Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2024

On adopte le système de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe (Oz). Comme d \gg a et que les effets de bord sont négligés, on modélise le solénoïde comme infini.

1. Symétries et invariances

• Invariances : La distribution de courant est invariante par toute translation selon z et par toute rotation autour de l'axe (Oz) (invariance selon \theta). Par conséquent, le champ magnétique ne dépend que de la coordonnée radiale : \vec{B} = \vec{B}(r).

• Symétries :

  • Tout plan méridien (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant (le sens du courant s'inverse par réflexion). C'est donc un plan de symétrie pour le champ magnétique \vec{B} (pseudo-vecteur) :

    \vec{B}(M) \in (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) \implies B_\theta(r) = 0

  • Tout plan orthogonal à l'axe (Oz), (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta), est un plan de symétrie pour la distribution de courant. C'est donc un plan d'antisymétrie pour \vec{B} :

    \vec{B}(M) \perp (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \implies B_r(r) = 0

On en déduit que le champ magnétique est purement axial :

2. Uniformité à l'intérieur Considérons un contour rectangulaire fermé \mathcal{C}_1 entièrement situé à l'intérieur du solénoïde (r < a), orienté, dont deux côtés de longueur \ell sont parallèles à (Oz) aux distances r_1 et r_2, et les deux autres sont radiaux.

Puisque le contour n'enlace aucun courant (I_{\text{enlacé}} = 0) et que \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 sur les segments radiaux, le théorème d'Ampère donne :

Le champ est donc uniforme à l'intérieur : \vec{B} = B_0 \vec{u}_z.

3. Expression de B_0 Considérons maintenant un contour rectangulaire \mathcal{C}_2 de longueur \ell, ayant un côté à l'intérieur parallèle à \vec{u}_z et un côté à l'extérieur où le champ est nul (\vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0}).

Le contour enlace N \dfrac{\ell}{d} spires parcourues chacune par le courant I. D'après le théorème d'Ampère :

On obtient finalement :

Le cation, de charge électrique q = +e et de vitesse \vec{v} dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen), est soumis à la seule force magnétique de Lorentz :

La puissance instantanée développée par cette force s'écrit :

Par propriété du produit vectoriel, le vecteur \vec{v} \wedge \vec{B} est orthogonal au vecteur vitesse \vec{v} à chaque instant. On en déduit :

D'après le préambule, la force magnétique est la seule force agissant sur le cation. Le théorème de la puissance cinétique appliqué à la particule dans le référentiel galiléen donne :

L'énergie cinétique se conserve donc au cours du mouvement :

La masse m de la particule étant constante, la norme de la vitesse est elle aussi constante, notée v_0 :

Le cation, de charge électrique q = +e > 0, est soumis à la force magnétique de Lorentz :

Choisissons un axe (Oz) perpendiculaire au plan de la feuille et dirigé vers le lecteur (symbole \odot), de sorte que \vec{B} = B_0 \vec{u}_z. Pour un vecteur vitesse \vec{v} orienté dans le plan de la feuille, le produit vectoriel \vec{v} \wedge \vec{B} donne une force magnétique \vec{F}_m :

• orthogonale à \vec{v} ;
• orientée vers la droite par rapport au sens d'avancement (règle du trièdre direct (\vec{v}, \vec{B}, \vec{F}_m)).

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au cation dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

La force étant purement normale à la vitesse, l'accélération est centripète. La concavité de la trajectoire est donc tournée vers le côté pointé par \vec{F}_m.

Le repère local de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N) en un point de la trajectoire est défini par :

• \vec{u}_T : vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, soit \vec{u}_T = \dfrac{\vec{v}}{v_0} ;
• \vec{u}_N : vecteur unitaire normal, orthogonal à \vec{u}_T et dirigé vers le centre de courbure (dans le sens de la concavité).

Ainsi, \vec{F}_m et \vec{u}_N sont colinéaires et de même sens.

Dans la base de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N), l'accélération d'un point matériel s'écrit de façon générale :

où r est le rayon de courbure local de la trajectoire. D'après la question Q2, la norme de la vitesse est constante (v = v_0), d'où \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. Il vient donc :

On applique le principe fondamental de la dynamique au cation de masse m et de charge +e dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

Le mouvement ayant lieu dans un plan perpendiculaire au champ magnétique \vec{B} = B_0 \vec{u}_z, la force de Lorentz est purement normale et centripète (question Q3) :

En projetant le principe fondamental de la dynamique selon le vecteur unitaire normal \vec{u}_N, on obtient :

Les grandeurs m, e, B_0 et v_0 étant des constantes, le rayon de courbure r est constant le long de la trajectoire. Le mouvement étant plan, une trajectoire à rayon de courbure constant est un cercle. La trajectoire est donc circulaire, de rayon noté r_L (rayon de Larmor) :

On étudie le cation de masse m et de charge électrique q = +e dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Il est soumis uniquement à la force magnétique de Lorentz :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation vectorielle selon le vecteur unitaire \vec{u}_z :

Or, par propriété du produit mixte, le vecteur \vec{v}\wedge \vec{u}_z est orthogonal à \vec{u}_z, donc son produit scalaire avec \vec{u}_z est identiquement nul :

À l'instant initial, la vitesse \vec{v}(0) est parallèle au champ magnétique \vec{B} = B_0\,\vec{u}_z, c'est-à-dire :

La force initiale est donc rigoureusement nulle : \vec{F}_m(0) = e\,\vec{v}(0)\wedge \vec{B} = \vec{0}, de sorte que l'accélération initiale est nulle. La particule n'acquiert aucune composante de vitesse perpendiculaire à \vec{u}_z (\vec{v}_\perp(t) = \vec{0} à tout instant), et sa vitesse s'écrit constamment :

Le vecteur vitesse étant constant et dirigé selon (Oz), le mouvement du cation est rectiligne uniforme d'axe (Oz).

Confinement : La position du cation selon l'axe (Oz) varie au cours du temps selon la loi horaire z(t) = z(0) + v_0\,t. La coordonnée z(t) croît indéfiniment en valeur absolue au cours du temps : le cation va inévitablement atteindre l'une des extrémités du solénoïde et s'échapper.

Par conséquent, on ne peut pas affirmer que le cation est confiné (absence de confinement longitudinal).

Dans un solénoïde cylindrique de longueur finie, le mouvement d'une particule chargée comporte une composante de vitesse v_z = \text{cte} le long de l'axe (Oz) (d'après la question Q5). La particule finit donc inévitablement par s'échapper par l'une des extrémités ouvertes du solénoïde et percuter les parois : il n'y a pas de confinement selon la direction parallèle au champ magnétique.

En refermant le cylindre sur lui-même sous la forme d'un tore, on élimine les extrémités :

• les lignes de champ magnétique deviennent fermées (ou quasi-périodiques le long de la surface torique) ;
• le mouvement d'avance parallèle au champ magnétique ne mène plus à une sortie du dispositif, mais boucle indéfiniment autour de l'axe du tore.

D'après la question Q4, le rayon de Larmor d'une particule de masse m, de charge q = +e et de vitesse v_0 dans un champ magnétique uniforme B_0 s'écrit :

Pour un cation d'hélium ^{4}_{2}\mathrm{He}^+, avec les données fournies :

• m = 6{,}6 \cdot 10^{-27}\text{ kg} ;
• v_0 = 3 \cdot 10^5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• B_0 = 12\text{ T}.

L'application numérique donne :

Commentaire : Le rayon de Larmor obtenu (r_L \approx 1{,}0\text{ mm}) est extrêmement petit devant les dimensions caractéristiques de la chambre du tokamak (2\text{ m} à l'horizontale et 3{,}4\text{ m} à la verticale) :

La particule chargée s'enroule donc très étroitement autour des lignes de champ magnétique sans risquer d'atteindre les parois par son seul mouvement cyclotronique transversal. Le confinement magnétique transverse est donc particulièrement efficace.

D'après les propriétés du champ magnétique, le flux de \vec{B} à travers un tube de champ se conserve car \mathrm{div}\,\vec{B} = 0. Ainsi, la norme du champ magnétique est d'autant plus grande que les lignes de champ sont resserrées.

Sur la figure 3 de l'énoncé, les lignes de champ se resserrent nettement lorsque l'on s'éloigne du centre z = 0 pour se rapprocher des bords (c'est-à-dire quand |z| augmente), sous l'effet de la diminution du rayon des spires.

Par conséquent :

Par raison de symétrie par rapport au plan médian perpendiculaire à (Oz) en z = 0, la fonction B(z) est paire. Elle présente un minimum au centre (z = 0) et croît de part et d'autre pour atteindre des valeurs maximales au niveau des cols (ou étranglements) situés aux extrémités de la bouteille :

Considérons une boucle conductrice plane fermée, délimitant une surface d'aire S et parcourue par un courant électrique continu d'intensité I.

Le vecteur surface est défini par :

où \vec{n} est le vecteur unitaire normal au plan de la boucle, dont le sens est déterminé par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon) relativement au sens de circulation choisi pour le courant I.

Par définition, le moment magnétique \vec{\mu} de cette boucle de courant s'écrit :

Il s'exprime en \text{A}\cdot\text{m}^2 (ou de façon équivalente en \text{J}\cdot\text{T}^{-1}).

Le cation de charge +e décrit à la vitesse v_\perp une trajectoire circulaire de rayon r_L. La période de ce mouvement orbital est :

Ce mouvement périodique équivaut à un courant électrique continu d'intensité :

La trajectoire délimite un disque plan d'aire S = \pi r_L^2. La norme du moment magnétique équivalent vaut donc :

D'après l'étude menée à la question Q4, le rayon de Larmor s'exprime en fonction de B par :

En substituant r_L dans l'expression de \mu, il vient :

Déterminons à présent l'orientation de \vec{\mu} = I S \vec{n} :

• La force magnétique \vec{F}_m = e \vec{v}_\perp \wedge \vec{B} est centripète (dirigée vers le centre du cercle). Pour \vec{B} = B \vec{u}_z, le produit vectoriel impose que le cation tourne dans le sens rétrograde (sens des aiguilles d'une montre) par rapport à l'axe orienté par \vec{u}_z.
• Le cation portant une charge positive +e, le sens conventionnel du courant I coïncide avec le sens de parcours de la particule.
• D'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), la normale \vec{n} associée à ce sens de parcours est orientée selon -\vec{u}_z.

On en déduit l'expression vectorielle du moment magnétique :

D'après la question Q10, le moment magnétique orbital associé au mouvement cyclotronique s'écrit au voisinage de l'axe :

Le champ magnétique étant localement colinéaire à l'axe, \vec{B} = B \vec{u}_z, l'énergie potentielle d'interaction dipolaire vaut :

En injectant cette relation dans l'expression de E, on obtient :

Or, d'après la question Q2, la puissance de la force de Lorentz magnétique est rigoureusement nulle, ce qui implique la conservation de l'énergie cinétique totale \mathcal{E}_c = \frac{1}{2} m v^2 de la particule. On en déduit immédiatement :

Du point de vue du dipôle magnétique assimilé à une quasi-particule ponctuelle de masse m en mouvement le long de l'axe (Oz) :

• Le terme \boxed{\frac{1}{2} m v_\parallel^2} représente son énergie cinétique de translation axiale (ou longitudinale) le long de l'axe (Oz).
• La quantité \boxed{E} représente son énergie mécanique totale pour son mouvement unidimensionnel le long de l'axe (Oz) soumis au potentiel effectif E_p(z).

D'après la question Q11, l'énergie potentielle du dipôle s'écrit :

L'énergie potentielle E_p(z) est donc directement proportionnelle à la norme du champ B(z). Elle admet un minimum en z = 0, noté E_{p,\min} = \mu B(0), et croît avec |z| jusqu'à atteindre un maximum E_{p,\max} = \mu B_{\max} aux étranglements (bords de la bouteille en z = \pm z_m).

La vitesse axiale v_\parallel vérifie à tout instant :

On distingue deux régimes selon la valeur de l'énergie mécanique E :

• État lié (E_{p,\min} \le E < E_{p,\max}) : le mouvement selon (Oz) est restreint au domaine spatial [-z_r, +z_r], où les points de rebroussement vérifient E_p(\pm z_r) = E. La composante axiale de la vitesse s'y annule (v_\parallel = 0), et le cation effectue des oscillations périodiques de va-et-vient entre ces deux cotes. Le cation est confiné longitudinalement.
• État libre (E > E_{p,\max}) : l'énergie de la particule dépasse la barrière de potentiel maximale. La vitesse v_\parallel ne s'annule jamais le long de l'axe : le cation franchit le col magnétique et s'échappe de la bouteille. Le cation n'est pas confiné.

Lorsque cette condition est satisfaite, le cation s'approchant d'un bord voit B(z) augmenter. Pour conserver le moment magnétique \mu, son énergie cinétique transverse augmente au détriment de son énergie cinétique axiale \frac{1}{2}m v_\parallel^2. À la cote de demi-tour \pm z_r, v_\parallel s'annule et change de signe : la particule est réfléchie vers le centre de la bouteille.

La bouteille magnétique présente un défaut majeur pour le confinement d'un plasma : le confinement longitudinal n'est pas parfait et présente des fuites inévitables aux deux extrémités.

Ce phénomène s'explique par deux mécanismes complémentaires :

• L'existence d'un cône de perte : comme établi à la question précédente, seules les particules dont l'énergie mécanique vérifie E < E_{p,\max} sont piégées. Les particules dont la vitesse est trop inclinée par rapport au plan transverse (vitesse axiale v_\parallel trop grande devant v_\perp) possèdent une énergie E > E_{p,\max} ; elles franchissent le miroir magnétique et s'échappent définitivement du dispositif par les extrémités.
• Le rôle des collisions : dans un plasma réel, les collisions entre particules redistribuent continuellement les directions des vitesses de façon aléatoire. Ainsi, des particules initialement piégées peuvent acquérir une vitesse axiale suffisante pour entrer dans le cône de perte et s'échapper, entraînant une vidange progressive du réacteur.

Considérons le système fixe délimité par une tranche de plasma comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite d'aire S orthogonale à l'axe (Ox), pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t.

Le nombre d'électrons contenus dans cette tranche à l'instant t s'écrit :

La variation de ce nombre pendant la durée \mathrm{d}t est :

Par ailleurs, les recombinaisons et créations d'espèces étant négligées au sein du plasma, la variation de N_e n'est due qu'au flux de particules à travers les surfaces frontières :

• nombre d'électrons entrant à l'abscisse x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{entrant}} = j_e(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
• nombre d'électrons sortant à l'abscisse x+\mathrm{d}x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{sortant}} = j_e(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

Le bilan de matière s'écrit donc :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation des électrons :

De façon tout à fait analogue, en l'absence de terme source ou puits pour les ions, le bilan sur les ions de charge +e conduit à :

Considérons une surface S de la paroi conductrice en x = L, dont la normale orientée vers l'extérieur du plasma est \vec{u}_x.

Pendant un intervalle de temps dt, les nombres de particules atteignant cette surface sont :

• pour les ions (de charge +e) : dN_i = j_i(L, t)\, S\, dt,
• pour les électrons (de charge -e) : dN_e = j_e(L, t)\, S\, dt.

La charge électrique totale nette apportée à cette portion de paroi pendant dt s'écrit donc :

Les parois étant conductrices et la recombinaison entre ions et électrons étant quasi-instantanée, il ne peut y avoir d'accumulation de charge électrique nette sur la paroi. La densité surfacique de charge reste nulle (\sigma = 0), d'où :

Comme e \neq 0 et S \neq 0, on obtient directement :

D'après l'hypothèse de quasi-neutralité du plasma, les densités volumiques d'ions et d'électrons sont égales en tout point et à tout instant :

Par dérivation temporelle, il vient :

En utilisant les équations locales de conservation établies à la question Q14 :

On en déduit que la dérivée spatiale de la différence des densités de flux est nulle :

La quantité j_i(x,t) - j_e(x,t) ne dépend donc pas de x, il existe une fonction C(t) telle que :

Or, d'après la condition aux limites obtenue à la question Q15 sur la paroi en x = L :

Cette égalité étant vérifiée pour tout t, on en déduit finalement que pour tout x \in [0,L] et tout instant t :

• Le terme -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,n correspond à la loi de Fick (ou première loi de Fick), qui décrit le phénomène de diffusion moléculaire tendant à homogénéiser les concentrations sous l'effet de l'agitation thermique, des zones les plus concentrées vers les zones les moins concentrées.

• Le terme \pm n\,\mu \vec{E} traduit le phénomène d'entraînement ou de dérive (migration) des particules chargées sous l'action de la force électrostatique \vec{F} = q\vec{E} créée par le champ électrique :

  • en régime permanent, l'équilibre entre la force électrique et la force de frottement fluide issue des collisions avec le milieu confère aux porteurs une vitesse moyenne de dérive \vec{v}_{\mathrm{d}} = \pm \mu \vec{E} (dans le sens de \vec{E} pour les ions de charge +e, en sens opposé pour les électrons de charge -e, avec des mobilités \mu_i > 0 et \mu_e > 0) ;
  • la densité de flux de particules correspondante est alors donnée par \vec{\jmath}_{\mathrm{d\acute{e}rive}} = n\,\vec{v}_{\mathrm{d}} = \pm n\,\mu \vec{E}.

D'après l'énoncé, la projection des vecteurs densité de flux d'ions et d'électrons sur le vecteur unitaire \vec{u}_x s'écrit :

D'après la question Q16, la quasi-neutralité impose l'égalité des flux : j_i(x,t) = j_e(x,t). On en déduit :

Ce qui donne l'expression du champ électrique interne :

En réinjectant cette expression de E(x,t) dans celle du flux d'ions j = j_i :

On obtient bien la loi de Fick globale j = -D_a \frac{\partial n}{\partial x} avec le coefficient de diffusion ambipolaire :

D'après l'équation locale de conservation des particules établie à la question Q14 et compte tenu de la condition de quasi-neutralité n_i = n_e = n associée à l'égalité des flux j_i = j_e = j (question Q16), la densité n(x,t) vérifie :

En substituant l'expression de la densité de flux ambipolaire obtenue à la question Q18, j(x,t) = -D_a \frac{\partial n}{\partial x}, et sachant que les coefficients de transport (\mu_i, \mu_e, D_i, D_e) sont supposés constants et uniformes dans le plasma, le coefficient de diffusion ambipolaire D_a est indépendant de x :

On en déduit l'équation de diffusion ambipolaire :

D'après la question Q19, la densité n(x,t) vérifie l'équation de diffusion ambipolaire :

En introduisant la forme à variables séparées n(x,t) = F(t)G(x), les dérivées partielles s'écrivent :

En reportant dans l'équation de diffusion et en divisant membre à membre par le produit non nul F(t)G(x) :

Le membre de gauche est une fonction dépendant uniquement du temps t, tandis que le membre de droite dépend uniquement de la variable d'espace x. Par conséquent, ces deux expressions sont nécessairement égales à une même constante indépendante de x et de t.

En notant cette constante de séparation sous la forme -\dfrac{1}{\tau}, on obtient :

Comme \dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} et \dfrac{F}{\tau} ont même dimension, [\tau] = [t] : \tau est bien une constante homogène à un temps.

On aboutit ainsi au système différentiel :

D'après le système d'équations différentielles obtenu à la question Q20 :

1. Résolution de l'équation temporelle :

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale s'écrit :

   F(t) = C_0 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)

   où C_0 est une constante réelle.

2. Résolution de l'équation spatiale :

   Comme D_a > 0 et \tau > 0, le terme \frac{1}{D_a \tau} est strictement positif. L'équation différentielle du second ordre :

   \frac{\mathrm{d}^2G}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{D_a \tau} G = 0

   est celle d'un oscillateur harmonique spatial de pulsation spatiale k = \frac{1}{\sqrt{D_a \tau}}. Sa solution générale s'écrit sous la forme :

   G(x) = A' \cos\left(\frac{x}{\sqrt{D_a \tau}}\right) + B' \sin\left(\frac{x}{\sqrt{D_a \tau}}\right)

   où A' et B' sont deux constantes réelles.

3. Expression de n(x,t) :

   Par définition, n(x,t) = F(t)G(x). En absorbant la constante multiplicative C_0 dans les constantes spatiales (A = C_0 A' et B = C_0 B'), la solution générale fait intervenir exactement deux constantes d'intégration indépendantes A et B :

D'après la question Q21, la solution séparable s'écrit sous la forme :

Les conditions aux limites imposent que la densité s'annule sur les deux parois en x = 0 et en x = L, et ce à tout instant t :

• En x = 0 :

  n(0, t) = A \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = 0 \quad \forall t \implies A = 0

• En x = L :

  n(L, t) = B \sin\left(\frac{L}{\sqrt{D_a \tau}}\right) \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = 0 \quad \forall t

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (B \neq 0), l'argument du sinus doit être un multiple entier non nul de \pi :

(le choix de p < 0 ne conduirait qu'à un changement de signe de la constante d'intégration B, et p = 0 correspondrait à la solution identiquement nulle).

En élevant au carré, le temps caractéristique associé à l'entier p est quantifié et s'écrit :

À chaque entier p \in \mathbb{N}^* est ainsi associé un mode de diffusion :

1. Prépondérance du mode fondamental p=1
D'après la question Q22, le temps caractéristique d'amortissement du mode p s'écrit :

Pour tout p \ge 2, on a \tau_p \le \frac{\tau_1}{4} \ll \tau_1. L'exponentielle temporelle \exp(-t/\tau_p) = \exp(-p^2 t / \tau_1) décroît beaucoup plus rapidement que celle du mode p=1.

Dès que t \gtrsim \tau_2 = \frac{\tau_1}{4}, les modes d'ordres supérieurs p \ge 2 sont fortement atténués : seul subsiste de façon significative le mode fondamental p = 1.

2. Expression de n_1(x,t)
En introduisant une constante multiplicative N_1, l'expression du mode fondamental s'écrit :

3. Tracé des profils de densité à t_1 et t_2 > t_1
À chaque instant, la fonction x \mapsto n_1(x,t) présente une demi-arche sinusoïdale s'annulant en x = 0 et x = L, avec un maximum en x = L/2. Comme t_2 > t_1, le facteur d'amortissement vérifie \exp(-t_2/\tau_1) < \exp(-t_1/\tau_1), d'où une amplitude décroissante :

4. Diminution de la densité au cours du temps
Le gradient de densité dirige un flux net de diffusion de particules chargées (ions et électrons) du centre du plasma vers les bords x=0 et x=L. Arrivées au contact des parois conductrices, ces particules s'y recombinent quasi-instantanément pour former des espèces neutres (condition absorbante n=0).

Les parois jouent ainsi le rôle d'un puits de charges : le plasma perd continûment ses porteurs par diffusion et recombinaison surfacique, ce qui entraîne la décroissance globale de sa densité au cours du temps.

D'après l'équation de diffusion \dfrac{\partial n}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 n}{\partial x^2} (ou la loi de Fick j = -D \dfrac{\partial n}{\partial x}), la dimension de D vérifie :

Les grandeurs v^* et \tau^* ont pour dimensions respectives :

En cherchant D sous la forme D = (v^*)^\alpha (\tau^*)^\beta, l'égalité aux dimensions impose :

Par identification :

Avec un facteur sans dimension pris égal à 1, on en déduit l'expression de D :

Explication physique : La grandeur \ell^* = v^* \tau^* représente le libre parcours moyen d'une entité entre deux collisions successives. Plus la durée \tau^* entre collisions est grande, plus ce libre parcours moyen est important : l'entité effectue de plus grands pas rectilignes dans l'espace avant de voir sa trajectoire déviée aléatoirement. Les collisions constituent un frein au transport macroscopique ; moins elles sont fréquentes (c'est-à-dire plus \tau^* est grand), plus l'entité s'éloigne rapidement de sa position d'origine par marche au hasard, ce qui se traduit par une diffusion spatiale plus rapide et donc une valeur accrue de D.

Le coefficient de diffusion transverse des ions en présence d'un champ magnétique stationnaire et uniforme s'écrit :

• Plasma non magnétisé : par définition, l'effet du champ magnétique sur la diffusion transverse est négligeable, c'est-à-dire que D_i' \simeq D_i. Cela impose que le terme correctif au dénominateur soit négligeable devant 1 :

  (\omega_c \tau^*)^2 \ll 1 \iff \boxed{\omega_c \tau^* \ll 1}

• Plasma magnétisé : le champ magnétique réduit notablement le coefficient de diffusion transverse (D_i' \ll D_i). Le terme correctif domine alors largement 1 au dénominateur :

  (\omega_c \tau^*)^2 \gg 1 \iff \boxed{\omega_c \tau^* \gg 1}

D'après le résultat de la question Q24, le coefficient de diffusion des ions en l'absence de champ magnétique s'écrit :

où v_i^* est la vitesse quadratique moyenne des ions. L'expression du coefficient de diffusion transverse est :

Cas d'un plasma non magnétisé (\omega_c \tau^* \ll 1) : Le dénominateur se réduit au premier ordre à 1 + (\omega_c \tau^*)^2 \approx 1. Il vient immédiatement :

Le coefficient de diffusion transverse D_i' est donc bien proportionnel à \tau^*.

Cas d'un plasma magnétisé (\omega_c \tau^* \gg 1) : Le terme dominant au dénominateur est (\omega_c \tau^*)^2. Par conséquent :

soit :

Le coefficient de diffusion transverse D_i' est donc bien proportionnel à l'inverse de \tau^*.

Influence du champ magnétique : La pulsation cyclotron des ions est donnée d'après la question Q4 par \omega_c = \dfrac{e B_0}{m}. Le paramètre de magnétisation s'exprime ainsi :

Ce produit est strictement proportionnel à la norme B_0 du champ magnétique. Plus le champ magnétique appliqué est intense :

• plus la condition \omega_c \tau^* \gg 1 est largement satisfaite ;

• plus la diffusion transverse est entravée, le coefficient variant selon :

  D_i' \approx \left(\frac{m v_i^*}{e}\right)^2 \frac{1}{B_0^2 \tau^*} \propto \frac{1}{B_0^2}

Le plasma est donc bien d'autant plus magnétisé que le champ magnétique est intense.

D'après la question Q25, un plasma est dit magnétisé lorsque :

où T_c = \frac{2\pi}{\omega_c} est la période cyclotron de la particule chargée. Cette condition signifie que la particule effectue un grand nombre de gyrations cyclotroniques autour d'une ligne de champ magnétique entre deux collisions successives avec des espèces neutres.

• Sur la figure (a), la particule chargée (boule blanche) décrit plusieurs spires d'hélice complètes autour des lignes de champ magnétique \vec{B} entre deux chocs avec les diffuseurs (boules noires). La durée moyenne entre deux collisions \tau^* est donc nettement supérieure à la période cyclotron T_c, ce qui correspond bien à \omega_c \tau^* \gg 1.
• Sur la figure (b), la trajectoire est interrompue par des collisions avant même que la particule n'ait le temps d'effectuer une révolution cyclotronique complète (\omega_c \tau^* \lesssim 1), ce qui caractérise un plasma non magnétisé.

Dans un plasma magnétisé (figure 6(a), où \omega_c \tau^* \gg 1) :

• Entre deux collisions, le cation effectue de nombreuses rotations cyclotroniques autour d'une même ligne de champ : son déplacement perpendiculairement à \vec{B} est borné et confiné dans un tube de rayon de l'ordre du rayon de Larmor r_L. Sans collision, il n'y aurait aucune diffusion transverse.

• Une collision avec une espèce neutre modifie brutalement la direction de la vitesse du cation, ce qui déplace le « centre de guidage » de sa trajectoire d'une distance élémentaire transversale :

  \Delta r_\perp \sim r_L
• La diffusion transverse s'interprète donc comme une marche au hasard du centre de guidage, dont la longueur de pas \Delta r_\perp \sim r_L est fixée par le champ magnétique et indépendante de \tau^*, et dont la durée entre deux pas est \tau^*.

Le coefficient de diffusion transverse s'écrit donc en ordre de grandeur :

Ainsi, plus la durée moyenne \tau^* entre deux collisions est élevée (collisions plus rares), moins les sauts du centre de guidage sont fréquents : le cation reste piégé plus longtemps autour de la même ligne de champ, ce qui diminue le coefficient de diffusion transverse D_i'.

Dans la géométrie toroïdale d'un tokamak, les lignes de champ magnétique sont refermées sur elles-mêmes : les particules chargées s'enroulent autour de ces lignes de champ et ne peuvent s'échapper vers les parois matérielles que par transport perpendiculaire (diffusion transverse).

Or, pour un plasma magnétisé (\omega_c \tau^* \gg 1), le coefficient de diffusion transverse établi en Q26 vérifie :

Un champ magnétique B_0 très intense présente ainsi un double intérêt :

• Réduire drastiquement la diffusion transverse vers les parois (D' \propto B_0^{-2}), ce qui limite considérablement les pertes de matière et assure un temps de confinement suffisant des réactifs ;
• Protéger les parois du tokamak en évitant le contact direct avec le plasma porté à des dizaines de millions de degrés.

Considérons deux noyaux d'isotopes de l'hydrogène (deutérium et tritium), chacun de charge électrique q = +e.

Hypothèses de modélisation :

• À des distances supérieures à la taille du noyau d = 10^{-15}\text{ m}, l'interaction nucléaire forte est négligeable et les noyaux ne sont soumis qu'à la répulsion électrostatique coulombienne.
• Pour initier la réaction de fusion en mécanique classique, les noyaux doivent entrer en contact, ce qui impose d'atteindre une distance minimale de l'ordre de leur taille, soit r \le d.

• L'énergie cinétique relative minimale requise doit vaincre la barrière coulombienne :

  E_{p,\max} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 d}

• D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne d'un noyau à la température T dans le plasma est reliée à la température par :

  \langle E_c \rangle = \frac{3}{2} k_B T

Pour que les chocs soient suffisamment énergétiques pour franchir la barrière coulombienne, l'ordre de grandeur de l'énergie cinétique thermique doit être au moins égal à l'énergie de la barrière de potentiel :

Application numérique : Avec les données du sujet :

• e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C}
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• k_B = 1{,}4 \cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
• d = 10^{-15}\text{ m}

On retient donc un ordre de grandeur de :

(ou quelques dizaines de milliards de kelvins, qu'on utilise k_B T ou \frac{3}{2}k_B T).

Le phénomène quantique responsable de cet écart est l'effet tunnel.

En mécanique classique, deux noyaux ne peuvent franchir la barrière de répulsion coulombienne que si l'énergie mécanique disponible dans le référentiel du centre de masse est supérieure au sommet de la barrière de potentiel (E \ge E_{p,\max}), ce qui imposait d'après la question précédente une température de l'ordre de 10^{10}\text{ K}.

En mécanique quantique, en vertu de la nature ondulatoire de la matière (longueur d'onde de de Broglie associée aux noyaux), la fonction d'onde décrivant l'état relatif des deux noyaux ne s'annule pas brutalement dans la région classiquement interdite sous la barrière de potentiel, mais y décroît de manière exponentielle. Il existe ainsi une probabilité de transmission non nulle par effet tunnel à travers la barrière coulombienne pour des énergies E < E_{p,\max}.

Les réactions de fusion peuvent par conséquent se produire à une énergie cinétique moyenne nettement inférieure à la hauteur de la barrière coulombienne, abaissant la température requise à environ 1{,}5 \cdot 10^8\text{ K} (soit environ 10\text{ à }15\text{ keV}).

Soit \mathcal{S}_2 une surface plane circulaire de rayon a_2 délimitée par la boucle de courant représentant le plasma. D'après la règle de la main droite appliquée au sens de circulation de i_2 (figure 7), la normale unitaire à \mathcal{S}_2 est orientée par \vec{e}_z.

Le flux du champ magnétique \vec{B}_1 à travers cette boucle s'écrit :

Comme \vec{B}_1 = \beta i_1(t) \vec{e}_z pour r < a_1 et \vec{B}_1 = \vec{0} pour r > a_1, le champ magnétique est nul sur la zone annulaire a_1 < r < a_2. L'intégrale se réduit donc au disque de rayon a_1 sur lequel le champ est uniforme :

Par définition de l'inductance mutuelle, \Phi_{1\to 2} = M i_1(t), d'où :

Au centre du solénoïde, la relation entre le champ magnétique et le courant s'écrit B_1 = \beta i_1. On en déduit :

D'où l'expression numérique de M :

Application numérique :

Le flux magnétique total \Phi_2 traversant la boucle de courant représentant le plasma (circuit 2), orientée en cohérence avec le sens de parcours choisi pour i_2, s'écrit comme la somme du flux propre et du flux créé par le solénoïde central (circuit 1) :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la boucle 2 vaut :

La loi des mailles appliquée au circuit secondaire fermé sur sa résistance R_2 donne :

Pour t \in [0, t_1], l'expression du courant inducteur est i_1(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{t_1}\right), dont la dérivée temporelle est :

L'équation différentielle devient ainsi :

En divisant par l'inductance propre L_2, on obtient :

Cette équation est bien de la forme :

avec les constantes de temps :

L'équation différentielle établie à la question Q33 s'écrit, pour t \in [0, t_1] :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants et second membre constant est la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où K est une constante d'intégration.

Le circuit secondaire possédant une inductance propre L_2, le courant i_2(t) est continu à t=0. Comme i_2(t < 0) = 0, on a la condition initiale :

D'où l'expression de i_2(t) pour t \in [0, t_1] :

En remplaçant \tau_1 = \frac{L_2}{M} t_1 et \tau_2 = \frac{L_2}{R_2}, cette expression s'écrit également :

Pour t \ll \tau_2, le développement limité au premier ordre de l'exponentielle donne :

On en déduit au premier ordre :

Le courant i_2(t) se simplifie alors sous la forme :

Soit, en explicitant \tau_1 :

La puissance instantanée reçue par la résistance R_2 s'écrit :

L'énergie \mathcal{E}_{R_2} reçue par R_2 entre t = 0 et t = t_1 est donc :

D'après la question Q34, sous l'hypothèse t_1 \ll \tau_2, on a pour tout t \in [0, t_1] :

On en déduit par intégration directe :

Effet sur le plasma : Cette énergie électrique reçue par R_2 est dissipée par effet Joule au sein du plasma. Elle est convertie en énergie thermique (agitation microscopique des ions et électrons), ce qui provoque l'élévation de la température T du plasma. Il s'agit du principe du chauffage ohmique (ou résistif) par induction.

La loi de Spitzer indique que la résistivité du plasma varie selon :

Cette dépendance permet de formuler deux critiques majeures à l'encontre de la modélisation proposée :

1. Non-constance de la résistance R_2 : Dans le circuit équivalent étudié aux questions précédentes, la résistance R_2 du plasma a été supposée constante. Or, au fur et à mesure que le plasma s'échauffe par effet Joule (question Q35), sa température T augmente, ce qui entraîne une chute rapide de sa résistivité \rho et donc de sa résistance R_2. Le système est en réalité fortement non linéaire et couple l'équation électrique à un bilan thermique.
2. Perte d'efficacité du chauffage ohmique à haute température : Puisque R_2 décroît en T^{-3/2}, le plasma devient un excellent conducteur à haute température. La puissance dissipée par effet Joule, donnée par \mathcal{P}_J = R_2\, i_2^2, diminue drastiquement lorsque la température s'élève.

Le chauffage ohmique par induction ne peut donc pas, à lui seul, permettre au plasma d'atteindre les températures extrêmes requises pour l'ignition thermonucléaire (environ 150\text{ millions de degrés}, évoqués en Q31), ce qui justifie le recours à des méthodes de chauffage complémentaires (comme les ondes électromagnétiques abordées dans la sous-partie III.3).

Dans un milieu constitué de charges libres (plasma dilué) décrit par la densité volumique de charge \rho et le vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath}, les quatre équations de Maxwell locales s'écrivent :

L'onde électromagnétique étudiée est plane et se propage selon l'axe (Oz) : les grandeurs scalaires associées aux champs ne dépendent spatialement que de la variable z, ce qui implique :

Par ailleurs, le caractère transversal de l'onde électrique signifie que le champ électrique est orthogonal à la direction de propagation \vec{u}_z, soit :

La divergence du champ électrique s'écrit alors en coordonnées cartésiennes :

En utilisant l'équation de Maxwell-Gauss issue de la question Q37 :

on en déduit immédiatement :

Le plasma reste ainsi localement neutre au passage de l'onde électromagnétique transversale.

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday (Q37) :

En prenant le rotationnel de cette relation et en permutant les dérivées spatiale et temporelle :

D'une part, la formule du double rotationnel donnée dans le formulaire fournit :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss et le résultat de la question Q38 (\rho = 0), on a \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

D'autre part, en substituant l'équation de Maxwell-Ampère (Q37) pour exprimer \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{B} :

En regroupant les termes portant sur \vec{E} dans le membre de gauche, il vient :

On identifie la célérité de la lumière dans le vide :

On obtient ainsi l'équation de d'Alembert avec terme source recherchée :