Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2022

La loi de résistance de la thermistance s'écrit :

avec R_0 > 0 et B > 0.

Dérivons R(T) par rapport à la température absolue T :

La fonction R(T) est donc strictement décroissante et convexe (\mathrm{d}^2R/\mathrm{d}T^2 > 0) sur ]0, +\infty[.

Examinons les points et comportements remarquables :

• Pour T = T_0, on a immédiatement R(T_0) = R_0.
• Lorsque T \to 0^+, \frac{1}{T} \to +\infty, d'où \lim_{T \to 0^+} R(T) = +\infty.

• Lorsque T \to +\infty, \frac{1}{T} \to 0, d'où une asymptote horizontale d'équation :

  R_\infty = \lim_{T \to +\infty} R(T) = R_0 \exp\left(-\frac{B}{T_0}\right) > 0

On en déduit l'allure de la courbe R(T) :

D'après l'expression donnée dans l'énoncé :

En prenant le logarithme népérien, on obtient :

1. Validation de la loi : La loi théorique prédit une relation affine entre \ln(R) et 1/T, de pente positive B :

Le tracé expérimental fourni montre des points alignés selon une droite de pente positive, ce qui valide la loi R(T) sur la plage de température étudiée.

2. Détermination de B : Le paramètre B représente la pente (le coefficient directeur) de la droite :

Graphiquement, en choisissant par exemple deux points de la droite :

• pour 1/T = 15 \cdot 10^{-4}\text{ K}^{-1}, on lit \ln R \approx 2{,}5 ;
• pour 1/T = 50 \cdot 10^{-4}\text{ K}^{-1}, on lit \ln R \approx 14{,}75 ;

ce qui donne B \approx \frac{14{,}75 - 2{,}5}{(50 - 15) \cdot 10^{-4}} \approx 3500\text{ K}.

3. Détermination de R_0 : Pour la température particulière T = T_0 = 294\text{ K}, on a \frac{1}{T} - \frac{1}{T_0} = 0, soit :

On calcule l'abscisse correspondante :

La lecture graphique à cette abscisse donne \ln R \approx 9{,}0, d'où :

La loi de variation de la résistance de la thermistance en fonction de la température s'écrit :

En prenant le logarithme népérien :

La sensibilité s s'exprime comme la dérivée logarithmique de la résistance :

Pour une température T voisine de T_0, on obtient :

Comparons les sensibilités relatives des deux capteurs en valeur absolue :

• pour la thermistance étudiée : |s| = 0{,}04\text{ K}^{-1} = 4\,\%\text{ K}^{-1} ;
• pour une résistance métallique : s_{\text{métal}} \approx 0{,}5\,\%\text{ K}^{-1} = 0{,}005\text{ K}^{-1}.

La sensibilité thermique de la thermistance est ainsi huit fois plus élevée que celle de la résistance métallique :

La température du lac varie sur un intervalle restreint de 18\,^\circ\text{C} à 24\,^\circ\text{C} (soit une plage de seulement \Delta T = 6\text{ K}). Une forte sensibilité est donc essentielle pour obtenir une variation relative de résistance importante et garantir une bonne précision de mesure.

Pour la thermistance seule, la sensibilité au voisinage de T_0 valait (d'après les questions précédentes) :

Pour l'ensemble linéarisé de résistance R_t(T) = R'_0 [1 + \alpha(T - T_0)], le nouveau coefficient de température s'exprime par :

La linéarisation s'accompagne d'une perte de sensibilité : la sensibilité en valeur absolue passe de 0{,}04\text{ K}^{-1} à 0{,}02\text{ K}^{-1}, c'est-à-dire qu'elle est divisée par deux.

Remarque additionnelle : par ailleurs, le comportement n'est quasi-linéaire que sur une plage de température restreinte autour de T_0.

Pour un amplificateur linéaire d'intégration (A.L.I.) réel usuel (par exemple un A.L.I. bipolaire type \mu\text{A}741 ou à technologie JFET type TL081) :

• Les intensités des courants d'entrée de polarisation sont extrêmement faibles, de l'ordre de :

  i^+ \sim i^- \sim 10^{-12}\text{ A à } 10^{-8}\text{ A} \quad (\text{quelques pA pour une entrée FET, quelques dizaines de nA pour une entrée bipolaire}).

• Le gain différentiel statique en boucle ouverte \mu_0 (ou A_0) est très élevé, de l'ordre de :

  \mu_0 \sim 10^5 \text{ à } 10^6.

Dans le modèle de l'A.L.I. idéal :

• L'impédance d'entrée étant considérée comme infinie, les courants d'entrée sont rigoureusement nuls :

  \boxed{i^+ = 0 \quad \text{et} \quad i^- = 0}

• Le gain statique en boucle ouverte est considéré comme infini :

  \boxed{\mu_0 \to +\infty}

Le montage comporte une boucle de rétroaction reliant la sortie de l'amplificateur linéaire intégré (\mathrm{AL}_1) à sa borne inverseuse (notée « - ») par l'intermédiaire du résistor R_t(T). Cette rétroaction négative (ou contre-réaction) assure la stabilité du montage autour d'un point de fonctionnement stable et permet donc d'envisager un fonctionnement en régime linéaire (sous réserve que la tension de sortie ne s'approche pas des tensions de saturation, condition qui sera vérifiée à la question 9).

En régime linéaire, la tension de sortie u reste comprise entre les tensions de saturation :

Dans le modèle de l'A.L.I. idéal, le gain statique différentiel en boucle ouverte est infini (\mu_0 \to +\infty). La tension d'entrée différentielle \varepsilon = V^+ - V^- = \dfrac{u}{\mu_0} est alors nulle :

ce qui équivaut à l'égalité des potentiels : V^+ = V^-.

L'amplificateur linéaire intégré étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire, les courants d'entrée sont nuls :

1. Potentiel de l'entrée non inverseuse V^+ :
Le courant i^+ étant nul, les deux résistors de résistance R'_0 forment un pont diviseur de tension idéal alimenté par la f.é.m. E :

On en déduit que :

2. Potentiel de l'entrée inverseuse et tension de sortie u :
En appliquant la loi des nœuds au potentiel V^- (avec i^- = 0) :

En remplaçant V^- par \dfrac{E}{2}, il vient :

3. Prise en compte de la loi de comportement linéarisée :
D'après la question Q5, la résistance équivalente s'écrit :

On obtient ainsi :

D'où l'expression de la tension de sortie u :

L'A.L.I. fonctionne en régime linéaire tant que sa tension de sortie u n'atteint pas les tensions de saturation, c'est-à-dire tant que :

D'après l'expression établie à la question Q8 :

Avec E = 400\text{ V} et \alpha = -2\cdot 10^{-2}\text{ K}^{-1}, le coefficient de sensibilité en tension vaut :

La température du lac varie entre 291\text{ K} et 297\text{ K}, pour T_0 = 294\text{ K}, d'où :

Les valeurs extrêmes prises par la tension de sortie sont donc :

• pour T = 291\text{ K} : u_{\min} = 4 \times (-3) = -12\text{ V} ;
• pour T = 297\text{ K} : u_{\max} = 4 \times (+3) = +12\text{ V}.

Ainsi, sur toute la plage de température :

La sortie de l'A.L.I. ne sature pas : l'hypothèse du régime linéaire est bien validée.

1. Expression de v en fonction de u (étage AL2) :

L'amplificateur \text{AL2} possède une boucle de rétroaction négative reliant la sortie à la borne inverseuse (-) par l'intermédiaire du résistor R. En l'absence de saturation, il fonctionne en régime linéaire.

L'A.L.I. étant idéal :

• les courants d'entrée sont nuls : i^+_2 = i^-_2 = 0 ;
• la tension différentielle d'entrée est nulle : V^+_2 = V^-_2.

La borne non inverseuse (+) étant reliée à la masse, on a :

En appliquant le théorème de Millman (ou la loi des nœuds en termes de potentiels) à la borne inverseuse (-) :

Comme V^-_2 = 0, il vient directement :

2. Expression de w en fonction de v et E' (étage AL3) :

De même, l'amplificateur \text{AL3} est bouclé sur sa borne inverseuse (-) par un résistor R, ce qui garantit son fonctionnement en régime linéaire :

Déterminons les potentiels des deux bornes d'entrée :

• À la borne non inverseuse (+), le courant i^+_3 étant nul, les deux résistors R forment un pont diviseur de tension non chargé alimenté par la tension E' :

  V^+_3 = E'\,\frac{R}{R + R} = \frac{E'}{2}

• À la borne inverseuse (-), le théorème de Millman donne, avec i^-_3 = 0 :

  V^-_3 = \frac{\dfrac{v}{R} + \dfrac{w}{R}}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}} = \frac{v + w}{2}

En régime linéaire, V^+_3 = V^-_3, soit :

On en déduit l'expression de la tension de sortie w :

D'après la question Q8, la tension de sortie u du premier étage s'écrit :

Avec E = 400\text{ V} et \alpha = -2\cdot 10^{-2}\text{ K}^{-1}, le coefficient multiplicateur vaut :

soit u = 4\,(T - T_0) (avec u en volts et T-T_0 en kelvins).

D'après la question Q10, la tension v en sortie de l'amplificateur inverseur AL2 est :

La tension w en sortie du soustracteur AL3 vaut :

Or, la température \theta en degrés Celsius est reliée à la température absolue T par :

En injectant cette relation dans l'expression de w, et sachant que T_0 = 294\text{ K}, on obtient :

Pour que la tension w (en V) soit numériquement égale à la température \theta (en ^{\circ}\text{C}), soit w = 1\text{ V}\cdot^{\circ}\text{C}^{-1} \times \theta, il faut et il suffit que le terme constant s'annule :

D'après le panneau de réglage de l'oscilloscope, le sélecteur de balayage horizontal indique une sensibilité temporelle :

Sur l'écran, le signal comporte deux périodes complètes sur la largeur totale de 10\text{ divisions}. Une période s'étend donc sur :

La période T du signal acoustique est alors :

On en déduit la fréquence f des signaux émis :

La fréquence étant strictement supérieure à la limite supérieure de l'audition humaine (20\text{ kHz}), le signal appartient au domaine des ultrasons (ondes ultrasonores).

L'impulsion sonore émise par le sonar effectue un aller-retour entre la surface et le fond du lac, soit une distance parcourue :

La célérité c de l'onde sonore dans l'eau est reliée à sa longueur d'onde \lambda et à sa fréquence f par la relation de dispersion :

Pendant la durée \tau s'écoulant entre l'émission et la réception, l'onde se propage à la vitesse constante c, ce qui donne :

On en déduit l'expression de la profondeur H du lac :

Application numérique : Avec \lambda = 3{,}75\text{ cm} = 3{,}75 \cdot 10^{-2}\text{ m}, f = 40\text{ kHz} = 40 \cdot 10^3\text{ Hz} (obtenu à la question précédente) et \tau = 40\text{ ms} = 40 \cdot 10^{-3}\text{ s} :

Dans le vide de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), comme c'est le cas pour le milieu diélectrique idéal \mathscr{S} séparant les deux conducteurs, les équations de Maxwell s'écrivent sous forme locale :

• Équation de Maxwell-Gauss :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

Dans le milieu \mathscr{S} assimilé au vide, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0). L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

Le champ électrique ne possédant qu'une composante selon \vec{u}_r, le formulaire donne en coordonnées cylindriques :

Cette égalité devant être vérifiée en tout point du milieu \mathscr{S} et à chaque instant t, on en déduit :

La quantité r\,E(r) est donc constante sur le domaine R_1 \leqslant r \leqslant R_2 :

En utilisant la condition à la limite E(R_1) = E_0, on obtient \text{cte} = R_1 E_0, d'où :

D'après la question précédente, le champ électrique s'écrit :

Le champ \vec{E} n'ayant qu'une composante radiale E_r(r,z,t) indépendante de \theta, l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques donnée par l'énoncé se réduit à sa composante selon \vec{u}_\theta :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Par intégration par rapport au temps t :

En l'absence de composante statique, la constante d'intégration \vec{B}_0(r,z) est nulle, d'où :

Les deux autres équations de Maxwell à vérifier sont Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampère dans le vide.

1. Équation de Maxwell-Thomson : Le champ magnétique établi à la question précédente s'écrit :

En coordonnées cylindriques, l'expression de la divergence est :

Comme B_r = 0, B_z = 0 et que B_\theta est indépendant de \theta, on a :

Cette équation est donc identiquement satisfaite, quelle que soit la valeur de k.

2. Équation de Maxwell-Ampère dans le vide : Elle s'écrit :

Calculons les composantes du rotationnel de \vec{B} à l'aide de la formule fournie :

D'autre part, en dérivant le champ électrique \vec{E}(r,z,t) = \frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r par rapport au temps :

L'équation de Maxwell-Ampère est satisfaite si et seulement si les composantes radiales coïncident, soit :

Comme k et \omega sont des constantes positives, on en déduit la condition :

Soit \mathcal{C} le contour circulaire de rayon r \in [R_1, R_2], centré sur l'axe Oz, situé à la cote z et orienté selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta. On l'appuie sur une surface plane \Sigma, constituée du disque de rayon r à cette même cote z. La règle de la main droite oriente la normale à cette surface selon l'axe longitudinal : \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_z.

D'après le théorème de Stokes appliqué à l'équation de Maxwell-Ampère :

Or, le champ électrique de l'onde est purement radial :

Comme la base locale cylindrique est orthonormée, \vec{u}_r \cdot \vec{u}_z = 0. Il en résulte que le flux du courant de déplacement à travers \Sigma est strictement nul :

L'équation se réduit ainsi à la somme des courants de conduction enlacés :

On retrouve bien la formulation classique du théorème d'Ampère statique.

Le seul conducteur traversé par la surface \Sigma est le cylindre intérieur (de rayon R_1 < r). Le courant enlacé algébrique, orienté suivant \vec{u}_z, est l'intensité i(t, z) qui le parcourt :

Le champ magnétique étant purement orthoradial et de norme uniforme le long du contour \mathcal{C} où \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta :

En utilisant l'expression du champ obtenue aux questions Q16 et Q17, avec k/\omega = 1/c :

La circulation vaut donc :

On en déduit :

Comme c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}, on a \frac{1}{\mu_0 c} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}. On obtient finalement :

D'après les questions Q15, Q16 et Q17, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

Le vecteur de Poynting instantané est donné par :

Sachant que \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_z, il vient :

En prenant la moyenne temporelle sur une période et en utilisant \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{1}{2} :

La puissance moyenne transportée par l'onde à travers la section droite du câble s'obtient en intégrant le flux de \langle \vec{\Pi} \rangle sur la surface transverse du diélectrique délimitée par r \in [R_1, R_2] et \theta \in [0, 2\pi], avec pour élément de surface orienté selon \vec{u}_z : \mathrm{d}\vec{S} = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_z.

On en déduit l'expression de la puissance moyenne temporelle :

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'eau du lac est modélisée par un fluide au repos, incompressible et homogène de masse volumique \rho.

La loi fondamentale de la statique des fluides s'écrit, avec l'axe vertical descendant orienté vers le fond :

En intégrant entre la surface libre (z = 0, à la pression atmosphérique P_0) et le fond du lac (z = H), on obtient :

Les grandeurs utiles et leurs valeurs usuelles sont :

• la pression atmosphérique à la surface du lac : P_0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} ;
• la masse volumique de l'eau : \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• l'accélération de la pesanteur : g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• la profondeur du lac : H \simeq 30\text{ m}.

La surpression hydrostatique due à la colonne d'eau vaut :

D'où la pression totale au fond du lac :

1. Invariances et symétries :

• Pour un solénoïde considéré comme infini (R \ll \ell), la distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe Oz et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

  \vec{B}(M) = \vec{B}(r)

• Tout plan orthogonal à l'axe Oz est un plan de symétrie pour la distribution de courants orthoradiaux. Le champ magnétique \vec{B}, vecteur axial (pseudo-vecteur), est par conséquent orthogonal à ces plans en tout point, c'est-à-dire dirigé selon \vec{u}_z :

  \vec{B}(r) = B_z(r)\,\vec{u}_z

2. Application du théorème d'Ampère :

Considérons un contour fermé rectangulaire orienté \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 situé dans un plan méridien (\theta = \text{cte}) :

• un segment intérieur [M_1 M_2] parallèle à l'axe Oz, de longueur L, situé à une distance r < R, orienté selon +\vec{u}_z ;
• un segment radial [M_2 M_3] allant de r à r' > R ;
• un segment extérieur [M_3 M_4] parallèle à Oz, de longueur L, situé à r' > R, orienté selon -\vec{u}_z ;
• un segment radial [M_4 M_1] ramenant de r' à r.

La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} s'écrit :

Le nombre de spires traversées par la surface s'appuyant sur ce contour est N' = n\,L = \dfrac{N}{\ell}\,L. L'intensité totale enlacée par le contour est donc :

D'après le théorème d'Ampère :

On en déduit que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde :

Le champ magnétique \vec{B} = \mu_0 \dfrac{N}{\ell} I\,\vec{u}_z déterminé à la question précédente est uniforme et parallèle à l'axe du solénoïde.

En orientant chaque spire selon la règle de la main droite associée au sens du courant I, le vecteur surface élémentaire est \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_z. Le flux magnétique à travers une seule spire vaut :

Les N spires étant associées en série et traversées par le même champ, le flux propre total \Phi embrassé par la bobine s'obtient par sommation sur l'ensemble des spires :

Par définition de l'inductance propre, le flux propre est proportionnel à l'intensité qui le crée selon la relation \Phi = L_0 I. On en déduit l'expression de l'inductance propre :

Vérification numérique : Avec \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, N = 1000, S = 0{,}001\text{ m}^2 = 10^{-3}\text{ m}^2 et \ell = 5\text{ cm} = 5\cdot 10^{-2}\text{ m} :

On retrouve bien la valeur donnée par l'énoncé.

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega (en adoptant la notation complexe j telle que j^2 = -1) :

• La bobine réelle est modélisée par l'association en série d'une résistance R_1 et d'une inductance L_1. L'impédance complexe équivalente est la somme des impédances de chaque dipôle :

  \boxed{\underline{Z}_1 = R_1 + j L_1 \omega}

• Le dipôle d'impédance \underline{Z}_2 est constitué de la mise en parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R_2 et d'un condensateur de capacité C_2. L'admittance complexe équivalente \underline{Y}_2 = \frac{1}{\underline{Z}_2} est la somme des admittances de chaque branche :

  \begin{aligned} \underline{Y}_2 = \frac{1}{\underline{Z}_2} &= \frac{1}{R_2} + j C_2 \omega = \frac{1 + j R_2 C_2 \omega}{R_2} \end{aligned}

  ce qui donne pour l'impédance \underline{Z}_2 :

  \boxed{\underline{Z}_2 = \frac{R_2}{1 + j R_2 C_2 \omega}}

Notons C le sommet gauche du pont et D le sommet droit, de sorte que la tension délivrée par le générateur s'écrit :

La tension u est mesurée entre les nœuds A et B à l'aide d'un détecteur de zéro (par exemple un voltmètre ou un oscilloscope) d'impédance d'entrée infinie, si bien qu'aucun courant ne s'échappe par les bornes A et B.

Les deux branches constituent ainsi deux ponts diviseurs de tension indépendants :

• Pour la branche supérieure (constituée du dipôle d'impédance \underline{Z}_1 en série avec le résistor R_3) :

  \underline{V}_A - \underline{V}_D = \frac{R_3}{\underline{Z}_1 + R_3} (\underline{V}_C - \underline{V}_D)

• Pour la branche inférieure (constituée du résistor R_4 en série avec le dipôle d'impédance \underline{Z}_2) :

  \underline{V}_B - \underline{V}_D = \frac{\underline{Z}_2}{R_4 + \underline{Z}_2} (\underline{V}_C - \underline{V}_D)

La tension mesurée s'annule :

Ce qui se traduit par l'égalité des rapports de division :

En prenant l'inverse de chaque membre :

On en déduit la condition d'équilibre du pont :

D'après les questions précédentes, la condition d'équilibre du pont (question Q24) s'écrit :

En injectant les expressions des impédances obtenues à la question Q23, il vient :

soit, en multipliant par (1 + j R_2 C_2 \omega) et en divisant par R_2 :

Deux nombres complexes étant égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales, on identifie terme à terme :

On obtient ainsi :

D'après les relations établies à la question 25 :

Avec les valeurs numériques fournies :

• R_3 = 100\ \Omega ;
• R_4 = 10\ \Omega ;
• R_2 = 100\ \Omega ;
• C_2 = 32{,}5\ \mu\text{F} = 32{,}5 \times 10^{-6}\text{ F}.

On obtient :

D'après la question 23, la loi de variation de l'inductance en fonction de la pression s'écrit :

soit pour la pression mesurée :

Avec L_0 = 25\text{ mH}, P_0 = 1\text{ bar} et \beta = 0{,}1 :

Cette valeur est en accord parfait avec la pression attendue au fond du lac évaluée à la question 20 (P = 4\text{ bar}).

Un tour complet autour du cylindre vertical correspond à une variation d'angle polaire :

D'après l'équation de la trajectoire z(\theta) = \gamma \theta, la cote z augmente au cours d'un tour d'une quantité correspondant à la hauteur de descente h :

On en déduit immédiatement :

Dans le système de coordonnées cylindriques d'axe vertical descendant (Oz) et d'origine O, le vecteur position du point matériel M s'écrit généralement :

Le mouvement s'effectuant sur un cylindre de rayon fixe r(t) = R, le vecteur position est donné par :

Le vecteur vitesse du point M dans le référentiel lié au sol s'obtient par dérivation temporelle :

Le rayon R et le vecteur \vec{u}_z étant constants au cours du temps, et sachant que \frac{\mathrm{d}\vec{u}_r}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\,\vec{u}_\theta, il vient :

D'après la question Q28, le vecteur vitesse du point matériel M dans la base cylindrique s'écrit :

L'énergie cinétique de l'enfant de masse m est donc :

La trajectoire hélicoïdale impose la relation z(t) = \gamma\,\theta(t), d'où par dérivation temporelle :

En substituant cette relation dans l'expression de l'énergie cinétique, il vient :

Déterminons à présent l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp}. L'axe Oz étant vertical et dirigé vers le bas, le poids s'écrit \vec{P} = m g\,\vec{u}_z. Le travail élémentaire du poids lors d'un déplacement élémentaire d\overrightarrow{OM} est :

En choisissant l'origine des énergies potentielles au niveau du point de départ A (z = 0), on obtient :

L'énergie mécanique E_m = E_c + E_{pp} s'écrit alors :

Cette expression est bien de la forme attendue E_m = \frac{1}{2} A \dot{z}^2 - B z, avec :

On étudie le mouvement de l'enfant assimilé au point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le système est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P} = mg\,\vec{u}_z, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur E_p(z) = -mgz (en choisissant l'origine des énergies potentielles en z=0) ;
• la réaction du toboggan \vec{R}, purement normale à la trajectoire hélicoïdale en l'absence de frottement (\vec{R} = \vec{R}_N). Par conséquent, sa puissance est nulle à chaque instant : \mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R}_N \cdot \vec{v} = 0.

La seule force qui travaille étant conservative, l'énergie mécanique E_m de l'enfant se conserve au cours du mouvement :

Appliquons cette conservation entre le point de départ A et la sortie du toboggan B :

• Au départ en A (t=0) : le point M part du repos (v_A = 0) à la cote z_A = 0, donc :

  E_m(A) = 0

• En sortie en B : après 3 tours complets, la décente totale est z_B = 3h. La vitesse en ce point est notée v_s, d'où :

  E_m(B) = \frac{1}{2}mv_s^2 - 3mgh

La conservation de l'énergie mécanique E_m(B) = E_m(A) conduit immédiatement à :

D'où l'expression de la vitesse en sortie de toboggan :

Les frottements étant négligés et la réaction du toboggan étant normale à la trajectoire (donc ne travaillant pas), l'énergie mécanique de l'enfant est une constante du mouvement :

D'après l'expression établie à la question Q29, E_m = \frac{1}{2} A \dot{z}^2 - B z. En dérivant par rapport au temps, il vient :

Pendant la descente, pour t > 0, la vitesse selon l'axe vertical n'est pas identiquement nulle (\dot{z} \neq 0). On en déduit l'équation différentielle satisfaite par z(t) :

Le mouvement le long de la verticale descendante est donc uniformément accéléré d'accélération constante a_z = \frac{B}{A}.

À l'instant initial t = 0, l'enfant part du repos en A, ce qui donne pour conditions initiales :

Par intégrations successives :

Le toboggan se termine au point B après 3 tours complets, soit une cote finale :

À l'instant t = T, la cote vérifie :

La durée T étant positive, on obtient :

La force de frottement s'oppose à tout instant au déplacement tangentiel de l'enfant le long du toboggan :

Le travail élémentaire de cette force au cours d'un déplacement infinitésimal \mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\,\mathrm{d}t s'écrit :

où \mathrm{d}s = \|\mathrm{d}\vec{r}\| représente l'abscisse curviligne élémentaire le long de la trajectoire hélicoïdale.

En coordonnées cylindriques, le vecteur déplacement élémentaire sur le cylindre de rayon fixe R avec z = \gamma \theta est :

On en déduit l'abscisse curviligne élémentaire :

La descente s'effectuant sur 3 tours complets, l'angle polaire varie de \theta = 0 à \theta = 3 \times 2\pi = 6\pi. La longueur totale L de la trajectoire hélicoïdale parcourue par l'enfant vaut donc :

L'énergie perdue par l'enfant par frottement, notée E_{\text{perdue}}, correspond à l'opposé du travail de la force de frottement :

D'où l'expression recherchée :

On étudie le système {pédalo + passager} de masse totale M = 200\text{ kg} dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le système est soumis le long de l'axe vertical ascendant à :

• son poids total : \vec{P} = -M g\,\vec{u}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par l'eau du lac : \vec{\Pi} = \rho_{\text{eau}} V_{\mathrm{imm}} g\,\vec{u}_z, où V_{\mathrm{imm}} est le volume total immergé de la coque et \rho_{\text{eau}} = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} la masse volumique de l'eau douce.

À l'équilibre selon la verticale, la première loi de Newton donne :

Soit pour le volume immergé :

Le pédalo dispose de deux flotteurs identiques, de volume unitaire V = 0{,}5\text{ m}^3. Le volume total disponible des flotteurs est donc :

La fraction de volume immergé des flotteurs, notée \eta, s'écrit :

Application numérique :

Soit \Delta l'axe de rotation du pédalier passant par le centre O, orienté selon le sens du mouvement de rotation. Le moment scalaire de la force d'appui \vec{F}_{\text{pied}} par rapport à l'axe \Delta s'exprime par :

où b est le bras de levier de la force par rapport à l'axe \Delta.

• Situation (a) : La manivelle [OA] est horizontale, c'est-à-dire perpendiculaire à la force \vec{F}_{\text{pied}} qui est verticale descendante. La distance entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force est donc égale à la longueur d de la manivelle :

  b_a = d

  Le moment de la force par rapport à l'axe s'écrit alors :

  \boxed{\mathcal{M}_a = F_{\text{pied}} \, d}

  Numériquement :

  \mathcal{M}_a = 50 \times 0{,}20 = 10\text{ N}\cdot\text{m}

• Situation (b) : La droite d'action de la force \vec{F}_{\text{pied}} passe directement par l'axe de rotation O du pédalier (les vecteurs \overrightarrow{OA} et \vec{F}_{\text{pied}} sont colinéaires). Le bras de levier est donc nul :

  b_b = 0

  Le moment de la force par rapport à l'axe est par conséquent nul :

  \boxed{\mathcal{M}_b = 0}

D'après les résultats de la question précédente (Q34), les moments de la force exercée par le vacancier dans les deux configurations extrêmes valent :

Le moment moyen \mathcal{M}_m exercé sur le pédalier est défini par la moyenne arithmétique de ces deux valeurs :

Le pédalier tournant à la vitesse angulaire constante \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} autour de son axe, la puissance mécanique moyenne développée par le vacancier s'écrit :

Application numérique :

Lorsque l'interrupteur K est fermé, le circuit fermé OCDKO est parcouru par un courant d'intensité i.

Le circuit comprend :

• le générateur de f.e.m. continue E ;
• la force contre-électromotrice induite e, orientée en convention récepteur en sens inverse de la circulation imposée par le générateur ;
• la résistance totale R du circuit.

D'après la loi des mailles (loi d'Ohm généralisée en régime quasi-stationnaire) :

soit :

Calculons d'abord la force contre-électromotrice pour \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, B = 1\text{ T} et a = 1\text{ m} :

Avec E = 23\text{ V} et R = 6\ \Omega :

Considérons un élément infinitésimal de la tige OC, situé à la distance r de l'axe (Oz) (0 \le r \le a). Le courant i circule de O vers C, soit dans le sens du vecteur unitaire radial \vec{u}_r. L'élément de courant s'écrit donc :

Cet élément est plongé dans le champ magnétique vertical uniforme \vec{B} = B\,\vec{u}_z. Il subit la force de Laplace élémentaire :

puisque (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) forme une base orthonormée directe.

Le moment élémentaire de cette force par rapport au point O est :

Par intégration sur la tige de r = 0 à r = a, le moment résultant par rapport à l'axe (Oz) orienté par \vec{u}_z vaut :

Sur le schéma fourni, le sens positif de rotation indiqué pour \omega est horaire vu de dessus, soit selon -\vec{u}_z (\vec{\omega} = -\omega\,\vec{u}_z). Le moment des forces de Laplace est donc moteur (orienté dans le sens du mouvement), de valeur algébrique le long du sens de rotation :

La puissance développée par les forces de Laplace s'exprime par le produit du moment et du vecteur rotation :

Application numérique avec \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

Pour maintenir la vitesse de rotation constante \omega = 10\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, le couple moteur total nécessaire à l'avancement du pédalo reste inchangé et vaut \mathcal{M}_m = 5\text{ N}\cdot\text{m}, correspondant à une puissance totale de \mathcal{P}_m = 50\text{ W} (question Q35).

Avec l'assistance électrique active, le moteur fournit un moment \Gamma_L = 1{,}5\text{ N}\cdot\text{m} et une puissance \mathcal{P}_L = 15\text{ W} (question Q37). Le vacancier ne doit donc plus fournir que le complément :

Le pourcentage de réduction de l'effort s'écrit alors :

Soit numériquement :

D'après les données fournies pour la couche de glace et l'interface avec l'air :

• la conductivité thermique de la glace est \lambda = 2{,}1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• le coefficient de transfert conducto-convectif à l'interface glace-air vaut h = 42\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}.

L'unité du rapport \ell_0 dans le Système International s'obtient par analyse dimensionnelle :

L'unité de \ell_0 est donc le mètre (\text{m}).

L'application numérique donne :

La solidification de l'eau en glace à la température de fusion T_e = 273\text{ K} et sous la pression atmosphérique P_0 est un changement d'état exothermique. L'enthalpie massique de solidification est l'opposée de l'enthalpie massique de fusion :

Pour une masse m = 1\text{ kg} d'eau se transformant en glace à la température T_e, le premier principe de la thermodynamique appliqué à pression constante donne pour la chaleur reçue par le système :

Le transfert thermique cédé par l'eau vers le milieu extérieur (vers l'air) est donc compté positivement :

Avec m = 1\text{ kg} et \Delta h_f = 335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} :

Rapporté à l'unité de masse, comme requis pour les bilans thermiques des questions suivantes :

Le volume total d'eau contenu dans le lac s'exprime par le produit de sa surface par sa profondeur :

avec S = 10\text{ km}^2 = 10 \cdot 10^6\text{ m}^2 = 10^7\text{ m}^2 et H = 30\text{ m}, soit :

La masse totale de glace formée lors du gel complet du lac est :

D'après la question Q40, le gel d'une masse de 1\text{ kg} d'eau libère le transfert thermique q = \Delta h_f = 335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Le transfert thermique total Q cédé lors de la prise en masse de la totalité du lac est donc :

Numériquement :

Exprimé sous la forme d'une puissance de dix :

L'équation de diffusion thermique unidimensionnelle dans la couche de glace s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS thermique), la température évolue suffisamment lentement dans le temps pour que le terme d'accumulation soit négligeable devant le terme de conduction spatiale à chaque instant t :

Par double intégration par rapport à la variable spatiale x, le profil de température est une fonction affine :

Les conditions aux limites aux interfaces s'écrivent :

• En surface (interface glace-air, x = 0) : T(0) = T_0, d'où :

  b = T_0

• Au fond de la couche de glace (interface glace-eau, x = \ell) : T(\ell) = T_e, d'où :

  a\,\ell + b = T_e \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{T_e - T_0}{\ell}

On obtient ainsi :

soit l'expression complète :

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, l'épaisseur de la couche de glace s'accroît d'une quantité \mathrm{d}\ell. Sur toute la surface S du lac, le volume élémentaire de glace nouvellement formé est :

La masse élémentaire correspondante d'eau solidifiée s'écrit, avec \mu la masse volumique de la glace :

D'après la question Q40, le gel d'une unité de masse d'eau cède vers le milieu environnant l'énergie thermique q. Par conséquent, le transfert thermique \delta Q_1 cédé par l'eau lors de cette étape de solidification élémentaire est :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique au sein de la couche de glace s'écrit :

En utilisant le profil linéaire de température établi à la question précédente :

L'axe Ox étant orienté verticalement vers le bas, le flux thermique dirigé du bas vers le haut (dans le sens de -\vec{u}_x) à travers la surface S s'exprime par :

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, le transfert thermique conductif \delta Q_2 traversant la couche de glace du bas vers le haut vaut donc :

D'après l'énoncé, le transfert thermique convectif à la surface glace-air s'écrit :

D'après la question Q44, le transfert thermique conductif à travers l'épaisseur \ell(t) de glace s'écrit :

La condition de continuité du flux à l'interface en x=0, \delta Q_c = \delta Q_2, conduit à :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}t et en introduisant la relation \ell_0 = \lambda/h (soit h = \lambda/\ell_0) :

On en déduit l'expression de la température de surface de la glace :