Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2024

Soit un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes d'indices de réfraction respectifs n_1 et n_2.

Les deux lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction s'énoncent ainsi :

1. Première loi (coplanarité) : le rayon réfracté est situé dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence I.
2. Seconde loi (relation angulaire) : l'angle d'incidence i_1 et l'angle de réfraction i_2, repérés par rapport à la normale au dioptre au point d'incidence, sont reliés par la relation :

1. Traversée du premier dioptre (air/verre, plan) :

• Les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique et arrivent orthogonalement à la face d'entrée plane ; l'angle d'incidence par rapport à la normale est donc nul : i_1 = 0.

• D'après la loi de Snell-Descartes (établie en Q1) :

  n_{\text{air}}\sin i_1 = n \sin i_2 \iff 1\times \sin 0 = n \sin i_2 \implies i_2 = 0

  Les rayons pénètrent dans le verre sans subir de déviation et se propagent parallèlement à l'axe optique.

2. Traversée du second dioptre (verre/air, courbe) :

• En chaque point d'incidence sur la face de sortie, la normale locale au dioptre est la droite passant par le centre de courbure de la surface sphérique.

• En notant i l'angle d'incidence dans le verre et i' l'angle de réfraction dans l'air, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

  n \sin i = n_{\text{air}} \sin i' = \sin i'

• Comme le verre est plus réfringent que l'air (n > 1), on a :

  \sin i' = n \sin i > \sin i \implies i' > i

  Le rayon émergent s'écarte de la normale au dioptre.

• Le rayon central passant par le sommet de la lentille est sur l'axe optique ; il arrive sous incidence normale (i=0) et traverse donc la lentille en ligne droite (i'=0).

3. Tracé qualitatif des rayons :

• Lentille plan-convexe (1) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté du verre (vers la gauche). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le haut et la droite. En s'écartant de la normale, le rayon est dévié vers l'axe optique (vers le bas). Par symétrie, le rayon situé sous l'axe optique est dévié vers le haut. Les rayons convergent vers l'axe optique.
• Lentille plan-concave (2) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté de l'air (vers la droite). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le bas et la droite (vers l'axe). En s'écartant de cette normale, le rayon est dévié vers le haut, s'éloignant ainsi de l'axe optique. Par symétrie, le rayon inférieur s'écarte vers le bas. Les rayons divergent en sortie de la lentille.

D'après l'analyse des tracés de rayons effectuée à la question précédente :

• Pour la lentille (1) (plan-convexe), un faisceau incident de rayons parallèles à l'axe optique émerge en convergeant vers l'axe optique, coupant celui-ci en un foyer principal image réel situé après la lentille. La lentille (1) est donc convergente.
• Pour la lentille (2) (plan-concave), le faisceau de rayons parallèles émerge en s'écartant de l'axe optique (les prolongements des rayons émergents se coupent en un foyer principal image virtuel situé avant la lentille). La lentille (2) est donc divergente.

Un système optique est dit afocal s'il donne d'un objet situé à l'infini une image située à l'infini :

• L'objectif (\mathrm{L}_1) forme d'un objet à l'infini une image intermédiaire située dans son plan focal image, le point sur l'axe étant le foyer principal image \mathrm{F}'_1.
• Pour que l'oculaire (\mathrm{L}_2) donne de cette image intermédiaire une image définitive rejetée à l'infini, elle doit être située dans son plan focal objet, le point sur l'axe étant le foyer principal objet \mathrm{F}_2.

Par conséquent, la condition d'afocalité impose que :

Calculons l'encombrement \ell = \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2 = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} de la lunette en utilisant la relation de Chasles le long de l'axe optique :

Or, par définition des distances focales pour chaque lentille :

On en déduit l'expression de l'encombrement :

Comme l'énoncé précise que |f'_2| < f'_1, l'encombrement \ell est bien strictement positif.

1. Construction géométrique :

• Le rayon incident passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié par (L_1) et se propage en ligne droite jusqu'à la lentille (L_2). En prolongeant sa trajectoire en pointillés au-delà de (L_2), il coupe le plan focal image de (L_1) en un foyer secondaire image intermédiaire B_1.
• Tout autre rayon incident parallèle au premier converge vers ce même foyer intermédiaire B_1. Entre (L_1) et (L_2), il est donc dévié vers B_1 (tracé en trait plein jusqu'à (L_2), puis en pointillés au-delà).
• Le point B_1 appartient au plan focal objet de (L_2) car la lunette est afocale (F'_1 \equiv F_2). C'est un foyer secondaire objet virtuel pour (L_2).
• Par conséquent, le faisceau émergeant de (L_2) est constitué de rayons parallèles entre eux, orientés selon la direction de la droite passant par O_2 et B_1, faisant un angle \alpha' avec l'axe optique.

2. Tracé des rayons :

L'image du Fort à travers les jumelles apparaît droite.

Justification :

• D'après le tracé des rayons réalisé à la question précédente (Q5), les rayons incidents inclinés d'un angle \alpha vers le haut par rapport à l'axe optique (provenant du haut du Fort) émergent de l'oculaire divergent en faisant un angle \alpha' également orienté vers le haut (\alpha et \alpha' sont de même signe).
• L'observateur voit donc le sommet du Fort au-dessus de l'axe optique : l'image virtuelle rejetée à l'infini a la même orientation que l'objet observé à l'œ il nu.

Un objet situé à l'infini dans une direction faisant l'angle \alpha avec l'axe optique donne à travers l'objectif (\mathrm{L}_1) une image intermédiaire A_1 B_1 située dans son plan focal image. La lunette étant afocale (\mathrm{F}'_1 \equiv \mathrm{F}_2), cette image est située dans le plan focal objet de l'oculaire (\mathrm{L}_2), soit A_1 \equiv \mathrm{F}'_1 \equiv \mathrm{F}_2.

Dans le triangle rectangle \mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1 B_1, le rayon non dévié passant par \mathrm{O}_1 permet d'écrire :

De même, pour l'oculaire (\mathrm{L}_2), les rayons émergent parallèlement entre eux dans la direction de la droite joignant \mathrm{O}_2 à B_1, sous l'angle \alpha' avec l'axe optique. Dans le triangle rectangle \mathrm{O}_2\mathrm{F}_2 B_1 :

puisque \mathrm{O}_2\mathrm{F}_2 = -\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}'_2} = |f'_2|.

Dans les conditions de Gauss, les angles \alpha et \alpha' sont petits (\tan\alpha \approx \alpha et \tan\alpha' \approx \alpha'), et orientés dans le même sens, d'où :

Le grossissement de la lunette s'écrit donc :

D'après les résultats des questions Q4 et Q7, l'encombrement \ell et le grossissement G de la lunette de Galilée s'écrivent :

On en déduit immédiatement f'_1 = G |f'_2|. En injectant cette relation dans l'expression de \ell, il vient :

Sachant que la lentille oculaire (L_2) est divergente (f'_2 < 0), on a |f'_2| = -f'_2, d'où les expressions littérales des distances focales :

Application numérique : avec G = 20 et \ell = 25\text{ cm} :

1. Angle d'observation à l'œil nu

Le Fort Boyard, de hauteur h, est situé à une distance d \gg h de l'observateur. Le diamètre apparent sous lequel il est vu à l'œil nu, noté \alpha, vérifie :

Application numérique :

2. Angle d'observation à travers les jumelles

D'après l'expression du grossissement G = \frac{\alpha'}{\alpha} établie à la question Q7, le diamètre apparent à travers les jumelles est :

Application numérique avec G = 20 :

3. Validité des conditions de Gauss

Les conditions de Gauss imposent que les rayons soient paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés par rapport à l'axe optique (petits angles devant 1\text{ rad} pour assimiler \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta) et proches de l'axe optique.

• Pour les rayons incidents : \alpha \approx 6{,}7 \cdot 10^{-3}\text{ rad} \ll 1\text{ rad}, la condition est très largement satisfaite.
• Pour les rayons émergents : \alpha' \approx 0{,}13\text{ rad} \approx 7{,}6^\circ. L'écart relatif entre \tan\alpha' et \alpha' vaut environ \frac{\alpha'^2}{3} \approx 0{,}6\% \ll 1\%.

Les angles restent suffisamment petits : les conditions de Gauss sont bien vérifiées.

Pour un fluide de masse volumique \rho soumis au seul champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z (avec l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut), la relation de Bernoulli s'écrit le long d'une ligne de courant :

où P est la pression statique, v la vitesse de la particule fluide et z son altitude.

Cette relation s'applique sous les conditions suivantes :

1. Écoulement stationnaire (ou quasi-stationnaire, sous l'hypothèse de vidange lente) ;
2. Fluide parfait (viscosité et frottements internes négligeables) ;
3. Fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cte}) ;
4. La relation est valable le long d'une même ligne de courant (et s'étend à tout le volume si l'écoulement est irrotationnel).

Considérons une ligne de courant reliant un point A situé à la surface libre du liquide à un point B situé au niveau de l'orifice de sortie :

• au point A : cote z_A = h(t), pression P_A = P_0 (pression atmosphérique) et vitesse du fluide v_A = V(t) ;
• au point B : cote z_B = 0, pression P_B = P_0 (jet libre dans l'air ambiant) et vitesse d'éjection v_B = v(t).

Dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires, la relation de Bernoulli rappelée à la question Q10 s'écrit :

soit, en simplifiant par P_0 et en divisant par \frac{1}{2}\rho :

L'écoulement étant incompressible, le débit volumique se conserve le long du tube de courant, ce qui donne :

L'équation devient alors :

Comme s \ll S, le terme (s/S)^2 est tout à fait négligeable devant 1 (c'est-à-dire V^2 \ll v^2). On en déduit l'expression de la vitesse d'écoulement à travers l'orifice, connue sous le nom de formule de Torricelli :

L'écoulement étant incompressible et homogène, le débit volumique D_v se conserve à travers toute section droite du tube de courant joignant la surface libre à l'orifice :

On en déduit l'expression de la vitesse V(t) de la surface libre :

En utilisant l'expression de v(t) obtenue à la question Q11 (v(t) = \sqrt{2gh(t)}) :

Au cours de la vidange, de l'eau s'échappe du récipient, donc la hauteur d'eau h(t) diminue au cours du temps. Puisque V(t) est une fonction strictement croissante de h(t), la vitesse V(t) diminue au cours de la vidange : le niveau d'eau baisse de plus en plus lentement.

Le fluide étant supposé incompressible, le débit volumique se conserve le long de l'écoulement.

À l'instant t, la surface libre se situe à la hauteur z = h(t). Le récipient présentant une symétrie de révolution de profil r(z) = K z^{1/n}, l'aire de la section de la surface libre vaut :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, la variation du volume d'eau contenu dans le récipient s'écrit de deux manières :

• par abaissement de la surface libre d'une hauteur \mathrm{d}h < 0 :

  \mathrm{d}V_{\text{eau}} = S(h)\,\mathrm{d}h = \pi K^2 h^{2/n}\,\mathrm{d}h

• par écoulement à travers l'orifice de section s à la vitesse v(t) :

  \mathrm{d}V_{\text{eau}} = - s\,v(t)\,\mathrm{d}t

En égalant ces deux expressions, il vient :

En utilisant la vitesse d'écoulement issue de la question Q11, v(t) = \sqrt{2gh(t)}, on obtient directement :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q13 :

La hauteur d'eau h(t) varie au cours de la vidange. Pour que la vitesse de descente \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} soit constante au cours du temps, elle ne doit pas dépendre de h(t). Il faut donc que l'exposant de h soit nul :

L'entier recherché vaut donc :

Pour déterminer l'unité de K, utilisons l'expression du profil de révolution :

Le rayon r(z) et l'altitude z ont tous deux la dimension d'une longueur ([r] = [z] = \mathrm{L}). Par conséquent :

Dans le Système International d'unités, K s'exprime ainsi en :

D'après la question Q13, l'évolution de la hauteur d'eau h(t) est régie par l'équation différentielle :

Pour n = 4 (question Q14), le terme dépendant de la hauteur se simplifie :

La vitesse de descente du niveau d'eau est donc constante et a pour norme :

On en déduit l'expression littérale du paramètre de profil K :

Application numérique :

• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• s = 1{,}0\text{ cm}^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2
• \left|\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\right| = 1{,}0\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

Le point \mathrm{M} est repéré en coordonnées polaires de pôle \mathrm{O} par ses coordonnées (r, \theta) associées à la base orthonormée directe \{\vec{u}_r, \vec{u}_\theta\}. Le fil étant inextensible de longueur \ell_0, on a :

avec r = \ell_0 = \text{cte}, soit \dot{r} = 0 et \ddot{r} = 0.

Les vecteurs de la base polaire dérivent selon :

On en déduit l'expression du vecteur vitesse du point \mathrm{M} dans le référentiel d'étude :

Par dérivation temporelle du vecteur vitesse, on obtient le vecteur accélération :

Le point matériel \mathrm{M} est soumis à son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_x, force conservative.

Par définition, la variation élémentaire de l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit :

Le vecteur position du point \mathrm{M} s'exprime dans la base cartésienne (\vec{u}_x, \vec{u}_y) par :

d'où :

On en déduit :

En intégrant par rapport à \theta, on obtient :

où C est une constante d'intégration fixée par la condition de référence :

On obtient finalement :

Le système étudié est le point matériel \mathrm{M} de masse m, dans le référentiel d'étude terrestre \mathcal{R} supposé galiléen.

Les forces appliquées à \mathrm{M} sont :

• le poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\sin\theta\,\vec{u}_\theta ;
• la tension du fil : \vec{T} = -T\,\vec{u}_r (portée par le fil, sans composante selon \vec{u}_\theta).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{u}_\theta et en utilisant l'expression de \vec{a} établie à la question Q16 (a_\theta = \ell_0\ddot{\theta}) :

En divisant par m\ell_0 et en introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{\ell_0}}, on obtient :

Dans l'approximation des petits mouvements (\theta \ll 1\text{ rad}), on effectue le développement limité à l'ordre 1 : \sin\theta \approx \theta. L'équation différentielle obtenue à la question Q18 devient :

avec \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{\ell_0}}.

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique linéaire. La solution générale s'écrit :

où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales :

• \theta(0) = A = \theta_0 ;
• \dot{\theta}(0) = B\omega_0 = 0 \implies B = 0.

La loi horaire du mouvement s'en déduit :

La période propre des oscillations libres est donnée par :

Application numérique : avec \ell_0 = 7{,}0\text{ m} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},

Le système étudié est le point matériel M de masse m, dans le référentiel terrestre \mathcal{R} supposé galiléen. Il est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\sin\theta\,\vec{u}_\theta ;
• la tension du fil \vec{T} = -T\,\vec{u}_r, portée par la direction radiale.

La position du point M s'écrit \vec{OM} = \ell(t)\,\vec{u}_r. En dérivant par rapport au temps sachant que \ell(t) varie :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation vectorielle selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta, la tension radiale n'intervient pas :

Comme la longueur \ell(t) est strictement positive, on peut diviser les deux membres par m\ell(t), ce qui conduit directement à l'équation différentielle recherchée :

Pendant le mouvement entre \mathrm{M}_{n,1} et \mathrm{M}_{n,2}, la longueur du fil est constante et vaut \ell(t) = \ell_0(1+\alpha).

Le système est le mobile de masse m dans le référentiel d'étude terrestre supposé galiléen. Il est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P}, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur ;
• la tension du fil \vec{T}, colinéaire à -\vec{u}_r.

La longueur du fil étant constante sur cet intervalle, la trajectoire est circulaire de rayon \ell_0(1+\alpha). Le vecteur vitesse \vec{v} = \ell_0(1+\alpha)\dot{\theta}\vec{u}_\theta est orthogonal à la tension du fil : la puissance développée par la tension est identiquement nulle (\vec{T}\cdot\vec{v} = 0). En l'absence de frottement, les forces non conservatives ne travaillent pas :

En adaptant le résultat de la question Q17 avec la longueur \ell = \ell_0(1+\alpha), l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit :

Écrivons l'énergie mécanique aux deux points :

• Au point initial \mathrm{M}_{n,1}, le mobile est lâché sans vitesse (v_{n,1}=0) à l'angle \theta_n :

  \mathcal{E}_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,1}) = -mg\ell_0(1+\alpha)\cos\theta_n

• Au point \mathrm{M}_{n,2}, le mobile passe par la verticale (\theta=0) avec la vitesse v_{n,2} :

  \mathcal{E}_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,2}) = \frac{1}{2}mv_{n,2}^2 - mg\ell_0(1+\alpha)

Par conservation de l'énergie mécanique :

Par identification avec l'expression proposée v_{n,2} = \sqrt{2g\ell_0\beta}\,(1 - \cos\theta_n)^\gamma, on obtient :

Le moment cinétique du point matériel \mathrm{M} calculé au point fixe \mathrm{O} s'écrit de manière générale :

Au passage par la verticale (\theta = 0), le vecteur vitesse est orthogonal au fil (selon \vec{u}_\theta) :

• Au point \mathrm{M}_{n,2}, la longueur du fil vaut \ell_2 = \ell_0(1+\alpha) et la vitesse est v_{n,2}, d'où :

  \vec{L}_{\mathrm{O}}(\mathrm{M}_{n,2}) = m\,\ell_0(1+\alpha)\,v_{n,2}\,\vec{u}_z

• Au point \mathrm{M}_{n,3}, après le raccourcissement instantané, la longueur vaut \ell_3 = \ell_0(1-\alpha) et la vitesse est v_{n,3}, d'où :

  \vec{L}_{\mathrm{O}}(\mathrm{M}_{n,3}) = m\,\ell_0(1-\alpha)\,v_{n,3}\,\vec{u}_z

Le moment résultant exercé sur le système étant supposé nul durant cette transition, le moment cinétique est conservé :

En utilisant l'expression de v_{n,2} obtenue à la question Q21 :

on en déduit l'expression de v_{n,3} :

Entre les points \mathrm{M}_{n,3} et \mathrm{M}_{n,4}, le fil a une longueur fixe \ell_2 = \ell_0(1 - \alpha). La tension du fil étant orthogonale au déplacement, elle ne travaille pas ; le poids étant la seule autre force appliquée, l'énergie mécanique se conserve :

En prenant comme à la question Q17 l'énergie potentielle de pesanteur nulle pour \theta = \pi/2, on a :

• en \mathrm{M}_{n,3} (\theta = 0 et v = v_{n,3}) :

  E_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,3}) = \frac{1}{2}m v_{n,3}^2 - mg\ell_0(1 - \alpha)

• en \mathrm{M}_{n,4} (\theta = \theta_{n+1} et vitesse nulle v = 0) :

  E_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,4}) = - mg\ell_0(1 - \alpha)\cos\theta_{n+1}

L'égalité des deux énergies mécaniques conduit à :

D'après le résultat de la question Q22 :

En reportant cette expression dans la relation précédente, il vient :

Par identification avec la relation demandée :

soit :

D'après la relation établie à la question Q23 :

L'énoncé précise que le paramètre \alpha vérifie 0 < \alpha < 1. On a donc :

Puisque la fonction cube est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}, il en découle :

Pour une amplitude initiale non nulle (\theta_n \in ]0, \pi[), le terme 1 - \cos\theta_n est strictement positif. On en déduit :

La fonction cosinus étant strictement décroissante sur l'intervalle [0, \pi], on obtient :

L'amplitude des balancements augmente ainsi strictement à chaque demi-oscillation.

D'après le résultat de la question Q23, la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u_n = 1 - \cos\theta_n vérifie :

Il s'agit d'une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0 = 1 - \cos\theta_0, d'où pour tout n \in \mathbb{N} :

L'indice n représente le nombre de demi-oscillations (un aller correspond au passage de \mathrm{M}_{n,1} à \mathrm{M}_{n,4}, soit une incrémentation de n de 1). Un aller-retour complet correspond donc à deux étapes élémentaires (\Delta n = 2). Après N allers-retours, l'indice atteint est :

L'indice suspendu en hauteur est atteint dès que l'angle maximal dépasse \pi/2, soit :

Ce qui s'écrit :

Comme \alpha \in {]0, 1[}, on a \frac{1+\alpha}{1-\alpha} > 1, d'où le nombre minimal d'allers-retours :

où \lceil x \rceil désigne la partie entière par excès.

Application numérique :

• 1 - \cos(20^\circ) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \approx 0{,}06031 \implies -\ln(1 - \cos 20^\circ) \approx 2{,}808

• Pour \alpha = 1/20 = 0{,}05 :

  \frac{1+\alpha}{1-\alpha} = \frac{1{,}05}{0{,}95} = \frac{21}{19} \approx 1{,}1053 \implies \ln\left(\frac{21}{19}\right) \approx 0{,}1001

On obtient :

Le nombre minimal d'allers-retours complets est donc :

Par définition du débit volumique à travers la section droite S = \ell h du canal microfluidique :

Convertissons le débit volumique en unités du Système International :

La section du canal vaut :

D'où l'application numérique pour la vitesse débitante :

Le nombre de Reynolds quantifie le rapport des effets inertiels aux effets visqueux au sein de l'écoulement. Il est défini par :

où L_{\mathrm{c}} est une dimension caractéristique transversale du canal (typiquement le diamètre hydraulique D_{\mathrm{h}} = \frac{4S}{2(\ell + h)} = \frac{2\ell h}{\ell + h} \approx 89\text{ }\mu\mathrm{m}, ou simplement L_{\mathrm{c}} \sim h \sim 80\text{ }\mu\mathrm{m}).

En prenant L_{\mathrm{c}} \approx 100\text{ }\mu\mathrm{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ m} :

Puisque \mathcal{R}e \ll 2\,000, les effets visqueux sont très largement prépondérants devant les effets inertiels :

Considérons un volume de contrôle fixe délimité par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite d'aire S_{\perp} perpendiculaire à l'axe (\mathrm{O}x), soit un volume élémentaire \mathrm{d}\tau = S_{\perp}\,\mathrm{d}x.

Le nombre de molécules de fluorescéine contenues dans ce volume à l'instant t vaut :

Pendant la durée \mathrm{d}t, en l'absence de création ou de destruction de fluorescéine, la variation du nombre de molécules résulte exclusivement du flux de particules à travers les parois en x et x+\mathrm{d}x orienté selon \vec{u}_x :

où j_x(x,t) = \vec{j}(x,t)\cdot\vec{u}_x désigne la composante selon (\mathrm{O}x) du vecteur densité de courant.

En divisant par S_{\perp}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t et en faisant tendre \mathrm{d}x et \mathrm{d}t vers zéro, on obtient l'équation locale de conservation de la matière :

D'après la première loi de Fick (équation 6), le transfert étant unidimensionnel suivant l'axe (\mathrm{O}x) :

En supposant le coefficient de diffusion D uniforme et constant dans le milieu, on reporte cette expression dans l'équation de conservation :

On en déduit l'équation de diffusion unidimensionnelle :

À l'instant t \to 0^+, la variable u = \dfrac{x}{\sqrt{4Dt}} tend vers l'infini :

• pour x > 0, u \to +\infty ;
• pour x < 0, u \to -\infty.

En utilisant la forme proposée pour la solution :

et la condition initiale C(x, 0^+) = C_0 pour x > 0 et C(x, 0^+) = 0 pour x < 0, on obtient :

D'après les données, \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-s^2}\,\mathrm{d}s = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, et par parité de la fonction gaussienne :

Le système d'équations s'écrit alors :

En sommant et en soustrayant ces deux équations, on en déduit immédiatement :

Pour tout instant t > 0, en x = 0, la variable u est nulle :

L'intégrale \displaystyle\int_0^0 \mathrm{e}^{-s^2}\,\mathrm{d}s est identiquement nulle, d'où :

L'écoulement le long de l'axe longitudinal \mathrm{O}y est stationnaire et à section constante. Les particules fluides sont transportées par advection à la vitesse moyenne v_{\mathrm{m}}, ce qui permet de relier la position y et la durée d'écoulement t par :

D'après l'équation de diffusion \dfrac{\partial C}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2}, l'analyse dimensionnelle fournit l'ordre de grandeur de la durée typique de diffusion t^* sur une distance transverse caractéristique L (par exemple la demi-largeur \ell/2 du canal) :

La longueur caractéristique de mélange y^* correspond à la distance parcourue le long du canal pendant cette durée de diffusion :

On constate que la longueur de mélange y^* est proportionnelle au débit volumique Q :

• Si le débit Q augmente, la vitesse d'écoulement augmente, le fluide passe moins de temps dans une section donnée du canal et la diffusion transverse a moins le temps d'agir : la longueur de mélange observable le long de l'axe y augmente (le mélange nécessite une plus grande distance pour s'opérer).
• Si le débit Q diminue, la longueur de mélange observable diminue et le mélange s'opère sur une plus courte distance le long du canal.

Un milieu ferromagnétique doux est un matériau magnétique caractérisé par un cycle d'hystérésis très étroit :

• son champ coercitif H_{\mathrm{c}} et son aimantation rémanente sont très faibles, de sorte qu'il s'aimante et se désaimante aisément sans dissiper d'énergie significative par hystérésis ;
• sa perméabilité magnétique relative est très élevée (\mu_{\mathrm{r}} \gg 1).

L'hypothèse de comportement linéaire consiste à négliger l'hystérésis et à supposer que le matériau ne s'approche pas de la saturation magnétique : la courbe de première aimantation est modélisée par une droite passant par l'origine.

Au sein d'un tel milieu (supposé de plus linéaire, homogène et isotrope), les vecteurs induction magnétique \vec{B} et excitation magnétique \vec{H} sont colinéaires et proportionnels :

où \mu_0 est la perméabilité magnétique du vide et \mu_{\mathrm{r}} la perméabilité magnétique relative du matériau (avec \mu_{\mathrm{r}} \gg 1).

On formule les hypothèses classiques d'étude d'un circuit magnétique :

• Absence de fuites magnétiques : les lignes de champ de \vec{B} sont entièrement canalisées à l'intérieur du matériau ferromagnétique et traversent les deux entrefers.
• Absence d'épanouissement dans les entrefers : les entrefers sont d'épaisseur x faible devant les dimensions transverses de la section (\sqrt{S}), de sorte que la section du faisceau reste égale à S dans l'entrefer.
• Uniformité : le champ \vec{B} est supposé uniforme sur toute section droite.

D'après l'équation de Maxwell-Thomson \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, le flux du champ magnétique \Phi = \iint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} se conserve le long du tube de flux. La section S étant constante, l'intensité du champ magnétique est identique dans le ferromagnétique et dans les entrefers :

D'après la question Q30, les lois de comportement des milieux s'écrivent :

• dans le ferromagnétique doux : \vec{B} = \mu_0 \mu_{\mathrm{r}} \vec{H}_{\text{ferro}}, soit H_{\text{ferro}} = \dfrac{B(x)}{\mu_0 \mu_{\mathrm{r}}} ;
• dans l'air constituant l'entrefer (\mu_{\mathrm{r,air}} \approx 1) : \vec{B} = \mu_0 \vec{H}_{\text{air}}, soit H_{\text{air}} = \dfrac{B(x)}{\mu_0}.

On applique le théorème d'Ampère au vecteur excitation magnétique \vec{H} sur un contour fermé \mathcal{C} suivant la ligne de champ moyenne du circuit, orientée dans le sens de \vec{B} :

Le contour \mathcal{C} traverse une longueur \ell de matériau ferromagnétique et deux entrefers de longueur x chacun (voir figure 13). La circulation de \vec{H} se décompose donc selon :

En égalant à N I, on obtient :

D'où l'expression recherchée :

Dans un milieu magnétique linéaire isotrope de perméabilité magnétique \mu, la densité volumique d'énergie magnétique s'écrit :

Le système {noyau+entrefer} est constitué :

• du noyau ferromagnétique doux, de perméabilité \mu = \mu_0 \mu_{\mathrm{r}} et de volume \mathcal{V}_{\text{noyau}} = S \ell ;
• de l'entrefer, constitué de deux lames d'air (assimilé au vide de perméabilité \mu_0) d'épaisseur x chacune, soit un volume total \mathcal{V}_{\text{entrefer}} = 2Sx.

L'énergie magnétique \mathcal{E}_{\mathrm{mag}}(x) est donc la somme de deux intégrales volumiques :

D'après les hypothèses de la question Q31, le champ magnétique B(x) est uniforme dans la section S et identique dans le noyau et dans les entrefers. Les intégrales volumiques se réduisent au produit de la densité d'énergie par le volume correspondant :

En injectant l'expression de B(x) = \dfrac{\mu_0 \mu_{\mathrm{r}} N I}{\ell + 2\mu_{\mathrm{r}} x} obtenue à la question Q31 :

ce qui se simplifie immédiatement en :

D'après le résultat de la question Q32, l'énergie magnétique du système s'écrit en fonction de l'intensité constante I :

En dérivant cette expression par rapport à x à courant I fixé :

On en déduit l'expression de la force exercée sur la partie mobile :

Commentaire sur le sens de la force : La force est portée par -\vec{u}_x, ce qui signifie qu'elle est dirigée vers la partie fixe (stator). Il s'agit d'une force attractive qui tend à diminuer la largeur x de l'entrefer pour fermer le circuit magnétique.

1. Représentation de la maille conventionnelle

Le cuivre cristallise dans le réseau cubique à faces centrées (CFC). Les atomes de cuivre occupent les 8 sommets du cube ainsi que les centres des 6 faces.

2. Nombre d'atomes de cuivre par maille

Chaque atome situé sur un sommet est partagé entre 8 mailles adjacentes, et chaque atome situé au centre d'une face est partagé entre 2 mailles :

3. Relation entre le paramètre de maille a et le rayon métallique R_{\mathrm{Cu}}

Dans le modèle des sphères dures, la direction de plus grand contact (tangence) est la diagonale de chaque face carrée de côté a.

Sur une diagonale de face de longueur d = a\sqrt{2}, les atomes de sommet sont en contact avec l'atome situé au centre de la face :

On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

La masse volumique \rho du cuivre s'exprime comme le rapport de la masse contenue dans une maille conventionnelle sur le volume de celle-ci :

La maille contient N = 4 atomes de cuivre (question Q34), soit une masse :

Le volume de la maille cubique de paramètre a = 2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}} vaut :

On en déduit l'expression littérale de la masse volumique du cuivre :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• M_{\mathrm{Cu}} = 63{,}5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 63{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}
• R_{\mathrm{Cu}} = 128\text{ pm} = 128 \cdot 10^{-12}\text{ m}

Dans une structure cubique à faces centrées (CFC), les sites octaédriques sont entourés de 6 atomes formant un octaèdre régulier. Ils sont situés :

• au centre du cube (coordonnées réduites \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)), entouré par les 6 atomes situés au centre des faces ;
• au milieu de chacune des 12 arêtes (coordonnées de type \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)), entouré par 2 atomes aux sommets de l'arête et 4 atomes aux centres des faces partageant cette arête.

Le dénombrement en propre pour une maille donne :

Un atome sphérique de rayon R_{\mathrm{o}} inséré dans un site octaédrique sans déformer le réseau hôte est au contact des atomes de cuivre voisins situés à une distance a/2. Le long d'une arête (ou d'une médiane joignant deux centres de faces opposées passant par le centre de la maille), la condition de tangence s'écrit :

D'après la relation de contact établie à la question Q34, a = 2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}}, d'où :

Application numérique : avec R_{\mathrm{Cu}} = 128\text{ pm},

Pour déterminer la nature de l'alliage, on compare le rayon métallique de l'étain R_{\mathrm{Sn}} :

• au rayon maximal des sites interstitiels octaédriques déterminé à la question Q36, R_{\mathrm{o}} \approx 53{,}0\text{ pm} :

  R_{\mathrm{Sn}} = 151\text{ pm} \gg R_{\mathrm{o}} \approx 53{,}0\text{ pm}

  L'atome d'étain est bien trop volumineux pour pouvoir s'insérer dans les interstices de la matrice de cuivre sans déstabiliser totalement l'édifice cristallin. L'insertion est donc exclue.

• au rayon métallique du cuivre hôte, R_{\mathrm{Cu}} = 128\text{ pm} : les deux rayons sont comparables (écart relatif d'environ 18\,\%).

Les atomes d'étain se placent ainsi sur certains nœuds du réseau cubique à faces centrées en remplacement (substitution) d'atomes de cuivre.

1. Calcul des nombres d'oxydation de l'étain

Dans les composés considérés, l'oxygène est au nombre d'oxydation -\mathrm{II} et l'hydrogène au nombre d'oxydation +\mathrm{I}. La somme des nombres d'oxydation des éléments d'un édifice est égale à sa charge globale :

• Dans \mathrm{Sn_{(s)}} (corps pur simple) :

  \mathrm{n.o.(Sn)} = 0

• Dans \mathrm{Sn_{(aq)}^{2+}} (ion monoatomique) :

  \mathrm{n.o.(Sn)} = +\mathrm{II}

• Dans \mathrm{HSnO_{2(aq)}^{-}} :

  \mathrm{n.o.(Sn)} + \mathrm{n.o.(H)} + 2\,\mathrm{n.o.(O)} = -1 \implies \mathrm{n.o.(Sn)} + 1 - 4 = -1 \implies \mathrm{n.o.(Sn)} = +\mathrm{II}

• Dans \mathrm{Sn_{(aq)}^{4+}} (ion monoatomique) :

  \mathrm{n.o.(Sn)} = +\mathrm{IV}

• Dans \mathrm{SnO_{2(s)}} :

  \mathrm{n.o.(Sn)} + 2\,\mathrm{n.o.(O)} = 0 \implies \mathrm{n.o.(Sn)} - 4 = 0 \implies \mathrm{n.o.(Sn)} = +\mathrm{IV}

• Dans \mathrm{SnO_{3(aq)}^{2-}} :

  \mathrm{n.o.(Sn)} + 3\,\mathrm{n.o.(O)} = -2 \implies \mathrm{n.o.(Sn)} - 6 = -2 \implies \mathrm{n.o.(Sn)} = +\mathrm{IV}

2. Attribution des domaines dans le diagramme E-pH

• Classement vertical (oxydoréduction) : le potentiel E croît avec le nombre d'oxydation. Le degré 0 se situe donc en bas, le degré +\mathrm{II} à un potentiel intermédiaire, et le degré +\mathrm{IV} en haut du diagramme.

• Classement horizontal (acidobasique) : à degré d'oxydation fixé, le pH augmente lorsque l'espèce cède des protons ou fixe des ions hydroxyde (forme la plus basique à droite) :

  • Au degré +\mathrm{II} : \mathrm{Sn^{2+}} est la forme acide (à gauche) et \mathrm{HSnO_2^-} est la forme basique (à droite).
  • Au degré +\mathrm{IV} : l'acidité décroît selon la séquence \mathrm{Sn^{4+}} (très acide, à gauche) \to \mathrm{SnO_{2(s)}} (amphotère, domaine central étendu) \to \mathrm{SnO_3^{2-}} (très basique, à droite).

On en déduit l'attribution des domaines :