Corrigé détaillé ENS Physique U PSI 2022 (page 3/4 : Partie 2 (questions 36 à 54))

L'atome, modélisé par un dipôle oscillant à une fréquence proche de sa pulsation propre \omega_0, crée un champ électromagnétique et une densité de courant qui constituent une source d'excitation pour la cavité.

D'après les équations de Maxwell avec sources, chaque mode électromagnétique propre p de la cavité se comporte comme un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega_p. En vertu du phénomène classique de résonance :

• pour le mode p_0 quasi-résonant (\omega_{p_0} \approx \omega_0), la réponse du champ est fortement amplifiée ;
• pour tous les autres modes p \neq p_0, l'écart de fréquence |\omega_p - \omega_0| est au moins de l'ordre de l'intervalle spectral libre \Delta\omega = \pi c / D. Ces modes sont hors résonance et leur excitation reste d'amplitude négligeable.

Dans la décomposition générale du potentiel vecteur établie à l'équation (27),

les coefficients d'amplitude vérifient ainsi |\beta_p(t)| \ll |\beta_{p_0}(t)| pour tout p \neq p_0. En ne retenant que la composante dominante, le potentiel vecteur se réduit à :

D'après l'équation (29) et le résultat de la question 36, le champ électrique s'écrit :

En rappelant l'expression du potentiel vecteur établie à la question 35 (en omettant l'indice p_0) :

on a :

L'hypothèse selon laquelle l'amplitude \beta(t) varie lentement à l'échelle de la période optique 2\pi/\omega se traduit par :

Le premier terme vérifie donc :

On peut par conséquent négliger la dérivée temporelle de l'enveloppe \dot{\beta}(t) devant celle de la phase rapide \omega \beta(t), ce qui conduit à :

soit explicitement :

Dans le cadre de cette deuxième partie, l'amortissement n'est plus modélisé par une force de frottement phénoménologique, mais découle de l'échange cohérent d'énergie avec le mode de la cavité.

Dans le référentiel lié au noyau (assimilé au centre de masse immobile à la position \mathbf{R}_0), l'électron de charge q et de masse m est soumis :

• à la force de rappel élastique exercée par le noyau : \mathbf{F}_{\text{él}} = -m\omega_0^2 \mathbf{r}(t) ;
• à la force électrique exercée par le champ de la cavité, évaluée en \mathbf{R}_0 dans l'approximation dipolaire (|\mathbf{r}| \ll \lambda) : \mathbf{F}_e = q\mathbf{E}(\mathbf{R}_0, t). La force magnétique est négligée car le mouvement de l'électron est non relativiste (v \ll c).

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q37, le champ électrique du mode s'exprime par :

En projetant le mouvement selon l'axe \mathbf{e}_x, avec \mathbf{r}(t) = \tilde{r}(t) e^{-i\omega_0 t}\mathbf{e}_x, on calcule les dérivées temporelles successives :

En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement, le terme d'oscillation libre en -\omega_0^2 \tilde{r} compense exactement le terme de rappel élastique :

Puisque l'amplitude \tilde{r}(t) varie lentement à l'échelle de 2\pi/\omega_0 (approximation de l'enveloppe lentement variable), on a |\ddot{\tilde{r}}| \ll \omega_0 |\dot{\tilde{r}}|. On peut donc négliger la dérivée seconde \ddot{\tilde{r}}, ce qui conduit à :

En divisant des deux côtés par -2\omega_0, on obtient bien l'équation souhaitée :

D'après la question Q36, le potentiel vecteur dans la cavité est restreint au mode résonant p_0 :

Puisque le facteur \beta(t) dépend uniquement du temps, le laplacien spatial s'écrit simplement :

Calculons la dérivée temporelle seconde de \mathbf{A}(\mathbf{R}, t) à l'aide de la formule de Leibniz :

Le mode libre varie comme \mathbf{A}_1 \propto e^{-i\omega t}, d'où \left\|\frac{\partial \mathbf{A}_1}{\partial t}\right\| \sim \omega \|\mathbf{A}_1\|. Selon l'hypothèse de la question Q37, l'amplitude \beta(t) varie lentement à l'échelle de la période optique 2\pi/\omega, ce qui se traduit par l'approximation de l'enveloppe lentement variable (AELV) :

Le terme en \ddot{\beta} est donc négligeable devant le terme croisé.

De plus, d'après la relation rappelée à la question Q35, le champ électrique du mode non perturbé est :

Il vient ainsi :

Injectons ces dérivées dans l'équation de d'Alembert avec terme source (équation (33)) :

Or, \mathbf{A}_1(\mathbf{R}, t) est le potentiel vecteur du mode de la cavité vide (en l'absence d'atome), il vérifie donc l'équation de d'Alembert homogène sans sources (\mathbf{j} = \mathbf{0}) :

Le premier terme s'annule, ce qui conduit directement à l'équation (34) :

1. Expression de la densité de courant \mathbf{j}

L'électron, de charge q, est situé en \mathbf{R}_e(t) = \mathbf{R}_0 + \mathbf{r}(t) et animé d'une vitesse \mathbf{v}(t) = \dot{\mathbf{r}}(t) (le noyau situé en \mathbf{R}_0 étant considéré fixe). Dans l'approximation dipolaire, l'amplitude d'oscillation |\mathbf{r}| est négligeable devant les échelles spatiales de variation du champ (\lambda et w_{0}), ce qui permet d'assimiler la position de l'électron à celle du noyau \mathbf{R}_0.

La densité volumique de courant associée à cette charge ponctuelle s'écrit alors :

2. Équation différentielle sur \beta(t)

D'après l'équation (34) obtenue à la question 39 :

avec \mathbf{E}_1(\mathbf{R}, t) = \mathcal{E}_1 u(\mathbf{R}) e^{-i\omega t}\mathbf{e}_x.

Multiplions scalairement les deux membres par \frac{1}{2}\epsilon_0 \mathcal{E}_1 u(\mathbf{R})\mathbf{e}_x et intégrons sur le volume \mathcal{V}_0 de la cavité :

En utilisant la relation (36) de l'énoncé, \int_{\mathcal{V}_0} \frac{1}{2}\epsilon_0 \mathcal{E}_1^2 u^2(\mathbf{R})\,\mathrm{d}^3\mathbf{R} = \hbar\omega, le membre de gauche s'écrit :

Pour le membre de droite, sachant que \mu_0 \epsilon_0 = 1/c^2 et que \mathbf{j} \cdot \mathbf{e}_x = q \dot{r}_x \delta^3(\mathbf{R} - \mathbf{R}_0) avec \mathbf{r}(t) = \tilde{r}(t)e^{-i\omega_0 t}\mathbf{e}_x :

Comme l'amplitude \tilde{r}(t) varie lentement à l'échelle de 2\pi/\omega_0 (|\dot{\tilde{r}}| \ll \omega_0 |\tilde{r}|), on a :

L'égalité entre les deux membres donne alors :

En simplifiant par c^2 et en divisant par 2\hbar\omega :

Il reste à multiplier par le facteur i (en remarquant que i \times i = -1) :

À la résonance (\omega = \omega_0), les facteurs temporels oscillants e^{-i\omega_0 t} et e^{-i\omega t} sont identiques et se simplifient dans les équations établies aux questions Q38 et Q40 :

En multipliant l'équation (1) par -i, on obtient :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

D'après l'équation (2), on a \dot{\beta}(t) = i\frac{q\mathcal{E}_1 u(\mathbf{R}_0)}{4\hbar}\,\tilde{r}(t). En reportant cette expression dans la dérivée seconde :

L'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par \tilde{r} est donc :

Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

Le temps caractéristique \tau(\mathbf{R}_0) de l'évolution de l'amplitude (temps caractéristique des oscillations de Rabi du système atome-champ) s'en déduit :

En utilisant l'amplitude à un photon \mathcal{E}_1 = \sqrt{\frac{2\hbar\omega_0}{\epsilon_0 V_p}} établie à la question Q34, ce temps caractéristique s'écrit de manière équivalente :

D'après la question Q32, le profil spatial du mode résonant p s'écrit :

avec k_p = \frac{p\pi}{D} d'après la question Q30. Pour un atome situé en \mathbf{R}_0 = (0, 0, z_0) :

• Lorsque z_0 \to -\frac{D}{2} :

  u_p\left(0, 0, -\frac{D}{2}\right) = \sin(0) = 0

• Lorsque z_0 \to +\frac{D}{2} :

  u_p\left(0, 0, \frac{D}{2}\right) = \sin(k_p D) = \sin(p\pi) = 0 \quad (\text{avec } p \in \mathbb{N}^*)

Comme le temps caractéristique établi à la question Q41 est inversement proportionnel à |u_p(\mathbf{R}_0)| :

on a immédiatement :

Argument physique :

• Point de vue modal (conditions aux limites) : Les miroirs sont modélisés par des conducteurs parfaits. La composante tangentielle du champ électrique s'annule rigoureusement sur leur surface (\mathbf{E}_\parallel = \mathbf{0}). Le dipôle atomique oscillant selon \mathbf{e}_x est parallèle au plan tangent du miroir en son centre : il est donc situé exactement en un nœud du champ électrique. Le couplage dipolaire \mathbf{p} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{R}_0) est rigoureusement nul, de sorte que le travail échangé entre le dipôle et le champ est nul.

• Point de vue des images : Par la méthode des images électrostatiques, un dipôle électrique oscillant parallèle à un conducteur parfait induit un dipôle image opposé :

  \mathbf{p}_{\text{image}} = -\mathbf{p}

  Lorsque l'atome est infiniment proche de la paroi, la distance entre le dipôle réel et son image tend vers zéro. Leurs rayonnements interfèrent de façon totalement destructive (\mathbf{p}_{\text{tot}} \to \mathbf{0}), ce qui éteint tout rayonnement dipolaire.

Conséquence sur la désexcitation : Puisque le temps d'échange d'énergie \tau(\mathbf{R}_0) diverge et que le modèle suppose que l'atome ne peut interagir qu'avec ce mode résonant de la cavité, aucun transfert d'énergie n'est possible de l'atome vers le champ électromagnétique. En l'absence de tout canal de désexcitation radiative, l'atome ne peut plus se désexciter et reste indéfiniment dans son état excité (inhibition de l'émission spontanée).

D'après la question Q41, à résonance (\omega = \omega_0), l'amplitude lentement variable \tilde{r}(t) vérifie l'équation différentielle :

où \tau(\mathbf{R}_0) = \frac{\sqrt{8\hbar m \omega_0}}{|q|\mathcal{E}_1 |u(\mathbf{R}_0)|}.

La solution générale de cette équation différentielle d'oscillateur harmonique s'écrit :

où A et B sont deux constantes d'intégration complexes.

Déterminons les conditions initiales à t = 0 :

• L'énoncé donne \tilde{r}(0) = r_0 > 0, d'où A = r_0.

• L'action du champ sur l'électron est régie par l'équation (32) de la question Q38 :

  i\dot{\tilde{r}}(t) = -\frac{q}{2\omega_0 m}\mathcal{E}_1 u(\mathbf{R}_0)\beta(t)

  Comme le champ est initialement nul (\beta(0) = 0), on en déduit immédiatement \dot{\tilde{r}}(0) = 0, ce qui impose B = 0.

L'amplitude complexe de l'oscillation atomique est donc réelle à tout instant :

Le carré du module s'en déduit directement :

Discussion physique de la dynamique : Non, ce n'est pas la dynamique à laquelle on s'attendait classiquement pour l'atome :

• Dans l'espace libre (ou dans le modèle de Lorentz de la partie 1, question Q7), un dipôle excité subit une force de réaction de rayonnement dissipative qui conduit à une perte d'énergie irréversible, se traduisant par un amortissement exponentiel en e^{-t/\tau_{\text{rad}}}.
• Ici, au contraire, l'évolution est strictement périodique et réversible : l'atome cède progressivement son énergie au mode unique de la cavité jusqu'à s'éteindre totalement à t = \frac{\pi}{2}\tau, puis le champ ainsi créé réexcite l'atome en lui restituant son énergie à t = \pi\tau. Il s'agit des oscillations de Rabi du vide.

1. Interprétation physique de la courbe expérimentale

La figure 2 met en évidence une évolution périodique de l'énergie moyenne de l'atome au cours du temps :

• L'énergie de l'atome oscille de façon quasi-sinusoïdale avec une période d'environ T \approx 38\text{ à }40\,\mu\text{s}.
• Cela traduit un échange réversible d'énergie entre l'atome et le mode électromagnétique de la cavité résonante : l'atome initialement excité émet son énergie dans la cavité (désexcitation), puis réabsorbe le photon piégé dans le mode pour revenir dans l'état excité, et ainsi de suite. Ce phénomène correspond aux oscillations de Rabi du vide.

2. Confrontation avec le modèle théorique

• Points d'accord : D'après la question Q43, le modèle prévoit :

  |\tilde{r}(t)|^2 = r_0^2 \cos^2\left(\frac{t}{\tau}\right) = \frac{r_0^2}{2}\left(1 + \cos\left(\frac{2t}{\tau}\right)\right)

  Le modèle prédit donc une oscillation temporelle sans amortissement à la pulsation 2/\tau, ce qui est en très bon accord qualitatif avec le comportement oscillatoire observé : l'émission dans un mode unique d'une cavité n'est pas un processus irréversible d'émission spontanée, mais un échange cohérent.

• Limites et écarts par rapport au modèle idéal :

  • Le contraste n'est pas total : l'énergie atomique oscille typiquement entre environ 0{,}2 et 0{,}85 au lieu d'osciller entre 0 et 1.
  • On observe une légère atténuation de l'amplitude des oscillations au cours du temps (amortissement / perte de contraste).

  Ces écarts s'expliquent par des effets réels non pris en compte dans le modèle mono-mode sans pertes :

  • le temps de vie fini des photons dans la cavité réelle (pertes par absorption et transmission sur les miroirs, facteur de qualité Q fini) ;
  • l'émission spontanée résiduelle de l'atome dans les modes de l'espace libre non collectés par la cavité ;
  • les fluctuations de position ou de vitesse des atomes lors de leur traversée de la cavité (variation du couplage effectif u(\mathbf{R}_0)).

Dans le modèle de l'électron élastiquement lié, le mouvement réel de l'électron selon l'axe Ox s'écrit :

L'énergie mécanique totale de cet oscillateur harmonique à une dimension (de masse m et de pulsation propre \omega_0) est constante et vaut :

Dans une vision corpusculaire, un photon associé au mode à la fréquence \omega_0/2\pi transporte un quantum d'énergie :

Pour que l'atome possède juste l'énergie nécessaire à l'émission d'un photon, il faut que son énergie mécanique initiale soit égale à l'énergie de ce photon :

On en déduit la valeur de l'amplitude initiale r_0 :

À la résonance (\omega = \omega_0), l'équation du mouvement de l'électron obtenue à la question Q38 (équation (32)) se simplifie en :

En multipliant par -i, on obtient :

En introduisant l'amplitude adimensionnée \alpha(t) telle que \tilde{r}(t) = \alpha(t)r_0 (avec r_0 constant), il vient :

De même, à résonance (\omega = \omega_0), l'équation d'évolution de l'amplitude du champ obtenue à la question Q40 (équation (35)) s'écrit :

En multipliant par -i, on trouve :

D'après la question Q45, l'amplitude r_0 associée à l'énergie d'un photon vérifie :

Les deux coefficients de couplage sont donc strictement égaux :

On en déduit que les équations différentielles couplées prennent bien la forme symétrique :

avec pour l'électron (q = -e) :

On se place dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. On munit l'axe horizontal d'un vecteur unitaire \mathbf{e}_x orienté vers la droite. À l'équilibre mécanique, les deux masses occupent des positions notées x_{0,\text{eq}} et x_{1,\text{eq}}, où la résultante des forces élastiques s'annule sur chacune d'elles.

À un instant t, les écarts aux positions d'équilibre sont repérés par :

Effectuons le bilan des forces horizontales s'exerçant sur chaque masse :

• Masse 0 (à gauche) :

  • Le ressort de raideur k_0, fixé à la paroi gauche immobile, subit une variation d'allongement égale à \delta x_0. Il exerce la force de rappel :

    \mathbf{F}_0 = -k_0 \delta x_0\,\mathbf{e}_x

  • Le ressort central de couplage de raideur \kappa subit une variation d'allongement algébrique \Delta \ell = \delta x_1 - \delta x_0. Il exerce sur la masse 0 la force :

    \mathbf{F}_{\kappa \to 0} = \kappa (\delta x_1 - \delta x_0)\,\mathbf{e}_x

• Masse 1 (à droite) :

  • Le ressort central exerce, d'après la troisième loi de Newton, la force :

    \mathbf{F}_{\kappa \to 1} = -\mathbf{F}_{\kappa \to 0} = -\kappa (\delta x_1 - \delta x_0)\,\mathbf{e}_x

  • Le ressort de raideur k_1, fixé à la paroi droite immobile, subit une variation d'allongement égale à -\delta x_1. Il exerce la force de rappel :

    \mathbf{F}_1 = -k_1 \delta x_1\,\mathbf{e}_x

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à chaque masse de masse m en projection selon \mathbf{e}_x :

On en déduit le système d'équations différentielles couplées :

D'après la question Q47, les équations du mouvement des deux masses s'écrivent :

En divisant par m et en introduisant \omega_n^2 = \frac{k_n + \kappa}{m}, on obtient :

Injectons la forme complexe proposée \delta x_n(t) = \alpha_n(t) e^{-i\omega_n t} (n \in \{0, 1\}). En dérivant par rapport au temps :

Le membre de gauche des équations (1) et (2) devient donc :

L'amplitude \alpha_n(t) variant lentement à l'échelle de 1/\omega_n, on effectue l'approximation de l'enveloppe lentement variable (AELV) :

En reportant cette approximation dans l'équation (1) pour la masse 0 :

En multipliant par -\frac{1}{2\omega_0} et par e^{i\omega_0 t}, il vient :

De même pour la masse 1, l'équation (2) fournit :

soit :

On identifie bien les formes demandées (40) et (41) avec les constantes :

À résonance, c'est-à-dire pour \omega_1 = \omega_0, les exponentielles de déphasage vérifient e^{\pm i(\omega_1 - \omega_0)t} = 1. De plus, les constantes de couplage établies à la question Q48 sont égales :

Les équations (40) et (41) se réduisent donc à :

En comparant avec les équations (37) et (38) de la question Q46 :

on constate une identité formelle parfaite par la correspondance :

Considérons à t=0 la masse 0 en oscillation et la masse 1 au repos :

Cette condition initiale est strictement analogue à celle de la question Q43 (\tilde{r}(0) = r_0 et \beta(0) = 0). En dérivant l'équation sur \alpha_0 :

Avec \alpha_0(0) = A_0 et \dot{\alpha}_0(0) = -i\frac{\kappa}{2m\omega_0}\alpha_1(0) = 0, la solution s'écrit :

L'amplitude complexe de l'oscillation a donc pour module :

La fonction |\alpha_0(t)| est périodique, de période T_b = \frac{\pi}{\Omega_b} = \frac{2\pi m \omega_0}{\kappa}.

D'après la figure 4, la masse principale (repérée par 0) est reliée à une paroi fixe par un ressort de raideur k_0, et à chacune des N autres masses (repérées par n \in \{1, \ldots, N\}) par un ressort de raideur \kappa_n. Chaque masse satellite n est quant à elle reliée à une paroi fixe par un ressort de raideur k_n et uniquement couplée à la masse 0.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse 0 projeté sur l'axe du mouvement s'écrit :

De même, pour chaque masse satellite n \in \{1, \ldots, N\} :

On définit les pulsations :

puisque k_0, k_n \gg \sum_n \kappa_n \ge \kappa_n.

En écrivant \delta x_0(t) = \alpha_0(t) e^{-i\omega_0 t} et \delta x_n(t) = \alpha_n(t) e^{-i\omega_n t}, la dérivée seconde s'exprime dans l'approximation de l'enveloppe lentement variable (|\ddot{\alpha}| \ll \omega |\dot{\alpha}|) :

En réinjectant dans les équations du mouvement :

• Pour la masse principale 0 :

  \begin{aligned} -2im\omega_0 \dot{\alpha}_0 e^{-i\omega_0 t} &= \sum_{n=1}^N \kappa_n \alpha_n e^{-i\omega_n t} \\ i\dot{\alpha}_0 &= -\sum_{n=1}^N \frac{\kappa_n}{2m\omega_0} \alpha_n e^{-i(\omega_n - \omega_0)t} \end{aligned}

• Pour chaque masse satellite n \in \{1, \ldots, N\} :

  \begin{aligned} -2im\omega_n \dot{\alpha}_n e^{-i\omega_n t} &= \kappa_n \alpha_0 e^{-i\omega_0 t} \\ i\dot{\alpha}_n &= -\frac{\kappa_n}{2m\omega_n} \alpha_0 e^{-i(\omega_0 - \omega_n)t} \end{aligned}

En posant les constantes de couplage :

on retrouve bien les relations demandées :

L'équation (43) établie à la question précédente s'écrit, en multipliant par -i :

Sachant que \alpha_n(0) = 0, l'intégration directe par rapport au temps entre 0 et t donne :

En reportant cette expression dans l'équation (42) régissant l'évolution de \alpha_0(t) :

car (-i)/i = -1. En intervertissant la somme discrète finie et l'intégrale :

On effectue le changement de variable \tau = t - t', d'où t' = t - \tau et \mathrm{d}t' = -\mathrm{d}\tau. Les bornes deviennent :

• pour t' = 0, \tau = t ;
• pour t' = t, \tau = 0.

Il vient alors :

En inversant les bornes pour compenser le signe moins et en introduisant la fonction de mémoire :

on obtient bien l'équation intégro-différentielle (44) :

D'après les résultats de la question Q50, pour chaque oscillateur n :

Les raideurs \kappa_n, la masse m et les pulsations propres \omega_0, \omega_n étant positives, le produit de couplage vérifie pour tout n \in \{1,\dots,N\} :

L'inégalité triangulaire appliquée à l'expression de la fonction de mémoire donne :

Or, pour \tau = 0, toutes les exponentielles de phase sont égales à 1 :

On en déduit que pour tout \tau \in \mathbb{R} :

La fonction |N(\tau)| atteint donc son maximum global en \tau = 0.

Analogie avec l'optique et temps caractéristique t_{\mathrm{coh}} :

La fonction N(\tau) représente la superposition de N composantes oscillantes de pulsations respectives \omega_n - \omega_0 réparties sur une bande spectrale de largeur \Delta\omega autour d'une valeur moyenne.

• À \tau = 0, toutes les composantes sont exactement en phase : les interférences sont purement constructives, ce qui correspond au maximum de l'enveloppe.

• Lorsque \tau croît, le déphasage relatif entre deux composantes extrêmes de l'ensemble vaut :

  \Delta\phi(\tau) \sim \Delta\omega \, \tau

  Dès que \Delta\phi(\tau) \gtrsim 1 (ou 2\pi), les phases (\omega_n - \omega_0)\tau se répartissent uniformément sur le cercle trigonométrique. Les termes de la somme se compensent mutuellement : il y a interférence destructive globale (brouillage de phase).

Par analogie directe avec le train d'ondes d'une source lumineuse quasi-monochromatique de largeur spectrale \Delta\omega, l'enveloppe |N(\tau)| s'annule (ou tend vers 0 par moyennage) au-delà d'un temps de cohérence :

D'après l'équation (44) établie à la question Q51 :

D'après la question Q52, la fonction de mémoire N(\tau) s'annule rapidement pour \tau \gg t_{\text{coh}} \sim 1/\Delta\omega. Notons T_{\text{evol}} le temps caractéristique de variation de l'amplitude lente \alpha_0(t).

Plaçons-nous sous l'hypothèse de couplage faible (approximation markovienne), c'est-à-dire :

Dans ce régime, sur l'intervalle temporel [0, t_{\text{coh}}] où la fonction N(\tau) est non négligeable, l'amplitude \alpha_0(t-\tau) varie extrêmement peu :

De plus, pour des temps d'observation t \gg t_{\text{coh}}, le signal s'étant totalement déphasé, on peut repousser la borne supérieure d'intégration à l'infini (\int_0^t \dots \approx \int_0^\infty \dots) car N(\tau) \approx 0 pour tout \tau > t.

On obtient ainsi directement :

Obtention d'une dynamique irréversible : Posons la constante complexe :

L'équation différentielle devient \dot{\alpha}_0(t) = -\Gamma\,\alpha_0(t), dont la solution s'écrit :

L'énergie de l'oscillateur principal, proportionnelle à |\alpha_0(t)|^2, décroît selon :

Dès lors que \Gamma_R = \operatorname{Re}(\Gamma) > 0, l'amplitude de l'oscillateur s'éteint exponentiellement vers zéro : l'énergie initiale de l'oscillateur principal s'est irrémédiablement diluée dans la multitude des oscillateurs du bain. On obtient donc une dynamique irréversible (dissipative).

Transition réversible \to irréversible avec le nombre d'oscillateurs N :

• Pour un nombre fini N d'oscillateurs, la fonction N(\tau) est une somme discrète de termes périodiques. Les différents oscillateurs finissent par se remettre en phase au bout d'un temps de récurrence (temps de récurrence de Poincaré) T_{\text{rec}} \sim \frac{2\pi}{\delta\omega}, où \delta\omega \sim \frac{\Delta\omega}{N} représente l'espacement moyen entre fréquences propres adjacentes. L'énergie revient périodiquement dans l'oscillateur principal : la dynamique est réversible.

• Lorsque N \gg 1, l'espacement inter-modes diminue comme \delta\omega \propto 1/N, ce qui repousse le temps de récurrence selon :

  T_{\text{rec}} \sim \frac{2\pi N}{\Delta\omega} \propto N

  À la limite thermodynamique (continuum de modes où N \to \infty à largeur spectrale \Delta\omega fixée), le temps de récurrence diverge (T_{\text{rec}} \to \infty). Le déphasage destructif entre les modes devient permanent, l'information ne revient jamais : la dynamique devient strictement irréversible.

D'après l'équation (46) obtenue à la question Q53 :

En décomposant la constante complexe K en ses parties réelle et imaginaire :

L'intégration donne immédiatement :

1. Temps caractéristique de décroissance de l'énergie :

Pour un oscillateur harmonique en régime lentement variable, l'énergie mécanique moyenne est proportionnelle au carré de l'amplitude du mouvement, soit :

Le temps caractéristique de décroissance de l'énergie \tau_E est donc donné par :

2. Interprétation physique de la partie imaginaire :

La variable de position s'écrit (d'après l'équation (39) de la question Q48) :

La pulsation apparente d'oscillation devient ainsi :

La partie imaginaire de \displaystyle\int_0^\infty N(\tau)\,\mathrm{d}\tau correspond donc à un déplacement de fréquence propre (ou décalage en pulsation) de l'oscillateur principal, induit par son couplage avec le bain d'oscillateurs.