Feuille d'entraînement : Optique géométrique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q32

   Un point P quelconque de l'interface z = 0 est repéré par son vecteur position :

   \overrightarrow{OP} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y

   L'énoncé précise que \vec{k}_i = k_{i,x}\,\vec{u}_x + k_{i,z}\,\vec{u}_z, ce qui implique k_{i,y} = 0.

   1. Annulation des composantes selon y :

   La condition d'accord de phase établie à la question Q31 doit être vérifiée pour tout point P de l'interface, c'est-à-dire pour tout couple (x,y) \in \mathbb{R}^2 :

   \begin{aligned} (\vec{k}_i - \vec{k}_r)\cdot \overrightarrow{OP} &= (k_{i,x} - k_{r,x})\,x - k_{r,y}\,y = 0 \\ (\vec{k}_i - \vec{k}_t)\cdot \overrightarrow{OP} &= (k_{i,x} - k_{t,x})\,x - k_{t,y}\,y = 0 \end{aligned}

   Pour x = 0 et y \neq 0, ces relations imposent immédiatement :

   \boxed{k_{r,y} = 0 \quad \text{et} \quad k_{t,y} = 0}

   Les trois vecteurs d'onde \vec{k}_i, \vec{k}_r et \vec{k}_t sont donc coplanaires : ils appartiennent au plan d'incidence (xOz).

   2. Relations angulaires :

   Pour y = 0 et x \neq 0, la conservation de la composante tangentielle du vecteur d'onde donne :

   k_{i,x} = k_{r,x} = k_{t,x}

   D'après la géométrie définie sur la figure 5 :

   • Pour l'onde incidente : k_{i,x} = k_i \sin\theta_i avec k_i = \dfrac{\omega}{c_1} (d'après Q29).

   • Pour l'onde transmise : k_{t,x} = k_t \sin\theta_t avec k_t = \dfrac{\omega}{c_2} (d'après Q29). L'égalité k_{i,x} = k_{t,x} conduit à :

     \frac{\omega}{c_1}\sin\theta_i = \frac{\omega}{c_2}\sin\theta_t \implies \frac{\sin\theta_i}{c_1} = \frac{\sin\theta_t}{c_2}

   • Pour l'onde réfléchie : elle se propage dans le milieu 1, d'où k_r = k_i. En repérant l'angle \theta_r de manière algébrique par rapport à la normale de façon symétrique à l'angle d'incidence (comme indiqué par la flèche sur la figure 5, où la déviation s'effectue en sens opposé), on a k_{r,x} = -k_r \sin\theta_r, d'où :

     k_i \sin\theta_i = -k_i \sin\theta_r \implies \theta_r = -\theta_i

   On aboutit ainsi au système :

   \boxed{\left\{\begin{array}{l} \theta_r = -\theta_i \\[6pt] \dfrac{\sin\theta_i}{c_1} = \dfrac{\sin\theta_t}{c_2} \end{array}\right.}

   3. Identification des lois :

   On retrouve les lois de Snell-Descartes (ou lois de Descartes) pour la réflexion et la réfraction (ici la transmission acoustique), identiques à celles de l'optique géométrique :

   • première loi : les rayons réfléchi et transmis sont contenus dans le plan d'incidence ;
   • deuxième loi : l'angle de réflexion est opposé à l'angle d'incidence (ou égal en valeur absolue) ;
   • troisième loi : la loi de réfraction fait intervenir les indices acoustiques n_1 = \dfrac{c_0}{c_1} et n_2 = \dfrac{c_0}{c_2}, ce qui redonne n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t.

   Résultat

   $$k_{r,y}=0\text{et}{k}_{t,y}=0$$

   $$\{\begin{array}{l}{\theta }_r=-{\theta }_i\\ \frac{\sin {\theta }_i}{c_1}=\frac{\sin {\theta }_t}{c_2}\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2022, Q24

   1. Définition du plan d'incidence et première loi de Descartes

   • Le plan d'incidence est le plan formé par la direction de propagation de l'onde incidente (portée par le vecteur d'onde \vec{k}_i) et la normale à l'interface au point d'incidence (ici portée par \vec{e}_z). Dans la géométrie choisie, il s'agit du plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z).
   • La première loi de Descartes stipule que le rayon réfléchi et le rayon transmis (ou réfracté) sont contenus dans le plan d'incidence.

   2. Seconde loi de Descartes

   Les milieux (1) et (2) étant non dispersifs pour les ondes de compression étudiées, les relations de dispersion donnent les normes des vecteurs d'onde à la pulsation \omega :

   \begin{aligned} k_i = \|\vec{k}_i\| = \frac{\omega}{c_{p1}}, \qquad k_r = \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}, \qquad k_t = \|\vec{k}_t\| = \frac{\omega}{c_{p2}}. \end{aligned}

   D'après la figure 8, les angles i_1, r et i_2 sont définis par rapport à la normale \vec{e}_z. Les projections des vecteurs d'onde sur l'axe tangentiel (Ox) s'écrivent donc :

   \begin{aligned} k_{ix} = k_i \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1, \qquad k_{rx} = k_r \sin r = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r, \qquad k_{tx} = k_t \sin i_2 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2. \end{aligned}

   L'égalité imposée des composantes tangentielles, k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}, fournit :

   • pour la réflexion :

     \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r \implies \boxed{r = i_1}

   • pour la réfraction (transmission) :

     \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2 \implies \boxed{\frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}}}

   3. Expression de k_x

   On en déduit immédiatement la composante tangentielle commune du vecteur d'onde :

   \boxed{k_x = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1}

   Résultat

   $$r=i_1$$

   $$\frac{\sin i_1}{c_{p1}}=\frac{\sin i_2}{c_{p2}}$$

   $$k_x=\frac{\omega }{c_{p1}}\sin i_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2022, Q25

   D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction obtenue à la question Q24 :

   \frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}} \iff \sin i_2 = \frac{c_{p2}}{c_{p1}} \sin i_1

   L'angle de réfraction i_2 étant un angle réel appartenant à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right] pour une onde progressive se propageant dans le milieu (2), le sinus doit vérifier :

   \sin i_2 \le 1 \iff \sin i_1 \le \frac{c_{p1}}{c_{p2}}

   Comme c_{p1} < c_{p2}, le rapport vérifie :

   0 < \frac{c_{p1}}{c_{p2}} < 1

   Il existe donc un unique angle critique i_\ell \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ tel que :

   \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}}

   ce qui donne l'expression de l'angle d'incidence limite :

   \boxed{i_\ell = \arcsin\left(\frac{c_{p1}}{c_{p2}}\right)}

   Pour i_1 > i_\ell, l'onde ne peut plus se réfracter sous forme d'onde progressive homogène dans le milieu (2).

   Résultat

   $$i_{\ell }=\arcsin \left(\frac{c_{p1}}{c_{p2}}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2022, Q26

   1. Expression du vecteur d'onde réfléchi \vec{k}_r

   Dans le milieu (1), l'onde réfléchie vérifie la relation de dispersion \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}.

   D'après les lois de Descartes établies à la question Q24, le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z), l'angle de réflexion vaut r = i_1, et la composante tangentielle est conservée :

   k_{rx} = k_x = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1

   L'onde réfléchie se propageant en s'éloignant de l'interface vers le demi-espace z < 0, sa composante selon \vec{e}_z est négative :

   k_{rz} = - \sqrt{\|\vec{k}_r\|^2 - k_{rx}^2} = -\frac{\omega}{c_{p1}} \cos i_1

   On en déduit l'expression du vecteur d'onde réfléchi :

   \boxed{\vec{k}_r = \frac{\omega}{c_{p1}} \left( \sin i_1\,\vec{e}_x - \cos i_1\,\vec{e}_z \right)}

   2. Composante normale k_{tz} et paramètre \delta

   Dans le milieu (2), la relation de dispersion s'écrit \|\vec{k}_t\|^2 = k_{tx}^2 + k_{tz}^2 = \frac{\omega^2}{c_{p2}^2}. La continuité de la composante tangentielle impose k_{tx} = k_x = \frac{\omega}{c_{p1}}\sin i_1. Par suite :

   \begin{aligned} k_{tz}^2 &= \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} - k_x^2 \\ &= \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} \left( 1 - \frac{c_{p2}^2}{c_{p1}^2} \sin^2 i_1 \right) \end{aligned}

   En utilisant la relation \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}} établie à la question Q25, on obtient :

   k_{tz}^2 = \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} \left( 1 - \frac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} \right) = - \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} \left( \frac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} - 1 \right)

   Pour i_1 > i_\ell, \sin i_1 > \sin i_\ell, donc k_{tz}^2 < 0. k_{tz} est imaginaire pur :

   k_{tz} = \pm j\, \frac{\omega}{c_{p2}} \sqrt{\frac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} - 1}

   Le milieu (2) occupant le demi-espace z > 0, l'amplitude physique de l'onde ne peut diverger quand z \to +\infty. Le terme de propagation \exp(-j k_{tz} z) impose donc de choisir la solution de partie imaginaire négative, soit k_{tz} = -\frac{j}{\delta}, avec :

   \boxed{\delta = \frac{c_{p2}}{\omega \sqrt{\dfrac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} - 1}}}

   La grandeur \delta a la dimension d'une longueur ([\delta] = \mathrm{L}, exprimée en mètres) : c'est la profondeur de pénétration de l'onde dans le milieu (2).

   3. Forme du champ de déplacement \vec{u}_t

   En reportant \vec{k}_t = k_x \vec{e}_x - \frac{j}{\delta}\vec{e}_z et \overrightarrow{OM} = x\,\vec{e}_x + z\,\vec{e}_z dans l'expression du champ de déplacement :

   \begin{aligned} j\left(\omega t - \vec{k}_t \cdot \overrightarrow{OM}\right) &= j\left(\omega t - k_x x + \frac{j}{\delta} z\right) \\ &= -\frac{z}{\delta} + j(\omega t - k_x x) \end{aligned}

   Puisque l'énoncé admet que la vibration est polarisée selon \vec{e}_x, on retrouve bien :

   \boxed{\vec{u}_t(M, t) = U_{t0} \exp\left(-\frac{z}{\delta}\right) \exp\left[j(\omega t - k_x x)\right] \vec{e}_x}

   4. Structure et caractéristiques de l'onde transmise

   • Structure : Il s'agit d'une onde évanescente (ou onde plane inhomogène). Les plans équiphases sont orthogonaux à la direction de propagation \vec{e}_x (plans x = \text{cte}), tandis que les surfaces d'égale amplitude sont parallèles à l'interface (plans z = \text{cte}). L'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur z.
   • Direction de propagation : L'onde se propage parallèlement à l'interface, dans la direction des x croissants (+\vec{e}_x).

   • Vitesse de propagation : La vitesse de phase v_\varphi s'écrit :

     \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{k_x} = \frac{c_{p1}}{\sin i_1}}

     Puisque \sin i_\ell < \sin i_1 \le 1, cette vitesse est strictement comprise entre c_{p1} et c_{p2} :

     c_{p1} \le v_\varphi < \frac{c_{p1}}{\sin i_\ell} = c_{p2}

   Résultat

   $${\vec{k}}_r=\frac{\omega }{c_{p1}}\left(\sin i_1{\vec{e}}_x-\cos i_1{\vec{e}}_z\right)$$

   $$\delta =\frac{c_{p2}}{\omega \sqrt{\frac{{\sin }^2{i}_1}{{\sin }^2{i}_{\ell }}-1}}$$

   $${\vec{u}}_t(M,t)=U_{t0}\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)\exp \left[j(\omega t-k_{x}x)\right]{\vec{e}}_x$$

   $$v_{\phi }=\frac{\omega }{k_x}=\frac{c_{p1}}{\sin i_1}$$

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5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q4

   1. Schéma et expression de d_0' :

   Le faisceau incident étant collimaté (rayons parallèles à l'axe optique), le système optique doit être afocal pour que le faisceau émergent soit également collimaté. Le foyer image F'_1 de la lentille convergente L_1 doit donc être confondu avec le foyer objet F_2 de la lentille convergente L_2 :

   F'_1 \equiv F_2

   D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles formés par les rayons marginaux et le foyer commun F'_1 \equiv F_2 :

   \frac{d_0'/2}{f'_2} = \frac{d_0/2}{f'_1}

   d'où l'expression de la largeur d_0' :

   \boxed{d_0' = d_0 \frac{f'_2}{f'_1}}

   Pour obtenir un faisceau élargi (d_0' > d_0), il est nécessaire de choisir f'_2 > f'_1.

   2. Encombrement du dispositif :

   L'encombrement e correspond à la distance inter-lentilles O_1 O_2 = f'_1 + f'_2. En substituant f'_2 = f'_1 \frac{d_0'}{d_0}, il vient :

   \boxed{e = f'_1 \left(1 + \frac{d_0'}{d_0}\right)}

   3. Réduction de l'encombrement :

   Ce premier montage est une lunette astronomique (ou de Kepler). Pour réduire l'encombrement, on peut réaliser un dispositif de type lunette de Galilée en remplaçant la lentille convergente L_1 par une lentille divergente de distance focale f''_1 < 0 telle que |f''_1| = f'_1.

   Le système reste afocal en faisant coïncider le foyer image virtuel de la lentille divergente avec le foyer objet réel de la lentille convergente : F''_1 \equiv F_2. Le grandissement transversal en valeur absolue est conservé :

   \frac{d_0'}{d_0} = \frac{f'_2}{|f''_1|}

   Le nouvel encombrement e' s'écrit alors :

   e' = O_1 O_2 = f'_2 + f''_1 = f'_2 - |f''_1|

   En factorisant par |f''_1| = f'_1 :

   \boxed{e' = f'_1 \left(\frac{d_0'}{d_0} - 1\right)}

   Puisque \frac{d_0'}{d_0} > 1, on a :

   \frac{d_0'}{d_0} - 1 < \frac{d_0'}{d_0} + 1 \implies e' < e

   L'encombrement est donc strictement réduit d'une longueur 2f'_1.

   Résultat

   $$d_0^{\prime }=d_0\frac{f_2^{\prime }}{f_1^{\prime }}$$

   $$e=f_1^{\prime }\left(1+\frac{d_0^{\prime }}{d_0}\right)$$

   $$e^{\prime }=f_1^{\prime }\left(\frac{d_0^{\prime }}{d_0}-1\right)$$

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q1

   L'œil et l'appareil photographique sont tous deux des systèmes optiques d'imagerie associant un objectif convergent, un limiteur de flux lumineux et une surface sensible où se forme l'image nette de l'objet observé.

   On peut dresser les analogies suivantes :

   Élément de l'œil	Élément de l'appareil photo	Rôle optique commun
   Iris (ou pupille)	Diaphragme	Règle la quantité de lumière admise dans le système (ouverture numérique).
   Ensemble cornée + cristallin	Objectif (lentilles convergentes)	Réfracte et fait converger les rayons lumineux pour former une image réelle.
   Rétine	Capteur électronique (ou pellicule)	Surface photosensible sur laquelle se forme l'image nette.

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7. Exercice 7E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q2

   Un œil emmétrope au repos n'accommode pas pour observer un objet situé à l'infini (\overline{OA} \to -\infty). L'image nette se forme alors sur la rétine, située à une distance d = 17\text{ mm} du centre optique de la lentille :

   \overline{OA'} = d = 17\text{ mm} = 17\times 10^{-3}\text{ m}

   D'après la formule de conjugaison avec origine au centre (rappelée en annexe 1) :

   \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = V

   Lorsque \overline{OA} \to -\infty, le foyer image F' coïncide avec la rétine, soit f' = d. La vergence V de l'œil au repos vaut donc :

   V = \frac{1}{d}

   Application numérique :

   \begin{aligned} V &= \frac{1}{17\times 10^{-3}\text{ m}} = \frac{1000}{17}\text{ }\delta \approx 59\text{ }\delta \quad (\text{ou }\text{m}^{-1}) \end{aligned}

   \boxed{V \approx 59\text{ }\delta}

   Résultat

   $$V\approx 59\delta$$

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8. Exercice 8E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q3

   • Modification de la forme du cristallin lors de l'accommodation :
     Sous l'action de la contraction des muscles ciliaires, le cristallin se déforme en augmentant sa courbure (ses faces deviennent plus bombées). Son rayon de courbure diminue, ce qui augmente sa vergence afin de focaliser les rayons issus d'objets proches sur la rétine.
   • Nom du point le plus proche :
     Le point le plus proche qu'un œil peut voir net en accommodant au maximum est appelé le punctum proximum (noté PP).

   • Calcul de la vergence correspondante :
     L'objet se situe au punctum proximum, soit en mesure algébrique :

     \overline{OA} = -25\text{ cm} = -0{,}25\text{ m}

     L'image doit se former sur la rétine située à la distance d = 17\text{ mm}, soit :

     \overline{OA'} = +17\text{ mm} = 17 \times 10^{-3}\text{ m}

     D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre (rappelée en annexe 1) :

     \begin{aligned} V_{\text{acc}} &= \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} \\ &= \frac{1}{17 \times 10^{-3}} - \frac{1}{-0{,}25} \\ &= \frac{1000}{17} + 4{,}0 \approx 58{,}8 + 4{,}0 \end{aligned}

     On obtient :

     \boxed{V_{\text{acc}} \approx 63\text{ }\delta \quad (\text{ou } 62{,}8\text{ }\delta)}

   Résultat

   $$V_{\text{acc}}\approx 63\delta (\text{ou }62,8\delta )$$

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9. Exercice 9E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q1

   Soit un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes d'indices de réfraction respectifs n_1 et n_2.

   Les deux lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction s'énoncent ainsi :

   1. Première loi (coplanarité) : le rayon réfracté est situé dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence I.
   2. Seconde loi (relation angulaire) : l'angle d'incidence i_1 et l'angle de réfraction i_2, repérés par rapport à la normale au dioptre au point d'incidence, sont reliés par la relation :

   \boxed{n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2}

   Résultat

   $$n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$$

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10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q2

    1. Traversée du premier dioptre (air/verre, plan) :

    • Les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique et arrivent orthogonalement à la face d'entrée plane ; l'angle d'incidence par rapport à la normale est donc nul : i_1 = 0.

    • D'après la loi de Snell-Descartes (établie en Q1) :

      n_{\text{air}}\sin i_1 = n \sin i_2 \iff 1\times \sin 0 = n \sin i_2 \implies i_2 = 0

      Les rayons pénètrent dans le verre sans subir de déviation et se propagent parallèlement à l'axe optique.

    2. Traversée du second dioptre (verre/air, courbe) :

    • En chaque point d'incidence sur la face de sortie, la normale locale au dioptre est la droite passant par le centre de courbure de la surface sphérique.

    • En notant i l'angle d'incidence dans le verre et i' l'angle de réfraction dans l'air, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

      n \sin i = n_{\text{air}} \sin i' = \sin i'

    • Comme le verre est plus réfringent que l'air (n > 1), on a :

      \sin i' = n \sin i > \sin i \implies i' > i

      Le rayon émergent s'écarte de la normale au dioptre.

    • Le rayon central passant par le sommet de la lentille est sur l'axe optique ; il arrive sous incidence normale (i=0) et traverse donc la lentille en ligne droite (i'=0).

    3. Tracé qualitatif des rayons :

    • Lentille plan-convexe (1) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté du verre (vers la gauche). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le haut et la droite. En s'écartant de la normale, le rayon est dévié vers l'axe optique (vers le bas). Par symétrie, le rayon situé sous l'axe optique est dévié vers le haut. Les rayons convergent vers l'axe optique.
    • Lentille plan-concave (2) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté de l'air (vers la droite). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le bas et la droite (vers l'axe). En s'écartant de cette normale, le rayon est dévié vers le haut, s'éloignant ainsi de l'axe optique. Par symétrie, le rayon inférieur s'écarte vers le bas. Les rayons divergent en sortie de la lentille.

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