Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q25

   Le conducteur ohmique est assimilable d'un point de vue électrique et magnétique au vide (\varepsilon = \varepsilon_0 et \mu = \mu_0), est électriquement neutre (\rho = 0) et présente une conductivité électrique notée \gamma.

   • Loi d'Ohm locale :

     \boxed{\vec{\jmath} = \gamma \vec{E}}

   • Équations de Maxwell au sein du conducteur :

     \begin{aligned} \text{Maxwell-Gauss (MG) :} \quad & \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0 \\ \text{Maxwell-Thomson (MT) :} \quad & \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 \\ \text{Maxwell-Faraday (MF) :} \quad & \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \text{Maxwell-Ampère (MA) :} \quad & \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

   On regroupe les équations de Maxwell sous forme encadrée :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0, \quad \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

   Résultat

   $$\vec{ȷ}=\gamma \vec{E}$$

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0,\mathrm{div}\vec{B}=0,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\vec{ȷ}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q26

   Dans le conducteur ohmique, la densité volumique de courant total intervenant dans l'équation de Maxwell-Ampère se compose du courant de conduction \vec{\jmath}_{\mathrm{c}} = \gamma \vec{E} et du courant de déplacement \vec{\jmath}_{\mathrm{d}} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

   En régime sinusoïdal de pulsation \omega = 2\pi f, les amplitudes respectives de ces deux composantes vérifient :

   \begin{aligned} \|\vec{\jmath}_{\mathrm{c}}\| &= \gamma \|\vec{E}\| \\ \|\vec{\jmath}_{\mathrm{d}}\| &= \varepsilon_0 \omega \|\vec{E}\| \end{aligned}

   Le rapport des normes s'écrit donc :

   \frac{\|\vec{\jmath}_{\mathrm{d}}\|}{\|\vec{\jmath}_{\mathrm{c}}\|} = \frac{\varepsilon_0 \omega}{\gamma} = \frac{2\pi \varepsilon_0 f}{\gamma} = 2\pi \varepsilon_0 \rho \, f

   D'après les données de l'énoncé, la résistivité des métaux usuels (argent, cuivre, aluminium) est de l'ordre de \rho \sim 2 \cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m} (soit une conductivité \gamma \sim 5 \cdot 10^7\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1}), et la fréquence vérifie f \le 10\text{ GHz} = 10^{10}\text{ Hz}. On obtient numériquement :

   \frac{\|\vec{\jmath}_{\mathrm{d}}\|}{\|\vec{\jmath}_{\mathrm{c}}\|} \le \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \times 2\pi \times 10^{10}}{5 \cdot 10^7} \approx \frac{5{,}6 \cdot 10^{-1}}{5 \cdot 10^7} \approx 10^{-8} \ll 1

   Le courant de déplacement est donc tout à fait négligeable devant le courant de conduction sur toute la gamme de fréquences considérée.

   L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie alors selon :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} = \mu_0 \gamma \vec{E}}

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\vec{ȷ}={\mu }_0\gamma \vec{E}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q27

   D'après l'identité vectorielle fournie dans les données :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\mathrm{div}\,\vec{E}\right) - \Delta\vec{E}

   Le conducteur ohmique étant supposé électriquement neutre en tout point (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\Delta\vec{E}

   Par ailleurs, en utilisant la loi de Maxwell-Faraday \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} et en permutant les dérivées spatiale et temporelle :

   \begin{aligned} \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) &= \vec{\mathrm{rot}}\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}\right) \end{aligned}

   En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée établie à la question Q26, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \gamma \vec{E}, il vient :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\mu_0 \gamma \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

   En égalant les deux expressions obtenues :

   -\Delta\vec{E} = -\mu_0 \gamma \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \iff \Delta\vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}

   Le champ électrique \vec{E} vérifie donc bien une équation de la forme \Delta\vec{X} - \alpha\frac{\partial\vec{X}}{\partial t} = \vec{0} avec \vec{X} = \vec{E} et :

   \boxed{\alpha = \mu_0 \gamma}

   Résultat

   $$\alpha ={\mu }_0\gamma$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q11

   On étudie le mouvement d'un électron (charge q = -e, masse m_e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Selon les hypothèses de l'énoncé :

   • les interactions entre particules sont négligées (pas de terme de frottement collisionnel) ;
   • la force magnétique est négligée devant la force électrique : \vec{F}_L \approx -e \vec{E}.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron s'écrit :

   m_e \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E}

   En régime sinusoïdal établi, avec la convention \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{\vec{E}}_0 \mathrm{e}^{i(\omega t - kx)}, la dérivation temporelle correspond à une multiplication par i\omega. En notation complexe :

   \begin{aligned} i m_e \omega \, \underline{\vec{v}} &= -e \underline{\vec{E}} \\ \underline{\vec{v}} &= -\frac{e}{i m_e \omega} \underline{\vec{E}} = \frac{ie}{m_e \omega} \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   Les ions étant immobiles, seuls les électrons libres (densité particulaire n) contribuent au transport de charge. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit donc :

   \underline{\vec{j}} = n(-e)\underline{\vec{v}} = -n e \left(-\frac{e}{i m_e \omega} \underline{\vec{E}}\right) = \frac{n e^2}{i m_e \omega}\underline{\vec{E}}

   On en déduit la relation de type loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma} \underline{\vec{E}} avec :

   \boxed{\underline{\gamma} = \frac{n e^2}{i m_e \omega} = -i \frac{n e^2}{m_e \omega}}

   Résultat

   $$\underline{\gamma }=\frac{n{e}^2}{i{m}_e\omega }=-i\frac{n{e}^2}{m_e\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q13

   Partons de l'équation de Maxwell-Faraday (établie à la question Q12) et prenons son rotationnel :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})

   En utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta \vec{E} et la neutralité locale du plasma (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0), le membre de gauche se réduit à :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = -\Delta \vec{E}

   En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le membre de droite :

   -\Delta \vec{E} = -\mu_0 \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   Soit, en utilisant la relation c^2 = \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} :

   \Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \mu_0 \frac{\partial \vec{j}}{\partial t}

   Passons en notation complexe pour l'onde plane progressive \underline{\vec{E}}(x, t) = \underline{E}_0 e^{i(\omega t - k x)} \vec{u}_y :

   \begin{aligned} \Delta \underline{\vec{E}} &= \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} = (-i k)^2 \underline{\vec{E}} = -k^2 \underline{\vec{E}} \\ \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} &= (i\omega)^2 \underline{\vec{E}} = -\omega^2 \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   D'après la loi d'Ohm locale obtenue à la question Q11, \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma} \underline{\vec{E}} = \frac{n e^2}{i m_e \omega} \underline{\vec{E}}, le terme de source temporelle vaut :

   \mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{j}}}{\partial t} = \mu_0 (i \omega) \underline{\vec{j}} = \mu_0 (i \omega) \left(\frac{n e^2}{i m_e \omega} \underline{\vec{E}}\right) = \frac{\mu_0 n e^2}{m_e} \underline{\vec{E}}

   L'équation de propagation devient alors :

   -k^2 \underline{\vec{E}} + \frac{\omega^2}{c^2}\underline{\vec{E}} = \frac{\mu_0 n e^2}{m_e}\underline{\vec{E}}

   En divisant par \underline{\vec{E}} non nul et en remarquant que \mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}, il vient :

   k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{n e^2}{\epsilon_0 m_e c^2}

   On définit la pulsation plasma \omega_P par :

   \boxed{\omega_P = \sqrt{\frac{n e^2}{\epsilon_0 m_e}}}

   La relation de dispersion liant le nombre d'onde k à la pulsation \omega s'écrit donc :

   \boxed{\omega^2 = \omega_P^2 + k^2 c^2} \quad \text{ou encore} \quad \boxed{k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_P^2}{c^2}}

   Résultat

   $${\omega }_P=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{ϵ}_0{m}_e}}$$

   $${\omega }^2={\omega }_P^2+k^2{c}^2$$

   $$k^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_P^2}{c^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique PSI 2025, Q2

   On étudie le mouvement d'un électron de conduction, de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   L'électron est soumis à :

   • la force électrique : \vec{F}_e = -e\,\vec{E} ;
   • la force de frottement visqueux modélisant l'effet des collisions sur le réseau : \vec{f}_{\mathrm{v}} = -\frac{m}{\tau}\,\vec{v} ;
   • la force de pesanteur, négligée conformément aux consignes.

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron :

   m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\,\vec{E} - \frac{m}{\tau}\,\vec{v}

   En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la vitesse :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\vec{v}}{\tau} = -\frac{e}{m}\,\vec{E}}

   En régime permanent, la vitesse moyenne de dérive devient constante, soit \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}. L'équation précédente donne alors :

   \vec{v} = -\frac{e\tau}{m}\,\vec{E}

   La vitesse \vec{v} et le champ électrique \vec{E} sont donc colinéaires et de sens opposés. En introduisant la mobilité \mu définie comme un coefficient de proportionnalité positif tel que \vec{v} = -\mu\,\vec{E}, il vient :

   \boxed{\mu = \frac{e\tau}{m}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}+\frac{\vec{v}}{\tau }=-\frac{e}{m}\vec{E}$$

   $$\mu =\frac{e\tau }{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique PSI 2025, Q3

   Les porteurs de charge responsables de la conduction sont les électrons libres, de densité volumique n, de charge -e et de vitesse d'ensemble \vec{v}. Le vecteur densité volumique de courant s'écrit donc :

   \vec{j} = -n e \vec{v}.

   En utilisant la relation entre vitesse d'entraînement et champ électrique établie à la question 2, \vec{v} = -\frac{e\tau}{m}\vec{E}, il vient :

   \begin{aligned} \vec{j} &= -n e \left(-\frac{e\tau}{m}\vec{E}\right) \\ &= \frac{n e^2 \tau}{m}\vec{E}. \end{aligned}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime permanent \vec{j} = \gamma_0 \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité statique (formule de Drude) :

   \boxed{\gamma_0 = \frac{n e^2 \tau}{m}}

   Résultat

   $${\gamma }_0=\frac{n{e}^2\tau }{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique PSI 2025, Q5

   D'après la question 2, le mouvement d'un électron de conduction soumis à un champ électrique \vec{E}(t) est régi par l'équation différentielle :

   \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\vec{v}}{\tau} = -\frac{e}{m}\,\vec{E}

   En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, avec la convention de dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les grandeurs vectorielles sont associées à des amplitudes complexes telles que :

   \vec{v}(t) = \underline{\vec{v}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \quad \text{et} \quad \vec{E}(t) = \underline{\vec{E}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}

   L'opérateur de dérivation temporelle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega. L'équation du mouvement devient :

   \left(\mathrm{i}\omega + \frac{1}{\tau}\right)\underline{\vec{v}} = -\frac{e}{m}\,\underline{\vec{E}}

   soit :

   \underline{\vec{v}} = -\frac{e\tau}{m(1 + \mathrm{i}\omega\tau)}\,\underline{\vec{E}}

   Le vecteur densité volumique de courant s'écrit \underline{\vec{j}} = -n e\,\underline{\vec{v}}, d'où :

   \underline{\vec{j}} = \frac{n e^2 \tau}{m(1 + \mathrm{i}\omega\tau)}\,\underline{\vec{E}}

   En identifiant avec la loi d'Ohm locale en régime harmonique, \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}(\omega)\,\underline{\vec{E}}, et en utilisant l'expression de la conductivité statique \gamma_0 = \frac{n e^2 \tau}{m} établie à la question 3, on retrouve :

   \boxed{\underline{\gamma}(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \mathrm{i}\omega\tau}}

   Résultat

   $$\underline{\gamma }(\omega )=\frac{{\gamma }_0}{1+\mathrm{i}\omega \tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q19

   Dans l'eau de mer modélisée par un conducteur ohmique de permittivité \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0, de perméabilité \mu_0 et de conductivité \gamma, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

   \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \left( \vec{\jmath} + \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)

   On y identifie :

   • la densité volumique de courant de conduction : \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} (d'après la loi d'Ohm locale vue en Q16) ;
   • la densité volumique de courant de déplacement : \vec{\jmath}_D = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

   En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en notation complexe où \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow \mathrm{i}\omega, les amplitudes complexes de ces densités de courant s'écrivent :

   \underline{\vec{\jmath}} = \gamma \underline{\vec{E}} \quad \text{et} \quad \underline{\vec{\jmath}}_D = \mathrm{i}\omega\epsilon \underline{\vec{E}}

   Les amplitudes de ces deux densités de courant sont donc :

   j = \gamma \|\underline{\vec{E}}\| \quad \text{et} \quad j_D = \omega\epsilon \|\underline{\vec{E}}\|

   Le courant de déplacement devient supérieur au courant de conduction dès lors que j_D > j, soit :

   \omega\epsilon > \gamma \iff \omega > \omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon} = \frac{\gamma}{\epsilon_r \epsilon_0} = \frac{1}{\tau}

   où \tau est le temps de relaxation diélectrique introduit en Q17.

   \boxed{\omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon_r \epsilon_0} = \frac{1}{\tau}}

   Application numérique : Avec \gamma = 5\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}, \epsilon_r = 75 et \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} (ou à partir de \tau \approx 1{,}33 \times 10^{-10}\text{ s} déterminé en Q18) :

   \omega_c = \frac{5}{75 \times 8{,}85 \times 10^{-12}} \approx 7{,}5 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   ce qui correspond à une fréquence caractéristique f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 1{,}2\text{ GHz}.

   Résultat

   $${\omega }_c=\frac{\gamma }{{ϵ}_r{ϵ}_0}=\frac{1}{\tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q20

    Sous la condition \omega \ll \omega_c, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction (établi à la question Q19). L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

    \vec{\operatorname{rot}} \vec{B} \approx \mu_0 \vec{\jmath} = \mu_0 \gamma \vec{E}

    Par ailleurs :

    • D'après l'équation de Maxwell-Gauss et la neutralité volumique locale (\rho = 0, établie à la question Q18) :

      \operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon} = 0

    • L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

      \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

    En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle du formulaire :

    \begin{aligned} \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{E}) &= \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div} \vec{E}) - \Delta \vec{E} = -\Delta \vec{E} \\ \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{E}) &= -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 \gamma \vec{E}) = -\mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

    On en déduit l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique :

    \boxed{\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

    Il s'agit d'une équation de diffusion (ou équation de type chaleur vectorielle), avec un coefficient de diffusion magnétique D_m = \frac{1}{\mu_0 \gamma}.

    Résultat

    $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question