Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2025

L'œil et l'appareil photographique sont tous deux des systèmes optiques d'imagerie associant un objectif convergent, un limiteur de flux lumineux et une surface sensible où se forme l'image nette de l'objet observé.

On peut dresser les analogies suivantes :

Un œil emmétrope au repos n'accommode pas pour observer un objet situé à l'infini (\overline{OA} \to -\infty). L'image nette se forme alors sur la rétine, située à une distance d = 17\text{ mm} du centre optique de la lentille :

D'après la formule de conjugaison avec origine au centre (rappelée en annexe 1) :

Lorsque \overline{OA} \to -\infty, le foyer image F' coïncide avec la rétine, soit f' = d. La vergence V de l'œil au repos vaut donc :

Application numérique :

• Modification de la forme du cristallin lors de l'accommodation :
  Sous l'action de la contraction des muscles ciliaires, le cristallin se déforme en augmentant sa courbure (ses faces deviennent plus bombées). Son rayon de courbure diminue, ce qui augmente sa vergence afin de focaliser les rayons issus d'objets proches sur la rétine.
• Nom du point le plus proche :
  Le point le plus proche qu'un œil peut voir net en accommodant au maximum est appelé le punctum proximum (noté PP).

• Calcul de la vergence correspondante :
  L'objet se situe au punctum proximum, soit en mesure algébrique :

  \overline{OA} = -25\text{ cm} = -0{,}25\text{ m}

  L'image doit se former sur la rétine située à la distance d = 17\text{ mm}, soit :

  \overline{OA'} = +17\text{ mm} = 17 \times 10^{-3}\text{ m}

  D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre (rappelée en annexe 1) :

  \begin{aligned} V_{\text{acc}} &= \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} \\ &= \frac{1}{17 \times 10^{-3}} - \frac{1}{-0{,}25} \\ &= \frac{1000}{17} + 4{,}0 \approx 58{,}8 + 4{,}0 \end{aligned}

  On obtient :

  \boxed{V_{\text{acc}} \approx 63\text{ }\delta \quad (\text{ou } 62{,}8\text{ }\delta)}

Le punctum remotum (R) est le point le plus éloigné qu'un œil peut voir nettement sans accommoder. Pour l'œil myope étudié, il est situé à une distance finie en avant de l'œil :

En assimilant la lentille correctrice L_c (de centre O_c) à une lentille mince accolée à l'œil (O_c \approx O_{\text{œil}}), celle-ci doit former d'un objet situé à l'infini (A \to -\infty) une image virtuelle A' située au punctum remotum R de l'œil afin que l'œil n'ait pas à accommoder :

où F'_c est le foyer principal image de la lentille correctrice. La distance focale image de la lentille correctrice est donc :

La vergence de la lentille correctrice vaut ainsi :

Il s'agit bien d'une lentille divergente (V_c < 0), caractéristique de la correction de la myopie.

Marche des rayons lumineux :

• Des rayons incidents parallèles à l'axe optique (provenant d'un point objet à l'infini sur l'axe) émergent de la lentille divergente L_c en semblant provenir de son foyer image F'_c = R.
• Ces rayons divergents incidents sur l'œil au repos semblent être émis par son punctum remotum : ils sont donc focalisés exactement sur la rétine (l'écran).

Chaque cône occupe sur la rétine une surface moyenne S \approx \frac{1}{\sigma}. En modélisant la répartition des récepteurs par un pavage régulier, la distance moyenne a entre deux cônes voisins s'estime par :

Avec \sigma = 2{,}0 \cdot 10^5\text{ cellules}\cdot\text{mm}^{-2} = 2{,}0 \cdot 10^{11}\text{ m}^{-2} :

Deux points situés à l'infini et séparés d'un angle \alpha forment sur l'écran rétinien deux images ponctuelles séparées d'une distance :

où d = 17\text{ mm} est la distance lentille-écran (distance focale de l'œil au repos).

Si la résolution est limitée par la distance entre deux cônes voisins, la séparation minimale détectable correspond à \Delta y \approx a, d'où :

Application numérique :

La pupille joue le rôle d'un diaphragme d'ouverture circulaire de diamètre D. En conditions de vision diurne (conditions photopiques), ce diamètre est typiquement de :

Pour une onde lumineuse au centre du spectre visible, on prend :

La diffraction à travers une ouverture circulaire de diamètre D produit à l'infini une figure de diffraction (tache d'Airy) dont le premier anneau sombre est atteint pour un demi-angle d'ouverture donné par le critère de Rayleigh :

En application numérique :

(ou \theta_{\text{diff}} \approx 3{,}4 \cdot 10^{-4}\text{ rad} si l'on prend D = 2\text{ mm}).

D'après la question Q5, le pouvoir séparateur imposé par l'espacement des cônes sur la rétine est :

On constate que \theta_{\text{diff}} et \alpha sont du même ordre de grandeur :

L'onde se propage dans le vide selon +\vec{u}_x et est polarisée linéairement selon \vec{u}_y. En choisissant l'origine des phases nulle, le champ électrique s'écrit en coordonnées réelles :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide (ou la relation de structure d'une onde plane progressive sinusoïdale), le champ magnétique est transverse et vérifie :

Comme \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z, il vient directement :

Le vecteur de Poynting instantané est défini par :

En utilisant la relation liant la célérité de la lumière dans le vide à ses constantes diélectrique et magnétique, \mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}, on obtient :

Puisque \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x, on aboutit à :

En moyenne temporelle sur une période optique, sachant que \langle \cos^2(\omega t - k x) \rangle = \frac{1}{2}, la densité surfacique moyenne de puissance vaut :

L'intensité de l'onde électromagnétique (puissance moyenne par unité de surface) correspond à la norme du vecteur de Poynting moyen déterminé à la question précédente :

Pendant la durée \tau d'une impulsion, l'énergie transportée à travers la section droite S du faisceau dans la zone de focalisation (de diamètre d, soit une section S = \frac{\pi d^2}{4}) s'écrit :

On en déduit l'expression de l'amplitude E_0 du champ électrique en fonction de l'énergie de l'impulsion :

En introduisant le diamètre d de la zone de focalisation (S = \frac{\pi d^2}{4}), cette relation devient :

Le noyau de l'atome d'hydrogène est constitué d'un proton portant une charge ponctuelle +e.

D'après la loi de Coulomb en électrostatique, le champ électrique créé par ce noyau à une distance r_{\mathrm{H}} correspondant à l'orbite de l'électron s'écrit vectoriellement :

où \vec{u}_r est le vecteur unitaire radial dirigé du noyau vers l'électron.

L'amplitude (ou norme) de ce champ électrique intra-atomique vaut ainsi :

D'après la question Q9, le champ coulombien créé par le proton sur l'électron à la distance r_{\mathrm{H}} vaut en norme :

Avec les valeurs numériques fournies en annexe 1 :

• e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• \epsilon_0 = 9 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• r_{\mathrm{H}} = 0{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m}.

Le calcul donne :

Soit un ordre de grandeur de :

D'après la question Q8, l'amplitude du champ électrique de l'onde laser vaut :

Avec les données numériques de l'annexe 1 :

• E_{\text{imp}} = 4{,}0\text{ }\mu\text{J} = 4{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ J} ;
• \tau = 2\text{ fs} = 2 \cdot 10^{-15}\text{ s} ;
• d = 1{,}0\text{ }\mu\text{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ m} ;
• c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \epsilon_0 = 9 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}.

Le dénominateur s'évalue selon :

D'où l'amplitude du champ laser :

Soit :

Comparaison et conclusion :

L'amplitude du champ électrique de l'impulsion laser est supérieure au champ intra-atomique liant l'électron au noyau (ils sont tous deux de l'ordre de 10^{12}\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}).

La force exercée par l'onde électromagnétique sur les électrons est donc suffisante pour déformer fortement la barrière coulombienne du noyau (voire la supprimer), ce qui permet d'arracher les électrons périphériques : le champ électrique permet sans ambiguïté d'effectuer l'ionisation des atomes (claquage optique).

On étudie le mouvement d'un électron (charge q = -e, masse m_e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Selon les hypothèses de l'énoncé :

• les interactions entre particules sont négligées (pas de terme de frottement collisionnel) ;
• la force magnétique est négligée devant la force électrique : \vec{F}_L \approx -e \vec{E}.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron s'écrit :

En régime sinusoïdal établi, avec la convention \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{\vec{E}}_0 \mathrm{e}^{i(\omega t - kx)}, la dérivation temporelle correspond à une multiplication par i\omega. En notation complexe :

Les ions étant immobiles, seuls les électrons libres (densité particulaire n) contribuent au transport de charge. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit donc :

On en déduit la relation de type loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma} \underline{\vec{E}} avec :

Dans le modèle du plasma dilué, le milieu est assimilé au vide comportant des charges libres (les électrons) et des ions positifs supposés immobiles. D'après les hypothèses de l'énoncé, le plasma est localement neutre, soit une densité volumique de charge macroscopique nulle :

Le mouvement des électrons libres sous l'action du champ électrique engendre un vecteur densité volumique de courant \vec{j}.

Les équations de Maxwell sous forme locale dans le plasma s'écrivent ainsi :

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday (établie à la question Q12) et prenons son rotationnel :

En utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta \vec{E} et la neutralité locale du plasma (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0), le membre de gauche se réduit à :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le membre de droite :

Soit, en utilisant la relation c^2 = \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} :

Passons en notation complexe pour l'onde plane progressive \underline{\vec{E}}(x, t) = \underline{E}_0 e^{i(\omega t - k x)} \vec{u}_y :

D'après la loi d'Ohm locale obtenue à la question Q11, \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma} \underline{\vec{E}} = \frac{n e^2}{i m_e \omega} \underline{\vec{E}}, le terme de source temporelle vaut :

L'équation de propagation devient alors :

En divisant par \underline{\vec{E}} non nul et en remarquant que \mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}, il vient :

On définit la pulsation plasma \omega_P par :

La relation de dispersion liant le nombre d'onde k à la pulsation \omega s'écrit donc :

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q13 :

Pour \omega < \omega_P, le terme \omega^2 - \omega_P^2 est strictement négatif, ce qui donne k^2 < 0. Le nombre d'onde k est par conséquent un imaginaire pur.

En introduisant l'échelle de longueur \delta = \frac{c}{\sqrt{\omega_P^2 - \omega^2}} > 0, on a :

L'onde se propageant initialement vers les x croissants depuis l'interface en x = 0, la condition physique imposant que l'amplitude du champ reste finie lorsque x \to +\infty conduit à éliminer la solution croissante et à retenir :

En reportant cette valeur dans l'expression complexe du champ électrique :

Le facteur de phase dépend uniquement du temps t et ne comporte plus de terme de la forme (\omega t - k_r x) : il n'y a donc pas de propagation de l'onde dans le plasma. L'onde est dite évanescente.

En posant \underline{\vec{E}}_0 = E_0 \mathrm{e}^{i\varphi}\vec{u}_y, le champ électrique s'écrit sous forme réelle :

1. Estimation de la surface du volet cornéen

L'œil a un diamètre d'environ 25\text{ mm}. La cornée occupe la calotte antérieure avec un diamètre de l'ordre de 11\text{ à }12\text{ mm}. Le volet cornéen (ou flap) découpé lors d'une chirurgie LASIK a un diamètre typique légèrement inférieur à celui de la cornée pour conserver une charnière périphérique :

La surface correspondante à décoller dans le plan stromal est assimilable à un disque :

(Une valeur comprise entre 40\text{ mm}^2 et 80\text{ mm}^2 est tout à fait acceptable).

2. Nombre d'impulsions nécessaires

Pour créer un volet que l'on peut soulever, le laser ne se contente pas d'une découpe sur le pourtour : il doit réaliser un plan de clivage horizontal (clivage intrastromal) sur l'ensemble de la surface S, ainsi qu'une incision latérale sur la quasi-totalité du périmètre. La découpe surfacique est très largement prépondérante en nombre de points d'impact.

L'énoncé indique explicitement que l'incision est obtenue par la « production de centaines de milliers de bulles ». Chaque impulsion laser produisant une micro-bulle de plasma, on en déduit directement l'ordre de grandeur du nombre d'impulsions :

3. Estimation de la fréquence du laser

La durée de découpe étant de \Delta t = 10\text{ s} pour un œil, la fréquence de répétition des tirs laser f s'exprime par :

Pour N \approx 2 \cdot 10^5 \text{ à } 5 \cdot 10^5, on obtient :

La transformation modélisant le claquage optique de l'eau liquide cornéenne en mélange gazeux s'écrit :

On décompose cette transformation en deux étapes successives :

• la vaporisation d'une mole d'eau liquide : \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} \longrightarrow \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(g)}, d'enthalpie molaire \Delta_{\text{vap}}H^\circ = M L_{\text{vap}} ;
• la décomposition d'une mole d'eau gazeuse en ses éléments : \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(g)} \longrightarrow \mathrm{H}_{2(g)} + \frac{1}{2}\mathrm{O}_{2(g)}, d'enthalpie molaire \Delta_{\text{diss}}H^\circ = -\Delta_f H^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(g)}).

L'énergie molaire nécessaire à cette transformation est donc :

En supposant que l'intégralité de l'énergie d'une impulsion laser E_{\text{imp}} est absorbée pour réaliser cette réaction dans un volume sphérique V = \frac{4}{3}\pi R^3 de masse m = \rho V, la quantité de matière d'eau transformée s'écrit :

Le bilan énergétique s'écrit :

On en déduit l'expression du rayon R :

Application numérique :

Le rayon au cube vaut :

Sachant que 4^3 = 64 \approx 62, on obtient directement :

Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique (ou adiabatique) est donné par :

La propagation de l'onde sonore étant suffisamment rapide pour que les transferts thermiques soient négligeables, et les effets dissipatifs (viscosité) étant supposés nuls, l'évolution d'une particule fluide au passage de l'onde est isentropique.

Au voisinage de l'état de repos (\rho_0, P_0), la variation de masse volumique \mu(x,t) = \rho(x,t) - \rho_0 s'exprime au premier ordre en fonction de la surpression acoustique p(x,t) = P(x,t) - P_0 par :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, \rho \approx \rho_0, d'où l'expression de \chi_S :

ce qui fournit la relation constitutive acoustique liant la surmasse volumique à la surpression :

Le fluide étant supposé non visqueux et l'action de la pesanteur étant négligeable devant les effets acoustiques, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide s'exprime par l'équation d'Euler :

L'écoulement étant unidimensionnel le long de l'axe Ox avec \vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{u}_x, la projection de l'équation d'Euler sur \vec{u}_x s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• le terme convectif d'accélération v \frac{\partial v}{\partial x} est d'ordre 2 en perturbations, donc négligeable devant le terme d'accélération locale \frac{\partial v}{\partial t} (d'ordre 1) ;
• la masse volumique vaut \rho = \rho_0 + \mu, de sorte que \rho \frac{\partial v}{\partial t} = (\rho_0 + \mu)\frac{\partial v}{\partial t} \approx \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t}, le produit \mu \frac{\partial v}{\partial t} étant du second ordre ;
• la pression non perturbée P_0 étant uniforme et stationnaire, le gradient de pression se réduit à \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial x}.

L'équation de la dynamique simplifiée au premier ordre devient ainsi :

ou, sous forme vectorielle :

L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit de manière générale :

Le champ de vitesse étant unidimensionnel selon l'axe Ox (\vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{u}_x) et la masse volumique ne dépendant que de x et t, cette équation devient :

On introduit les grandeurs acoustiques perturbatives : \rho(x,t) = \rho_0 + \mu(x,t), avec \rho_0 uniforme et stationnaire. Il vient :

Pour le terme de flux massique, on développe le produit :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont d'amplitude faible : \mu \ll \rho_0, si bien que le terme non linéaire \mu v est du second ordre par rapport au terme du premier ordre \rho_0 v et peut être négligé (\mu v \ll \rho_0 v). Dès lors :

L'équation locale de conservation de la masse simplifiée au premier ordre s'écrit donc :

ou, sous forme vectorielle intrinsèque :

D'après la relation constitutive obtenue à la question Q17, on a :

En dérivant cette relation par rapport au temps et en l'injectant dans l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q19) :

Soit, en simplifiant par \rho_0 :

Dérivons cette équation par rapport au temps :

Par ailleurs, l'équation d'Euler linéarisée (question Q18) s'écrit :

En la dérivant par rapport à x et en appliquant le théorème de Schwarz aux fonctions régulières (\frac{\partial^2 v}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial t}) :

En combinant ces deux relations, on obtient l'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression p(x,t) :

Par identification avec la forme canonique de l'équation d'onde à une dimension \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0, la célérité c des ondes ultrasonores s'exprime par :

Application numérique La cornée étant principalement constituée d'eau, on prend \rho_0 = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, et d'après l'annexe 1, \chi_S = 3{,}6 \cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} :

D'après l'équation d'Euler linéarisée obtenue à la question Q18 :

1. Onde se propageant dans le sens des x positifs Une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants s'écrit sous la forme générale :

Sa dérivée spatiale vérifie :

En injectant cette relation dans l'équation d'Euler :

En intégrant par rapport au temps, et compte tenu du fait que la perturbation est nulle au repos (v = 0 lorsque p = 0), on obtient :

L'impédance acoustique Z_+ = \frac{p_+}{v_+} s'écrit donc, en utilisant c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}} (établi à la question Q20) :

2. Onde se propageant dans le sens des x négatifs Pour une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants :

Sa dérivée spatiale vérifie cette fois :

L'équation d'Euler donne alors :

L'impédance acoustique pour l'onde rétrograde est donc :

On choisit l'interface cornée / humeur aqueuse en x = 0. Le milieu 1 (x < 0) correspond à la cornée d'impédance acoustique Z_1, et le milieu 2 (x > 0) à l'humeur aqueuse d'impédance Z_2.

1. Conditions aux limites en x = 0 :

• Continuité de la vitesse particulaire normale : les deux milieux restant en contact intime (pas de décollement ni d'interpénétration de la matière à l'interface), la composante normale de la vitesse est continue :

  v(0^-, t) = v(0^+, t)

• Continuité de la pression acoustique : l'application du principe fondamental de la dynamique à une tranche fluide frontière d'épaisseur infinitésimale (de masse tendant vers zéro) impose l'absence de discontinuité des forces surfaciques de pression :

  p(0^-, t) = p(0^+, t)

2. Coefficients de réflexion et transmission en vitesse :

Dans le milieu 1, le champ de vitesse est la superposition de l'onde incidente (se propageant selon +x) et de l'onde réfléchie (se propageant selon -x) :

Dans le milieu 2, seule se propage l'onde transmise :

D'après la question Q21, l'impédance acoustique vérifie p_+ = Z v_+ et p_- = -Z v_-. Les surpressions associées s'écrivent donc :

En introduisant les amplitudes complexes (ou en évaluant en x = 0) avec les définitions r_v = \frac{v_r(0,t)}{v_i(0,t)} et t_v = \frac{v_t(0,t)}{v_i(0,t)}, les conditions aux limites deviennent :

En substituant t_v = 1 + r_v dans la seconde équation :

On en déduit l'expression du coefficient de réflexion en vitesse :

Puis le coefficient de transmission en vitesse :

3. Fraction de puissance acoustique incidente réfléchie :

La puissance acoustique instantanée traversant une surface S normale à la propagation est donnée par le flux du vecteur de Poynting acoustique \vec{\Pi} = p\,\vec{v}. Pour une onde progressive plane, la puissance moyenne incidente et la puissance moyenne réfléchie valent respectivement :

La fraction de puissance incidente réfléchie (facteur de réflexion énergétique R) s'exprime donc par le rapport :

Soit :

Le dispositif utilisé est un pachymètre ultrasonore constitué d'un transducteur (émetteur-récepteur piézoélectrique) placé au contact de la face avant de la cornée :

• Le transducteur émet une impulsion ultrasonore brève qui pénètre dans la cornée par sa face antérieure à un instant t_1.
• L'onde se propage dans la cornée à la célérité c, puis rencontre l'interface cornée – humeur aqueuse (face postérieure). En raison du saut d'impédance acoustique (Z_1 \neq Z_2, étudié en Q22), une fraction de l'onde est réfléchie.
• Cette onde réfléchie effectue le trajet retour à travers la cornée et atteint à nouveau le transducteur à un instant t_2.

Pendant la durée \Delta t = t_2 - t_1 (temps de vol), l'onde acoustique a parcouru un aller-retour dans la cornée d'épaisseur e, soit une distance totale 2e :

On en déduit l'expression de l'épaisseur de la cornée :

La célérité c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}} \approx 1{,}7\cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} étant connue d'après la question Q20, la mesure électronique du temps de propagation \Delta t donne un accès direct à l'épaisseur e, permettant de vérifier la condition e > 500\text{ }\mu\text{m}.

À chaque pulsation cardiaque, le cœur éjecte un volume V_0 = 75\text{ cm}^3. Pour une fréquence cardiaque de N = 70\text{ pulsations}\cdot\text{min}^{-1} = \frac{70}{60}\text{ s}^{-1}, le débit volumique sanguin moyen D s'écrit :

Numériquement :

Soit, en unités du système international :

Par conservation du débit volumique en régime permanent dans l'aorte de section S = 3{,}0\text{ cm}^2, la vitesse moyenne du sang en sortie du cœur s'exprime par :

Numériquement :

Soit :

Considérons le sang s'écoulant en régime permanent à travers le cœur. Le premier principe de la thermodynamique en système ouvert (formulation massique) s'écrit :

où :

• la pompe est supposée adiabatique, soit q = 0 ;
• les cotes d'entrée et de sortie sont sensiblement identiques, d'où \Delta e_p = g(z_s - z_e) \approx 0 ;

• l'enthalpie massique s'exprime par h = u + \frac{P}{\rho_s}. Le sang étant assimilé à un fluide incompressible (\rho = \rho_s = \text{cte}) d'énergie interne massique constante (u_s = u_e), il vient :

  h_s - h_e = (u_s - u_e) + \frac{P_s - P_e}{\rho_s} = \frac{P_s - P_e}{\rho_s}

Avec la condition cinétique v_e = \dfrac{v_s}{2}, la variation d'énergie cinétique massique s'écrit :

Le travail utile massique fourni par le cœur est donc :

Application numérique :

Le terme cinétique représente moins de 0{,}4\,\% du travail de transvasement et s'avère parfaitement négligeable. On obtient ainsi :

La puissance utile mécanique fournie par le cœur correspond au produit du débit massique D_m = \rho_s D par le travail massique w_u :

Application numérique :

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta, à une vitesse caractéristique v dans une conduite cylindrique de diamètre D = 2R, est défini par le rapport adimensionnel des forces d'inertie sur les forces visqueuses :

Dans une conduite cylindrique, l'écoulement est laminaire tant que les effets visqueux dissipatifs prédominent et empêchent le développement d'instabilités turbulentes, c'est-à-dire lorsque le nombre de Reynolds reste inférieur à un nombre de Reynolds critique Re_c :

1. Dépendance de la vitesse vis-à-vis des coordonnées d'espace :

• Invariance par rotation : La conduite est un cylindre de révolution d'axe Ox et de section constante. En l'absence de cause de dissymétrie azimutale pour l'écoulement laminaire, le système est invariant par rotation d'un angle quelconque autour de l'axe Ox. Il en découle que le champ scalaire v ne dépend pas de l'angle polaire \theta :

  \frac{\partial v}{\partial \theta} = 0 \implies v(r,\theta,x) = v(r,x)

• Incompressibilité du fluide : Le sang est assimilé à un fluide incompressible et homogène, la masse volumique \rho est donc constante. L'équation de conservation de la masse se réduit à la condition d'incompressibilité :

  \mathrm{div}\,\vec{v} = 0

  Le champ de vitesse étant purement axial, \vec{v}(M) = v(r,x)\vec{u}_x (avec v_r = 0 et v_\theta = 0), son expression en coordonnées cylindriques donne :

  \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{v} &= \frac{1}{r}\frac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{aligned}

  La composante v est donc indépendante de la variable axiale x.

On en déduit que le champ de vitesse ne dépend que de la seule variable radiale r :

2. Vitesse du fluide au contact de la paroi :

Le sang étant un fluide visqueux (\eta \neq 0), les effets de frottement imposent la condition d'adhérence du fluide à la paroi solide. La paroi du vaisseau étant fixe dans le référentiel d'étude en r = R, la vitesse relative du fluide par rapport à la paroi s'annule :

Le système étudié est la portion cylindrique de fluide de rayon r (compris entre 0 et R) et de longueur L.

Les forces de viscosité (frottements internes exercés par le fluide extérieur r' > r sur le cylindre de fluide r' \leqslant r) s'exercent sur la surface latérale du cylindre, d'aire :

Sur les faces d'entrée et de sortie (sections planes perpendiculaires à \vec{u}_x), le gradient longitudinal de vitesse est nul (\partial v / \partial x = 0), donc les contraintes visqueuses normales sont nulles.

Puisque le rayon r est fixé sur toute la surface latérale, le terme \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \vec{u}_x y est uniforme. La résultante des forces de viscosité s'exerçant sur cet élément de fluide s'écrit donc :

soit :

La section transverse de la portion cylindrique de fluide considérée est un disque d'aire :

• En amont (section d'entrée) : le vecteur unitaire normal sortant du système est \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{u}_x. La force de pression exercée par le fluide extérieur sur cette face d'entrée est donc motrice, dirigée dans le sens de l'écoulement :

  \boxed{ \vec{F}_{\text{amont}} = P_1 \pi r^2\,\vec{u}_x }

• En aval (section de sortie) : le vecteur unitaire normal sortant du système est \vec{n}_{\text{ext}} = +\vec{u}_x. La force de pression exercée par le fluide extérieur sur cette face de sortie est résistante, opposée au sens de l'écoulement :

  \boxed{ \vec{F}_{\text{aval}} = -P_2 \pi r^2\,\vec{u}_x }

On applique le principe fondamental de la dynamique, dans le référentiel d'étude galiléen, au système constitué du cylindre de fluide de rayon r compris entre les abscisses x et x+L.

L'écoulement étant stationnaire et unidirectionnel (\vec{v} = v(r)\vec{u}_x), le terme convectif d'accélération est nul :

L'accélération de chaque particule fluide est donc nulle. Le système est en équilibre dynamique :

En négligeant le poids devant les forces visqueuses et de pression, le bilan des forces extérieures appliquées à ce cylindre s'écrit :

D'après les résultats des questions Q28 et Q29 :

En projetant sur \vec{u}_x et en divisant par 2\pi r \eta L (pour r \neq 0), on obtient :

d'où l'équation différentielle demandée :

Par intégration directe par rapport à r, il vient :

où C est une constante d'intégration.

La condition aux limites d'adhérence à la paroi établie en Q27 impose v(R) = 0, soit :

On en déduit l'expression du profil de vitesse :

Le champ de vitesse dans le fluide s'écrit donc sous forme vectorielle :

D'après la question Q30, la vitesse du fluide à la distance r de l'axe s'écrit :

Considérons une couronne circulaire élémentaire comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Sa surface vaut \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r. Le débit volumique élémentaire à travers cette surface s'écrit :

Le débit volumique total à travers toute la section droite du vaisseau s'obtient par intégration :

On en déduit la loi de Poiseuille pour le débit volumique :

Par définition, la vitesse moyenne v_m de l'écoulement est reliée au débit volumique par la relation D_v = v_m S, avec S = \pi R^2 l'aire de la section transversale du vaisseau :

En remplaçant D_v par son expression, on obtient :

D'après le résultat de la question Q31, la vitesse moyenne du fluide dans une conduite cylindrique de section circulaire soumise à un écoulement de Poiseuille s'écrit :

Avec les données de l'énoncé et de l'annexe 2 :

• R = 5{,}0\,\mu\text{m} = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ m} ;
• L = 1{,}0\text{ cm} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• P_1 - P_2 = 10\text{ kPa} = 1{,}0 \cdot 10^4\text{ Pa} ;
• \eta = 4{,}0\text{ mPa}\cdot\text{s} = 4{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

L'application numérique donne pour la vitesse moyenne :

Le nombre de Reynolds associé à cet écoulement en conduite de diamètre D = 2R vaut :

Avec \rho_s = 1{,}1 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, on obtient :

Le nombre de Reynolds étant immensément inférieur au seuil critique de transition (\mathrm{Re}_c \approx 2000), l'hypothèse d'un écoulement laminaire est parfaitement validée.

Le sang étant modélisé par un fluide incompressible en régime permanent, le débit volumique total D délivré par le cœur (calculé à la question Q24) est conservé à travers l'ensemble des ramifications vasculaires.

Puisque les N capillaires sont supposés montés en parallèle et identiques, le débit total s'écrit :

où d_v est le débit volumique traversant un capillaire de rayon R à la vitesse moyenne v_{\text{cap}} :

On en déduit l'expression du nombre total de capillaires :

Avec les valeurs numériques suivantes :

• D = 87{,}5\text{ cm}^3\cdot\text{s}^{-1} = 8{,}75 \cdot 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q24) ;
• R = 5{,}0\,\mu\text{m} = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ m} (donnée de Q32) ;
• v_{\text{cap}} \approx 1\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

le débit d'un capillaire vaut :

Le nombre de capillaires est donc :

La configuration électronique du titane (Z = 22) à l'état fondamental s'écrit selon la règle de Klechkowski :

On en déduit les caractéristiques de sa position dans la classification périodique :

• Le nombre quantique principal le plus élevé pour les orbitales occupées est n = 4, donc le titane appartient à la 4^{\text{e}} période (ligne 4).
• Les derniers électrons ajoutés selon l'ordre de Klechkowski occupent une sous-couche de type d (sous-couche 3d partiellement remplie), le titane appartient donc au bloc d.
• Le nombre d'électrons de valence (électrons des sous-couches externe 4s et sous-jacente incomplète 3d) vaut 2 + 2 = 4, ce qui place le titane dans la 4^{\text{e}} colonne (groupe 4).

1. Population de la maille

La maille représentée (figures 6 et 7) est un prisme droit dont la base est un losange constitué de deux triangles équilatéraux accolés (angles de 60^\circ et de 120^\circ).

• Sommets d'angle 60^\circ : il y en a 4 (2 sur la base inférieure, 2 sur la base supérieure). Dans le plan de la base, chaque sommet est partagé entre \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6 prismes adjacents. Comme chaque sommet se trouve également à la frontière entre deux mailles superposées le long de l'axe vertical, il est partagé par 6 \times 2 = 12 mailles, soit une multiplicité de \frac{1}{12}.
• Sommets d'angle 120^\circ : il y en a 4 (2 sur la base inférieure, 2 sur la base supérieure). Dans le plan de la base, chaque sommet est partagé entre \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3 prismes adjacents. Avec la superposition verticale, il est partagé par 3 \times 2 = 6 mailles, soit une multiplicité de \frac{1}{6}.
• Atome intérieur : 1 atome est entièrement situé au sein du prisme (à la hauteur c/2).

La population N (nombre d'atomes en propre) de la maille vaut donc :

2. Masse volumique du titane

D'après le texte, les quatre atomes situés à la base du losange sont tangents deux à deux le long des arêtes de longueur a. La condition de contact s'écrit donc :

La base étant un losange de côté a et d'angle au sommet 60^\circ, sa surface S_{\text{base}} est la somme des aires de deux triangles équilatéraux de côté a :

Le volume V du prisme droit de hauteur c = 2\sqrt{\frac{2}{3}}a est :

La masse volumique \rho du titane s'exprime par le rapport de la masse des atomes de la maille sur le volume de celle-ci :

Application numérique :

• M = 47{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 47{,}9 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• R = 150\text{ pm} = 1{,}50 \cdot 10^{-10}\text{ m} \implies a = 2R = 3{,}00 \cdot 10^{-10}\text{ m}
• a^3 = 2{,}70 \cdot 10^{-29}\text{ m}^3
• V = a^3 \sqrt{2} \approx 2{,}70 \cdot 10^{-29} \times 1{,}414 \approx 3{,}82 \cdot 10^{-29}\text{ m}^3
• N_A = 6{,}0 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}

L'énoncé précise que dans ces structures, la valence du titane est identique à celle du carbone : le titane est donc tétravalent et apporte 4 électrons de valence (en accord avec sa configuration électronique [\mathrm{Ar}]\,3d^2\,4s^2).

1. Schéma de Lewis de \mathrm{TiCl}_4 :

• Le titane (\mathrm{Ti}) apporte 4 électrons de valence.
• Chaque atome de chlore (\mathrm{Cl}, halogène de la colonne 17) apporte 7 électrons de valence.

• Nombre total d'électrons de valence :

  N_e = 4 + 4 \times 7 = 32\text{ électrons, soit } 16\text{ doublets}.
• Le titane central forme 4 liaisons simples covalentes avec les quatre atomes de chlore.
• Chaque atome de chlore s'entoure de 3 doublets non liants pour satisfaire la règle de l'octet.

2. Schéma de Lewis de \mathrm{TiO}_2 :

• Le titane (\mathrm{Ti}) apporte 4 électrons de valence.
• Chaque atome d'oxygène (\mathrm{O}, chalcogène de la colonne 16) apporte 6 électrons de valence.

• Nombre total d'électrons de valence :

  N_e = 4 + 2 \times 6 = 16\text{ électrons, soit } 8\text{ doublets}.
• Par analogie directe avec le dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2, le titane central engage deux doubles liaisons avec les deux atomes d'oxygène.
• Chaque atome d'oxygène porte 2 doublets non liants pour satisfaire la règle de l'octet.

L'équation de la réaction considérée s'écrit :

1. Calcul de l'enthalpie standard de réaction \Delta_r H^\circ D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des constituants :

Comme \mathrm{C}_{(s)} (graphite) et \mathrm{Cl}_{2(g)} sont dans leur état de référence, \Delta_f H^\circ(\mathrm{C}_{(s)}) = 0 et \Delta_f H^\circ(\mathrm{Cl}_{2(g)}) = 0. On a donc :

2. Calcul de l'entropie standard de réaction \Delta_r S^\circ De façon analogue, l'entropie standard de réaction se déduit des entropies molaires standard :

3. Absence de \Delta_f H^\circ pour le carbone et le dichlore Par convention thermodynamique, l'enthalpie standard de formation d'un corps pur simple dans son état standard de référence à la température considérée (ici 25\ ^\circ\mathrm{C} sous P^\circ = 1\text{ bar}) est fixée arbitrairement à zéro :

C'est pourquoi ces valeurs nulles ne figurent pas dans la table de données.

4. Commentaire des signes de \Delta_r H^\circ et de \Delta_r S^\circ

• \Delta_r H^\circ < 0 : la réaction est exothermique, elle s'accompagne d'une libération d'énergie thermique vers le milieu extérieur à température et pression constantes.
• \Delta_r S^\circ > 0 : la réaction s'accompagne d'une augmentation du désordre du système réactionnel. Cela est principalement dû à la création nette d'espèces gazeuses : la variation du nombre de moles de gaz vaut \Delta \nu_g = 1 + 2 - 2 = +1\text{ mol}. Le désordre moléculaire des phases gazeuses étant nettement supérieur à celui des solides, \Delta_r S^\circ est fortement positif.

La réaction (1) s'écrit :

1. Effet de la température à pression constante :

D'après la question Q37, l'enthalpie standard de la réaction vaut \Delta_r H^\circ = -38\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0 : la réaction est donc exothermique dans le sens direct.

La loi de Van 't Hoff relie la constante d'équilibre K^\circ(T) à la température :

Par conséquent, la constante d'équilibre K^\circ(T) est une fonction strictement décroissante de la température.

• Une augmentation de température entraîne une diminution de K^\circ(T) ; à composition fixée, Q_r > K^\circ(T), le système évolue donc dans le sens indirect (sens endothermique).
• Une diminution de température entraîne une augmentation de K^\circ(T) ; le système évolue dans le sens direct (sens exothermique).

2. Effet de la pression totale à température constante :

Déterminons la variation du nombre stœchiométrique de gaz au cours de la réaction :

En exprimant la pression partielle de chaque gaz en fonction de sa fraction molaire x_i dans la phase gazeuse (P_i = x_i P), le quotient réactionnel s'écrit :

À l'équilibre, Q_r = K^\circ(T). À température constante, K^\circ(T) est inchangée.

• Une augmentation de pression totale P entraîne Q_r > K^\circ(T) : l'affinité chimique devient négative, ce qui déplace l'équilibre dans le sens indirect (sens consommant du gaz, \Delta \nu_g < 0).
• Une diminution de pression totale P entraîne Q_r < K^\circ(T) : cela déplace l'équilibre dans le sens direct (sens produisant du gaz, \Delta \nu_g > 0).

Le titane est réduit du nombre d'oxydation +\mathrm{IV} dans \mathrm{TiCl}_4 au nombre d'oxydation 0 dans \mathrm{Ti}_{(s)}, ce qui nécessite 4 électrons :

Le magnésium est oxydé du nombre d'oxydation 0 dans \mathrm{Mg}_{(l)} au nombre d'oxydation +\mathrm{II} dans \mathrm{MgCl}_2, en libérant 2 électrons :

Il faut donc 2 moles de magnésium liquide pour réduire 1 mole de tétrachlorure de titane gazeux.

L'équation de la réaction de réduction (procédé Kroll) s'écrit ainsi :

D'après la question Q39, la réaction de réduction du tétrachlorure de titane par le magnésium s'écrit :

Cette réaction s'obtient par combinaison linéaire de la réaction de formation de \mathrm{MgCl}_{2(l)} et de celle de \mathrm{TiCl}_{4(g)} :

La réaction globale vaut 2 \times (a) - (b), son enthalpie libre standard est donc :

Calculons \Delta_f G^\circ(\mathrm{TiCl}_{4(g)}) sous l'approximation d'Ellingham :

Il vient ainsi :

On en déduit l'expression de \Delta_r G^\circ(T) de la réaction de réduction :

Pour toute température absolue T > 0\text{ K}, \Delta_r G^\circ(T) est strictement négatif : la réaction standard est donc thermodynamiquement favorisée à toute température.

Déterminons maintenant le sens d'évolution à T = 1\,100\text{ K} avec une pression partielle P(\mathrm{TiCl}_4) = 0{,}10\text{ bar}.
Les espèces \mathrm{Mg}_{(l)}, \mathrm{Ti}_{(s)} et \mathrm{MgCl}_{2(l)} constituant des phases condensées pures, leurs activités sont unitaires :

Le gaz \mathrm{TiCl}_{4(g)} étant assimilé à un gaz parfait de pression de référence P^\circ = 1\text{ bar}, son activité vaut :

Le quotient réactionnel s'écrit alors :

Calculons l'enthalpie libre de réaction \Delta_r G à T = 1\,100\text{ K} :

Puisque \Delta_r G < 0 (soit Q_r \ll K^\circ), l'affinité chimique A = -\Delta_r G > 0 est strictement positive :

En appliquant les règles usuelles d'attribution des nombres d'oxydation :

• Pour le titane métallique \mathrm{Ti}_{(s)} (corps simple) :

  \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) = 0

• Pour l'ion titane(II) \mathrm{Ti}^{2+}_{(aq)} (ion monoatomique de charge +2e) :

  \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) = +\mathrm{II}

• Pour le monoxyde de titane \mathrm{TiO}_{(s)}, l'oxygène étant au degré d'oxydation -\mathrm{II} et le cristal électriquement neutre :

  \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) + (-\mathrm{II}) = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) = +\mathrm{II}

• Pour le trioxyde de dititane \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_{3(s)} :

  2 \times \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) + 3 \times (-\mathrm{II}) = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) = +\mathrm{III}

• Pour le dioxyde de titane \mathrm{TiO}_{2(s)} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) + 2 \times (-\mathrm{II}) = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Ti}) = +\mathrm{IV}

On peut synthétiser ces résultats :

D'après les degrés d'oxydation déterminés à la question Q41 :

• Le domaine A, situé au potentiel le plus bas sur toute la plage de pH, correspond au degré d'oxydation minimal 0, soit le titane métallique \mathbf{Ti_{(s)}}.
• Le domaine C, situé au potentiel le plus élevé, correspond au degré d'oxydation maximal +\mathrm{IV}, soit le dioxyde de titane \mathbf{TiO_{2(s)}}.

• Les domaines intermédiaires correspondent aux degrés d'oxydation +\mathrm{II} (\mathrm{Ti}^{2+}_{(aq)} et \mathrm{TiO}_{(s)}) et +\mathrm{III} (\mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_{3(s)}) :

  • Pour le degré +\mathrm{II}, la frontière verticale à \mathrm{pH}_1 traduit un équilibre acido-basique/précipitation sans transfert d'électron entre \mathrm{Ti}^{2+}_{(aq)} (forme acide, stable à bas pH) et \mathrm{TiO}_{(s)} (forme précipitée, stable à plus haut pH). Ainsi, le domaine B correspond à \mathbf{Ti^{2+}_{(aq)}} et le domaine D à \mathbf{TiO_{(s)}}.
  • Le domaine E, situé au-dessus de D (d.o. +\mathrm{II}) et en dessous de C (d.o. +\mathrm{IV}), correspond au degré d'oxydation intermédiaire +\mathrm{III}, soit le sesquioxyde de titane \mathbf{Ti_2O_{3(s)}}.

On regroupe les attributions dans le tableau suivant :

Le domaine de stabilité thermodynamique de l'eau est limité vers les bas potentiels par la réduction de l'eau en dihydrogène selon le couple \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_{2(g)} (ou \mathrm{H}_2\mathrm{O}/\mathrm{H}_2) :

Sur toute la gamme de pH de l'eau (0 \le \mathrm{pH} \le 14), ce potentiel est compris entre 0\text{ V} et -0{,}84\text{ V}.

D'après le diagramme E\text{-pH} (figure 8), le domaine d'existence du titane métallique \mathrm{Ti}_{(s)} (domaine A) est situé sous la frontière avec \mathrm{Ti}^{2+}_{(\mathrm{aq})} à un potentiel inférieur à -1{,}6\text{ V}, donc :

Le domaine du titane métallique ne présente aucun recouvrement avec celui de l'eau :

Influence du pH :

• Sur le plan thermodynamique :

  • À pH acide (\mathrm{pH} < \mathrm{pH}_1), le titane s'oxyde en formant l'ion soluble \mathrm{Ti}^{2+}_{(\mathrm{aq})} selon la réaction :

    \mathrm{Ti}_{(s)} + 2\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} = \mathrm{Ti}^{2+}_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{H}_{2(g)}

    Il s'agit d'un domaine de corrosion.

  • À pH plus élevé (\mathrm{pH} > \mathrm{pH}_1), le titane s'oxyde en formant des oxydes solides insolubles (\mathrm{TiO}_{(s)}, \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_{3(s)} puis \mathrm{TiO}_{2(s)}).
• Sur le plan cinétique : La formation d'une couche continue, adhérente et imperméable de dioxyde de titane \mathrm{TiO}_{2(s)} à la surface du métal isole celui-ci du milieu aqueux. C'est le phénomène de passivation, qui confère au titane une remarquable inertie chimique et explique sa biocompatibilité à pH physiologique (\mathrm{pH} \approx 7{,}4).

L'espèce qui se dismute en milieu acide est l'oxyde de titane(III), noté \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_3\text{(s)}.

En effet, pour \mathrm{pH} < \mathrm{pH}_1, le titane au degré d'oxydation +\mathrm{III} n'a pas de domaine de stabilité thermodynamique et se transforme spontanément en titane(IV) (\mathrm{TiO}_2) et en titane(II) (\mathrm{Ti}^{2+}).

Écrivons les couples redox mis en jeu :

• Oxydation de \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_3\text{(s)} en \mathrm{TiO}_2\text{(s)} :

  \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_{3(s)} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(l)} = 2\,\mathrm{TiO}_{2(s)} + 2\,\mathrm{H}^+_{(aq)} + 2\,\mathrm{e}^-

• Réduction de \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_3\text{(s)} en \mathrm{Ti}^{2+}_{(aq)} :

  \mathrm{Ti}_2\mathrm{O}_{3(s)} + 6\,\mathrm{H}^+_{(aq)} + 2\,\mathrm{e}^- = 2\,\mathrm{Ti}^{2+}_{(aq)} + 3\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(l)}

En sommant ces deux demi-équations électroniques, on obtient :

En divisant par 2 pour attribuer un coefficient stœchiométrique égal à 1 pour l'espèce qui se dismute, on aboutit à l'équation de dismutation :