Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2024

1. Unités de k et \lambda :

• D'après l'énoncé, le flux thermique surfacique pariétal s'exprime selon la loi de Newton :

  j_{\mathrm{par}} = k (T - T_f)

  Un flux thermique surfacique représente une puissance par unité de surface, soit [j_{\mathrm{par}}] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Une différence de température s'exprime en kelvins (\mathrm{K}). On en déduit :

  \boxed{ [k] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1} }

• La loi de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique au gradient de température : \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \, \vec{\operatorname{grad}} T. En coordonnées cartésiennes selon une direction x :

  j_{\mathrm{th}} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}

  Le gradient thermique s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1} et la densité de flux thermique en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Il vient donc :

  \boxed{ [\lambda] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} }

2. Établissement de l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle :

Considérons un barreau cylindrique conducteur de section constante S, d'axe (Ox), sans source interne d'énergie. On isole le système fermé constitué de la matière contenue entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x.

Le volume de cette tranche élémentaire est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, et sa masse vaut \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x.

Durant l'intervalle de temps [t, t+\mathrm{d}t], la variation d'énergie interne de la tranche s'écrit, en l'absence de travail utile et pour une phase condensée indilatable et incompressible :

D'après le premier principe de la thermodynamique, cette variation est due aux transferts thermiques conductifs à travers les frontières en x et en x+\mathrm{d}x :

En égalant \mathrm{d}U et \delta Q, puis en simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation de l'énergie :

En appliquant la loi de Fourier unidimensionnelle j_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t) avec \lambda supposée uniforme :

On en déduit directement l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle :

qui correspond bien à \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \Delta T en dimension 1, où le laplacien scalaire se réduit à \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}.

L'équation de diffusion thermique s'écrit sous la forme canonique :

Par identification avec l'équation \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \Delta T, la diffusivité thermique du matériau est :

Elle s'exprime en \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}.

Par analyse dimensionnelle sur l'équation de diffusion, le temps caractéristique de diffusion de la chaleur au sein de la boule de rayon R est :

Pour que la température du matériau puisse être considérée comme uniforme à chaque instant, le transfert d'énergie par conduction interne doit être quasi-instantané à l'échelle de la durée caractéristique \Delta t de son refroidissement :

La boule supraconductrice a pour rayon R, pour masse volumique \rho et pour capacité thermique massique c. Son volume est donc :

La capacité thermique de la boule solide s'exprime ainsi par le produit de sa masse par sa capacité thermique massique :

Le transfert thermique pariétal à la surface de la boule d'aire S = 4\pi R^2 est décrit par la loi de Newton :

Le flux thermique total \Phi traversant cette surface s'écrit alors :

Par analogie électrocinétique, la résistance thermique associée à ce transfert est définie par \Phi = \frac{T - T_f}{R_{\text{th}}}, ce qui donne :

L'équation de diffusion thermique dans le liquide réfrigérant immobile s'écrit :

En négligeant la capacité thermique massique du fluide (c_f \approx 0), cette équation se réduit à chaque instant à l'équation de Laplace (régime quasi-stationnaire) :

La température du fluide ne dépendant que de la distance r au centre O de la boule, l'expression du laplacien scalaire en coordonnées sphériques (donnée dans le formulaire) se simplifie :

Pour tout r \geqslant R, on en déduit successivement :

où A(t) et B(t) sont des fonctions dépendant a priori du temps t.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

• À grande distance (r \to +\infty), le fluide est maintenu à la température constante T_0 :

  \lim_{r \to +\infty} T_f(r,t) = T_0 \implies B(t) = T_0

• À la surface de la boule (r = R), la température du fluide est notée T_s(t) :

  T_f(R,t) = T_s(t) \implies -\frac{A(t)}{R} + T_0 = T_s(t) \implies A(t) = -R \left[T_s(t) - T_0\right]

En réinjectant ces constantes dans l'expression de T_f(r,t), on obtient :

La description des transferts thermiques en termes de résistance thermique est licite car :

• La capacité thermique massique du fluide étant négligée, le fluide se trouve en régime quasi-stationnaire sans terme source interne : le flux thermique \Phi traversant toute surface fermée entourant la boule (ici une sphère de rayon r \geqslant R) est conservatif (indépendant de r).
• Les équations régissant le transfert (loi de Fourier) étant linéaires, l'écart de température T_s(t) - T_0 est directement proportionnel au flux thermique \Phi(t), par analogie directe avec la loi d'Ohm en électrocinétique.

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique dans le fluide s'écrit :

En utilisant l'expression établie à la question Q4, T_f(r,t) = T_0 + [T_s(t) - T_0]\frac{R}{r}, le gradient radial vaut :

Le flux thermique total \Phi évacué à travers une sphère de rayon r \geqslant R s'écrit :

Par définition de la résistance thermique conductive R'_{\text{th}} entre la surface de la boule (r=R) et l'infini (r\to+\infty) :

On en déduit immédiatement :

Le transfert thermique depuis la surface du supraconducteur jusqu'au fluide à l'infini met en jeu l'association en série de deux résistances thermiques :

• la résistance pariétale d'interface R_{\text{th}} = \dfrac{1}{4\pi R^2 k} (établie à la question Q3) ;
• la résistance conductive du fluide environnant R'_{\text{th}} = \dfrac{1}{4\pi \lambda' R} (établie à la question Q5).

Le rapport de ces deux résistances vaut :

L'hypothèse \lambda' \gg Rk implique donc :

Le flux thermique \Phi cédé par la boule au milieu extérieur à température T_0 s'écrit alors :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à la boule solide entre les instants t et t + \mathrm{d}t, en l'absence de travail et de source interne :

Sachant que \mathrm{d}U = C_{\text{th}}\,\mathrm{d}T avec C_{\text{th}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \rho c (question Q3), on obtient :

Soit, en simplifiant par 4\pi R^2 :

En posant \tau = \dfrac{\rho R c}{3k}, on aboutit à l'équation différentielle du premier ordre :

L'équation différentielle obtenue à la question Q6 s'écrit :

Sa solution générale, compte tenu de la condition initiale T(0) = T_i, est :

Initialement, le matériau se trouve dans l'état normal (T_i > T_{\text{sc}}). Il amorce sa transition vers l'état supraconducteur dès que sa température atteint la température critique T_{\text{sc}} (avec T_0 < T_{\text{sc}} < T_i). À la date t = \Delta t, on a donc T(\Delta t) = T_{\text{sc}}, soit :

En prenant le logarithme népérien et en réinjectant \tau = \frac{\rho R c}{3k} :

Considérons le cylindre coaxial au fil, de rayon r (avec 0 \leqslant r < R) et de hauteur H. Son volume s'écrit :

La puissance électromagnétique produite au sein de ce cylindre est issue de la densité volumique p_u, uniforme et constante :

Le fil étant de très grande longueur, le système est invariant par translation selon l'axe (Oz) et par rotation autour de cet axe. Le flux thermique est donc purement radial : aucun flux thermique ne traverse les deux sections droites planes limitant la tranche de hauteur H.

En régime stationnaire, l'énergie interne du système est constante (\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = 0). Le bilan énergétique sur ce volume s'écrit alors :

On en déduit l'expression de la puissance totale \mathcal{P}_s(r) évacuée à travers la surface latérale de rayon r :

Le fil étant de très grande longueur et invariant par rotation autour de son axe (Oz) ainsi que par translation le long de cet axe, le champ de température ne dépend que de la coordonnée radiale : T = T(r).

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique est radial et centrifuge :

Le flux thermique à travers les deux bases planes perpendiculaires à (Oz) est nul par symétrie (\vec{\jmath}_{\text{th}} \cdot \hat{u}_z = 0).

La puissance thermique totale \mathcal{P}_s(r) évacuée par la hauteur H du cylindre de rayon r traverse donc uniquement sa surface latérale d'aire S_{\text{lat}}(r) = 2\pi r H :

En utilisant l'expression de \mathcal{P}_s(r) obtenue à la question Q8 :

On en déduit l'intensité de la densité de flux thermique conductif à la distance r de l'axe :

À la surface latérale du fil (r = R), les échanges avec le liquide réfrigérant à température T_0 sont modélisés par la loi de Newton :

Par continuité du vecteur densité de flux thermique à la traversée de la surface latérale, le flux conductif issu du solide compense exactement le flux pariétal transmis au fluide :

En utilisant l'expression établie à la question Q9 pour r = R, soit j_{\mathrm{th}}(R) = \dfrac{p_u R}{2}, il vient :

On en déduit directement la température de surface :

D'après la loi de Fourier en coordonnées cylindriques (l'invariance par translation selon z et par rotation autour de l'axe imposant \vec{\nabla}T = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\hat{u}_r) :

D'après la question Q9, la densité de flux thermique s'écrit \vec{\jmath}_{\text{th}}(r) = \frac{p_u r}{2}\hat{u}_r. Par identification :

Pour tout r \in ]0, R], \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} < 0 : la température T(r) est une fonction strictement décroissante de r. La température est donc maximale au cœur du fil, sur son axe de révolution (r = 0).

En intégrant cette relation entre r = 0 et r = R :

D'où l'expression de la température maximale T_{\max} = T(0) :

En remplaçant T_s par son expression établie à la question Q10, T_s = T_0 + \frac{p_u R}{2k} :

Le phénomène de quench est évité si et seulement si le matériau reste supraconducteur en tout point, c'est-à-dire si la température en tout point ne dépasse pas la température critique T_{\text{sc}} :

Comme T_0 < T_{\text{sc}} et que le terme entre parenthèses est strictement positif, cette condition se réécrit p_u < p_{\max} avec :

Considérons une particule (ou un système microscopique) en contact thermique avec un thermostat à la température T, de sorte que \beta = \frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}.

Pour des niveaux d'énergie non dégénérés \varepsilon_j (j = 1, \dots, p), la loi statistique de Boltzmann énonce que la probabilité P_j pour la particule d'occuper le niveau d'énergie \varepsilon_j est proportionnelle au facteur de Boltzmann \exp(-\beta \varepsilon_j) :

où la constante de normalisation Z(\beta) = \displaystyle\sum_{j=1}^p \exp(-\beta \varepsilon_j), appelée fonction de partition, assure la condition de normalisation des probabilités :

Par définition de l'espérance en statistique de Boltzmann, l'énergie moyenne \bar{\varepsilon} d'une particule s'écrit :

En dérivant la fonction de partition Z(\beta) = \sum_{j=1}^{p} \exp(-\beta \varepsilon_j) par rapport au paramètre \beta, on obtient :

On en déduit immédiatement :

ce qui conduit à l'expression de l'énergie moyenne par particule :

Dans le cadre du modèle du gaz parfait, les interactions entre particules sont négligées (particules indépendantes). L'énergie interne totale U(\beta) du système de N particules est donc la somme des énergies moyennes individuelles :

soit :

Par définition, la variance de l'énergie \varepsilon d'une particule s'écrit :

où la moyenne du carré de l'énergie est donnée par la loi de Boltzmann :

On en déduit l'expression de l'écart-type sous la forme d'une somme :

L'énergie totale du gaz est la somme des énergies de chaque particule : E = \sum_{i=1}^N \varepsilon^{(i)}. Les particules d'un gaz parfait étant statistiquement indépendantes et identiquement distribuées, les variances s'ajoutent :

L'écart-type associé à l'énergie interne U = N\bar{\varepsilon} vaut donc :

On en déduit la fluctuation relative de l'énergie interne :

Pour un système macroscopique, N \sim \mathcal{N}_{\mathrm{A}} \sim 10^{23}, ce qui donne :

Les fluctuations relatives de l'énergie interne sont totalement négligeables à l'échelle macroscopique : l'énergie interne est une grandeur quasi déterministe, ce qui justifie l'équivalence des descriptions canonique (température fixée) et microcanonique (énergie fixée) à la limite thermodynamique.

D'après l'énoncé, la relation définissant la densité d'états s'écrit :

où \mathrm{d}g représente un nombre d'états quantiques distincts (grandeur sans dimension, [\mathrm{d}g] = 1) et \mathrm{d}\varepsilon un intervalle d'énergie ([\mathrm{d}\varepsilon] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}).

Par conséquent, la dimension de q(\varepsilon) est :

Dans le Système International d'unités (SI), q(\varepsilon) s'exprime en :

En physique microscopique, on emploie également très couramment l'électron-volt à la puissance moins un (\mathrm{eV}^{-1}).

Dans le cadre de la mécanique classique, l'état d'un atome ponctuel est repéré par sa position \vec{r} dans le récipient de volume V et par son impulsion \vec{p} = m\vec{v} (ou sa vitesse \vec{v}).

L'énergie de l'atome est purement cinétique :

En différentiant cette relation :

L'espace des positions étant borné au volume fixe V, l'intégration sur la position apporte un facteur spatial constant \int_V \mathrm{d}^3\vec{r} = V.

Dans l'espace des impulsions, les états ayant une énergie comprise entre \varepsilon et \varepsilon + \mathrm{d}\varepsilon correspondent aux impulsions de norme comprise entre p et p+\mathrm{d}p. Le volume de la coquille sphérique correspondante est :

En exprimant ce volume élémentaire en fonction de l'énergie \varepsilon :

Le nombre d'états \mathrm{d}g = q(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon étant proportionnel au volume de l'espace des phases V\,\mathrm{d}^3\vec{p}, on en déduit directement :

La densité d'états q(\varepsilon) est donc bien proportionnelle à \sqrt{\varepsilon} :

D'après l'énoncé, la fonction de partition continue pour une particule s'écrit :

En utilisant le résultat de la question précédente, q(\varepsilon) = Q\sqrt{\varepsilon}, on obtient :

Comme la température thermodynamique est strictement positive, \beta = \frac{1}{k_{\mathrm{B}}T} > 0. On effectue le changement de variable :

Les bornes d'intégration restent inchangées (x = 0 pour \varepsilon = 0, et x \to +\infty lorsque \varepsilon \to +\infty). L'expression devient :

On reconnaît l'intégrale A = \displaystyle\int_0^{+\infty} \sqrt{x}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x. On en déduit :

D'après la question Q17, la fonction de partition d'un atome s'écrit :

où Q et A sont indépendants de \beta. On en déduit :

En utilisant l'expression de l'énergie interne établie à la question Q13 :

il vient directement :

Commentaires sur le résultat :

• Avec \beta = \frac{1}{k_{\mathrm{B}} T}, l'énergie interne s'écrit U = \frac{3}{2}Nk_{\mathrm{B}}T = \frac{3}{2}nRT. Elle ne dépend que de la température : le gaz parfait vérifie la première loi de Joule.
• L'énergie moyenne par atome vaut \bar{\varepsilon} = \frac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T. On retrouve le théorème de l'équipartition de l'énergie : chacun des trois degrés de liberté de translation (associés aux termes quadratiques d'énergie cinétique selon x, y et z) contribue pour \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T à l'énergie moyenne.

Généralisation à un gaz parfait diatomique :

• Une molécule diatomique possède, outre ses 3 degrés de liberté de translation, 2 degrés de liberté de rotation autour des axes orthogonaux à la liaison internucléaire. Aux températures usuelles, les rotations sont dégelées tandis que les vibrations restent gelées, soit 5 degrés de liberté actifs :

  \boxed{U = \frac{5}{2}\frac{N}{\beta} = \frac{5}{2}Nk_{\mathrm{B}}T}

  ce qui correspond à un coefficient adiabatique \gamma = \frac{7}{5} = 1{,}4.

• À température plus élevée, le mode de vibration s'active (contribuant pour 2 \times \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T par molécule, énergie cinétique et potentielle), conduisant à U = \frac{7}{2}\frac{N}{\beta} (\gamma = \frac{9}{7}).
• De façon générale, l'énergie interne s'écrit sous la forme U = \frac{N k_{\mathrm{B}} T}{\gamma - 1} = \frac{N}{(\gamma - 1)\beta}.

L'énergie potentielle d'interaction entre deux molécules varie en -1/r^6. Il s'agit des interactions de van der Waals, qui décrivent l'attraction électrostatique à moyenne distance entre dipôles électriques (permanents, induits ou instantanés, notamment les forces de dispersion de London).

Pour déterminer le signe de la constante \alpha, exprimons la force d'interaction \vec{F} exercée par la molécule située à l'origine sur une molécule repérée par \vec{r} = r\,\hat{u}_r :

L'interaction étant attractive, la force est dirigée vers l'origine, c'est-à-dire dans le sens opposé au vecteur unitaire \hat{u}_r. On en déduit :

soit :

Le volume élémentaire d'une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r centrée sur la molécule O est :

Les molécules étant assimilées à des sphères indéformables de rayon r_0, la distance minimale entre les centres de deux molécules est 2r_0. Pour r < 2r_0, aucune autre molécule ne peut pénétrer dans cette région (volume exclu). Pour r \geqslant 2r_0, la densité particulaire moyenne est uniforme et vaut n^* = \frac{N}{V}.

Le nombre moyen de molécules dans cette coquille est donc :

L'énergie potentielle d'interaction moyenne \bar{\varepsilon}_1 de la molécule centrale avec l'ensemble des autres molécules s'obtient en intégrant l'interaction binaire \varepsilon_p(r) = -\dfrac{\alpha}{r^6} sur tout l'espace disponible :

Puisque le volume macroscopique V vérifie V \gg r_0^3, la taille macroscopique du récipient R_{\text{max}} \sim V^{1/3} est immensément plus grande que le rayon microscopique r_0. De plus, la fonction à intégrer décroît très vite (en 1/r^4) à l'infini. Il est donc tout à fait légitime de repousser la borne supérieure à +\infty :

On en déduit :

L'énergie interne U du fluide est la somme de l'énergie cinétique microscopique totale et de l'énergie potentielle d'interaction totale :

L'énergie cinétique moyenne est donnée dans le préambule de la partie II.B :

L'énergie potentielle totale d'interaction résulte de la somme des interactions entre toutes les paires distinctes de molécules \{i, j\}. En sommant l'énergie d'interaction moyenne \bar{\varepsilon}_1 de chaque molécule avec toutes les autres, chaque paire est comptée deux fois. Il vient donc :

En utilisant l'expression de \bar{\varepsilon}_1 établie à la question précédente :

on obtient :

En sommant les deux contributions, l'énergie interne s'écrit bien sous la forme :

avec :

L'expression de l'entropie fournie s'écrit sous la forme :

La dérivée partielle de l'entropie par rapport à la température à volume fixé vaut :

Or, d'après l'identité thermodynamique fondamentale T\,\mathrm{d}S = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V, on a à volume constant :

La condition de stabilité thermodynamique d'un fluide homogène impose une capacité thermique isochore strictement positive :

Puisque k_{\mathrm{B}} > 0, N > 0 et T > 0, il vient nécessairement :

D'après le résultat de la question Q21, l'énergie interne du fluide \mathcal{F} s'écrit :

Sa différentielle par rapport aux variables (T, V) est donc :

Par ailleurs, l'entropie donnée par l'énoncé s'écrit :

Sa différentielle est :

En injectant \mathrm{d}S dans l'identité thermodynamique \mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V, on obtient :

Par identification avec la différentielle de U calculée précédemment :

• Sur le terme en \mathrm{d}T :

  c N k_{\mathrm{B}} = \frac{N k_{\mathrm{B}}}{\gamma - 1} \implies \boxed{c = \frac{1}{\gamma - 1}}

  Comme \gamma > 1, on retrouve bien c > 0, en accord avec la question Q22.

• Sur le terme en \mathrm{d}V :

  \frac{N k_{\mathrm{B}} T}{V - u} - P = \frac{N^2 a}{V^2} \implies \boxed{P(T,V,N) = \frac{N k_{\mathrm{B}} T}{V - u} - \frac{N^2 a}{V^2}}

Commentaires :

• L'équation d'état peut se réécrire sous la forme canonique de l'équation d'état de van der Waals :

  \left(P + \frac{N^2 a}{V^2}\right)(V - u) = N k_{\mathrm{B}} T
• Le terme u, proportionnel au volume propre des particules, représente le covolume : le volume accessible au mouvement des molécules est réduit à V - u en raison de la répulsion stérique à courte portée.
• Le terme \dfrac{N^2 a}{V^2} est la pression interne (ou pression moléculaire) : les forces d'attraction à longue portée (Van der Waals) exercent une cohésion interne qui diminue la force exercée par les molécules sur les parois du récipient, et donc la pression mesurée P.
• À la limite des faibles densités (V \gg u et V^2 \gg N^2 a / P), on retrouve l'équation d'état du gaz parfait P V = N k_{\mathrm{B}} T.

Par définition, l'enthalpie molaire du fluide s'écrit :

L'équation d'état molaire donnée s'écrit :

À l'ordre zéro en A et B (modèle du gaz parfait), on a V \approx \frac{RT}{P}. En développant au premier ordre en A et B, il vient :

On en déduit le terme PV au premier ordre :

De même, l'énergie interne molaire s'exprime au premier ordre en remplaçant V par \frac{RT}{P} dans le terme correctif en A :

En sommant ces deux contributions, on obtient l'enthalpie molaire :

Puisque RT_r = \dfrac{2A}{B}, on a \dfrac{1}{T_r} = \dfrac{BR}{2A}. L'expression s'identifie alors sous la forme :

avec :

puisque \gamma > 1, A > 0 et R > 0.

1. Nom de la détente et réversibilité

La détente adiabatique et isenthalpique d'un fluide s'écoulant à travers un étranglement ou une paroi poreuse est appelée la détente de Joule-Thomson (ou détente de Joule-Kelvin).

Cette transformation est irréversible : elle est le siège de frottements visqueux intenses au passage du milieu poreux ou du détendeur (phénomène dissipatif de perte de charge), ce qui conduit à une création d'entropie S_{\text{cr}} > 0.

2. Condition pour obtenir un refroidissement

D'après la question Q24, l'enthalpie molaire au premier ordre s'écrit :

Pour une détente isenthalpique, \mathrm{d}H = 0. En différentiant H(T,P) et en négligeant le terme en K\frac{\mathrm{d}T}{T^2} qui relève du second ordre en correction d'interaction devant C_P \mathrm{d}T, on obtient :

Le coefficient de Joule-Thomson \mu_{\mathrm{JT}} = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_H vaut ainsi :

Une détente correspond à un abaissement de pression (\mathrm{d}P < 0). Elle conduit à un refroidissement (\mathrm{d}T < 0) si et seulement si :

Comme les températures absolues sont strictement positives, la condition nécessaire et suffisante pour obtenir un refroidissement est :

où T_r = \frac{2A}{RB} est la température maximale d'inversion de Joule-Thomson.

3. Applications numériques et conclusion

On calcule la température d'inversion T_r = \frac{2A}{RB} pour chacun des deux gaz avec deux chiffres significatifs :

• Pour le diazote \mathrm{N}_2 (A = 1{,}4\cdot 10^{-1}\ \mathrm{SI}, B = 3{,}9\cdot 10^{-5}\ \mathrm{SI}, R = 8{,}3\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1}) :

  T_r(\mathrm{N}_2) = \frac{2 \times 1{,}4\cdot 10^{-1}}{8{,}3 \times 3{,}9\cdot 10^{-5}} = \frac{0{,}28}{3{,}24\cdot 10^{-4}} \approx \boxed{8{,}6\cdot 10^2\ \mathrm{K}}

• Pour le dihydrogène \mathrm{H}_2 (A = 2{,}5\cdot 10^{-2}\ \mathrm{SI}, B = 2{,}7\cdot 10^{-5}\ \mathrm{SI}) :

  T_r(\mathrm{H}_2) = \frac{2 \times 2{,}5\cdot 10^{-2}}{8{,}3 \times 2{,}7\cdot 10^{-5}} = \frac{0{,}050}{2{,}24\cdot 10^{-4}} \approx \boxed{2{,}2\cdot 10^2\ \mathrm{K}}

Conclusion : À température ambiante usuelle (T_{\mathrm{amb}} \approx 293\text{--}300\ \mathrm{K}) :

• Pour le diazote \mathrm{N}_2, T_{\mathrm{amb}} < T_r(\mathrm{N}_2) : une détente de Joule-Thomson effectuée directement à température ambiante refroidit le gaz, ce qui permet d'amorcer le procédé de liquéfaction sans pré-refroidissement.
• Pour le dihydrogène \mathrm{H}_2, T_{\mathrm{amb}} > T_r(\mathrm{H}_2) : une détente de Joule-Thomson à température ambiante provoquerait au contraire un échauffement du gaz (\mathrm{d}T > 0). Pour liquéfier le dihydrogène, il est indispensable de le pré-refroidir en dessous de 220\ \mathrm{K} (par exemple à l'aide d'azote liquide) avant de procéder à la détente.