X ENS Physique MP 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MERCREDI 19 AVRIL 2023 08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n^∘5 PHYSIQUE (XULSR)

I - Fusion thermonucléaire au cœur du Soleil

1. Le Soleil est constitué en majorité d'hydrogène et d'hélium. L'intérieur du Soleil est si chaud que les atomes sont entièrement ionisés. Comment appelle-t-on cet état de la matière?
2. La fusion nucléaire est un processus dans lequel deux noyaux légers se rapprochent suffisamment pour fusionner l'un avec l'autre. La répulsion électrostatique rendrait ce rapprochement impossible en l'absence d'un phénomène de physique quantique, qui leur permet de franchir la barrière de potentiel. De quel effet s'agit-il?
3. Nous étudions d'abord le cas simple, à une dimension, de l'état stationnaire d'énergie E d'une particule quantique de masse m, qui rencontre une marche de potentiel. L'énergie potentielle vaut 0 pour x < 0 et V pour x ≥ 0, avec V > E. On note ψ(x) la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule dans son état stationnaire. Déterminer l'expression de ψ(x)/ψ(0) pour x > 0. On notera t(x) = ψ(x)/ψ(0).
4. On considère maintenant une barrière de potentiel de hauteur V et de longueur L : l'énergie potentielle est nulle pour x < 0 et x > L, et vaut V pour 0 ≤ x ≤ L, toujours avec V > E. On admet que si le coefficient de transmission de la barrière, qu'on notera Θ(E), est très faible, son expression est approximativement donnée par Θ(E) = |t(L)|^2, où t(x) est la fonction déterminée à la question précédente. Préciser, en fonction des données du problème, comment se traduit mathématiquement la condition Θ(E)≪1. Rappeler la définition du coefficient de transmission pour ce processus. Expliquer, sans calcul, pourquoi l'expression proposée n'est qu'approximative.

5. Nous allons appliquer ce résultat au cas où x désigne la distance relative entre deux protons se déplaçant sur un même axe, et V(x) l'énergie potentielle de leur interaction électrostatique. Rappeler l'expression de V(x) et tracer l'allure de sa variation en fonction de x pour x > 0. On notera e la charge électrique élémentaire.
6. Les protons sont initialement à grande distance l'un de l'autre. E est l'énergie cinétique de leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l'expression plus loin. La fusion nucléaire a lieu lorsque les protons se trouvent au même point, soit x = 0. Exprimer la longueur L de la barrière de potentiel qu'ils doivent franchir pour que la fusion ait lieu, en fonction de E et des constantes fondamentales.
7. Calculer le coefficient de transmission Θ(E) en le mettant sous la forme Θ(E) = exp(− (E_G/E)^(1/2)). On donne l'intégrale

II - Rendement énergétique d'une machine thermique à sa puissance maximale

Premier modèle : transfert thermique

23. Nous considérons une machine dans laquelle l'énergie est produite par une source solide à la température T_1. Cette énergie est transmise à un fluide caloporteur de température T_3, avec T_3 < T_1, qui circule en contact avec la source solide. On suppose T_1 et T_3 uniformes et indépendantes du temps. On note Q l'énergie fournie par la source solide au fluide caloporteur pendant la durée τ d'un cycle. Donner l'expression de Q en fonction de τ, T_1 et T_3 et de la conductance thermique G_(th) de l'interface, supposée fixée.
24. Le fluide caloporteur constitue la source chaude d'une machine thermique ditherme dont la source froide est à la température T_2. Il restitue à cette machine thermique l'énergie Q fournie par la source solide. On suppose par ailleurs que cette machine thermique fonctionne à son rendement maximal. En déduire la dépendance du travail W qu'elle fournit en fonction de τ, T_3, T_1, T_2 et G_(th)
25. Tracer l'allure de la variation de la puissance extraite en fonction de T_3 pour T_1 et T_2 fixés.
26. Tracer l'allure de la variation du rendement η en fonction de T_3 pour T_1 et T_2 fixés. Que vaut la puissance extraite lorsque le rendement est maximal? Commenter ce résultat.
27. Déterminer la valeur de T_3 qui maximise la puissance extraite de la machine thermique pour T_1 et T_2 fixés. On exprimera cette valeur optimale de T_3 en fonction de T_1 et T_2.
28. On note η_1 la valeur du rendement correspondant à cette valeur de T_3. Exprimer η_1 en fonction de T_1 et T_2.
29. Exprimer η_1 en fonction de η_0, déterminé à la question 22, et représenter sa variation. Comment cette expression se simplifie-t-elle dans la limite où η_0≪1 ?

Deuxième modèle : création d'entropie

30. On revient au cas général d'une machine thermique cyclique ditherme dont les sources chaude et froide ont les températures respectives T_1 et T_2. On note toujours Q l'énergie fournie par la source chaude pendant la durée τ d'un cycle. On suppose maintenant qu'une entropie S_c = Σ/τ est créée au cours du cycle, où Σ est un coefficient indépendant de τ. Commenter cette modélisation. Quel est le signe de Σ ?
31. Déterminer le travail W fourni pendant un cycle en fonction de Q, T_1, T_2, Σ et τ.
32. Montrer que pour Q fixé, la puissance est maximale pour une valeur de τ qu'on déterminera, et qu'on notera τ_2.
33. Calculer le rendement de la machine thermique lorsque la puissance est maximale. On le notera η_2.

Discussion

34. Comparer les valeurs des rendements à puissance maximale prédites par ces deux modèles. Dans quelle limite ces prédictions coïncident-elles? Cette limite correspond-elle à une irréversibilité forte ou faible?
35. Dans le cadre du premier modèle, déterminer l'expression de l'entropie créée au cours d'un cycle en fonction de Q, G_(th), τ et T_1. Montrer qu'elle est proportionnelle à 1/τ dans une limite qu'on précisera. Commenter ce résultat.
36. Le coût d'une centrale thermique provient d'une part du combustible produisant l'énergie, d'autre part de la construction de la centrale et de son fonctionnement. On considère une situation où l'un de ces deux coûts est très supérieur à l'autre. D'un point de vue économique, dans quel cas a-t-on intérêt à optimiser le rendement, et dans quel cas a-t-on intérêt à maximiser la puissance?
37. Le réacteur Sizewell B est le plus grand réacteur nucléaire à eau pressurisée construit au Royaume-Uni, qui couvre environ 3% des besoins d'électricité du pays. Les températures des sources chaudes et froides pour ce réacteur sont T_1 = 581 K et T_2 = 288 K. Son rendement est η = 0, 36. Commenter cette valeur à la lumière des résultats obtenus dans ce problème.