Le sujet étudie certaines propriétés physiques à très basse température à travers deux problèmes indépendants. Le premier porte sur le refroidissement conductif puis convecto-conductif d'un fil supraconducteur, jusqu'au phénomène de quench. Le second construit l'énergie interne d'un gaz parfait par une approche statistique, introduit le modèle de van der Waals, puis étudie une détente de type Joule-Thomson produisant du froid.

1I.A Refroidissement progressif d'un supraconducteurÉtablir et résoudre l'équation de diffusion thermique à une dimension dans le supraconducteur.
2I.B Refroidissement stationnaire d'un fil supraconducteurFaire un bilan thermique avec terme source et étudier le phénomène de quench en régime conducto-convectif.
3II.A Thermodynamique des gaz parfaitsÉtablir l'énergie interne d'un gaz parfait de N particules par une étude statistique et la limite thermodynamique.
4II.B Le modèle de van der WaalsRetrouver l'équation d'état du modèle de van der Waals à partir de l'étude des interactions entre particules.
5II.C Refroidissement par détente adiabatiqueÉtudier une détente de type Joule-Thomson permettant de générer du froid.

Difficulté moyenne. Le jury indique que beaucoup de questions proches du cours ont permis à l'ensemble des candidats de rebondir dans le sujet, tout en soulignant un fort contraste entre les parties du programme de MPSI et de MP.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,38 / 20 · écart-type 4,76 · 5 100 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,38/ 20
Écart-type: 4,76
Présents: 5 100
Coefficient: 4
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Mélange des conventions dimensionnelles · Justification de l'ARQS omise · Passage à N particules souvent absent

Le jury insiste avec force sur l'importance du soin dans la rédaction et la clarté des explications, jugeant trop de copies simplement illisibles. Le classement des candidats est jugé très satisfaisant, reflétant des niveaux de maîtrise très contrastés, de copies de très haute qualité à des copies vides de réponses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Mélange des conventions dimensionnellesQ1
Les analyses dimensionnelles peuvent être faites en dimension SI ou en unité, mais le mélange de ces deux conventions n'est pas convenable.
« Le mélange de ces deux conventions n'est pas convenable »
2
Justification de l'ARQS omiseQ5
L'ARQS doit justifier l'usage du concept de résistance thermique, une justification trop souvent omise et confondue avec l'explication de la notion de résistance.
« Cette justification est trop souvent omise »
3
Passage à N particules souvent absentQ14
Le passage à N particules ainsi que la conclusion sur la limite thermodynamique sont souvent absents des compositions, malgré une approche trop mathématique.
« Le passage à N particules ainsi que la conclusion sur la limite thermodynamique sont souvent absents des compositions »
4
Confusion entre nature et modèleQ18
Beaucoup de confusions entre la nature et le modèle furent constatées ; le signe du paramètre alpha doit être construit par l'étude du signe de la dérivée et non celui de l'énergie.
5
Nom de la détente inconnuQ24
Le nom de la détente est malheureusement souvent inconnu ainsi que la nature de la transformation.
« Le nom de la détente est malheureusement souvent inconnu ainsi que la nature de la transformation »

Ce qui a été bien réussi

L'expression de Cth (Q3) fut globalement bonne.
Les questions 8, 9 et 10 furent dans l'ensemble satisfaisantes.
Les connaissances sont bien exposées à la question 13.
La question 15 a été bien réussie.

Conseils du jury

Construire des connaissances solides sur l'ensemble de la scolarité de MPSI et de MP, la formation évaluée couvrant les deux années.
Chercher la simplicité dans les calculs plutôt que des développements mathématiques complexes, souvent synonymes de compréhension.
Aborder durant toute la durée de l'épreuve les différentes parties, qui offrent plusieurs points d'entrée sur des thématiques variées.
Encadrer les résultats littéraux, souligner les applications numériques et les présenter au format scientifique avec une unité.
Utiliser des schémas clairs pour illustrer et justifier facilement une réponse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

25 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

25 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 17 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Thermodynamique du froid

Le sujet, consacré à l'étude de certaines propriétés physiques à très basse température, comporte deux problèmes totalement indépendants numérotés

I

(étude de transferts thermiques conductifs et convecto-conductifs) et II (étude d'un réfrigérateur par détente d'un gaz).

Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (

w⃗

), à l'exception des vecteurs unitaires notés avec un chapeau (

u^

). Les applications numériques seront réalisées avec seulement deux chiffres significatifs. Les données numériques nécessaires et un formulaire, relatif en particulier aux coordonnées sphériques, figurent en fin d'énoncé.

I Refroidissement des supraconducteurs

Parmi les applications importantes des basses températures, on compte la supraconductivité : certains métaux ou oxydes métalliques acquièrent, en dessous d'une certaine température critique (

T < T_(sc)

) un caractère supraconducteur, le matériau pouvant conduire un courant électrique permanent sans aucune dissipation d'énergie. Cette propriété est par exemple mise à profit pour la production de champs magnétiques intenses.
Dans tout ce qui suit, le matériau supraconducteur est assimilé à un conducteur thermique de conductivité thermique

λ

de la loi de FOURIER, de masse volumique

ρ

et de capacité thermique massique

c

. On rappelle que, dans ce cas, l'évolution de la température à l'intérieur du matériau conducteur est donnée par l'équation de diffusion thermique :

ù é ρc(\partialT)/(\partialt) = λΔT où Δ est l'opérateur laplacien.

Les échanges thermiques entre ce matériau et le fluide qui l'entoure seront, dans tous les cas, décrits par la loi de Newton : le transfert thermique pariétal (à la surface ou sur les bords) du solide de température

T

vers le fluide de température

T_f

, par unité de temps et par unité d'aire, est

j_(par) = k(T - T_f)

où

k

est une constante. Les études menées en I.A et I.B sont totalement indépendantes.

I.A Refroidissement progressif d'un supraconducteur

Le matériau (supraconducteur) étudié dans cette partie I.A à la forme d'une boule de rayon

R

, de température uniforme

T(t)

. Il est entièrement plongé dans un liquide réfrigérant qui maintient, à grande distance du matériau, la température uniforme et constante

T_0 < T_(sc)

(cf. figure 1).

Figure 1 - Boule de supraconducteur en cours de refroidissement

-1. Donner, en les justifiant, les unités (ou les dimensions) de

k

λ

. Établir, dans le cas unidimensionnel, l'équation de diffusion thermique rappelée ci-dessus.

1. Rappeler l'expression de la diffusivité thermique $D_(th)$ d'un matériau. À quelle condition, portant sur la durée $Δt$ du refroidissement, l'hypothèse consistant à considérer la température du matériau comme uniforme est-elle légitime ? On se placera dans ce cas dans la suite.
1. Exprimer en fonction des données la capacité thermique $C_(th)$ de la boule solide, ainsi que la résistance thermique d'isolement $R_(th)$ associée aux échanges pariétaux convecto-conductifs à sa surface.

Pour l'étude du refroidissement, il faut aussi tenir compte des transferts thermiques au sein du liquide réfrigérant. On admet que la température

T_f

en un point

M

du liquide supposé immobile ne dépend que de la distance

r

au centre

O

de la boule (figure 1). On néglige la capacité thermique massique du liquide réfrigérant; sa conductivité thermique est notée

λ^'

◻ - 4

. Montrer que

T_f(r, t) = T_0 + [T_s(t) - T_0]R/r

1. Pourquoi est-il licite de décrire les transferts à travers le fluide en termes de résistance thermique?
  Exprimer la résistance thermique $R_(th)^'$ associée au refroidissement conductif, en fonction de $λ^'$ et $R$ .

On suppose pour finir que

λ^'≫Rk

1. Déterminer l'équation d'évolution de la température $T(t)$ de la boule solide; on posera $τ = (ρRc)/(3k)$ .
1. On notera $T_i = T(t = 0)$ la température initiale du matériau. Tracer l'allure de la courbe $T(t)$ et exprimer la durée $Δt$ au bout de laquelle le matériau débute la transition conducteur $\mapsto$ supraconducteur.

I.B Refroidissement stationnaire d'un fil supraconducteur

L'absence de résistivité dans les matériaux supraconducteurs n'empêche pas, notamment dans le cadre de régimes transitoires électromagnétiques, l'existence de dissipations de puissance dues au champ électrique induit. Il s'ensuit un chauffage local du matériau supraconducteur. Le passage éventuel de celui-ci au-dessus de la température critique

T_(sc)

a alors un effet catastrophique : l'effet Joule apparaît, la température augmente de plus en plus et la surchauffe du bobinage peut détruire celui-ci : c'est le phénomène de quench (voir figure 2).

Figure 2 - Fuite d'hélium suite à la destruction (quench) d'un aimant supraconducteur utilisé pour la RMN. Département de Chimie de l'université de l'Alberta

On va dans ce qui suit s'intéresser aux conditions de refroidissement propres à éviter le phénomène de quench.
Le matériau supraconducteur étudié a la forme d'un fil cylindrique de rayon

R

, de très grande longueur (figure 3). Il est entièrement plongé dans un liquide réfrigérant qui maintient une température uniforme

T_0 < T_(sc)

, avec lequel les échanges thermiques se font selon la loi de Newton. La totalité du fil cylindrique est le siège d'une production de puissance électromagnétique avec la densité volumique supposée uniforme et constante

p_u

Figure 3 - Fil supraconducteur en régime stationnaire

1. Exprimer la puissance totale $P_s(r)$ évacuée par une hauteur $H$ de la partie du fil située au plus à la distance $r$ de l'axe avec $0 ⩽ r < R$ , cf. figure 3 .
1. En déduire, en régime permanent, l'intensité $j_(th)(r)$ de la densité volumique de flux thermique conductif dans le fil.
1. Déterminer l'expression de la température de surface $T_s$ en fonction de $T_0, k, p_u$ et $R$ .
1. À quel endroit dans le fil la température est-elle maximale?

Déterminer l'expression de la valeur

T_(max)

correspondante.
Montrer que le phénomène de quench ne se produit pas si

p_u

est inférieur à une valeur critique

p_(max)

que l'on exprimera.

II Réfrigérateur à détente de gaz

Les premières études des propriétés des systèmes physiques à très basses températures, et en particulier la découverte de la supraconductivité, ont été faites en utilisant des réfrigérateurs à détente de gaz, à la suite des travaux des néerlandais van der Waals et Kamerlingh Onnes. Les parties II.A (étude statistique des gaz parfaits), II.B (modèle énergétique de vAN der Waals) et II.C (refroidissement par détente) sont indépendantes.

On n'oubliera pas que le modèle utilisé pour la description thermodynamique des fluides n'est pas le même : modèle des gaz parfaits dans la partie II.A et modèle avec interactions entre molécules dans la suite.

Figure 4 - Kamerlingh Onnes (à gauche) et van der Waals (à droite) photographiés devant la machine à liquéfier l'hélium, laboratoire de l'Université de Leiden, 1908

II.A Thermodynamique des gaz parfaits

On étudie ici un système thermodynamique formé de

N

particules réparties sur

p

niveaux d'énergie

ε_j(j = 1, 2, \dots, p)

non dégénérés. Le système est maintenu à température constante

T

par contact avec un thermostat et on notera

β = 1/k_B T

1. Rappeler la loi statistique de BOLTZMANN. On notera $Z(β) = \sum_(j = 1)^p exp(- βε_j)$ .
1. Exprimer l'énergie moyenne $ε¯$ d'une des $N$ particules du milieu en fonction de $Z(β)$ et sa dérivée.
  En déduire l'expression de l'énergie interne $U(β)$ du système.
1. Montrer qu'on peut exprimer, en fonction d'une somme (qu'on ne cherchera surtout pas à calculer), l'écart-type $σ_ε$ associé à la moyenne $ε¯$ .
  Quel est l'écart-type $σ_U$ associé? Que peut-on en en déduire?
  Les états possibles du système étant très nombreux, les sommes exprimant $Z(β)$ et donc $U(β)$ explicitées ci-dessus sont remplacées par des intégrales : le nombre $dg$ d'états distincts correspondant à un intervalle d'énergie $dε$ s'exprime alors sous la forme $dg = q(ε)dε$ où $q(ε)$ est la densité d'états, on adoptera l'expression $Z(β) = \intq(ε)exp(- βε)dε$ où l'intégrale est étendue à toutes les valeurs possibles de l'énergie $ε$ .
1. Préciser l'unité (ou la dimension) de la densité d'états $q(ε)$ .

On étudie maintenant les propriétés thermodynamiques d'un gaz parfait monoatomique formé de

N

atomes identiques, décrits dans le cadre de la mécanique classique : un atome de masse

m

a pour vecteur position

r⃗(t)

et pour vitesse

v⃗(t) = (dr⃗)/(dt)

relativement au référentiel d'étude, supposé galiléen et lié au récipient fixe, de volume

V

, qui contient ce gaz. L'énergie des molécules est purement cinétique donc

0 ⩽ ε < + \infty

1. Montrer que $q(ε)$ est proportionnel à $\sqrtε$ . Pour la suite, on pourra poser $q(ε) = Q\sqrtε$ sans préciser la constante $Q$ .
  $◻$ - 17. En déduire l'expression de $Z(β)$ en fonction de $β, Q$ et de l'intégrale $A = \int_0^\infty\sqrtxe^(- x)dx$ (il est aussi inutile de calculer $A$ ).
1. Déterminer enfin l'énergie interne $U$ du gaz, en fonction de $N$ et $β$ ; commenter le résultat obtenu et proposer une généralisation dans le cas d'un gaz parfait diatomique.

II.B Le modèle de van der Waals

On peut rafiner le modèle du gaz parfait en considèrant maintenant le modèle d'un fluide

F

constitué de molécules assimilées à des sphères de rayon

r_0

en interactions : l'énergie potentielle d'interaction entre deux molécules est attractive, ne dépend que de la distance

r

entre leurs centres et s'écrit

ε_p = - α/(r^6)

où

r > 2r_0

α

est une constante. Le volume total occupé par le fluide est

V

, la température

T

et l'énergie cinétique moyenne du gaz sera notée

E¯_c = (Nk_B)/(γ - 1)T

1. Quelle est la nature des interactions décrites ici?

Quel est le signe de

α

?
Pour le calcul de l'interaction entre une molécule donnée de centre

O

(à l'origine des coordonnées) et le reste du gaz, on admet que les

N - 1

autres molécules sont réparties uniformément en fonction de la distance

r

avec une densité particulaire

n^* = N/V

uniforme pour

r > 2r_0

(voir la figure 5).

1. Quel est le nombre (moyen) $dN$ de molécules dont le centre est situé à une distance de $O$ comprise entre $r$ et $r + dr$ ?
  En calculant une intégrale, déduire l'énergie potentielle d'interaction moyenne $ε¯_1$ de la molécule centrée sur $O$ avec toutes les autres. On pourra considérer que $V≫r_0^3$ pour évaluer les bornes d'intégration.

Figure 5 - Interaction d'une molécule avec le reste du gaz

1. En déduire l'expression de l'énergie interne du fluide $F$ se met sous la forme

U = (Nk_B)/(γ - 1)T - (N^2 a)/V

dans laquelle on exprimera la constante

a

en fonction de

α

r_0

.
Un modèle un peu plus élaboré de physique statistique permet également d'obtenir l'entropie de la même quantité de fluide

F

, elle s'écrit :

S = S_0 + k_B Nln(T^c(V - u))/(T_0^c(V_0 - u))

où l'exposant

c

ainsi que

S_0, T_0, V_0

sont des constantes et

u = N4/3π(2r_0)^3

1. Justifier physiquement le signe de $c$ .

Pour toute évolution infinitésimale d'un système fluide de température

T

et à la pression

P

, on indique la relation

dU = TdS - PdV

entre les variations

dU, dS

dV

de l'énergie interne, de l'entropie et du volume.

◻

- 23. En déduire

c

en fonction de

γ

ainsi que l'équation d'état

P = P(T, V, N)

du fluide

F

. Commenter.

II.C Refroidissement par détente adiabatique

Dans cette dernière partie les grandeurs thermodynamiques utilisées sont toujours les mêmes que dans les parties précédentes mais elle s'entendent pour une mole de fluide.
On étudie les évolutions d'un fluide

F

caractérisé par l'énergie interne molaire (admise) :

U = (RT)/(γ - 1) - A/V

et par l'équation d'état molaire (également admise) :

(P + A/(V^2))(V - B) = RT

où

A

B

sont des constantes strictement positives (leurs valeurs numériques pour

N_2

H_2

figurent en fin d'énoncé) et

γ > 1

. Enfin, le modèle constitue une correction par rapport au modèle du gaz parfait; en particulier, on se limitera partout au corrections du premier ordre en fonction des constantes

A

B

1. Montrer que l'enthalpie molaire $H(T, P)$ du fluide s'écrit $H = C_P T - KP(1/T - 1/(T_r))$ où $RT_r = (2A)/B$ et $C_P > 0$ et $K > 0$ sont des constantes que l'on exprimera en fonction des données.
  $◻ - 25$ . Comment nomme-t-on la détente adiabatique et isenthalpique d'un fluide?
  La transformation ainsi décrite est-elle réversible?
  À quelle condition une détente de ce type permet-elle un refroidissement?
  Faire l'application numérique pour $N_2$ et $H_2$ et conclure.

Données numériques

Grandeur	Notation	Valeur numérique
Constante d'Avogadro	$N_A$	$6, 0 \cdot 10^(23) mol^(- 1)$
Constante de Boltzmann	$k_B$	$1, 4 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
Constante molaire des gaz parfaits	$R$	$8, 3 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$

Coefficients de l'équation de van der Waals

Pour le diazote $N_2$	Pour le dihydrogène $H_2$
$A = 1, 4 \cdot 10^(- 1)SI B = 3, 9 \cdot 10^(- 5)SI$	$A = 2, 5 \cdot 10^(- 2)SI B = 2, 7 \cdot 10^(- 5)SI$

Repérage sphérique d'un point $M$

Le point

M

de coordonnées cartésiennes (

x, y, z

) peut aussi être repéré par ses coordonnées sphériques

r, θ

φ

rappelées sur le schéma ci-après :

Formulaire en coordonnées sphériques

Gradient :

grad^(\to-)f = (\partialf)/(\partialr)u^_r + 1/r(\partialf)/(\partialθ)u^_θ + 1/(rsinθ)(\partialf)/(\partialφ)u^_φ

Laplacien scalaire :

Δf = 1/(r^2)[\partial/(\partialr)(r^2(\partialf)/(\partialr)) + 1/(sinθ)\partial/(\partialθ)(sinθ(\partialf)/(\partialθ)) + 1/(sin^2 θ)(\partial^2 f)/(\partialφ^2)]

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 2 Mines-Ponts MP 2024 ?

Le sujet porte sur la diffusion thermique et le refroidissement d'un supraconducteur, puis sur la physique statistique, le modèle de van der Waals et une détente de type Joule-Thomson.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève un mélange des conventions dimensionnelles, une justification omise de l'ARQS, un passage à N particules souvent absent en physique statistique, et une méconnaissance du nom de la détente en fin de sujet.

Le sujet de Physique 2 Mines-Ponts MP 2024 est-il accessible ?

Le jury indique que de nombreuses questions proches du cours ont permis à l'ensemble des candidats de rebondir dans le sujet, tout en soulignant un fort contraste entre les acquis de MPSI et de MP.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 MP 2024

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

L'épreuve en chiffres

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Corrigé détaillé

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Thermodynamique du froid

I Refroidissement des supraconducteurs

I.A Refroidissement progressif d'un supraconducteur

I.B Refroidissement stationnaire d'un fil supraconducteur

II Réfrigérateur à détente de gaz

II.A Thermodynamique des gaz parfaits

II.B Le modèle de van der Waals

II.C Refroidissement par détente adiabatique

Données numériques

Coefficients de l'équation de van der Waals

Repérage sphérique d'un point M

Formulaire en coordonnées sphériques

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 2 Mines-Ponts MP 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le sujet de Physique 2 Mines-Ponts MP 2024 est-il accessible ?

Commentaires• Mines Physique 2 MP 2024

Commentaires• Mines Physique 2 MP 2024

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Repérage sphérique d'un point $M$