Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2021

Pour coder un ensemble de N caractères distincts à l'aide d'un mot de longueur fixe de n symboles binaires (bits prenant deux états, comme le point et le trait), il faut disposer d'au moins autant de combinaisons que de caractères :

Le document comporte :

• 32 lettres de l'alphabet cyrillique ;
• 10 chiffres (de 0 à 9) ;
• quelques symboles de ponctuation usuels (point, virgule, point d'interrogation, tiret, guillemets, etc.) ainsi que l'espace inter-mots, soit au moins une dizaine de signes supplémentaires.

Le nombre total de caractères à coder est ainsi de l'ordre de N \approx 32 + 10 + 10 \approx 52. Comme 2^5 = 32 < N et 2^6 = 64 \ge N, il faut :

Application numérique : Évaluons le nombre de caractères N_{\text{page}} d'une page complète de texte comme celle de l'épreuve :

• une page compte environ N_{\text{lignes}} \approx 40 \text{ lignes} ;
• chaque ligne contient environ N_{\text{c/l}} \approx 60 \text{ à } 70 \text{ caractères} (espaces comprises).

Une page représente donc environ :

Le nombre total de symboles binaires à transmettre vaut :

À raison d'une cadence de frappe de v = 3 \text{ symboles}\cdot\text{s}^{-1}, la durée de transmission \Delta t s'exprime par :

En convertissant en heures et minutes (3\,600 \text{ s} = 1\text{ h} et 1\,700 \text{ s} \approx 28\text{ min}) :

Les grandeurs u(z,t) et i(z,t) représentent respectivement une tension électrique en volts (\mathrm{V}) et une intensité électrique en ampères (\mathrm{A}). La coordonnée spatiale z s'exprime en mètres (\mathrm{m}) et le temps t en secondes (\mathrm{s}).

Analysons les dimensions terme à terme à partir des deux équations des télégraphistes :

1. Le terme de gauche de la première équation s'exprime en \mathrm{V\cdot m^{-1}}. Par homogénéité :

   • Le terme \dfrac{R_0}{\chi_0} \dfrac{\partial i}{\partial t} est homogène à \mathrm{V\cdot m^{-1}}, or \left[\dfrac{\partial i}{\partial t}\right] = \mathrm{A\cdot s^{-1}}, donc :

     \left[\frac{R_0}{\chi_0}\right] = \mathrm{V\cdot A^{-1}\cdot s\cdot m^{-1}} = \Omega\cdot \mathrm{s\cdot m^{-1}} = \mathrm{H\cdot m^{-1}}

   • Le terme \dfrac{R_0}{\ell_0} i est homogène à \mathrm{V\cdot m^{-1}}, or [i] = \mathrm{A}, donc :

     \left[\frac{R_0}{\ell_0}\right] = \mathrm{V\cdot A^{-1}\cdot m^{-1}} = \Omega\cdot \mathrm{m^{-1}}

2. Le terme de gauche de la seconde équation s'exprime en \mathrm{A\cdot m^{-1}}. Par homogénéité :

   • Le terme \dfrac{1}{R_0 \chi_0} \dfrac{\partial u}{\partial t} est en \mathrm{A\cdot m^{-1}}, or \left[\dfrac{\partial u}{\partial t}\right] = \mathrm{V\cdot s^{-1}}, donc :

     \left[\frac{1}{R_0 \chi_0}\right] = \mathrm{A\cdot V^{-1}\cdot s\cdot m^{-1}} = \Omega^{-1}\cdot \mathrm{s\cdot m^{-1}} = \mathrm{F\cdot m^{-1}}

     ce qui conduit à :

     [R_0 \chi_0] = \Omega\cdot \mathrm{m\cdot s^{-1}}

En combinant les relations obtenues :

Les unités usuelles dans le Système International sont ainsi :

Pour qu'un signal électrique (courant i(z,t) et tension u(z,t)) se propage, le circuit électrique reliant l'émetteur au récepteur doit être fermé.

Dans les lignes télégraphiques terrestres du XIXe siècle à un seul fil aérien (procédé mis en œuvre dès 1838 par Steinheil), le retour du courant s'effectue par le sol : la Terre, étant conductrice à grande échelle, sert de conducteur de retour grâce à des piquets de terre plantés aux deux extrémités de la ligne.

D'un point de vue électromagnétique, l'ensemble formé par le fil aérien cylindrique situé à une hauteur h au-dessus d'un sol plan conducteur est rigoureusement équivalent, par la méthode des images, à une ligne bifilaire composée du fil réel et de son image symétrique par rapport à la surface terrestre. Les grandeurs linéiques (inductance linéique, capacité linéique et résistance) sont ainsi bien définies.

Les équations des télégraphistes données par l'énoncé sont :

Dérivons l'équation (1) par rapport à z :

En appliquant le théorème de Schwarz aux fonctions supposées régulières (\frac{\partial^2 i}{\partial z \partial t} = \frac{\partial^2 i}{\partial t \partial z}) et en substituant l'expression de \frac{\partial i}{\partial z} issue de (2), il vient :

On obtient ainsi l'équation de propagation régissant la tension u(z,t) :

Pour déterminer l'équation de dispersion, on cherche une onde plane progressive monochromatique se propageant le long de l'axe (Oz), de vecteur d'onde \vec{k} = k\,\vec{e}_z. En adoptant la notation complexe associée à \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} imposée par le préambule :

Les opérateurs différentiels s'identifient à :

En reportant dans l'équation de propagation :

Comme \vec{k}^2 = k^2, l'équation de dispersion s'écrit :

D'après l'équation de dispersion établie à la question Q4, le carré de la norme du vecteur d'onde complexe pour une onde se propageant dans le sens des z croissants s'écrit :

Le transport du signal s'effectuant sur une grande distance, les pertes sont faibles et constituent une perturbation, ce qui correspond à la condition :

En choisissant la racine correspondant à une onde se propageant dans le sens z > 0 et s'atténuant avec la distance (\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \underline{k} z)} avec \mathrm{Im}(\underline{k}) < 0), effectuons un développement limité au premier ordre en \frac{\chi_0}{\omega \ell_0} :

La partie réelle du vecteur d'onde, qui régit la phase spatiale de l'onde, vaut donc au premier ordre :

La vitesse de phase des ondes de courant et de tension s'en déduit directement :

La vitesse de phase v_\varphi = \chi_0 est une constante indépendante de la pulsation \omega. Par conséquent, il n'y a pas de dispersion à cet ordre du développement.

D'après la question Q5, le vecteur d'onde complexe pour une onde se propageant dans le sens (Oz) s'écrit au premier ordre :

L'onde de tension vérifiant la condition aux limites u(0,t) = U_0 \cos(\omega t) s'écrit en représentation complexe :

La seconde équation des télégraphistes en régime sinusoïdal donne :

D'où la relation entre courant et tension :

Au premier ordre du développement vis-à-vis des pertes (\frac{\chi_0}{\omega \ell_0} \ll 1), \underline{k} \approx \frac{\omega}{\chi_0}, de sorte que le courant de ligne est simplement en phase avec la tension :

La puissance électrique moyenne transportée à la cote z à travers la section de ligne vaut :

Puisque \ell_0 > 0, la puissance transportée \mathcal{P}_m(z) décroît exponentiellement au fur et à mesure de la propagation le long de l'axe (Oz), sous l'effet des pertes résistives.

La distance caractéristique d'atténuation de la puissance est donc :

Le câble étant modélisé sans pertes, un tronçon de longueur élémentaire \mathrm{d}z compris entre z et z + \mathrm{d}z est équivalent à :

• une inductance élémentaire \mathrm{d}L = l_u\mathrm{d}z en série modélisant l'énergie magnétique stockée par unité de longueur ;
• une capacité élémentaire \mathrm{d}C = c_u\mathrm{d}z en dérivation modélisant l'énergie électrostatique stockée entre l'âme centrale et la tresse externe.

La loi des mailles appliquée à cette cellule s'écrit :

Soit, en développant u(z + \mathrm{d}z, t) = u(z,t) + \frac{\partial u}{\partial z}\,\mathrm{d}z au premier ordre en \mathrm{d}z :

La loi des nœuds appliquée au nœud situé entre l'inductance et la sortie s'écrit :

Au premier ordre en \mathrm{d}z, u(z+\mathrm{d}z, t) \approx u(z,t) dans le terme proportionnel à \mathrm{d}z, et i(z+\mathrm{d}z,t) = i(z,t) + \frac{\partial i}{\partial z}\,\mathrm{d}z, d'où :

Pour découpler ces deux équations, dérivons la première par rapport à z :

De même, en dérivant la seconde équation par rapport à z :

Les ondes de tension et de courant vérifient ainsi des équations de d'Alembert :

D'après l'équation de d'Alembert établie à la question Q7 pour la tension (ou le courant) :

la célérité v désigne la vitesse de propagation des signaux électriques (tensions et courants) le long de la ligne, sans déformation en l'absence de pertes. Par identification avec l'équation de d'Alembert canonique :

Application numérique : Avec les données de la table 1 :

• l_u = 0,32\ \mu\mathrm{H\cdot m^{-1}} = 0,32 \times 10^{-6}\ \mathrm{H\cdot m^{-1}} ;
• c_u = 53\ \mathrm{pF\cdot m^{-1}} = 53 \times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}.

On a :

D'où la célérité :

Commentaire : La célérité obtenue est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide (v \approx 0,81\,c < c). Cet écart provient de la présence du polyéthylène, isolant diélectrique de permittivité relative \varepsilon_r > 1 entourant l'âme centrale, dans lequel la vitesse des ondes électromagnétiques guidées vaut v = c/\sqrt{\varepsilon_r}.

Comparaison au « délai » : Le « délai » \tau fourni par la fiche technique correspond à la durée de propagation de l'onde par unité de distance (temps de transit linéique) :

L'application numérique donne \tau \approx 4,1\ \mathrm{ns\cdot m^{-1}}, en excellent accord avec la valeur de 4,0\ \mathrm{ns/m} indiquée sur la fiche technique (écart relatif de l'ordre de 2,5\,\%, pleinement imputable aux arrondis des valeurs nominales).

Pour une onde se propageant dans le sens des z croissants (onde progressive aller), l'impédance caractéristique Z_0 est définie comme le rapport entre la tension et l'intensité du courant associées à cette seule onde :

D'après les équations des télégraphistes sans pertes obtenues à la question Q7 :

Une onde progressive se propageant vers les z croissants s'écrit sous la forme u_+(z,t) = f(t - z/v) et i_+(z,t) = g(t - z/v), avec v = 1/\sqrt{l_u c_u}. En injectant ces expressions dans l'équation précédente, on obtient :

En l'absence de composante continue, on en déduit :

D'après la table 1, les grandeurs nominales du câble Belden 8213 valent :

• l_u = 0{,}32\ \mu\mathrm{H\cdot m^{-1}} = 0{,}32 \times 10^{-6}\ \mathrm{H\cdot m^{-1}} ;
• c_u = 53\ \mathrm{pF\cdot m^{-1}} = 53 \times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}.

L'application numérique donne :

La fiche technique indique une impédance nominale de 75\ \Omega. L'écart relatif n'est que de :

Cet écart minime s'explique par les arrondis des valeurs fournies. Les données de la fiche technique sont donc parfaitement compatibles avec ce modèle.

L'onde de tension incidente se propageant dans le sens des z croissants s'écrit en représentation complexe :

D'après l'équation des télégraphistes établie à la question Q7, \dfrac{\partial \bar{u}}{\partial z} = -l_u \dfrac{\partial \bar{i}}{\partial t}, ce qui donne pour cette onde progressive :

Comme k/\omega = 1/v = \sqrt{l_u c_u} et Z_0 = \sqrt{l_u/c_u}, on a \dfrac{k}{\omega l_u} = \dfrac{1}{Z_0}. On en déduit :

L'onde réfléchie se propageant dans le sens des z décroissants, elle est de la forme :

En réinjectant dans l'équation des télégraphistes, \dfrac{\partial \bar{u}_-}{\partial z} = +\mathrm{i}k\,\bar{u}_-(z,t) = -l_u\,\mathrm{i}\omega\,\bar{i}_-(z,t), soit :

La tension totale et le courant total dans la ligne en z < 0 résultent de la superposition des ondes incidente et réfléchie :

En z = 0, la charge impose la loi d'Ohm \bar{u}(0,t) = \bar{Z}_e\,\bar{i}(0,t), d'où :

En regroupant les termes en \bar{U}_- :

On obtient ainsi les expressions des ondes réfléchies :

D'après la question Q10, la tension totale complexe dans la ligne (z < 0) s'écrit :

avec le coefficient de réflexion en tension :

En choisissant sans perte de généralité l'origine des phases de telle sorte que \bar{U}_+ = U_+ > 0, la tension réelle s'écrit :

En décomposant l'onde incidente en une part progressive résiduelle d'amplitude (1-r)U_+ et une part d'amplitude r U_+ :

Par identification avec la décomposition donnée par l'énoncé, u(z,t) = u_p(z,t) + u_s(z,t) :

Le rapport \rho s'exprime donc sous la forme :

soit, en fonction de Z_0 et \bar{Z}_e :

On aura \rho = 0 si et seulement si son numérateur s'annule, c'est-à-dire :

L'impédance de charge doit être une résistance pure égale à l'impédance caractéristique de la ligne pour qu'il y ait adaptation d'impédance (l'onde est alors purement progressive dans tout le câble, sans onde stationnaire).

1. Schéma équivalent de la tranche \mathrm{d}z :

Le courant circule dans le conducteur intérieur et retourne par la tresse extérieure. En tenant compte des pertes ohmiques réparties, le schéma équivalent s'écrit :

2. Équations des télégraphistes et équation de propagation :

En appliquant la loi des mailles le long du contour élémentaire :

d'où, au premier ordre en \mathrm{d}z :

La conservation du courant (loi des nœuds) sur la branche capacitive donne :

soit :

Dérivons la première équation par rapport à z et substituons \frac{\partial i}{\partial z} :

L'équation de propagation vérifiée par la tension s'écrit :

3. Longueur caractéristique d'atténuation de l'amplitude :

On recherche une onde plane progressive harmonique se propageant dans le sens des z croissants sous la forme complexe \underline{u}(z,t) = \underline{U}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}z)}. En injectant cette forme dans l'équation de propagation :

En factorisant par le terme sans pertes k_0^2 = l_u c_u \omega^2 :

Dans le cadre de l'approximation des faibles pertes ((r_u + r'_u) \ll l_u \omega), un développement limité au premier ordre donne :

Or, l'impédance caractéristique de la ligne sans pertes s'écrit Z_0 = \sqrt{\frac{l_u}{c_u}}, d'où :

La tension s'exprime donc sous la forme :

La longueur caractéristique d'atténuation spatiale \delta de l'amplitude de l'onde est la distance sur laquelle l'amplitude est divisée par \mathrm{e} :

D'après la question Q12, la longueur caractéristique d'atténuation spatiale de l'amplitude s'exprime par :

D'après les données de la table 1 :

• Z_0 = 75\ \Omega ;
• r_u = 8,5\ \Omega\cdot\mathrm{km}^{-1} et r'_u = 3,6\ \Omega\cdot\mathrm{km}^{-1}, soit r_u + r'_u = 12,1\ \Omega\cdot\mathrm{km}^{-1} = 1,21 \times 10^{-2}\ \Omega\cdot\mathrm{m}^{-1}.

L'application numérique donne :

Commentaire : La distance caractéristique d'atténuation \delta \approx 12\ \mathrm{km} est bien supérieure aux longueurs typiques de raccordement d'une antenne de télévision à un téléviseur (quelques mètres à quelques dizaines de mètres). L'atténuation est donc tout à fait négligeable à l'échelle d'une habitation.

Limitation à très haute fréquence (f \ge 1\ \mathrm{GHz}) :

À ces fréquences, deux phénomènes majeurs augmentent considérablement l'atténuation :

1. L'effet de peau : le courant ne circule plus que sur une épaisseur de peau \delta_{\mathrm{p}} = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} \propto f^{-1/2}. Pour le cuivre à 1\ \mathrm{GHz}, cette épaisseur devient micrométrique (\delta_{\mathrm{p}} \approx 2\ \mu\mathrm{m}). La section efficace de conduction est fortement réduite, ce qui augmente les résistances linéiques comme \sqrt{f} et diminue d'autant \delta.
2. Les pertes diélectriques : la réorientation rapide des dipôles de l'isolant dissipe de l'énergie (conductance de fuite non nulle g_u \propto f), ce qui amplifie les pertes en ligne.

C'est pourquoi on préfère utiliser, à ces fréquences, des guides d'ondes métalliques creux ou des fibres optiques.

1. Absence d'onde réfléchie pour z > 0 :
Les décodeurs D et D' placés aux extrémités des deux câbles situés en z > 0 sont adaptés à leur ligne respective : leur impédance de charge vaut \bar{Z}_e = Z_0. D'après la question 11, le coefficient de réflexion à l'extrémité de chaque câble est nul :

Aucune onde réfléchie n'est donc générée aux récepteurs. Comme ces lignes sont homogènes, il ne s'y propage que des ondes progressives dans le sens des z croissants : il n'y a pas d'onde réfléchie dans le domaine z > 0.

2. Existence et amplitude d'une onde réfléchie pour z < 0 :
Chacun des deux câbles en z > 0 se comporte, en l'absence d'onde réfléchie, comme une impédance d'entrée égale à son impédance caractéristique Z_0. La mise en dérivation des deux lignes en z = 0 présente donc une impédance équivalente :

Comme \bar{Z}_{\text{eq}} \neq Z_0, il y a rupture d'impédance caractéristique en z = 0 : une onde réfléchie apparaît nécessairement dans la ligne incidente (z < 0).

Exprimons les conditions de raccordement en z = 0 en notation complexe :

• Continuité de la tension : \bar{u}(0^-, t) = \bar{u}(0^+, t), soit :

  \bar{U}_0 + \bar{U}_r = \bar{U}'_0

• Loi des nœuds pour le courant (les deux câbles dérivés absorbent chacun le même courant transmis \bar{i}_t) : \bar{i}(0^-, t) = 2\,\bar{i}_t(0^+, t). En utilisant les relations entre courants et tensions issues de la question 10 :

  \frac{\bar{U}_0 - \bar{U}_r}{Z_0} = 2\,\frac{\bar{U}'_0}{Z_0} \iff \bar{U}_0 - \bar{U}_r = 2\,\bar{U}'_0

En éliminant \bar{U}'_0, on obtient :

soit une amplitude complexe réfléchie :

L'onde réfléchie dans le câble d'amenée (z < 0) a pour expression temporelle :

L'amplitude (positive par définition) de l'onde réfléchie vaut donc :

Analysons les deux grandeurs selon l'endroit où la mesure est effectuée :

1. Au niveau du récepteur D (dans la zone z > 0) :

   • Le décodeur D étant parfaitement adapté à la ligne (\bar{Z}_D = Z_0), aucune onde ne se réfléchit en son entrée. L'onde se propageant dans le câble vers D est donc strictement progressive (d'après la question 14) :

     U_s = 0 \implies \rho = \frac{U_s}{U_p} = 0

     Une mesure de \rho au niveau du détecteur D donne \rho = 0 et ne permet donc pas de déceler la présence de la dérivation clandestine.

   • En revanche, l'amplitude de la tension transmise vaut (question 14) :

     U'_0 = \frac{2}{3}\,U_0

     La puissance reçue par le décodeur D est alors :

     \mathcal{P}' = \frac{{U'_0}^2}{2 Z_0} = \frac{4}{9}\,\mathcal{P}_0 \approx 0{,}44\,\mathcal{P}_0

     ce qui correspond à une atténuation de :

     A = -10 \log_{10}\left(\frac{4}{9}\right) \approx 3{,}5\text{ dB}

     Si la puissance nominale fournie par l'antenne est connue, cette chute de tension de plus de 33\,\% (et de plus de moitié en puissance) est directement détectable par une mesure de l'atténuation.

2. En amont du raccordement (dans la zone z < 0, côté antenne P) :

   • Le raccordement crée une discontinuité d'impédance équivalente à \bar{Z}_{\text{eq}} = Z_0/2. Le coefficient de réflexion en tension vaut \underline{r} = -1/3, soit |\underline{r}| = 1/3.

   • D'après le résultat de la question 11, le coefficient \rho dans la portion z < 0 vaut :

     \rho = \frac{2|\underline{r}|}{1 - |\underline{r}|} = \frac{2/3}{1 - 1/3} = 1

     Une mesure de \rho (ou du rapport d'ondes stationnaires) effectuée sur la ligne principale en amont de la soudure permettrait donc immédiatement de détecter le piratage.

Le récepteur R se situe au niveau du sol (OR = R_T), tandis que l'émetteur E est à l'altitude h (OE = R_T + h). En l'absence de diffraction et de réfraction atmosphérique, la propagation des ondes radio en ligne droite n'est possible que si la ligne de visée (ER) n'est pas occultée par le globe terrestre.

La configuration limite de portée maximale correspond au cas où le rayon rectiligne (ER) est tangent à la surface de la Terre. Comme le récepteur R est situé au sol, le point de tangence est nécessairement le point R.

Dans le triangle ORE, rectangle en R :

L'altitude h = 180\text{ m} étant négligeable devant le rayon terrestre R_T = 6\,400\text{ km} (h/R_T \approx 3\times 10^{-5} \ll 1), on obtient :

Application numérique :

Conclusion : La distance transatlantique entre l'Angleterre et le Canada (d \approx 3\,500\text{ km}) est très largement supérieure à la portée en visibilité directe (d_{\max} = 48\text{ km}). La courbure de la Terre interdit donc toute liaison directe en ligne droite : le succès de l'expérience de Marconi s'explique nécessairement par des réflexions sur la haute atmosphère (les échos ionosphériques).

Dans la basse atmosphère assimilée au vide, la relation de dispersion d'une onde électromagnétique plane progressive monochromatique s'écrit :

D'après la figure 5, l'onde se propage dans le plan (xOz), vers les x croissants et les z croissants (en direction de l'ionosphère située en z \geqslant H). La direction de propagation fait un angle \theta avec l'axe vertical (Oz), ce qui donne pour le vecteur d'onde :

Pour un point repéré par \vec{r} = x\,\vec{e}_x + y\,\vec{e}_y + z\,\vec{e}_z, la phase spatiale s'écrit :

L'onde est polarisée rectilignement selon l'axe (Oy), d'amplitude réelle E_0, et la phase à l'origine O (x=0, y=0, z=0) à l'instant t=0 est choisie nulle. En adoptant la convention temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, la représentation complexe du champ électrique incident s'écrit :

À l'interface z = H, la continuité du champ électromagnétique doit être vérifiée pour tout instant t et pour toutes les coordonnées transverses x et y.

• L'invariance par translation dans le temps impose l'égalité des fréquences temporelles entre l'onde incidente et l'onde transmise :

  \boxed{\omega' = \omega}

• L'invariance par translation spatiale selon les directions \vec{e}_x et \vec{e}_y, parallèles au plan de l'interface, impose la conservation de la composante tangentielle du vecteur d'onde (loi de Snell-Descartes pour la réfraction) :

  \begin{aligned} k'_x &= k_x \\ k'_y &= k_y \end{aligned}

D'après le résultat de la question Q17, le vecteur d'onde incident s'écrit :

d'où k_x = \frac{\omega}{c}\sin\theta et k_y = 0. On en déduit immédiatement :

D'après l'équation de dispersion dans le plasma fournie par l'énoncé :

En utilisant les résultats de la question Q18 (\omega' = \omega, k_x' = \frac{\omega}{c}\sin\theta et k_y' = 0), il vient :

En isolant k_z'^2, on obtient :

soit :

L'onde transmise dans le plasma a pour dépendance spatio-temporelle :

• Si k_z'^2 > 0, la composante k_z' est réelle : l'onde se propage dans le plasma le long de l'axe vertical (Oz).
• Si k_z'^2 < 0, la composante k_z' est imaginaire pure. En choisissant la solution physiquement admissible pour z > H (amplitude qui reste bornée lorsque z \to +\infty), on a k_z' = -\mathrm{i}\kappa_z avec \kappa_z = \frac{\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2\cos^2\theta}}{c} > 0. Le facteur de propagation devient \mathrm{e}^{-\kappa_z z} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - k_x' x)} : l'onde est alors purement évanescente dans la direction z et ne transporte aucune énergie vers les altitudes élevées du plasma.

La condition de non-propagation dans le plasma s'écrit ainsi :

La pulsation limite de coupure en incidence oblique s'identifie donc à :

Dans le cadre de l'approximation d'une Terre plane, le trajet de l'onde pour un écho simple (un seul rebond sur l'ionosphère) est symétrique. Le point de réflexion sur l'ionosphère, située à l'altitude H, se trouve à mi-distance entre l'émetteur et le récepteur, soit à une distance horizontale d/2.

L'angle \theta étant repéré par rapport à la normale verticale (Oz), la trigonométrie du triangle rectangle donne :

On en déduit l'expression de \cos\theta :

Avec d \sim 3\,500\text{ km} et H \sim 175\text{ km}, il vient :

D'où :

D'après le résultat de la question Q19, la pulsation limite s'écrit \omega_\ell = \omega_p / \cos\theta, soit en fréquence :

Avec f_p \sim 1\text{ MHz} :

Conclusion : Pour toute fréquence f < f_\ell \approx 10\text{ MHz}, l'onde ne peut pas se propager dans le plasma ionosphérique (k_z'^2 < 0) et subit une réflexion totale. Ce phénomène de « miroir ionosphérique » permet de guider l'onde autour du globe et d'établir une liaison transatlantique (d \sim 3\,500\text{ km}), surmontant ainsi largement la limite de visibilité directe (d_{\max} \approx 48\text{ km}, Q16) imposée par la rotondité de la Terre.

On étudie le mouvement d'un électron (masse m_e, charge q = -e) dans le référentiel d'étude supposé galiléen. L'électron est soumis à la force de Lorentz et à la pesanteur :

Les simplifications suivantes sont justifiées :

• Poids négligeable : pour des amplitudes usuelles de champ électrique, eE \gg m_e g, la pesanteur est donc totalement négligée.
• Absence de collisions : l'ionosphère étant un plasma « peu dense », le temps moyen entre collisions est grand devant la période 2\pi/\omega de l'onde ; on néglige tout terme de frottement fluide.
• Cadre non relativiste : les électrons ont une vitesse v \ll c. Pour l'onde électromagnétique, B \sim E/c, d'où \|\vec{v}\wedge\vec{B}\| \sim (v/c)E \ll E : la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant la composante électrique.
• Linéarisation : l'accélération convective (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v k v \sim (v/c)\omega v est d'ordre 2 par rapport aux petites perturbations et négligeable devant l'accélération locale \partial\vec{v}/\partial t \sim \omega v. On a donc \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \approx \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}.

L'équation du mouvement se simplifie ainsi en :

En notation complexe avec la convention \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, l'opérateur \frac{\partial}{\partial t} devient \mathrm{i}\omega, d'où :

Les ions étant très massifs devant les électrons, ils sont considérés comme immobiles (\vec{v}_{\text{ion}} \approx \vec{0}). La densité de courant est donc uniquement due au déplacement des électrons de densité particulaire n :

Par identification avec \bar{\vec{J}} = \bar{\gamma}(\omega)\bar{\vec{E}}, on obtient :

• Nom : la grandeur \bar{\gamma}(\omega) est la conductivité électrique complexe du plasma (loi d'Ohm locale généralisée).
• Dimension : \bar{\gamma}(\omega) a la dimension d'une conductivité électrique, dont l'unité SI est le siemens par mètre (\mathrm{S}\cdot\mathrm{m}^{-1} ou \Omega^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1}). En unités de base du SI, [\bar{\gamma}] = \mathrm{M}^{-1}\cdot\mathrm{L}^{-3}\cdot\mathrm{T}^{3}\cdot\mathrm{I}^{2} (\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{s}^3\cdot\mathrm{A}^2).

Dans le plasma, la neutralité électrique macroscopique impose \rho = 0. Les équations de Maxwell s'écrivent :

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta \vec{E} :

Soit l'équation aux dérivées partielles :

Pour une onde plane progressive monochromatique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}', le champ électrique s'écrit \vec{E} = \vec{E}_0' \exp\left[\mathrm{i}\left(\omega t - \vec{k}'\cdot\vec{r}\right)\right]. Les opérateurs différentiels se traduisent par :

En utilisant l'expression de la densité volumique de courant obtenue à la question Q21, \vec{J} = \bar{\gamma}(\omega)\vec{E} = -\mathrm{i}\frac{n e^2}{m_e \omega}\vec{E}, la dérivée temporelle de \vec{J} vaut :

En injectant ces relations dans l'équation d'onde, on obtient :

Pour une onde non nulle (\vec{E} \neq \vec{0}), cette équation conduit à :

On retrouve bien l'équation de dispersion (ED) annoncée \omega^2 = \omega_p^2 + c^2 \vec{k}'^{\,2}, avec la pulsation propre du plasma (ou pulsation plasma) :

La puissance volumique moyenne cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge (puissance dissipée par effet Joule) s'écrit en notation complexe :

D'après la question Q21, la conductivité complexe du plasma sans collisions s'écrit :

Sa partie réelle étant strictement nulle, on en déduit :

La puissance moyenne dissipée dans le plasma est rigoureusement nulle : le courant d'électrons oscille en quadrature de phase avec le champ électrique, échangeant réactivement de l'énergie cinétique sans dégradation thermique.

Dans le cas d'un écho ionosphérique, la pulsation vérifie \omega < \omega_\ell (question Q19). La composante k'_z est imaginaire pure (k'_z = -\mathrm{i}\kappa) : l'onde transmise est purement évanescente. Le flux moyen du vecteur de Poynting selon z dans le plasma est donc nul (\langle \vec{\Pi}' \rangle \cdot \vec{e}_z = 0).

En l'absence de dissipation dans le milieu et d'évacuation d'énergie vers l'espace (z \to +\infty), le bilan énergétique global impose que le facteur de réflexion énergétique soit égal à l'unité :

La puissance électromagnétique incidente est ainsi intégralement réfléchie vers la Terre : il y a réflexion totale.

Ordre de grandeur des fréquences actuelles : Les bandes de fréquences couramment utilisées pour la radiodiffusion et la télévision sont :

• la radio FM (bande VHF) : de l'ordre de 100\text{ MHz} (typiquement 87{,}5 - 108\text{ MHz}) ;
• la télévision numérique terrestre (bande UHF) : de l'ordre de 500 à 800\text{ MHz} ;
• la télévision par satellite et les liaisons sans fil modernes (bandes SHF) : de quelques gigahertz à une dizaine de gigahertz (1 à 12\text{ GHz}).

Ces signaux se situent donc globalement dans une plage de 100\text{ MHz} à 10\text{ GHz}, satisfaisant bien la condition \omega \gg \omega_p (avec f_p \sim 1\text{ MHz}).

Avantages d'une transmission à haute fréquence :

• Débit d'information élevé : la bande passante disponible \Delta f est d'autant plus large que la fréquence de la porteuse f est élevée, ce qui permet de transmettre des volumes de données considérables (son haute fidélité, flux vidéo haute définition).
• Compacité et directivité des antennes : les dimensions optimales d'une antenne sont proportionnelles à la longueur d'onde (\lambda \sim c/f). Une fréquence élevée correspond à des longueurs d'onde décimétriques ou centimétriques, ce qui autorise des antennes compactes (intégrables dans les appareils portables) ou des réflecteurs directifs (antennes paraboliques).
• Traversée de l'ionosphère : à ces pulsations (\omega > \omega_\ell), l'ionosphère est transparente (k'_z \in \mathbb{R}), ce qui rend possibles les télécommunications satellitaires et spatiales.

Inconvénients d'une transmission à haute fréquence :

• Portée terrestre limitée en visibilité directe : en l'absence de réflexion ionosphérique, la propagation terrestre ne peut plus contourner la courbure terrestre ; la portée est restreinte à la visibilité directe, imposant un réseau dense de pylônes relais ou l'usage de satellites géostationnaires.
• Sensibilité aux obstacles et atténuation : les phénomènes de diffraction sont beaucoup moins efficaces à courte longueur d'onde (création de zones d'ombre nettes derrière les obstacles et le relief), et l'absorption atmosphérique (vapeur d'eau, précipitations) augmente sensiblement au-delà de quelques gigahertz.