Mines Physique 2 MP 2023 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Déformations élastiques : ressorts, module d'élasticité par un modèle quantique, expérience de Kappler

Ce sujet étudie les déformations élastiques dans un solide. La partie I étudie de façon classique la loi de Hooke, les associations de ressorts et l'élongation d'une tige mise en rotation. La partie II propose une modélisation quantique du module d'élasticité d'Young à partir d'un puits de potentiel infini à trois dimensions représentant les électrons du solide. La partie III étudie l'expérience de Kappler, qui utilise l'élasticité d'un ressort de très faible raideur pour mettre en évidence la loi de Boltzmann.

1Partie I : ressorts et loi de HookeDynamique de deux masses reliées par un ressort, association de ressorts en série et en parallèle, et tension dans une tige mise en rotation.
2Partie II : module d'élasticité des solides déformablesEstimation par analyse dimensionnelle puis modélisation quantique du module d'élasticité à partir d'un puits de potentiel infini 3D.
3Partie III : l'expérience de KapplerMouvement brownien d'une plaque retenue par un ressort de très faible raideur, utilisé pour mesurer la constante de Boltzmann.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,57 / 20 · écart-type 3,98 · 5 086 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,57/ 20
Écart-type: 3,98
Présents: 5 086
Coefficient: 4
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Équations couplées des deux masses mal posées · Erreurs mathématiques élémentaires · Réponses directes sans démonstration ni schéma soigné

Le sujet est progressif et propose plusieurs points d'entrée avec une grande variété de questions : analyses dimensionnelles, démonstrations de cours de première et seconde année, études mécaniques usuelles. Le jury déplore une qualité de rédaction terriblement basse, qui bloque parfois la lecture et la compréhension des réponses, ainsi que des études mécaniques trop souvent menées hors du cadre usuel (référentiel, schéma, projection). Le sujet a néanmoins permis de classer les candidats de façon satisfaisante, le travail de fond sur les deux années de CPGE étant une qualité appréciée.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Équations couplées des deux masses mal poséesQ2
L'obtention des équations couplées des deux masses reliées par le ressort a souvent échoué faute d'une approche rigoureuse et méthodique.
« Les candidats n’ayant pas eu une approche rigoureuse et méthodique ont souvent échoué. »
2
Erreurs mathématiques élémentairesQ4-Q5
Trop de candidats n'ont pas respecté les lois élémentaires des mathématiques, ce qui a conduit à un résultat faux.
« Trop de candidats n’ont pas respecté les lois élémentaires des mathématiques ce qui a eu pour conséquence un résultat faux. »
3
Réponses directes sans démonstration ni schéma soignéQ6-Q7
De nombreuses réponses ont été données directement sans la démonstration demandée, et la schématisation était souvent sans aucun soin.
« Beaucoup de réponse directe sans démonstration (comme demandé). La schématisation est souvent sans aucun soin. »
4
Comportement limite mal maîtriséQ12
La notion de comportement limite à l'extrémité de la tige a été difficile à mettre en œuvre, et son identification avec la force d'inertie de rotation autour d'un axe fixe a été rarement observée.
« La notion de comportement limite (mécanique qui plus est) fut difficile à mettre en œuvre à l’extrémité. »
5
Définitions et analyse dimensionnelle de la fonction d'onde imprécisesQ15
Le jury attend une extrême rigueur dans la définition de la fonction d'onde et de ses propriétés ; les définitions vagues ne peuvent convenir, et l'analyse dimensionnelle a souvent été faite à une dimension au lieu de trois.
« Les définitions vagues et/ou floues ne peuvent convenir. »
6
Position d'équilibre mal trouvéeQ25
La recherche de la position d'équilibre, pourtant une situation simple, n'a pas été réussie fréquemment ; il fallait respecter précisément les axes et le jeu de variables proposés par l'énoncé.
« La recherche de position d’équilibre dans une situation simple n’a pas été réussie fréquemment. »

Ce qui a été bien réussi

La question 16 sur la séparation des variables dans l'équation de Schrödinger a été relativement bien traitée.
La question 17, qui généralisait la méthode aux trois variables de l'espace, n'a globalement pas posé de problème dans son obtention et sa résolution.
La question 21 de dénombrement des cellules élémentaires a été globalement bien réussie.
Les questions 23 et 24 ont été globalement bien traitées.
La question 26 sur la fonction de répartition n'a pas posé beaucoup de difficulté et a été correctement traitée dans l'ensemble.

Conseils du jury

Lire le rapport avec attention et proposer un travail sincère et construit, avec un soin de rédaction poussé.
Toujours situer une étude mécanique dans un cadre rigoureux : référentiel, schéma, système de projection.
Ne pas chercher à forcer l'apparition d'un résultat sans fondement mathématique ou physique.
Soigner l'usage d'un vocabulaire précis et concis dans les définitions, et développer des raisonnements rigoureux plutôt que de longs calculs peu maîtrisés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

29 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

29 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 21 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

©MP

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Déformations élastiques

Ce sujet est consacré à l'étude de certaines propriétés de systèmes élastiquement déformables. Les parties I, II et III sont très largement indépendantes sous réserve de revenir aux définitions de la constante de raideur

k

d'un ressort et du module d'élasticité

E

d'un matériau présentées dans la partie I.

La partie I étudie les ressorts élastiques linéaires et leurs associations à partir de la loi de Hooke. La partie II en propose une généralisation en abordant la description du module d'élasticité des solides déformables. Enfin, la partie III décrit une expérience de mouvement brownien reliant les oscillations d'un ressort et l'agitation thermique du gaz dans lequel le dispositif expérimental est plongé.

I Ressorts et loi de Hooke

Le physicien anglais Robert Hooke est le premier à avoir énoncé (en 1676) la loi associée à la déformation élastique d'un ressort, établissant son allongement comme une fonction linéaire de la force exercée sur ses extrémités. Il ne s'agit en général que du premier ordre d'un développement en série de Taylor et la loi linéaire de Hooke peut donc devenir inexacte pour les grandes déformations.

I.A Mouvements d'un ressort

Figure 1 - Loi de Hooke

On notera

k

la raideur d'un ressort élastique, de masse négligeable, de longueur au repos

ℓ_0

. Si l'une de ses extrémités est fixe en

O

, l'exercice d'une force de tension

T⃗ = - Tu\to

(où

u\to

est un vecteur unitaire) sur l'extrémité mobile

M

du ressort induit une déformation de celui-ci de sorte que (cf. figure 1)

OM^(\to-) = ℓu\to

soit colinéaire à

T\to

avec

T = k[ℓ - ℓ_0]

.

C'est la loi de Hooke. On note aussi

σ = 1/k

la souplesse du ressort.

1. Montrer que la force de tension ainsi exercée sur $M$ est conservative et déterminer l'énergie potentielle $E_p(T, σ)$ associée en fonction de $T$ et $σ$ .
  Les deux extrémités $P$ et $M$ d'un tel ressort sont maintenant astreintes à se déplacer le long de l'axe fixe et horizontal ( $Ox$ ) du référentiel galiléen ( $R$ ). Deux points matériels de masse $m_M = m_1$ et $m_P = m_2$ sont attachés aux extrémités du ressort et leur action sur l'axe ( $Ox$ ) est notamment décrite par les forces de frottement $f\to_(\to M) = - λ_1 v\to_M$ et $f\to_(\to P) = - λ_2 v\to_P$ où on a noté $v\to_M$ et $v\to_P$ les vitesses de $M$ et $P$ dans ce référentiel (cf. figure 2); on notera aussi $OM^(\to-) = x_1(t)e\to_x$ et $OP^(\to-) = x_2(t)e\to_x$ .

Figure 2 - Deux masses reliées par un ressort

1. Établir les équations différentielles vérifiées par $x_1(t)$ et $x_2(t)$ .
  $◻ - 3$ . On en cherche des solutions de la forme $x_i(t) = x_(0i) + a_i e^(μt)$ où $x_(01), x_(02), a_1, a_2$ et $μ$ sont des constantes. Déterminer et commenter la relation liant $x_(01)$ et $x_(02)$ .
1. Montrer que la condition $a_i \neq 0$ impose une équation algébrique du quatrième degré vérifiée par $μ$ , que l'on écrira en fonction de $m_1, m_2, λ_1, λ_2$ et $k$ .
  $◻ - 5$ . On suppose enfin ici que $m_1 = m_2 = m, λ_1 = λ_2 = 0$ . Montrer qu'il n'existe alors que deux solutions physiquement différentes de cette équation, pour chacune d'elles on exprimera $μ$ ainsi que le rapport $a_2/a_1$ et on précisera la nature du mouvement des masses.

I.B Association de ressorts

On associe maintenant deux ressorts élastiques en série; on notera

σ_1 = 1/k_1

et

σ_2 = 1/k_2

leurs souplesses,

ℓ_(01)

et

ℓ_(02)

leurs longueurs au repos et on suppose qu'ils restent alignés le long de la droite (

Ox

) liant leurs extrémités les plus éloignées (cf. figure 3). On néglige la masse du point d'attache

A

.

Figure 3 - Association de ressorts en série

1. Exprimer, en fonction notamment des abscisses $x_P, x_A$ et $x_M$ les forces de tension exercées par les deux ressorts.
  En déduire qu'ils sont équivalents à un unique ressort donc on déterminera la souplesse $σ$ ainsi que la longueur à vide $ℓ_0$ .
1. Représenter sur un schéma l'association de deux ressorts en parallèle et donner l'expression de la raideur équivalente à cette association.

De ces études, on peut déduire ce qui suit : la raideur

k

d'un fil métallique élastique de longueur

L

et de section (constante)

s

s'exprime sous la forme :

k = Es/L

où

E

est une grandeur caractéristique du matériau appelée module d'élasticité; cette notion a notamment été présentée par l'anglais Thomas Young en 1807.

1. Rappeler les analogies de cette relation avec celles exprimant les résistance et/ou conductance électrique d'un élément conducteur métallique.
  En déduire la dimension du module d'élasticité.

I.C Tensions dans une tige élastique

Dans cette partie I.C on néglige les effets de la pesanteur. Une tige métallique homogène, de section

s

, de masse

M

et de longueur au repos

L

, caractérisée par le module d'élasticité

E

, est étirée le long de son axe horizontal par la rotation entretenue à vitesse angulaire constante

ω⃗ = ω_0 e\to_z

de son point d'attache

O

autour de l'axe vertical (

Oz

). Du fait des effets centrifuges dus à la rotation, la tige s'allonge en régime permanent; l'élément de tige qui se trouve au repos à la distance

r

passe à la distance

r + ξ(r)

(cf. figure 4).
On étudie le système matériel

Σ

qui, au repos, est compris entre les distances

r

et

r + dr

de l'axe (Oz).

Figure 4 - Élongation lors d'un entraînement centrifuge

1. Exprimer la masse $dM$ de $Σ$ en fonction notamment de $dr$ . Justifier que ce système se comporte comme un ressort de souplesse $dσ = (dr)/(Es)$ .
1. Exprimer la force de tension $T(r)$ exercée par $Σ$ sur la partie intérieure de la tige (celle comprise entre 0 et $r$ ) en fonction de $E, s$ et $\partialξ/\partialr$ .
1. En déduire la condition d'équilibre relatif de $Σ$ dans le référentiel entraîné avec la tige en rotation sous la forme $(\partial^2 ξ)/(\partialr^2) = - χr$ où $χ$ est une constante que l'on exprimera en fonction de $E, ω_0, L, M$ et $s$ .
1. Préciser la condition aux limites aux extrémités ( $r = 0$ et $r = L$ ) de la tige pour la fonction $ξ$ ; en déduire $ξ(r)$ . Exprimer aussi $T(0)$ en fonction de $M, ω_0^2$ et $L$ ; commenter l'expression obtenue.

II Module d'élasticité des solides déformables

II.A Estimation en ordre de grandeur

Le module d'élasticité, relié à la raideur

k

d'une tige élastique de longueur

L

et de section

s

par la relation (1), est lié aux variations d'énergie de la tige lors d'une dilatation ou d'une compression. L'énergie concernée est, dans le cas d'un matériau métallique, celle des électrons, de masse

m_e = 9, 1 \cdot 10^(- 31) kg

au sein des mailles du cristal métallique; on notera

a

la dimension caractéristique de ces mailles.
Dans une première approche heuristique, on fait l'hypothèse que le module d'élasticité ne dépend que de

m_e, a

et de la constante de Planck

h = 6, 6 \cdot 10^(- 34) J \cdot s

sous la forme

E = Cm_e^α h^β a^γ

où la constante adimensionnée

C

est de l'ordre de grandeur de l'unité.

1. Par analyse dimensionnelle, déterminer les entiers $α, β$ et $γ$ .
1. Rappeler l'ordre de grandeur usuel de $a$ ; en déduire celui de $E$ .

II.B Modèle quantique du puits infini 3D

On rappelle ici l'équation de Schrödinger pour une particule de masse

m

lorsque l'interaction avec l'extérieur est décrite par le potentiel d'interaction

U(r\to)

:

- (ℏ^2)/(2m)ΔΨ(r\to, t) + U(r\to)Ψ(r\to, t) = jℏ\partial/(\partialt)Ψ(r\to, t)

où

j^2 = - 1, Ψ(r\to, t)

est la fonction d'onde et

ℏ = h/2π

. Dans ce qui suit, on étudie une particule dans un puits de potentiel infini défini à trois dimensions par

U =

cte

= U_0

pour

0 < x < a_1

,

0 < y < a_2

et

0 < z < a_3

tandis que

U \to + \infty

en dehors de cette région bornée de l'espace.

1. Quelles sont l'interprétation physique et la dimension de la fonction d'onde $Ψ(r\to, t)$ ?
  $◻$ - 16. On cherche des solutions de l'équation de Schrödinger de la forme $Ψ(r\to, t) = Φ(x, y, z)W(t)$ . Quelle est la forme de $W(t)$ ? Comment s'appelle ce type de solution?
  $◻$ - 17. On suppose encore $Φ(x, y, z) = F_1(x)F_2(y)F_3(z)$ . Déterminer les fonctions $F_i(i = 1, 2, 3)$ en fonction de $a_i$ et de trois nombres entiers $n_i \in ℕ^*$ , à une constante multiplicative arbitraire près.
1. Montrer que l'énergie $E_f$ de l'état fondamental de la particule s'écrit :

E_f = U_0 + (h^2)/(8m)[1/(a_1^2) + 1/(a_2^2) + 1/(a_3^2)]

La particule de masse

m

, qui reste dans son état fondamental, évolue lentement d'un état isotrope où le volume

V = a^3

du puits est celui d'un cube de côté

a

à une situation comprimée où une des dimensions

a_1 = a - δa < a

tandis que les deux autres dimensions augmentent simultanément et symétriquement (

a_2 = a_3

à tout instant) de manière à maintenir constant le volume

V = a_1 a_2 a_3

du puits.

◻ - 19

. Exprimer la variation

ΔE_1

de l'énergie de l'état fondamental qui accompagne cette transformation.

◻

- 20. On suppose

δa≪a

. Montrer qu'au premier ordre non nul en

δa/a

la variation d'énergie se met sous la forme

ΔE_1 = 1/2Kδa^2

, on exprimera

K

en fonction de

h, m

et

a

.
On rappelle que

(1 - ε)^(- 2) = 1 + 2ε + 3ε^2 + o(ε^2)

.

II.C Compression d'une tige

On s'intéresse maintenant à une tige (cf. figure 5) de section constante

s

, d'axe (

Ox

) et de longueur

L

, réalisée dans un matériau qui peut être décrit comme dans la partie II.B : il est divisé à l'échelle microscopique en zones cubiques de côté

a

et supposées alignées avec les axes de coordonnées (Oxyz).

Figure 5 - Compression d'une tige

Un opérateur exerce alors sur chaque extrémité de la tige une force

F

uniformément répartie de manière à diminuer la longueur de la tige qui passe de

L

à

L - δL

. On admet que le travail de cette force a pour effet l'augmentation de l'énergie des électrons du milieu, à raison d'un électron de valence par cube élémentaire de côté

a

.

1. Exprimer, en fonction de $a, L$ et $s$ le nombre $N$ de cubes élémentaires de côté $a$ à l'intérieur de la tige.
1. En supposant la compression uniforme, relier la variation $δa$ de la dimension de cube selon $(Ox)$ à $L, a$ et $δL$ .
1. En déduire l'augmentation d'énergie $ΔE_t$ de la tige; en déduire l'expression de $F$ en fonction de $K, s, a$ et $δL$ .
1. En déduire l'expression du module d'élasticité $E$ , défini par la relation (1), en fonction de $h, a$ et $m_e$ . Comparer au résultat de la partie II.A.

III L'expérience de Kappler

On dispose au sein d'un gaz thermostaté à la température

θ

une plaque de masse

m

retenue par un ressort vertical de raideur

k = 1/σ

, disposée dans le champ de pesanteur d'intensité

g

(figure 6). Sous l'action des chocs des molécules du gaz, cette plaque se déplace de manière aléatoire le long du seul axe vertical (

Oz

) de part et d'autre de sa position d'équilibre

z_0

; on parle de mouvement brownien.

Figure 6 - Oscillations dues au mouvement brownien

◻ - 25

. Le point d'attache du ressort est en

z = 0

et on note

ℓ_0

sa longueur au repos. Déterminer la position d'équilibre

z_0

puis exprimer l'énergie potentielle totale dont dérivent les forces élastiques et de pesanteur en fonction seulement de

σ

et

z^' = z - z_0

.
Dans ce qui suit on pourra introduire la fonction

E_p(z^') = (z^('2))/(2σ)

.
On admet que les valeurs de

z^'

lors du mouvement brownien sont alors régies par la loi de probabilité de Boltzmann : on note

k_B = 1, 4 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)

la constante de Boltzmann et

P(z^')dz^'

est la probabilité pour que la plaque soit disposée entre les altitudes

z^'

et

z^' + dz^'

. On admet donc l'expression

P(z^') = 1/(ζ(θ))exp(- γ(θ)z^('2))

.
On donne les valeurs des intégrales

\int_0^\inftye^(- at^2) dt = 1/2\sqrt(π/a)

et

\int_0^\inftyt^2 e^(- at^2) dt = 1/4\sqrt(π/(a^3))

.

◻ - 26

. Exprimer

γ(θ)

et calculer

ζ(θ)

en fonction de

k_B θ

et

σ

.

1. Sans faire de calculs, que vaut la valeur moyenne $⟨z^'⟩$ ?
1. Calculer la valeur moyenne $⟨z^('2)⟩$ ; commenter, au regard du théorème d'équipartition.

En 1931, le physicien allemand Eugen Kappler a publié dans la revue Annalen der Physik les résultats d'une expérience basée sur ce principe en utilisant un miroir suspendu à un fil de torsion vertical (ressort en rotation). L'expérience concluait à la validité de la loi de Boltzmann avec une mesure précise de la constante de Boltzmann.

1. Connaissez-vous d'autres cas de mouvement brownien? D'autres expériences ayant conduit à une vérification expérimentale de la loi de Boltzmann?

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 Mines-Ponts MP 2023 ?

Il porte sur les déformations élastiques : loi de Hooke et ressorts, modélisation quantique du module d'élasticité d'Young, et expérience de Kappler sur le mouvement brownien et la loi de Boltzmann.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans ce sujet Mines physique 2 MP 2023 ?

Des études mécaniques menées hors du cadre rigoureux habituel (référentiel, schéma, projection), des définitions imprécises de la fonction d'onde, et une qualité de rédaction jugée terriblement basse.

Ce sujet Mines physique 2 MP 2023 mélange-t-il plusieurs domaines de la physique ?

Oui, il aborde successivement la mécanique des ressorts, un modèle quantique du solide (puits de potentiel infini) et la physique statistique (loi de Boltzmann) à travers l'expérience de Kappler.

Le sujet Mines physique 2 MP 2023 permet-il de bien classer les candidats ?

Le jury indique que l'écrit a permis de classer les candidats de façon satisfaisante, valorisant le travail de fond mené sur les deux années de CPGE.

Mines Physique 2 MP 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisable en sup ?

Explorer les annales

Téléchargements