Feuille d'entraînement : Instruments d'optique

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q1

   L'œil et l'appareil photographique sont tous deux des systèmes optiques d'imagerie associant un objectif convergent, un limiteur de flux lumineux et une surface sensible où se forme l'image nette de l'objet observé.

   On peut dresser les analogies suivantes :

   Élément de l'œil	Élément de l'appareil photo	Rôle optique commun
   Iris (ou pupille)	Diaphragme	Règle la quantité de lumière admise dans le système (ouverture numérique).
   Ensemble cornée + cristallin	Objectif (lentilles convergentes)	Réfracte et fait converger les rayons lumineux pour former une image réelle.
   Rétine	Capteur électronique (ou pellicule)	Surface photosensible sur laquelle se forme l'image nette.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q2

   Un œil emmétrope au repos n'accommode pas pour observer un objet situé à l'infini (\overline{OA} \to -\infty). L'image nette se forme alors sur la rétine, située à une distance d = 17\text{ mm} du centre optique de la lentille :

   \overline{OA'} = d = 17\text{ mm} = 17\times 10^{-3}\text{ m}

   D'après la formule de conjugaison avec origine au centre (rappelée en annexe 1) :

   \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = V

   Lorsque \overline{OA} \to -\infty, le foyer image F' coïncide avec la rétine, soit f' = d. La vergence V de l'œil au repos vaut donc :

   V = \frac{1}{d}

   Application numérique :

   \begin{aligned} V &= \frac{1}{17\times 10^{-3}\text{ m}} = \frac{1000}{17}\text{ }\delta \approx 59\text{ }\delta \quad (\text{ou }\text{m}^{-1}) \end{aligned}

   \boxed{V \approx 59\text{ }\delta}

   Résultat

   $$V\approx 59\delta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q3

   • Modification de la forme du cristallin lors de l'accommodation :
     Sous l'action de la contraction des muscles ciliaires, le cristallin se déforme en augmentant sa courbure (ses faces deviennent plus bombées). Son rayon de courbure diminue, ce qui augmente sa vergence afin de focaliser les rayons issus d'objets proches sur la rétine.
   • Nom du point le plus proche :
     Le point le plus proche qu'un œil peut voir net en accommodant au maximum est appelé le punctum proximum (noté PP).

   • Calcul de la vergence correspondante :
     L'objet se situe au punctum proximum, soit en mesure algébrique :

     \overline{OA} = -25\text{ cm} = -0{,}25\text{ m}

     L'image doit se former sur la rétine située à la distance d = 17\text{ mm}, soit :

     \overline{OA'} = +17\text{ mm} = 17 \times 10^{-3}\text{ m}

     D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre (rappelée en annexe 1) :

     \begin{aligned} V_{\text{acc}} &= \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} \\ &= \frac{1}{17 \times 10^{-3}} - \frac{1}{-0{,}25} \\ &= \frac{1000}{17} + 4{,}0 \approx 58{,}8 + 4{,}0 \end{aligned}

     On obtient :

     \boxed{V_{\text{acc}} \approx 63\text{ }\delta \quad (\text{ou } 62{,}8\text{ }\delta)}

   Résultat

   $$V_{\text{acc}}\approx 63\delta (\text{ou }62,8\delta )$$

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4. Exercice 4E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q4

   Un système optique est dit afocal s'il donne d'un objet situé à l'infini une image située à l'infini :

   A_\infty \xrightarrow{(\mathrm{L}_1)} A_1 \xrightarrow{(\mathrm{L}_2)} A'_\infty

   • L'objectif (\mathrm{L}_1) forme d'un objet à l'infini une image intermédiaire située dans son plan focal image, le point sur l'axe étant le foyer principal image \mathrm{F}'_1.
   • Pour que l'oculaire (\mathrm{L}_2) donne de cette image intermédiaire une image définitive rejetée à l'infini, elle doit être située dans son plan focal objet, le point sur l'axe étant le foyer principal objet \mathrm{F}_2.

   Par conséquent, la condition d'afocalité impose que :

   \boxed{\mathrm{F}'_1 \text{ et } \mathrm{F}_2 \text{ sont confondus}}

   Calculons l'encombrement \ell = \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2 = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} de la lunette en utilisant la relation de Chasles le long de l'axe optique :

   \begin{aligned} \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}'_1\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} - \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} \end{aligned}

   Or, par définition des distances focales pour chaque lentille :

   \begin{aligned} \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} &= f'_1 \\ \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} &= -f'_2 = |f'_2| \quad (\text{puisque } f'_2 < 0) \end{aligned}

   On en déduit l'expression de l'encombrement :

   \boxed{\ell = f'_1 - |f'_2|}

   Comme l'énoncé précise que |f'_2| < f'_1, l'encombrement \ell est bien strictement positif.

   Résultat

   $${\mathrm{F}}_1^{\prime }\text{ et }{\mathrm{F}}_2\text{ sont confondus}$$

   $$\ell =f_1^{\prime }-|f_2^{\prime }|$$

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5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q5

   1. Construction géométrique :

   • Le rayon incident passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié par (L_1) et se propage en ligne droite jusqu'à la lentille (L_2). En prolongeant sa trajectoire en pointillés au-delà de (L_2), il coupe le plan focal image de (L_1) en un foyer secondaire image intermédiaire B_1.
   • Tout autre rayon incident parallèle au premier converge vers ce même foyer intermédiaire B_1. Entre (L_1) et (L_2), il est donc dévié vers B_1 (tracé en trait plein jusqu'à (L_2), puis en pointillés au-delà).
   • Le point B_1 appartient au plan focal objet de (L_2) car la lunette est afocale (F'_1 \equiv F_2). C'est un foyer secondaire objet virtuel pour (L_2).
   • Par conséquent, le faisceau émergeant de (L_2) est constitué de rayons parallèles entre eux, orientés selon la direction de la droite passant par O_2 et B_1, faisant un angle \alpha' avec l'axe optique.

   2. Tracé des rayons :

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q6

   L'image du Fort à travers les jumelles apparaît droite.

   Justification :

   • D'après le tracé des rayons réalisé à la question précédente (Q5), les rayons incidents inclinés d'un angle \alpha vers le haut par rapport à l'axe optique (provenant du haut du Fort) émergent de l'oculaire divergent en faisant un angle \alpha' également orienté vers le haut (\alpha et \alpha' sont de même signe).
   • L'observateur voit donc le sommet du Fort au-dessus de l'axe optique : l'image virtuelle rejetée à l'infini a la même orientation que l'objet observé à l'œ il nu.

   \boxed{\text{L'image apparaît droite.}}

   Résultat

   $$\text{L’image apparaıˆt droite.}$$

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7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2024, Q[28]

   L'intensité lumineuse au foyer s'exprime comme le rapport de la puissance lumineuse P à la surface de la tache de focalisation :

   I_{\text{foyer}} \sim \frac{P}{\pi (\Delta x)^2}

   D'après la question Q[26], la diffraction impose une taille transverse minimale de la tache focale :

   \Delta x \sim \frac{\lambda f}{w}

   où w désigne le diamètre transverse du faisceau incident intercepté par la lentille. L'intensité au foyer varie donc comme :

   I_{\text{foyer}} \propto \frac{P\, w^2}{\lambda^2 f^2}

   Pour une puissance incidente P, une longueur d'onde \lambda et une distance focale f fixées, maximiser l'intensité au foyer exige de minimiser la taille de la tache focale \Delta x, et donc de maximiser la largeur w du faisceau.

   Comme le diamètre utile du faisceau est limité par l'ouverture de la lentille (w \le D, où D désigne le diamètre de la lentille), il convient de choisir :

   \boxed{\text{un diamètre de lentille le plus grand possible}}

   de façon à maximiser l'angle d'ouverture numérique \theta \simeq \frac{D}{2f} (ou à minimiser le rapport d'ouverture f/D).

   Résultat

   $$\text{un diameˋtre de lentille le plus grand possible}$$

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8. Exercice 8ENS Physique U PSI 2022, Q15

   D'après l'expression de la section efficace de diffusion obtenue à la question 13 :

   \sigma(\omega) = \frac{q^4 \omega^4}{6\pi \epsilon_0^2 m^2 c^4 \left[ (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2 \gamma(\omega)^2 \right]}

   À la résonance (\omega = \omega_0), le terme d'écart quadratique s'annule :

   \sigma(\omega_0) = \frac{q^4 \omega_0^4}{6\pi \epsilon_0^2 m^2 c^4 \cdot \omega_0^2 \gamma(\omega_0)^2} = \frac{q^4 \omega_0^2}{6\pi \epsilon_0^2 m^2 c^4 \gamma(\omega_0)^2}

   En utilisant l'expression du taux d'amortissement par rayonnement \gamma(\omega_0) = \frac{q^2 \omega_0^2}{6\pi \epsilon_0 m c^3} (équation 5) :

   \sigma(\omega_0) = \frac{q^4 \omega_0^2}{6\pi \epsilon_0^2 m^2 c^4} \times \frac{36 \pi^2 \epsilon_0^2 m^2 c^6}{q^4 \omega_0^4} = 6\pi \left(\frac{c}{\omega_0}\right)^2

   Sachant que \lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega_0}, soit \frac{c}{\omega_0} = \frac{\lambda_0}{2\pi}, il vient :

   \boxed{\sigma(\omega_0) = \frac{3}{2\pi}\lambda_0^2 \sim \lambda^2}

   Le facteur numérique vaut \frac{3}{2\pi} \approx 0{,}5, la section efficace de diffusion à résonance est donc bien du même ordre de grandeur que \lambda^2.

   Possibilité de « voir » un atome unique :

   Il convient de distinguer deux acceptions du verbe « voir » :

   • Résolution spatiale (imagerie de forme) : la taille géométrique de l'atome est r_0 \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}. D'après le critère de diffraction d'Abbe, la résolution spatiale ultime d'un système optique opérant dans le visible (\lambda \sim 500\text{ nm}) est de l'ordre de d_{\min} \approx \frac{\lambda}{2\mathrm{ON}} \sim 250\text{ nm} \gg r_0. Il est donc impossible de résoudre la forme ou les contours d'un atome avec des photons visibles, que ce soit à l'œil nu, avec une loupe ou avec un microscope optique.

   • Détection photométrique (visibilité d'un point lumineux) : un objet ponctuel émetteur ou diffuseur de lumière peut être détecté dès lors que le nombre de photons collectés par l'œil ou le capteur émerge du bruit de fond. À résonance, la section efficace \sigma(\omega_0) \sim 10^{-13}\text{ m}^2 est gigantesque par rapport à la section géométrique de l'atome (\pi r_0^2 \sim 10^{-20}\text{ m}^2). Sous une intensité laser saturante, un atome diffuse continûment un flux de photons de l'ordre de :

     \Phi_{\mathrm{phot}} \sim \frac{1}{2\tau} \sim 10^7 \text{ à } 10^8\text{ photons}\cdot\text{s}^{-1}

   Conditions requises pour la détection :

   1. Immobilisation : l'atome doit être piégé (piège magnéto-optique, piège de Paul pour un ion) et refroidi dans un ultra-vide afin de ne pas quitter la zone d'éclairement.
   2. Éclairage résonant : excitation par un laser accordé précisément à la pulsation \omega_0 pour bénéficier de la résonance et maximiser la diffusion.
   3. Absence de lumière parasite : observation sur fond noir absolu pour maximiser le contraste.

   Selon le dispositif d'observation :

   • Avec un microscope : oui, très aisément. Un objectif à grande ouverture numérique collecte une fraction substantielle de l'angle solide (\sim 10\,\%), focalisant jusqu'à 10^6\text{--}10^7\text{ photons}\cdot\text{s}^{-1} sur une caméra ultrasensible (ou à l'oculaire), formant une tache de diffraction très brillante.
   • Avec une loupe / à l'œil nu : à l'œil nu situé à la distance minimale de vision distincte (d_m \approx 25\text{ cm}), la pupille (diamètre \approx 6\text{ mm} dans le noir) sous-tend une fraction d'angle solide \frac{\Delta\Omega}{4\pi} = \frac{\pi (3\times 10^{-3})^2}{4\pi \times 0{,}25^2} \approx 3{,}6\times 10^{-5}. Le flux reçu par la rétine est de quelques milliers de photons par seconde. Comme le seuil de sensibilité absolue de la vision scotopique (bâtonnets) est de l'ordre de quelques dizaines de photons par seconde, un atome (ou un ion) unique est effectivement visible à l'œil nu (et encore plus confortablement à travers une loupe qui accroît l'angle solide de collection) sous forme d'un minuscule point lumineux, dans une obscurité parfaite.

   Résultat

   $$\sigma ({\omega }_0)=\frac{3}{2\pi }{\lambda }_0^2\sim {\lambda }^2$$

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9. Exercice 9X-ENS Physique PSI 2021, Q36

   Le chemin optique des deux rayons se décompose selon les étapes suivantes :

   • Source ponctuelle au foyer objet F_1 de (L_1) : Le point d'émergence des faisceaux à la sortie du cristal est situé sur l'axe optique (\Delta) à une distance f_1 de la lentille (L_1). Ce point coïncide donc avec le foyer principal objet F_1 de (L_1). Le rayon 1 (trait plein, angle \theta_1) et le rayon 2 (pointillés, angle \theta_2) partent de ce point.
   • Traversée de (L_1) : Tout rayon issu du foyer objet F_1 émerge de (L_1) parallèlement à l'axe optique (\Delta). Entre (L_1) et (L_2), les deux rayons sont donc parallèles à (\Delta), situés respectivement aux ordonnées y_1 = f_1 \tan\theta_1 \approx f_1 \theta_1 et y_2 = f_1 \tan\theta_2 \approx f_1 \theta_2.
   • Traversée de (L_2) : Tout rayon incident parallèle à l'axe optique émerge d'une lentille convergente en passant par son foyer principal image F'_2. Par conséquent, les deux rayons convergent et se croisent exactement sur l'axe optique en F'_2.
   • Traversée de l'objectif : Après avoir franchi F'_2, les rayons divergent depuis l'axe optique et atteignent l'objectif sous des angles respectifs \alpha_1 et \alpha_2 par rapport à l'axe (\Delta). Comme l'écran de détection est situé dans le plan focal image de l'objectif (à la distance f_{\text{obj}}), tous les rayons ayant une même inclinaison \alpha convergent au foyer secondaire image correspondant, situé à la distance F'_{\text{obj}}C \approx f_{\text{obj}} |\alpha| sous l'axe optique. On construit ce point en traçant un rayon fictif parallèle passant par le centre optique de l'objectif.

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10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2021, Q37

    Considérons le rayon issu du cristal avec l'angle \theta_1 par rapport à l'axe optique (\Delta) :

    1. Traversée de la lentille (L_1) :
       Le point d'émergence sur le cristal est situé sur l'axe optique à la distance f_1 devant (L_1), c'est-à-dire au foyer objet F_1 de la lentille (L_1). Le rayon atteint (L_1) à une hauteur comptée par rapport à l'axe optique :

       h_1 = f_1 \tan\theta_1 \approx f_1 \theta_1

       Étant issu du foyer objet F_1, il émerge de la lentille (L_1) parallèlement à l'axe optique (\Delta), en conservant la hauteur h_1.

    2. Traversée de la lentille (L_2) :
       Le rayon frappe la lentille (L_2) à la même hauteur h_2 = h_1 \approx f_1 \theta_1. Comme il est parallèle à l'axe optique avant (L_2), il émerge en passant par le foyer image F'_2 de (L_2), situé à la distance focale f_2 derrière celle-ci. L'angle \alpha_1 que fait ce rayon avec l'axe optique après (L_2) vérifie :

       \tan\alpha_1 = \frac{h_2}{f_2} = \frac{f_1}{f_2} \tan\theta_1 \approx \frac{f_1}{f_2} \theta_1

    3. Traversée de l'objectif et formation du point C_1 :
       Le rayon pénètre dans l'objectif sous l'inclinaison \alpha_1 par rapport à l'axe optique. La surface sensible de la caméra est disposée dans le plan focal image de l'objectif.

       Or, dans les conditions de Gauss, tout rayon incliné d'un angle \alpha_1 par rapport à l'axe optique coupe le plan focal image en un point situé à la distance du foyer image F'_{\text{obj}} donnée par :

       F'_{\text{obj}}C_1 = f_{\text{obj}} \tan\alpha_1 \approx f_{\text{obj}} \alpha_1

       (ce résultat s'obtient directement en considérant le rayon parallèle fictif passant sans déviation par le centre optique de l'objectif).

    En remplaçant \alpha_1 par son expression en fonction de \theta_1, on obtient :

    \boxed{F'_{\text{obj}}C_1 = \frac{f_1 f_{\text{obj}}}{f_2} \theta_1}

    Résultat

    $$F_{\text{obj}}^{\prime }{C}_1=\frac{f_1{f}_{\text{obj}}}{f_2}{\theta }_1$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question