Corrigé détaillé ENS Physique U PSI 2022

Dans le modèle de Thomson, l'atome est globalement électriquement neutre. Pour un atome constitué d'un seul électron de charge -e, la sphère doit porter une charge positive totale Q = +e.

La densité volumique de charge \rho étant uniforme à l'intérieur de la sphère de rayon r_0 et de volume V = \frac{4}{3}\pi r_0^3, la charge totale de la sphère s'écrit :

On en déduit l'expression de la densité de charge positive :

Soit un point M situé à l'intérieur de la sphère de charge positive, à la distance r = \|\mathbf{r}\| \le r_0 du centre O.

• Symétries et invariances : La distribution de charge présente une symétrie sphérique autour de O. Tout plan passant par O et M est un plan de symétrie de la distribution, donc le champ électrostatique est radial : \mathbf{E}(\mathbf{r}) = E(r)\,\mathbf{u}_r. Par invariance sous toute rotation de centre O, la composante radiale E(r) ne dépend que de la distance r.

• Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S}_G la sphère de centre O et de rayon r \le r_0, orientée vers l'extérieur. Le flux sortant du champ électrique à travers \mathcal{S}_G s'écrit :

  \Phi = \iint_{\mathcal{S}_G} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = E(r) \iint_{\mathcal{S}_G} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

  La charge intérieure à \mathcal{S}_G est celle d'une boule de rayon r uniformément chargée :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3

  D'après le théorème de Gauss :

  \begin{aligned} 4\pi r^2 E(r) &= \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{4}{3}\pi r^3 \\ E(r) &= \frac{\rho}{3\epsilon_0}r \end{aligned}

En utilisant l'expression de \rho = \dfrac{3e}{4\pi r_0^3} obtenue à la question 1, le champ électrique vu par l'électron s'écrit :

L'électron, de charge q = -e, subit la force électrostatique :

Cette force est centrale, dirigée vers le centre O et proportionnelle au déplacement \mathbf{r}. Elle est formellement identique à la force de rappel élastique exercée par un ressort idéal de raideur équivalente :

C'est pourquoi ce modèle de l'atome est qualifié de « modèle de l'électron élastiquement lié ».

On étudie l'électron (masse m, charge q = -e) dans le référentiel du noyau, supposé galiléen du fait de la masse infinie attribuée à la sphère positive.

L'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique calculée à la question Q2 :

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

en posant la pulsation propre :

À t = 0, l'électron est écarté d'un vecteur \mathbf{r}_0 \neq \mathbf{0} (avec \|\mathbf{r}_0\| < r_0) et relâché sans vitesse initiale (\dot{\mathbf{r}}(0) = \mathbf{0}). La direction de rappel restant colinéaire à la droite passant par le centre O et la position initiale, le mouvement est rectiligne le long de cet axe.

La solution de l'équation du mouvement s'écrit :

L'électron effectue donc des oscillations harmoniques simples non amorties de pulsation \omega_0 le long de la direction définie par sa position initiale, en restant confiné à l'intérieur de la sphère puisque \forall t,\ \|\mathbf{r}(t)\| \le \|\mathbf{r}_0\| < r_0.

Dans le modèle de Thomson, l'électron oscille à sa pulsation propre \omega_0. Le dipôle ainsi formé rayonne une onde électromagnétique de même pulsation dans le vide, de sorte que la longueur d'onde de la raie d'émission associée s'écrit :

D'après la question Q3, la pulsation propre vérifie :

On en déduit l'expression du rayon r_0 :

d'où :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs fournies :

• e \approx 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
• \lambda = 122\text{ nm} \approx 1{,}2 \times 10^{-7}\text{ m}
• \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9{,}0 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}
• m \approx 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg}
• c \approx 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

La pulsation propre vaut :

ce qui conduit à :

En prenant la racine cubique avec un chiffre significatif :

Cette valeur est de l'ordre de grandeur de l'angström (1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m}), ce qui coïncide remarquablement avec la taille typique d'un atome (le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène vaut a_0 \approx 0{,}53\text{ \AA}). Ce résultat est donc tout à fait raisonnable.

Le mouvement de l'électron selon l'axe Oz est harmonique de pulsation \omega_0 :

Sa vitesse scalaire s'écrit \dot{z}(t) = - z_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi), d'où une vitesse maximale :

L'électron restant confiné à l'intérieur de l'atome de Thomson, son amplitude d'oscillation vérifie z_0 \le r_0. La pulsation propre est liée à la longueur d'onde du rayonnement par \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda}. Le rapport entre la vitesse maximale et la vitesse de la lumière s'exprime ainsi :

Avec r_0 \approx 1 \times 10^{-10}\text{ m} (déterminé à la question Q4) et \lambda = 122\text{ nm} \approx 1 \times 10^{-7}\text{ m} :

Soit une vitesse maximale de l'ordre de v_{\max} \approx 1{,}5 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le mouvement de l'électron est donc bien non relativiste.

D'après l'énoncé, le champ électromagnétique rayonné à grande distance possède localement la structure d'une onde plane progressive se propageant selon la direction radiale \mathbf{n} = \mathbf{u}_r. Le champ magnétique associé s'écrit donc :

puisque \mathbf{n} \times \mathbf{u}_\theta = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_\theta = \mathbf{u}_\phi.

Le vecteur de Poynting instantané est \mathbf{\Pi} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{\mu_0} = \epsilon_0 c E^2 \mathbf{n}. En notation complexe, sa valeur moyenne sur une période T = 2\pi/\omega_0 s'exprime par :

En utilisant l'expression du champ électrique issue de l'équation (2) :

On en déduit la valeur moyenne du vecteur de Poynting :

La puissance moyenne rayonnée \mathcal{P} est le flux sortant de \langle \mathbf{\Pi} \rangle à travers une sphère \mathcal{S} de rayon r' centrée sur l'atome, d'élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\mathbf{S} = {r'}^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\,\mathbf{u}_r :

L'intégrale sur \phi vaut 2\pi. Pour l'intégrale sur \theta, on applique la formule donnée dans l'énoncé avec X = \pi :

On obtient ainsi :

ce qui donne bien la formule de Larmor pour un dipôle oscillant :

L'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique constitué par l'électron élastiquement lié vaut :

Pour une oscillation quasi sinusoïdale de pulsation \omega_0 et d'amplitude z_0, la valeur moyenne de l'énergie mécanique sur une période est :

En l'absence de source extérieure d'énergie, la puissance moyenne perdue par l'atome est égale à la puissance moyenne \mathcal{P} rayonnée à l'infini (établie à la question Q6) :

Puisque \mathcal{P} > 0, l'énergie mécanique moyenne décroît strictement au cours du temps : le mouvement de l'électron s'amortit.

En exprimant \mathcal{P} directement en fonction de \langle E_m \rangle, on obtient :

L'énergie mécanique décroît exponentiellement selon \langle E_m\rangle(t) = \langle E_m\rangle(0)\,e^{-\gamma t}. Comme l'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude (\langle E_m \rangle \propto z_0^2), l'amplitude des oscillations décroît selon :

Le temps caractéristique d'amortissement de l'amplitude des oscillations est donc :

En introduisant \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda} et q = -e, cette expression se réécrit :

Application numérique : Avec \lambda = 122\text{ nm} \approx 1{,}2 \times 10^{-7}\text{ m} (donnée de la question Q4), m = 9{,}11\times 10^{-31}\text{ kg}, e = 1{,}60\times 10^{-19}\text{ C}, \epsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et c = 3{,}00\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Avec un chiffre significatif :

Considérons le système fermé constitué de l'atome complet : le noyau de masse M, de charge -q = +e situé en \mathbf{R}, et l'électron de masse m, de charge q = -e situé en \mathbf{R} + \mathbf{r}.

Comme la masse du noyau est très supérieure à celle de l'électron (M \gg m), le centre de masse de l'atome coïncide en excellente approximation avec la position du noyau :

Appliquons le théorème de la résultante dynamique au système global dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

1. Forces intérieures : Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la somme des forces d'interaction mutuelle entre le noyau et l'électron (force élastique de rappel et attraction coulombienne) est strictement nulle :

   \mathbf{F}_{\text{int}} = \mathbf{F}_{n\to e} + \mathbf{F}_{e\to n} = \mathbf{0}

2. Forces extérieures : Les forces extérieures sont dues au champ électromagnétique incident (\mathbf{E}, \mathbf{B}).

   • Force électrique : Le noyau étant en \mathbf{R} et l'électron en \mathbf{R}+\mathbf{r}, la force électrique totale s'écrit :

     \mathbf{F}_{\text{el, ext}} = -q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t) + q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}+\mathbf{r}, t)

     L'énoncé précise que |\mathbf{r}| \ll \lambda (approximation dipolaire). Le champ incident varie donc de façon négligeable à l'échelle de l'atome, soit au premier ordre (ordre zéro en |\mathbf{r}|/\lambda) :

     \mathbf{E}(\mathbf{R}+\mathbf{r}, t) \approx \mathbf{E}(\mathbf{R}, t)

     L'atome étant globalement neutre, la résultante électrique s'annule :

     \mathbf{F}_{\text{el, ext}} \approx -q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t) + q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t) = \mathbf{0}
   • Force magnétique : La force de Lorentz magnétique s'écrit q_{\text{part}}\mathbf{v}\times\mathbf{B}. En ordre de grandeur, B \sim E/c, donc F_{\text{mag}} \sim \frac{v}{c}F_{\text{el}}. Le mouvement de l'électron étant non-relativiste (v/c \ll 1, vérifié à la question 5), la force magnétique est négligeable devant la force électrique individuelle subie par chaque charge.

La résultante des forces extérieures appliquées à l'atome est donc nulle en première approximation :

L'atome étant initialement au repos, son centre de masse reste immobile sous l'effet du champ. En choisissant l'origine au centre de masse initial, on a bien :

D'après l'équation (5), le taux d'amortissement \gamma(\omega) s'écrit :

avec q = -e. Formons le rapport sans dimension :

en utilisant la relation de dispersion dans le vide \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}.

Pour le domaine visible, la longueur d'onde typique est de l'ordre de \lambda \approx 500\text{ nm} = 5\times 10^{-7}\text{ m}, ce qui correspond à une pulsation :

Effectuons l'application numérique avec les constantes fournies :

soit \gamma(\omega) \sim 10^8\text{ s}^{-1}. On constate donc que :

L'approximation d'un amortissement très faible est donc parfaitement justifiée dans le domaine optique.

On étudie l'électron de masse m et de charge q dans le référentiel lié au noyau, supposé galiléen puisque le noyau, infiniment lourd devant l'électron (M \gg m), est considéré fixe à l'origine (\mathbf{R} = \mathbf{0}, d'après la question 8).

L'électron est soumis aux actions mécaniques suivantes :

• la force de rappel élastique exercée par le noyau :

  \mathbf{F}_{\text{rappel}} = -\kappa \mathbf{r} = -m\omega_0^2 \mathbf{r}

• la force de réaction de rayonnement introduite à la question 9 :

  \mathbf{F}_{\text{rad}} = -m\gamma(\omega)\dot{\mathbf{r}}

• la force de Lorentz due à l'onde incidente, \mathbf{F}_{\text{L}} = q\big(\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)\big).

  • Approximation dipolaire électrique : l'extension du mouvement de l'électron vérifie |\mathbf{r}| \ll \lambda, donc |\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}| \ll 1. Le champ électrique perçu par l'électron se réduit à sa valeur en \mathbf{R}=\mathbf{0} :

    \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \approx \mathbf{E}(\mathbf{0}, t) = E_0 e^{-i\omega t}\mathbf{e}_x

  • Négligence de la composante magnétique : pour une onde plane dans le vide, B \sim E/c. Le mouvement étant non-relativiste (v \ll c, établi à la question 5), le rapport des forces vérifie :

    \frac{\|\mathbf{F}_{\text{mag}}\|}{\|\mathbf{F}_{\text{el}}\|} \sim \frac{q v B}{q E} \sim \frac{v}{c} \ll 1

    La partie magnétique de la force de Lorentz est donc négligeable devant la composante électrique.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit alors :

Par linéarité de cette équation différentielle, on adopte la notation complexe pour la variable de position \mathbf{r}(t). En divisant par la masse m et en regroupant les termes d'inconnue \mathbf{r}, on obtient :

L'équation différentielle linéaire du mouvement de l'électron obtenue à la question Q10 s'écrit :

La solution générale de cette équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation homogène \mathbf{r}_h(t) et d'une solution particulière \mathbf{r}_p(t) associée au second membre.

L'équation caractéristique associée à l'équation homogène est :

Le discriminant est négatif car \gamma(\omega) \ll \omega_0 (question Q9) : \Delta = \gamma^2 - 4\omega_0^2 < 0. Les deux racines complexes conjuguées sont :

Comme la partie réelle de ces racines est strictement négative (-\gamma/2 < 0), la solution homogène \mathbf{r}_h(t), qui décrit le régime transitoire, décroît exponentiellement vers zéro avec un temps caractéristique \tau = 2/\gamma :

Après l'extinction du régime transitoire, il ne subsiste que le régime forcé (ou stationnaire), oscillant à la pulsation \omega de l'onde incidente. On cherche cette solution sous la forme :

Les dérivées temporelles successives s'écrivent :

En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement, on obtient :

Soit, en simplifiant par e^{-i\omega t} :

En multipliant par la charge q de l'électron, on obtient le moment dipolaire induit complexe q\mathbf{r}_\omega :

On en déduit bien la relation demandée :

En régime stationnaire, le mouvement de l'électron est purement sinusoïdal de pulsation \omega le long de l'axe Ox :

Par analogie directe avec la formule (3) établie à la question 6 pour une oscillation sinusoïdale d'amplitude z_0 à la pulsation \omega_0, la puissance moyenne rayonnée par l'électron sous l'effet du champ excitateur à la pulsation \omega avec une amplitude \|\mathbf{r}_\omega\| s'écrit :

D'après la question 11, on a q \mathbf{r}_\omega = \alpha_c(\omega) E_0 \mathbf{e}_x, d'où q^2 \|\mathbf{r}_\omega\|^2 = |\alpha_c(\omega)|^2 |E_0|^2. On en déduit l'expression de la puissance rayonnée :

Origine de l'énergie L'électron en régime permanent a une énergie mécanique moyenne constante. L'énergie rayonnée par l'atome est continûment prélevée sur l'onde électromagnétique incidente par le travail de la force électrique appliquée sur l'électron. En effet, la puissance moyenne fournie par le champ incident à l'électron est :

Comme \text{Im}(\alpha_c(\omega)) = \frac{\omega \gamma(\omega) q^2 / m}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2\gamma^2} et \gamma(\omega) = \frac{q^2\omega^2}{6\pi\epsilon_0 m c^3}, on vérifie immédiatement que :

Lumière diffusée L'onde incidente est directionnelle (se propageant selon +\mathbf{e}_z). L'atome prélève de l'énergie sur cette onde incidente et la réémet sous forme d'une onde dipolaire sphérique à la même fréquence \omega dans toutes les directions de l'espace (diagramme en \sin^2\theta). Cette redistribution spatiale omnidirectionnelle de l'énergie sans modification de fréquence correspond précisément au phénomène de diffusion élastique (diffusion Rayleigh en régime basse fréquence).

D'après le résultat de la question Q12, la puissance moyenne rayonnée par l'atome en régime stationnaire s'écrit :

La puissance moyenne par unité de surface transportée par l'onde incidente plane est donnée par le vecteur de Poynting moyen incident :

On en déduit l'expression du rapport \sigma(\omega) = \frac{\mathcal{P}}{I_{\text{inc}}} :

En injectant le module au carré de la polarisabilité dynamique établie à la question Q11 :

on obtient finalement :

Interprétation physique : La grandeur \sigma(\omega) est la section efficace de diffusion (scattering cross-section) de l'atome. Elle représente la surface fictive transverse que doit présenter l'atome au faisceau incident pour que la puissance lumineuse incidente interceptée à travers cette aire soit exactement égale à la puissance totale réémise (diffusée) dans tout l'espace :

D'après la question Q13, la section efficace de diffusion s'écrit :

Dans la limite basse fréquence \omega \ll \omega_0, sachant d'après la question Q9 que \gamma(\omega) \ll \omega \ll \omega_0, le dénominateur se simplifie au premier ordre non nul :

La section efficace devient alors :

En identifiant cette expression avec la forme proposée :

on obtient pour le terme préfactoriel (avec q^2 = e^2) :

Par définition positive du rayon, on en déduit :

Application numérique : Avec les valeurs numériques du formulaire :

• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}
• \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} (soit 4\pi\epsilon_0 \approx 1{,}11 \times 10^{-10}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1})
• m = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}
• c \approx 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

Avec un chiffre significatif :

Commentaire sur l'ordre de grandeur : La longueur r_e est le rayon classique de l'électron (ou rayon de Lorentz). C'est l'échelle à laquelle l'énergie potentielle électrostatique d'une sphère de charge e est de l'ordre de son énergie de masse au repos m c^2. Cette longueur (\sim 1\text{ fm}) est de l'ordre de grandeur de la taille d'un noyau atomique, et est environ 10^5 fois plus petite que la taille typique d'un atome (r_0 \sim 10^{-10}\text{ m}). Bien que la physique quantique décrive l'électron comme ponctuel, r_e donne l'échelle de section efficace de diffusion classique de la lumière (diffusion Thomson \sigma_{\mathrm{Th}} = \frac{8\pi}{3}r_e^2).

D'après l'expression de la section efficace de diffusion obtenue à la question 13 :

À la résonance (\omega = \omega_0), le terme d'écart quadratique s'annule :

En utilisant l'expression du taux d'amortissement par rayonnement \gamma(\omega_0) = \frac{q^2 \omega_0^2}{6\pi \epsilon_0 m c^3} (équation 5) :

Sachant que \lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega_0}, soit \frac{c}{\omega_0} = \frac{\lambda_0}{2\pi}, il vient :

Le facteur numérique vaut \frac{3}{2\pi} \approx 0{,}5, la section efficace de diffusion à résonance est donc bien du même ordre de grandeur que \lambda^2.

Possibilité de « voir » un atome unique :

Il convient de distinguer deux acceptions du verbe « voir » :

• Résolution spatiale (imagerie de forme) : la taille géométrique de l'atome est r_0 \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}. D'après le critère de diffraction d'Abbe, la résolution spatiale ultime d'un système optique opérant dans le visible (\lambda \sim 500\text{ nm}) est de l'ordre de d_{\min} \approx \frac{\lambda}{2\mathrm{ON}} \sim 250\text{ nm} \gg r_0. Il est donc impossible de résoudre la forme ou les contours d'un atome avec des photons visibles, que ce soit à l'œil nu, avec une loupe ou avec un microscope optique.

• Détection photométrique (visibilité d'un point lumineux) : un objet ponctuel émetteur ou diffuseur de lumière peut être détecté dès lors que le nombre de photons collectés par l'œil ou le capteur émerge du bruit de fond. À résonance, la section efficace \sigma(\omega_0) \sim 10^{-13}\text{ m}^2 est gigantesque par rapport à la section géométrique de l'atome (\pi r_0^2 \sim 10^{-20}\text{ m}^2). Sous une intensité laser saturante, un atome diffuse continûment un flux de photons de l'ordre de :

  \Phi_{\mathrm{phot}} \sim \frac{1}{2\tau} \sim 10^7 \text{ à } 10^8\text{ photons}\cdot\text{s}^{-1}

Conditions requises pour la détection :

1. Immobilisation : l'atome doit être piégé (piège magnéto-optique, piège de Paul pour un ion) et refroidi dans un ultra-vide afin de ne pas quitter la zone d'éclairement.
2. Éclairage résonant : excitation par un laser accordé précisément à la pulsation \omega_0 pour bénéficier de la résonance et maximiser la diffusion.
3. Absence de lumière parasite : observation sur fond noir absolu pour maximiser le contraste.

Selon le dispositif d'observation :

• Avec un microscope : oui, très aisément. Un objectif à grande ouverture numérique collecte une fraction substantielle de l'angle solide (\sim 10\,\%), focalisant jusqu'à 10^6\text{--}10^7\text{ photons}\cdot\text{s}^{-1} sur une caméra ultrasensible (ou à l'oculaire), formant une tache de diffraction très brillante.
• Avec une loupe / à l'œil nu : à l'œil nu situé à la distance minimale de vision distincte (d_m \approx 25\text{ cm}), la pupille (diamètre \approx 6\text{ mm} dans le noir) sous-tend une fraction d'angle solide \frac{\Delta\Omega}{4\pi} = \frac{\pi (3\times 10^{-3})^2}{4\pi \times 0{,}25^2} \approx 3{,}6\times 10^{-5}. Le flux reçu par la rétine est de quelques milliers de photons par seconde. Comme le seuil de sensibilité absolue de la vision scotopique (bâtonnets) est de l'ordre de quelques dizaines de photons par seconde, un atome (ou un ion) unique est effectivement visible à l'œil nu (et encore plus confortablement à travers une loupe qui accroît l'angle solide de collection) sous forme d'un minuscule point lumineux, dans une obscurité parfaite.