est a priori plus contrainte au seul plan

Oxy

.
a - Calculer le moment

Γ⃗_(O, i)

de la force électrique exercée par le piège sur la charge -

e

située en

P_i

, pour

i \in {1, 2}

, par rapport au centre

O

du piège.
b- En déduire le moment total des forces électriques par rapport à

O

, noté

Γ⃗_O

.
28. Le moment total

Γ⃗_O

apparaît comme la somme de deux termes. Lequel est responsable de la rotation instantanée de la particule autour d'un axe passant par

C

? On le notera

Γ⃗_C

. Que décrit l'autre terme?
29. Nous allons maintenant étudier la rotation de la particule, en se donnant un repère

OXYZ

défini ainsi :

Les axes de ce nouveau repère sont fixés à la particule
L'axe $OZ$ pointe à chaque instant dans la direction du vecteur $v⃗ = P_2 P_1^(\to-)/d$ .

Les composantes d'un vecteur quelconque dans le repère

OXYZ

peuvent être obtenues à partir de celles de ce même vecteur dans

Oxyz

à l'aide de deux angles

φ_1

φ_2

, variant au cours du temps, et à l'aide de matrices de rotations (que l'on n'explicitera pas ici).
Nous allons supposer que le vecteur unitaire

v⃗

pointe toujours au voisinage de

u⃗_z

. On admettra qu'on peut alors écrire

v⃗ = u⃗_z + φ_1(t)u⃗_x - φ_2(t)u⃗_y

avec|φ_1|≪1

|φ_2|≪1

.
De plus, on admettra que

Iφ¨_1 = Γ⃗_C \cdot u⃗_y

Iφ¨_2 = Γ⃗_C \cdot u⃗_x

, où l'on rappelle que

I

est le moment d'inertie de la particule par rapport à un axe quelconque passant par son centre. Écrire les équations différentielles vérifiées par

φ_1(t)

φ_2(t)

. On négligera les frottements avec l'air.
30. Comparer les deux équations différentielles obtenues pour

φ_1

φ_2

avec celles obtenues pour les variables

x, y

z

à la question 3. On fera apparaître trois constantes

{q_(φ_1), q_(φ_2)}

ω_r

jouant le même rôle que

{q_x, q_y, q_z}

ω

dans les équations obtenues la question 3.
31. On suppose dans cette question que

ω≪Ω

ω_r≪Ω

.
a - En déduire que les angles

φ_1

φ_2

subissent un couple de rappel autour de la valeur nulle sous l'action du piège électrique.
b - Calculer, pour une même particule avec deux charges -

e

diamétralement opposées, le rapport entre la fréquence effective du mouvement de son centre de masse dans la direction

z

(calculée à la question 6, mais pour une particule avec une seule charge) et la fréquence effective associée à son confinement angulaire.

4 Une analogie mécanique

On se propose d'étudier une analogie mécanique du confinement électrique du centre de masse. Une balle (traitée comme un point matériel dans toute cette partie) de masse

m

, non chargée, peut se déplacer sur une surface courbée, de rayon de courbure

R > 0

dans la direction

x

- R < 0

dans la direction

y

, la direction

z

correspondant à la verticale. On peut considérer que la balle, placée sur cette surface dans le champ de pesanteur, est soumise au potentiel

U(x, y) = (mg)/(2R)(x^2 - y^2) = 1/2mω^2(x^2 - y^2)

On fait tourner la surface autour de l'axe $Oz$ , à la vitesse angulaire constante $Ω$ , par rapport au référentiel galiléen $R^'$ du laboratoire, l'origine $O$ étant supposée fixe. Rappeler les forces d'inertie qui apparaissent lors de la description du mouvement d'une particule de vitesse $v⃗$ dans le référentiel tournant $R$ attaché à la surface en rotation. On notera $r⃗$ la position de la balle dans ce référentiel.
Écrire les équations du mouvement pour les coordonnées $x$ et $y$ dans le référentiel tournant $R$ . On supposera que le vecteur position de la balle est quasi-orthogonal au vecteur rotation à chaque instant, c'est-à-dire que la courbure est faible.
Chercher des solutions de la forme $x(t) = x_0 exp(rt)$ et $y(t) = y_0 exp(rt)$ et en discuter la stabilité. Tracer un diagramme de stabilité dans le plan $(Ω, ω)$ .

$^1$ Cette notation indique que le membre de droite, hors parenthèses, donne la fréquence du signal, et la totalité du membre de droite donne la pulsation en radian par seconde. Donc ici : $Ω = (2π)1kHz = 2π \times 10^3 rad \cdot s^(- 1)$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2025 ?

Le sujet étudie la lévitation électrique d'une particule chargée dans un piège en anneau. Il mobilise l'électrostatique, la mécanique du point et du solide (oscillateur harmonique, rotation, moment cinétique), les référentiels non galiléens et la thermique.

Comment est structuré le sujet de physique X-ENS MP 2025 ?

Il comprend quatre parties : le piège électrique, les perturbations externes dues au gaz et au laser, la rotation de la particule chargée dans le piège, puis une analogie mécanique indépendante avec une bille sur une surface tournante.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans l'épreuve de physique X-ENS MP 2025 ?

Le rapport signale une maîtrise insuffisante du produit vectoriel, des applications numériques mal présentées (puissances de dix non entières, unités absentes) et des confusions sur les notions d'équilibre et de stabilité.

Quels conseils le jury donne-t-il pour l'épreuve de physique X-ENS MP 2025 ?

Il recommande de soigner la présentation des copies, de vérifier l'homogénéité et la vraisemblance des résultats numériques, et de définir toute notation non introduite dans l'énoncé.

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MERCREDI 16 AVRIL 2025 08h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve n ^∘5 PHYSIQUE (XULSR)

La lévitation électrique

Données, notations et formulaire

1 Le piège électrique

2 Quelques perturbations externes

3 La rotation de la particule

4 Une analogie mécanique

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2025 ?

Comment est structuré le sujet de physique X-ENS MP 2025 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans l'épreuve de physique X-ENS MP 2025 ?

Quels conseils le jury donne-t-il pour l'épreuve de physique X-ENS MP 2025 ?

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MERCREDI 16 AVRIL 2025 08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n $^\circ5$
PHYSIQUE (XULSR)