Corrigé détaillé ENS Physique U PSI 2022

Dans le modèle de Thomson, l'atome est globalement électriquement neutre. Pour un atome constitué d'un seul électron de charge -e, la sphère doit porter une charge positive totale Q = +e.

La densité volumique de charge \rho étant uniforme à l'intérieur de la sphère de rayon r_0 et de volume V = \frac{4}{3}\pi r_0^3, la charge totale de la sphère s'écrit :

On en déduit l'expression de la densité de charge positive :

Soit un point M situé à l'intérieur de la sphère de charge positive, à la distance r = \|\mathbf{r}\| \le r_0 du centre O.

• Symétries et invariances : La distribution de charge présente une symétrie sphérique autour de O. Tout plan passant par O et M est un plan de symétrie de la distribution, donc le champ électrostatique est radial : \mathbf{E}(\mathbf{r}) = E(r)\,\mathbf{u}_r. Par invariance sous toute rotation de centre O, la composante radiale E(r) ne dépend que de la distance r.

• Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S}_G la sphère de centre O et de rayon r \le r_0, orientée vers l'extérieur. Le flux sortant du champ électrique à travers \mathcal{S}_G s'écrit :

  \Phi = \iint_{\mathcal{S}_G} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = E(r) \iint_{\mathcal{S}_G} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

  La charge intérieure à \mathcal{S}_G est celle d'une boule de rayon r uniformément chargée :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3

  D'après le théorème de Gauss :

  \begin{aligned} 4\pi r^2 E(r) &= \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{4}{3}\pi r^3 \\ E(r) &= \frac{\rho}{3\epsilon_0}r \end{aligned}

En utilisant l'expression de \rho = \dfrac{3e}{4\pi r_0^3} obtenue à la question 1, le champ électrique vu par l'électron s'écrit :

L'électron, de charge q = -e, subit la force électrostatique :

Cette force est centrale, dirigée vers le centre O et proportionnelle au déplacement \mathbf{r}. Elle est formellement identique à la force de rappel élastique exercée par un ressort idéal de raideur équivalente :

C'est pourquoi ce modèle de l'atome est qualifié de « modèle de l'électron élastiquement lié ».

On étudie l'électron (masse m, charge q = -e) dans le référentiel du noyau, supposé galiléen du fait de la masse infinie attribuée à la sphère positive.

L'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique calculée à la question Q2 :

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

en posant la pulsation propre :

À t = 0, l'électron est écarté d'un vecteur \mathbf{r}_0 \neq \mathbf{0} (avec \|\mathbf{r}_0\| < r_0) et relâché sans vitesse initiale (\dot{\mathbf{r}}(0) = \mathbf{0}). La direction de rappel restant colinéaire à la droite passant par le centre O et la position initiale, le mouvement est rectiligne le long de cet axe.

La solution de l'équation du mouvement s'écrit :

L'électron effectue donc des oscillations harmoniques simples non amorties de pulsation \omega_0 le long de la direction définie par sa position initiale, en restant confiné à l'intérieur de la sphère puisque \forall t,\ \|\mathbf{r}(t)\| \le \|\mathbf{r}_0\| < r_0.

Dans le modèle de Thomson, l'électron oscille à sa pulsation propre \omega_0. Le dipôle ainsi formé rayonne une onde électromagnétique de même pulsation dans le vide, de sorte que la longueur d'onde de la raie d'émission associée s'écrit :

D'après la question Q3, la pulsation propre vérifie :

On en déduit l'expression du rayon r_0 :

d'où :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs fournies :

• e \approx 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
• \lambda = 122\text{ nm} \approx 1{,}2 \times 10^{-7}\text{ m}
• \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9{,}0 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}
• m \approx 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg}
• c \approx 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

La pulsation propre vaut :

ce qui conduit à :

En prenant la racine cubique avec un chiffre significatif :

Cette valeur est de l'ordre de grandeur de l'angström (1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m}), ce qui coïncide remarquablement avec la taille typique d'un atome (le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène vaut a_0 \approx 0{,}53\text{ \AA}). Ce résultat est donc tout à fait raisonnable.

Le mouvement de l'électron selon l'axe Oz est harmonique de pulsation \omega_0 :

Sa vitesse scalaire s'écrit \dot{z}(t) = - z_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi), d'où une vitesse maximale :

L'électron restant confiné à l'intérieur de l'atome de Thomson, son amplitude d'oscillation vérifie z_0 \le r_0. La pulsation propre est liée à la longueur d'onde du rayonnement par \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda}. Le rapport entre la vitesse maximale et la vitesse de la lumière s'exprime ainsi :

Avec r_0 \approx 1 \times 10^{-10}\text{ m} (déterminé à la question Q4) et \lambda = 122\text{ nm} \approx 1 \times 10^{-7}\text{ m} :

Soit une vitesse maximale de l'ordre de v_{\max} \approx 1{,}5 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le mouvement de l'électron est donc bien non relativiste.

D'après l'énoncé, le champ électromagnétique rayonné à grande distance possède localement la structure d'une onde plane progressive se propageant selon la direction radiale \mathbf{n} = \mathbf{u}_r. Le champ magnétique associé s'écrit donc :

puisque \mathbf{n} \times \mathbf{u}_\theta = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_\theta = \mathbf{u}_\phi.

Le vecteur de Poynting instantané est \mathbf{\Pi} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{\mu_0} = \epsilon_0 c E^2 \mathbf{n}. En notation complexe, sa valeur moyenne sur une période T = 2\pi/\omega_0 s'exprime par :

En utilisant l'expression du champ électrique issue de l'équation (2) :

On en déduit la valeur moyenne du vecteur de Poynting :

La puissance moyenne rayonnée \mathcal{P} est le flux sortant de \langle \mathbf{\Pi} \rangle à travers une sphère \mathcal{S} de rayon r' centrée sur l'atome, d'élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\mathbf{S} = {r'}^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\,\mathbf{u}_r :

L'intégrale sur \phi vaut 2\pi. Pour l'intégrale sur \theta, on applique la formule donnée dans l'énoncé avec X = \pi :

On obtient ainsi :

ce qui donne bien la formule de Larmor pour un dipôle oscillant :

L'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique constitué par l'électron élastiquement lié vaut :

Pour une oscillation quasi sinusoïdale de pulsation \omega_0 et d'amplitude z_0, la valeur moyenne de l'énergie mécanique sur une période est :

En l'absence de source extérieure d'énergie, la puissance moyenne perdue par l'atome est égale à la puissance moyenne \mathcal{P} rayonnée à l'infini (établie à la question Q6) :

Puisque \mathcal{P} > 0, l'énergie mécanique moyenne décroît strictement au cours du temps : le mouvement de l'électron s'amortit.

En exprimant \mathcal{P} directement en fonction de \langle E_m \rangle, on obtient :

L'énergie mécanique décroît exponentiellement selon \langle E_m\rangle(t) = \langle E_m\rangle(0)\,e^{-\gamma t}. Comme l'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude (\langle E_m \rangle \propto z_0^2), l'amplitude des oscillations décroît selon :

Le temps caractéristique d'amortissement de l'amplitude des oscillations est donc :

En introduisant \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda} et q = -e, cette expression se réécrit :

Application numérique : Avec \lambda = 122\text{ nm} \approx 1{,}2 \times 10^{-7}\text{ m} (donnée de la question Q4), m = 9{,}11\times 10^{-31}\text{ kg}, e = 1{,}60\times 10^{-19}\text{ C}, \epsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et c = 3{,}00\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Avec un chiffre significatif :

Considérons le système fermé constitué de l'atome complet : le noyau de masse M, de charge -q = +e situé en \mathbf{R}, et l'électron de masse m, de charge q = -e situé en \mathbf{R} + \mathbf{r}.

Comme la masse du noyau est très supérieure à celle de l'électron (M \gg m), le centre de masse de l'atome coïncide en excellente approximation avec la position du noyau :

Appliquons le théorème de la résultante dynamique au système global dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

1. Forces intérieures : Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la somme des forces d'interaction mutuelle entre le noyau et l'électron (force élastique de rappel et attraction coulombienne) est strictement nulle :

   \mathbf{F}_{\text{int}} = \mathbf{F}_{n\to e} + \mathbf{F}_{e\to n} = \mathbf{0}

2. Forces extérieures : Les forces extérieures sont dues au champ électromagnétique incident (\mathbf{E}, \mathbf{B}).

   • Force électrique : Le noyau étant en \mathbf{R} et l'électron en \mathbf{R}+\mathbf{r}, la force électrique totale s'écrit :

     \mathbf{F}_{\text{el, ext}} = -q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t) + q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}+\mathbf{r}, t)

     L'énoncé précise que |\mathbf{r}| \ll \lambda (approximation dipolaire). Le champ incident varie donc de façon négligeable à l'échelle de l'atome, soit au premier ordre (ordre zéro en |\mathbf{r}|/\lambda) :

     \mathbf{E}(\mathbf{R}+\mathbf{r}, t) \approx \mathbf{E}(\mathbf{R}, t)

     L'atome étant globalement neutre, la résultante électrique s'annule :

     \mathbf{F}_{\text{el, ext}} \approx -q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t) + q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t) = \mathbf{0}
   • Force magnétique : La force de Lorentz magnétique s'écrit q_{\text{part}}\mathbf{v}\times\mathbf{B}. En ordre de grandeur, B \sim E/c, donc F_{\text{mag}} \sim \frac{v}{c}F_{\text{el}}. Le mouvement de l'électron étant non-relativiste (v/c \ll 1, vérifié à la question 5), la force magnétique est négligeable devant la force électrique individuelle subie par chaque charge.

La résultante des forces extérieures appliquées à l'atome est donc nulle en première approximation :

L'atome étant initialement au repos, son centre de masse reste immobile sous l'effet du champ. En choisissant l'origine au centre de masse initial, on a bien :

D'après l'équation (5), le taux d'amortissement \gamma(\omega) s'écrit :

avec q = -e. Formons le rapport sans dimension :

en utilisant la relation de dispersion dans le vide \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}.

Pour le domaine visible, la longueur d'onde typique est de l'ordre de \lambda \approx 500\text{ nm} = 5\times 10^{-7}\text{ m}, ce qui correspond à une pulsation :

Effectuons l'application numérique avec les constantes fournies :

soit \gamma(\omega) \sim 10^8\text{ s}^{-1}. On constate donc que :

L'approximation d'un amortissement très faible est donc parfaitement justifiée dans le domaine optique.

On étudie l'électron de masse m et de charge q dans le référentiel lié au noyau, supposé galiléen puisque le noyau, infiniment lourd devant l'électron (M \gg m), est considéré fixe à l'origine (\mathbf{R} = \mathbf{0}, d'après la question 8).

L'électron est soumis aux actions mécaniques suivantes :

• la force de rappel élastique exercée par le noyau :

  \mathbf{F}_{\text{rappel}} = -\kappa \mathbf{r} = -m\omega_0^2 \mathbf{r}

• la force de réaction de rayonnement introduite à la question 9 :

  \mathbf{F}_{\text{rad}} = -m\gamma(\omega)\dot{\mathbf{r}}

• la force de Lorentz due à l'onde incidente, \mathbf{F}_{\text{L}} = q\big(\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)\big).

  • Approximation dipolaire électrique : l'extension du mouvement de l'électron vérifie |\mathbf{r}| \ll \lambda, donc |\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}| \ll 1. Le champ électrique perçu par l'électron se réduit à sa valeur en \mathbf{R}=\mathbf{0} :

    \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \approx \mathbf{E}(\mathbf{0}, t) = E_0 e^{-i\omega t}\mathbf{e}_x

  • Négligence de la composante magnétique : pour une onde plane dans le vide, B \sim E/c. Le mouvement étant non-relativiste (v \ll c, établi à la question 5), le rapport des forces vérifie :

    \frac{\|\mathbf{F}_{\text{mag}}\|}{\|\mathbf{F}_{\text{el}}\|} \sim \frac{q v B}{q E} \sim \frac{v}{c} \ll 1

    La partie magnétique de la force de Lorentz est donc négligeable devant la composante électrique.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit alors :

Par linéarité de cette équation différentielle, on adopte la notation complexe pour la variable de position \mathbf{r}(t). En divisant par la masse m et en regroupant les termes d'inconnue \mathbf{r}, on obtient :

L'équation différentielle linéaire du mouvement de l'électron obtenue à la question Q10 s'écrit :

La solution générale de cette équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation homogène \mathbf{r}_h(t) et d'une solution particulière \mathbf{r}_p(t) associée au second membre.

L'équation caractéristique associée à l'équation homogène est :

Le discriminant est négatif car \gamma(\omega) \ll \omega_0 (question Q9) : \Delta = \gamma^2 - 4\omega_0^2 < 0. Les deux racines complexes conjuguées sont :

Comme la partie réelle de ces racines est strictement négative (-\gamma/2 < 0), la solution homogène \mathbf{r}_h(t), qui décrit le régime transitoire, décroît exponentiellement vers zéro avec un temps caractéristique \tau = 2/\gamma :

Après l'extinction du régime transitoire, il ne subsiste que le régime forcé (ou stationnaire), oscillant à la pulsation \omega de l'onde incidente. On cherche cette solution sous la forme :

Les dérivées temporelles successives s'écrivent :

En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement, on obtient :

Soit, en simplifiant par e^{-i\omega t} :

En multipliant par la charge q de l'électron, on obtient le moment dipolaire induit complexe q\mathbf{r}_\omega :

On en déduit bien la relation demandée :

En régime stationnaire, le mouvement de l'électron est purement sinusoïdal de pulsation \omega le long de l'axe Ox :

Par analogie directe avec la formule (3) établie à la question 6 pour une oscillation sinusoïdale d'amplitude z_0 à la pulsation \omega_0, la puissance moyenne rayonnée par l'électron sous l'effet du champ excitateur à la pulsation \omega avec une amplitude \|\mathbf{r}_\omega\| s'écrit :

D'après la question 11, on a q \mathbf{r}_\omega = \alpha_c(\omega) E_0 \mathbf{e}_x, d'où q^2 \|\mathbf{r}_\omega\|^2 = |\alpha_c(\omega)|^2 |E_0|^2. On en déduit l'expression de la puissance rayonnée :

Origine de l'énergie L'électron en régime permanent a une énergie mécanique moyenne constante. L'énergie rayonnée par l'atome est continûment prélevée sur l'onde électromagnétique incidente par le travail de la force électrique appliquée sur l'électron. En effet, la puissance moyenne fournie par le champ incident à l'électron est :

Comme \text{Im}(\alpha_c(\omega)) = \frac{\omega \gamma(\omega) q^2 / m}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2\gamma^2} et \gamma(\omega) = \frac{q^2\omega^2}{6\pi\epsilon_0 m c^3}, on vérifie immédiatement que :

Lumière diffusée L'onde incidente est directionnelle (se propageant selon +\mathbf{e}_z). L'atome prélève de l'énergie sur cette onde incidente et la réémet sous forme d'une onde dipolaire sphérique à la même fréquence \omega dans toutes les directions de l'espace (diagramme en \sin^2\theta). Cette redistribution spatiale omnidirectionnelle de l'énergie sans modification de fréquence correspond précisément au phénomène de diffusion élastique (diffusion Rayleigh en régime basse fréquence).

D'après le résultat de la question Q12, la puissance moyenne rayonnée par l'atome en régime stationnaire s'écrit :

La puissance moyenne par unité de surface transportée par l'onde incidente plane est donnée par le vecteur de Poynting moyen incident :

On en déduit l'expression du rapport \sigma(\omega) = \frac{\mathcal{P}}{I_{\text{inc}}} :

En injectant le module au carré de la polarisabilité dynamique établie à la question Q11 :

on obtient finalement :

Interprétation physique : La grandeur \sigma(\omega) est la section efficace de diffusion (scattering cross-section) de l'atome. Elle représente la surface fictive transverse que doit présenter l'atome au faisceau incident pour que la puissance lumineuse incidente interceptée à travers cette aire soit exactement égale à la puissance totale réémise (diffusée) dans tout l'espace :

D'après la question Q13, la section efficace de diffusion s'écrit :

Dans la limite basse fréquence \omega \ll \omega_0, sachant d'après la question Q9 que \gamma(\omega) \ll \omega \ll \omega_0, le dénominateur se simplifie au premier ordre non nul :

La section efficace devient alors :

En identifiant cette expression avec la forme proposée :

on obtient pour le terme préfactoriel (avec q^2 = e^2) :

Par définition positive du rayon, on en déduit :

Application numérique : Avec les valeurs numériques du formulaire :

• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}
• \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} (soit 4\pi\epsilon_0 \approx 1{,}11 \times 10^{-10}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1})
• m = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}
• c \approx 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

Avec un chiffre significatif :

Commentaire sur l'ordre de grandeur : La longueur r_e est le rayon classique de l'électron (ou rayon de Lorentz). C'est l'échelle à laquelle l'énergie potentielle électrostatique d'une sphère de charge e est de l'ordre de son énergie de masse au repos m c^2. Cette longueur (\sim 1\text{ fm}) est de l'ordre de grandeur de la taille d'un noyau atomique, et est environ 10^5 fois plus petite que la taille typique d'un atome (r_0 \sim 10^{-10}\text{ m}). Bien que la physique quantique décrive l'électron comme ponctuel, r_e donne l'échelle de section efficace de diffusion classique de la lumière (diffusion Thomson \sigma_{\mathrm{Th}} = \frac{8\pi}{3}r_e^2).

D'après l'expression de la section efficace de diffusion obtenue à la question 13 :

À la résonance (\omega = \omega_0), le terme d'écart quadratique s'annule :

En utilisant l'expression du taux d'amortissement par rayonnement \gamma(\omega_0) = \frac{q^2 \omega_0^2}{6\pi \epsilon_0 m c^3} (équation 5) :

Sachant que \lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega_0}, soit \frac{c}{\omega_0} = \frac{\lambda_0}{2\pi}, il vient :

Le facteur numérique vaut \frac{3}{2\pi} \approx 0{,}5, la section efficace de diffusion à résonance est donc bien du même ordre de grandeur que \lambda^2.

Possibilité de « voir » un atome unique :

Il convient de distinguer deux acceptions du verbe « voir » :

• Résolution spatiale (imagerie de forme) : la taille géométrique de l'atome est r_0 \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}. D'après le critère de diffraction d'Abbe, la résolution spatiale ultime d'un système optique opérant dans le visible (\lambda \sim 500\text{ nm}) est de l'ordre de d_{\min} \approx \frac{\lambda}{2\mathrm{ON}} \sim 250\text{ nm} \gg r_0. Il est donc impossible de résoudre la forme ou les contours d'un atome avec des photons visibles, que ce soit à l'œil nu, avec une loupe ou avec un microscope optique.

• Détection photométrique (visibilité d'un point lumineux) : un objet ponctuel émetteur ou diffuseur de lumière peut être détecté dès lors que le nombre de photons collectés par l'œil ou le capteur émerge du bruit de fond. À résonance, la section efficace \sigma(\omega_0) \sim 10^{-13}\text{ m}^2 est gigantesque par rapport à la section géométrique de l'atome (\pi r_0^2 \sim 10^{-20}\text{ m}^2). Sous une intensité laser saturante, un atome diffuse continûment un flux de photons de l'ordre de :

  \Phi_{\mathrm{phot}} \sim \frac{1}{2\tau} \sim 10^7 \text{ à } 10^8\text{ photons}\cdot\text{s}^{-1}

Conditions requises pour la détection :

1. Immobilisation : l'atome doit être piégé (piège magnéto-optique, piège de Paul pour un ion) et refroidi dans un ultra-vide afin de ne pas quitter la zone d'éclairement.
2. Éclairage résonant : excitation par un laser accordé précisément à la pulsation \omega_0 pour bénéficier de la résonance et maximiser la diffusion.
3. Absence de lumière parasite : observation sur fond noir absolu pour maximiser le contraste.

Selon le dispositif d'observation :

• Avec un microscope : oui, très aisément. Un objectif à grande ouverture numérique collecte une fraction substantielle de l'angle solide (\sim 10\,\%), focalisant jusqu'à 10^6\text{--}10^7\text{ photons}\cdot\text{s}^{-1} sur une caméra ultrasensible (ou à l'oculaire), formant une tache de diffraction très brillante.
• Avec une loupe / à l'œil nu : à l'œil nu situé à la distance minimale de vision distincte (d_m \approx 25\text{ cm}), la pupille (diamètre \approx 6\text{ mm} dans le noir) sous-tend une fraction d'angle solide \frac{\Delta\Omega}{4\pi} = \frac{\pi (3\times 10^{-3})^2}{4\pi \times 0{,}25^2} \approx 3{,}6\times 10^{-5}. Le flux reçu par la rétine est de quelques milliers de photons par seconde. Comme le seuil de sensibilité absolue de la vision scotopique (bâtonnets) est de l'ordre de quelques dizaines de photons par seconde, un atome (ou un ion) unique est effectivement visible à l'œil nu (et encore plus confortablement à travers une loupe qui accroît l'angle solide de collection) sous forme d'un minuscule point lumineux, dans une obscurité parfaite.

On étudie le système fermé constitué du noyau (masse M, charge -q = +e, position \mathbf{R}) et de l'électron (masse m, charge q = -e, position \mathbf{R} + \mathbf{r}). La masse totale est M_{\text{tot}} = M + m \approx M (puisque M \gg m) et la position du centre de masse est assimilée à celle du noyau \mathbf{R}_G \approx \mathbf{R}.

1. Bilan des forces appliquées au système :

• Forces intérieures : forces d'interaction entre le noyau et l'électron (attraction coulombienne ou rappel élastique). D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), leur résultante est identiquement nulle :

  \mathbf{F}_{\text{int}} = \mathbf{0}

• Forces extérieures :

  • Sur le noyau (en négligeant sa vitesse devant celle de l'électron, ainsi que la force de rayonnement selon l'énoncé) :

    \mathbf{F}_N = -q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}, t)

  • Sur l'électron : force de Lorentz et force de réaction de rayonnement :

    \mathbf{F}_e = q\,\mathbf{E}(\mathbf{R}+\mathbf{r}, t) + q\,(\dot{\mathbf{R}} + \dot{\mathbf{r}}) \times \mathbf{B}(\mathbf{R}+\mathbf{r}, t) - m\gamma(\omega)\dot{\mathbf{r}}

La résultante des forces extérieures appliquées à l'atome s'écrit donc :

en ayant négligé \dot{\mathbf{R}} devant \dot{\mathbf{r}}.

2. Ordre de grandeur du mouvement oscillant du centre de masse :

D'après le théorème du centre de masse :

Les composantes oscillantes des forces extérieures sont dominées par le gradient du champ électrique et la force magnétique. Au premier ordre non nul en |\mathbf{r}|/\lambda :

L'amplitude de la force oscillante sur le centre de masse est donc de l'ordre de :

Cette force oscillant à des pulsations de l'ordre de \omega, l'amplitude du déplacement induit sur le centre de masse \delta R_{\text{osc}} vérifie :

Pour le mouvement relatif de l'électron, l'équation du mouvement donne m\omega^2 |\mathbf{r}| \sim q E_0 (hors résonance ou au voisinage de celle-ci). On en déduit :

Comme le rapport de masse vérifie m/M \le 1/1836 \approx 5\times 10^{-4} \ll 1 et que l'on se place dans l'approximation dipolaire |\mathbf{r}|/\lambda \ll 1, le produit de ces deux petits paramètres est extrêmement faible :

Le mouvement oscillant rapide induit sur le centre de masse est donc parfaitement négligeable devant l'extension |\mathbf{r}| du mouvement de l'électron.

L'atome est globalement neutre : le noyau porte la charge -q et se trouve à la position \mathbf{R}, tandis que l'électron porte la charge q et se situe en \mathbf{R} + \mathbf{r}. La force électrique instantanée totale exercée par le champ extérieur sur l'atome s'écrit :

Le champ électrique varie sur une échelle spatiale caractéristique de l'ordre de la longueur d'onde \lambda. Comme l'extension du mouvement de l'électron vérifie |\mathbf{r}| \ll \lambda, on peut effectuer un développement de Taylor au premier ordre de \mathbf{E}(\mathbf{R} + \mathbf{r}, t) au voisinage de \mathbf{R} :

En injectant ce développement dans l'expression de la force instantanée, les termes d'ordre zéro s'annulent du fait de la neutralité globale de l'atome :

La composante séculaire de cette force, responsable de l'évolution à long terme du centre de masse, s'obtient en prenant la moyenne temporelle \langle \cdot \rangle sur une période d'oscillation 2\pi/\omega :

L'expression de la polarisabilité dynamique complexe \alpha_c(\omega) établie à la question Q11 repose sur plusieurs conditions physiques :

1. Régime forcé stationnaire établi : Le régime transitoire de l'oscillateur électronique doit être amorti, ce qui nécessite de considérer des temps t \gg \tau = 1/\gamma(\omega) \sim 1\text{ ns} (temps d'amortissement par réaction de rayonnement calculé en Q7).

2. Approximation adiabatique (mouvement lent du centre de masse) : L'atome se déplace au cours du temps (\mathbf{R} = \mathbf{R}(t)). Pour que le dipôle induit s'adapte instantanément à la valeur locale de l'amplitude \underline{E}_0(\mathbf{R}), il faut que l'atome se déplace sur une distance très faible devant l'échelle caractéristique de variation spatiale du champ (la longueur d'onde \lambda) pendant le temps de relaxation électronique \tau :

   V \, \tau \ll \lambda \quad \iff \quad k V \ll \gamma(\omega)

   où V = \|\dot{\mathbf{R}}\| est la vitesse du centre de masse de l'atome. Cela garantit également que l'effet Doppler est négligeable devant la largeur de raie radiative.

3. Approximation dipolaire locale : L'extension spatiale du mouvement relatif de l'électron autour du noyau doit rester très faible devant la longueur d'onde (|\mathbf{r}| \ll \lambda), de sorte que pour déterminer la dynamique interne relative \mathbf{r}(t), le champ électrique ressenti par l'électron est assimilable à celui au centre de masse : \underline{\mathbf{E}}(\mathbf{R} + \mathbf{r}, t) \approx \underline{\mathbf{E}}(\mathbf{R}, t).

Le noyau lourd (M \gg m) a une vitesse \dot{\mathbf{R}} négligeable devant celle de l'électron \dot{\mathbf{r}} (d'après la question Q16). La force magnétique instantanée exercée sur l'atome est donc portée par l'électron de charge q :

au premier ordre non nul en |\mathbf{r}|/\lambda.

La composante séculaire est la moyenne temporelle sur une période T = 2\pi/\omega :

Or, la dérivée temporelle d'un produit vectoriel s'écrit (en rappelant que \mathbf{R} varie très lentement devant \omega) :

La fonction t \mapsto \mathbf{r}(t) \times \mathbf{B}(\mathbf{R},t) étant périodique de période T, la moyenne temporelle de sa dérivée est rigoureusement nulle :

Il en découle :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide, \mathbf{rot}\,\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, d'où :

Comparaison des ordres de grandeur :

• Au niveau instantané, la force électrique d'ordre 0 vaut f_{el}^{(0)} \sim q E_0 tandis que la force magnétique vaut f_{mag} \sim q v B \sim q (\omega r) (E_0/c) \sim \frac{v}{c} f_{el}^{(0)} \ll f_{el}^{(0)}, ce qui justifiait de la négliger dans l'équation du mouvement relatif (question Q10).

• En revanche, la composante séculaire d'ordre 0 du champ électrique est nulle (\langle \mathbf{E}(\mathbf{R},t) \rangle = \mathbf{0}). Les premières composantes séculaires non nulles font toutes deux intervenir les gradients spatiaux du champ à l'ordre r/\lambda :

  \begin{aligned} F_{el} &\sim q\, r \left\|\boldsymbol{\nabla}\mathbf{E}\right\| \sim q\, r \, \frac{E_0}{\lambda} \\ F_{mag} &\sim q\, r \left\|\mathbf{rot}\,\mathbf{E}\right\| \sim q\, r \, \frac{E_0}{\lambda} \end{aligned}

\mathbf{F}_{el} et \mathbf{F}_{mag} sont donc du même ordre de grandeur : on ne peut plus négliger la force magnétique moyenne devant la force électrique moyenne.

D'après l'énoncé, le champ électrique est polarisé selon \mathbf{e}_x :

De même, d'après la question Q18, le déplacement relatif de l'électron n'a qu'une composante selon l'axe Ox :

Calculons séparément la force électrique et la force magnétique moyennes :

1. Force électrique moyenne (question Q17) : Comme r_y = r_z = 0 et E_y = E_z = 0, la somme se réduit à la seule composante i=x sur la direction \mathbf{e}_x :

   \mathbf{F}_{el} = \left\langle q r_x \frac{\partial E_x}{\partial X} \right\rangle \mathbf{e}_x

2. Force magnétique moyenne (question Q19) : Calculons le rotationnel du champ électrique :

   \operatorname{\mathbf{rot}}\mathbf{E}(\mathbf{R},t) = \boldsymbol{\nabla} \times (E_x \mathbf{e}_x) = \frac{\partial E_x}{\partial Z}\mathbf{e}_y - \frac{\partial E_x}{\partial Y}\mathbf{e}_z

   Le produit vectoriel avec la position relative q\mathbf{r} = q r_x \mathbf{e}_x s'écrit alors :

   \begin{aligned} q\mathbf{r} \times (\operatorname{\mathbf{rot}}\mathbf{E}) &= q r_x \mathbf{e}_x \times \left( \frac{\partial E_x}{\partial Z}\mathbf{e}_y - \frac{\partial E_x}{\partial Y}\mathbf{e}_z \right) \\ &= q r_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial Z}(\mathbf{e}_x \times \mathbf{e}_y) - \frac{\partial E_x}{\partial Y}(\mathbf{e}_x \times \mathbf{e}_z) \right) \\ &= q r_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial Y}\mathbf{e}_y + \frac{\partial E_x}{\partial Z}\mathbf{e}_z \right) \end{aligned}

   En prenant la moyenne temporelle :

   \mathbf{F}_{mag} = \left\langle q r_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial Y}\mathbf{e}_y + \frac{\partial E_x}{\partial Z}\mathbf{e}_z \right) \right\rangle

En sommant ces deux contributions, les dérivées spatiales selon X, Y et Z se regroupent sous forme d'un gradient complet de la composante E_x :

Pour évaluer cette moyenne temporelle sur une période, rappelons que pour deux signaux réels monochromatiques a(t) = \operatorname{Re}(\underline{a}e^{-i\omega t}) et \mathbf{b}(t) = \operatorname{Re}(\underline{\mathbf{b}}e^{-i\omega t}), la moyenne temporelle de leur produit s'exprime par :

En identifiant \underline{a} = \alpha_c(\omega)\underline{E}_0(\mathbf{R}) (amplitude de q r_x) et \underline{\mathbf{b}} = \operatorname{\mathbf{grad}}\underline{E}_0(\mathbf{R}) (amplitude de \operatorname{\mathbf{grad}} E_x), on obtient directement :

On pose, pour alléger les notations, \mathcal{E}_0(\mathbf{R}) = |E_0(\mathbf{R})|. Le champ s'écrit :

où \mathcal{E}_0 et \phi sont des fonctions réelles des coordonnées d'espace.

En appliquant la règle de dérivation d'un produit :

On en déduit les produits intervenant dans l'expression de la force :

D'après le résultat de la question Q20, la force moyenne totale s'exprime selon :

En utilisant les relations \alpha_c + \alpha_c^* = 2\operatorname{Re}(\alpha_c) et \alpha_c - \alpha_c^* = 2i\operatorname{Im}(\alpha_c), il vient :

La force se décompose bien sous la forme :

avec :

et :

Pour une onde plane se propageant selon la direction du vecteur d'onde \mathbf{k}, l'amplitude complexe du champ électrique s'écrit :

où E_0 est pris réel positif sans perte de généralité. Son amplitude est uniforme, |E_0(\mathbf{R})| = E_0, et sa phase vaut :

D'après le résultat de la question 21, la force \mathbf{F}_2 s'écrit donc :

Elle est directement colinéaire et proportionnelle au vecteur d'onde \mathbf{k} du champ incident.

À la résonance (\omega = \omega_0), la polarisabilité complexe obtenue à la question 11 devient :

En injectant l'expression de \gamma(\omega_0) = \frac{q^2\omega_0^2}{6\pi\epsilon_0 m c^3}, on obtient :

En reportant cette valeur et en notant k_0 = \omega_0/c :

Cette composante correspond à la force de pression de radiation (ou force de diffusion). Elle pousse l'atome dans le sens de propagation de l'onde lumineuse.

Pour relier cette force à la puissance rayonnée calculée à la question 12 :

Exprimons la partie imaginaire de \alpha_c(\omega) :

Comme \gamma(\omega) = \frac{q^2\omega^2}{6\pi\epsilon_0 m c^3}, on en déduit l'identité remarquable (théorème optique pour un dipôle classique) :

Il apparaît immédiatement que :

La force s'exprime donc sous la forme :

Interprétation corpusculaire : Dans le modèle photonique, un photon incident possède l'énergie \hbar\omega et l'impulsion \hbar\mathbf{k}. Le taux d'absorption/diffusion de photons par l'atome s'écrit :

À chaque diffusion, l'atome absorbe un photon incident d'impulsion \hbar\mathbf{k}, puis le réémet par rayonnement dipolaire. L'émission dipolaire étant spatialement symétrique (invariante par inversion d'espace), la quantité de mouvement moyenne emportée par les photons diffusés est nulle : \langle \mathbf{p}_{\text{diff}} \rangle = \mathbf{0}.

Le transfert moyen de quantité de mouvement à l'atome par unité de temps s'écrit alors :

On retrouve rigoureusement l'expression de \mathbf{F}_2.

D'après la question Q21, la composante \mathbf{F}_1 s'écrit :

Comme la polarisabilité dynamique complexe \alpha_c(\omega) ne dépend pas de la position spatiale \mathbf{R}, elle commute avec l'opérateur spatial gradient. On peut donc introduire un double signe moins pour mettre l'expression sous la forme requise :

Cette force conservative dérive ainsi de l'énergie potentielle dipolaire :

L'intensité locale du champ (densité de puissance moyenne) étant donnée par I(\mathbf{R}) = \frac{1}{2}\epsilon_0 c |E_0(\mathbf{R})|^2, le potentiel est directement proportionnel à l'intensité lumineuse locale :

D'après l'expression de \alpha_c(\omega) obtenue à la question Q11 :

La dynamique du centre de masse tend à minimiser l'énergie potentielle U_{\text{dip}}(\mathbf{R}) (car \mathbf{F}_1 = -\operatorname{\mathbf{grad}} U_{\text{dip}}) :

• Si \omega < \omega_0 (désaccord rouge, \omega - \omega_0 < 0), on a \omega_0^2 - \omega^2 > 0, donc \operatorname{Re}(\alpha_c) > 0. L'énergie potentielle U_{\text{dip}}(\mathbf{R}) est minimale là où l'intensité |E_0(\mathbf{R})|^2 est maximale. La force \mathbf{F}_1 attire ainsi les atomes vers les régions de plus forte intensité.
• Si \omega > \omega_0 (désaccord bleu, \omega - \omega_0 > 0), \operatorname{Re}(\alpha_c) < 0 et le potentiel est minimal aux zones d'intensité nulle ou minimale : les atomes sont repoussés des maxima d'intensité.

Pour attirer les atomes vers les maxima d'intensité lumineuse, il faut donc choisir un désaccord rouge :

Dans le vide, en l'absence de charges et de courants, le champ électrique vérifie l'équation de d'Alembert :

Le champ recherché étant polarisé selon \mathbf{e}_x, on s'intéresse à sa composante scalaire :

Calculons les différentes dérivées spatiales et temporelles de E_x :

En injectant ces expressions dans l'équation de d'Alembert, et en simplifiant par E_0 e^{i(kz - \omega t)}, on obtient :

Puisque l'onde satisfait la relation de dispersion du vide \omega = ck, les termes en v se compensent exactement :

L'équation exacte sur l'enveloppe v se réduit ainsi à :

L'énoncé précise que les variations longitudinales de v le long de l'axe Oz se font sur une échelle caractéristique L_z très grande devant la taille transverse w_0, elle-même très grande devant la longueur d'onde \lambda (L_z \gg w_0 \gg \lambda = \frac{2\pi}{k}). En ordre de grandeur :

Le rapport de ces deux grandeurs vaut :

On peut donc légitimement négliger la dérivée seconde \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} devant le terme croisé 2ik \frac{\partial v}{\partial z} (approximation de l'enveloppe lentement variable ou approximation paraxiale). On aboutit à l'équation paraxiale de Helmholtz :

L'expression de l'amplitude complexe du champ s'écrit, en coordonnées cylindriques avec r^2 = x^2 + y^2 :

L'intensité lumineuse locale associée, proportionnelle au module carré du champ électrique, vérifie :

On en déduit l'interprétation physique de w(z) :

• À une cote z fixée, w(z) représente la demi-largeur transverse du faisceau (ou rayon du faisceau) : c'est la distance radiale à l'axe optique pour laquelle l'amplitude du champ électrique est divisée par un facteur e, ou de façon équivalente, la distance pour laquelle l'intensité lumineuse est divisée par un facteur e^2 \approx 7{,}4 (I(w(z), z) = I(0, z)/e^2 \approx 0{,}135 \, I(0, z)).
• En z = 0, cette largeur atteint sa valeur minimale w(0) = w_0, appelée rayon au col (ou waist) du faisceau gaussien.

1. Tracé qualitatif de w(z) :

D'après l'expression établie à la question 25 :

La fonction w(z) est paire, minimale en z = 0 où w(0) = w_0, et vaut à la cote de Rayleigh z = z_R :

La courbe est une branche d'hyperbole admettant pour asymptotes obliques les droites d'équation w(z) \sim \pm \frac{w_0}{z_R}z quand z \to \pm\infty.

2. Région de comportement d'onde plane :

Pour |z| \ll z_R (au voisinage immédiat du col, et plus généralement dans la zone de Rayleigh |z| \le z_R) :

• Le rayon du faisceau varie très peu : w(z) \approx w_0.
• Le rayon de courbure diverge : R(z) \approx \frac{z_R^2}{z} \gg z_R \to \infty, ce qui signifie que les fronts d'onde sont des plans orthogonaux à l'axe optique (Oz).
• Le terme de phase de courbure s'annule : k\frac{r^2}{2R(z)} \to 0.

Le faisceau gaussien se comporte donc comme une onde plane dans la région |z| \ll z_R (au voisinage du col) pour r \lesssim w_0.

3. Limite z \gg z_R et phénomène physique associé :

Lorsque z \gg z_R, le rayon transverse devient linéaire en z :

et le rayon de courbure s'identifie à la distance de propagation : R(z) \approx z. Les surfaces d'onde sont alors des calottes sphériques centrées sur le col (z = 0) et le faisceau s'ouvre selon un cône de demi-angle de divergence :

Ce phénomène correspond à la diffraction en champ lointain (ou diffraction de Fraunhofer) d'une onde limitée spatialement à une ouverture transverse caractéristique w_0.

D'après la question Q23, la force dipolaire dérive d'un potentiel effectif :

En choisissant une fréquence laser inférieure à la fréquence de résonance atomique (\omega < \omega_0, désaccord vers le rouge), on a \operatorname{Re}(\alpha_c) > 0. Le potentiel U_{\text{dip}}(\mathbf{R}) présente alors un minimum là où l'intensité du champ électromagnétique |\mathbf{E}(\mathbf{R})|^2 est maximale.

D'après les équations (14) et (16), l'intensité lumineuse du faisceau gaussien s'écrit en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) où r^2 = x^2 + y^2 :

Cette intensité est strictement décroissante avec r et avec |z| : elle admet donc un maximum absolu strict au centre du col en (r=0, z=0), où elle vaut |E_0|^2. Ainsi, des atomes refroidis dont l'énergie cinétique est inférieure à la profondeur du puits de potentiel :

se retrouvent confinés au voisinage de l'origine (0,0,0) : c'est le principe du piège dipolaire optique (ou pince optique).

Pour étudier l'anisotropie du piège, effectuons un développement limité du potentiel au voisinage de l'origine (r \ll w_0 et |z| \ll z_R) :

Au second ordre, l'intensité s'écrit :

Le potentiel dipolaire prend ainsi la forme harmonique :

avec les constantes de raideur :

Le rapport des raideurs (ou courbures de la cuvette de potentiel) vaut :

Dans le cadre de l'approximation paraxiale, la taille du col est bien supérieure à la longueur d'onde (w_0 \gg \lambda), de sorte que la longueur de Rayleigh est considérablement plus grande que le rayon au col :

La cuvette de potentiel varie sur une échelle w_0 dans la direction transverse et sur une échelle z_R \gg w_0 dans la direction longitudinale. Le piège est donc très anisotrope : la cuvette est beaucoup plus étroite et raide transversalement que longitudinalement (confinant le nuage atomique sous la forme d'un « cigare » très allongé le long de l'axe Oz).

D'après la question 27, la faible raideur longitudinale \kappa_z \propto 1/z_R^2 provient du fait que l'intensité varie très lentement le long de l'axe de propagation (z_R \gg w_0 \gg \lambda). Pour améliorer considérablement le confinement selon l'axe Oz, deux méthodes principales sont couramment employées en physique atomique :

1. La formation d'une onde stationnaire (réseau optique 1D) : En faisant interférer le faisceau avec un faisceau contra-propageant de même pulsation et polarisation (par exemple en plaçant un miroir rétro-réfléchissant ou en insérant l'atome dans une cavité optique résonante, comme étudié dans la section suivante), on crée une onde stationnaire le long de Oz. L'intensité lumineuse présente alors une modulation spatiale périodique à l'échelle de \lambda/2 :

   I(z) \propto \cos^2(kz)

   Le gradient d'intensité selon z varie désormais sur une distance de l'ordre de \lambda au lieu de z_R. La raideur longitudinale devient alors :

   \kappa_z \sim \frac{|U_0|}{\lambda^2} \gg \kappa_\perp

   Les atomes se trouvent alors piégés aux ventres d'intensité (si \omega < \omega_0), réalisant un confinement longitudinal sub-longueur d'onde extrêmement efficace.

2. L'utilisation de faisceaux croisés : En superposant orthogonalement au col un second faisceau laser identique se propageant selon un axe perpendiculaire (par exemple Ox), le confinement longitudinal selon Oz du premier faisceau est assuré par le très fort confinement transverse (de raideur \kappa_\perp \propto 1/w_0^2) du second faisceau. Le piège tridimensionnel résultant est alors quasi isotrope, avec une raideur de l'ordre de \kappa_\perp dans les trois directions de l'espace.

Les miroirs formant la cavité sont modélisés comme des conducteurs parfaits.

Dans un conducteur parfait soumis à un champ électromagnétique variable à haute fréquence (effet de peau nul, profondeur de pénétration \delta \to 0), le champ électromagnétique est strictement nul à l'intérieur du métal :

En notant \mathbf{n} le vecteur unitaire normal à la surface d'un miroir (orienté vers l'intérieur de la cavité), les relations de passage du champ électromagnétique à l'interface vide–conducteur imposent :

• La continuité de la composante tangentielle du champ électrique :

  \mathbf{E}_\parallel = \mathbf{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{E} \times \mathbf{n} = \mathbf{0}

  Le champ électrique est donc strictement orthogonal à la surface du conducteur en tout point du miroir.

• La continuité de la composante normale du champ magnétique :

  B_\perp = \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} = 0

  Le champ magnétique est donc strictement tangentiel à la surface du miroir.

Des charges surfaciques \sigma = \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} et des courants surfaciques \mathbf{j}_s = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{n} \times \mathbf{B} se développent sur la face interne des miroirs pour assurer ces continuités.

Ces conditions aux limites contraignent fortement le champ dans la cavité :

1. Condition de phase axiale : l'annulation de la composante tangentielle du champ électrique impose des nœuds (ou quasi-nœuds) d'amplitude aux miroirs, sélectionnant des ondes stationnaires et quantifiant ainsi les fréquences propres \omega_p de résonance de la cavité.
2. Condition géométrique de courbure : les surfaces des miroirs devant être orthogonales au champ électrique local, elles doivent épouser la courbure des fronts d'onde du faisceau lumineux. Le rayon de courbure R(z) du mode doit donc s'adapter au rayon de courbure R_c des miroirs en z = \pm D/2.

Les miroirs étant modélisés par des conducteurs parfaits, la composante tangentielle du champ électrique s'annule à leur surface (question Q29) :

Aux sommets des miroirs A\,(0,0,D/2) et A'\,(0,0,-D/2), le plan tangent est orthogonal à l'axe optique \mathbf{e}_z. Le champ électrique étant polarisé selon \mathbf{e}_x, il est strictement tangentiel à la surface en ces points. Ainsi :

D'après l'expression (16) de v_k (question Q25), pour x=y=0 et en négligeant la phase de Gouy (\Phi(z) \approx 0 car z_R \gg D) :

Par parité du waist w(z) = w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2}, on a w(D/2) = w(-D/2).

En reportant dans l'expression (20) au point A' (z = -D/2) :

ce qui impose :

En injectant cette relation au point A (z = D/2) :

Pour obtenir une solution non triviale (E_+ \neq 0), il est nécessaire que :

Sachant que \omega = ck, les pulsations et fréquences permises prennent des valeurs discrètes :

Ces fréquences discrètes sont appelées les fréquences propres (ou fréquences de résonance) des modes longitudinaux de la cavité.

Le miroir situé en z = D/2 est modélisé par un conducteur parfait sphérique, concave, de rayon de courbure R_c. Dans le repère cylindrique (r,\theta,z) avec r^2 = x^2 + y^2, le centre de courbure du miroir se situe en z = D/2 - R_c. L'équation exacte de la calotte sphérique s'écrit :

Dans l'approximation paraxiale (r \ll R_c), un développement limité au second ordre donne le profil de la surface du miroir :

D'autre part, la phase spatiale de l'onde se propageant selon +z s'écrit (en négligeant la phase de Gouy \Phi(z) conformément aux hypothèses) :

Une surface d'onde (surface équiphase \phi(r,z) = \text{cte}) passant par le sommet (r=0, z=D/2) vérifie :

Sur la surface du miroir conducteur parfait, la composante tangentielle du champ électrique total doit s'annuler identiquement pour tout r. Comme le champ est principalement transverse (\mathbf{E} \approx E_x \mathbf{e}_x), le miroir doit coïncider avec une surface nodale du mode stationnaire, et donc épouser exactement la forme d'une surface d'onde. En identifiant les courbures de z_M(r) et de z_{\text{onde}}(r), on obtient immédiatement :

D'après la question Q25, le rayon de courbure du faisceau s'exprime par :

En évaluant cette relation en z = D/2 avec R(D/2) = R_c :

On en déduit l'expression de la longueur de Rayleigh z_R :

En utilisant la relation z_R = \dfrac{\pi w_{0,p}^2}{\lambda_p} (avec \lambda_p = \dfrac{2\pi}{k_p} la longueur d'onde du mode p), on trouve :

Soit finalement :

L'expression de v_k(x,y,z) donnée à la question 25 est :

avec r^2 = x^2+y^2.

À l'intérieur de la cavité, la coordonnée z vérifie |z| \le D/2. Dans l'approximation paraxiale considérée, on a z_R \gg D, ce qui entraîne |z|/z_R \ll 1 :

• Le rayon du faisceau est quasi constant :

  w(z) = w_{0,p}\sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_R}\right)^2} \approx w_{0,p}
• La phase de Gouy est négligée conformément aux hypothèses de l'énoncé : \Phi(z) \approx 0.

• Le rayon de courbure vérifie R(z) = z\left[1 + (z_R/z)^2\right] \approx z_R^2/z, d'où :

  k_p \frac{r^2}{2R(z)} \approx \frac{k_p r^2 z}{2z_R^2} = \frac{\pi w_{0,p}^2}{\lambda_p}\frac{k_p r^2 z}{2 z_R^2} \frac{\lambda_p}{\pi w_{0,p}^2} = \frac{r^2}{w_{0,p}^2}\frac{z}{z_R}

  Pour la fraction du faisceau où l'intensité est non négligeable (r \lesssim w_{0,p}), ce déphasage d'ordre z/z_R \le D/(2z_R) \ll 1 est négligeable : le terme de phase quadratique transverse est donc assimilable à 0.

Il en résulte que pour les deux faisceaux contra-propageants :

En injectant ces formes approchées dans l'expression (20) du champ :

D'après la condition aux limites en z = -D/2 (question 30), E_- = -E_+ e^{-ik_p D}. Le terme spatial longitudinal se réécrit donc :

En absorbant la constante de phase globale 2i e^{-ik_p D/2} dans l'amplitude complexe E_+, on obtient bien l'expression demandée :

avec

L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

En régime sinusoïdal de pulsation \omega_p (avec la convention temporelle e^{-i\omega_p t}), la dérivée temporelle se traduit par \partial/\partial t \to -i\omega_p, ce qui donne :

D'après le résultat de la question précédente, le champ électrique du mode p est polarisé selon \mathbf{e}_x :

Calculons le rotationnel en coordonnées cartésiennes :

Comparons les ordres de grandeur des dérivées spatiales en utilisant l'expression de u_p établie en Q32, u_p(\mathbf{R}) = \exp\left(-\frac{x^2+y^2}{w_{0,p}^2}\right)\sin\left[k_p\left(z+\frac{D}{2}\right)\right] :

• Selon la direction de propagation z : \left| \frac{\partial u_p}{\partial z} \right| \sim k_p |u_p| = \frac{2\pi}{\lambda_p} |u_p| ;
• Dans le plan transverse, pour y \lesssim w_{0,p} : \left| \frac{\partial u_p}{\partial y} \right| = \frac{2|y|}{w_{0,p}^2} |u_p| \lesssim \frac{2}{w_{0,p}} |u_p|.

Dans le cadre de l'approximation paraxiale, la taille transverse du faisceau est grande devant la longueur d'onde (w_{0,p} \gg \lambda_p), d'où :

On peut donc négliger la composante selon \mathbf{e}_z du rotationnel devant sa composante selon \mathbf{e}_y :

En réinjectant dans l'expression de \mathbf{B}_p et en notant \omega = \omega_p, on obtient :

Le champ électrique réel du mode p s'écrit, en posant E_+ = |E_+|e^{i\phi} :

Le champ magnétique associé \mathbf{B}_p est en quadrature de phase par rapport à \mathbf{E}_p (d'après le facteur 1/i dans l'équation (24)). L'énergie électromagnétique totale stockée dans la cavité est constante et égale à l'énergie électrique maximale, atteinte aux instants où le champ magnétique s'annule :

Calculons l'intégrale I = \iiint_{\mathcal{V}_0} u_p^2(\mathbf{R})\,\mathrm{d}^3\mathbf{R} en négligeant la courbure des miroirs, ce qui permet d'intégrer z entre -D/2 et D/2, et en étendant l'intégration transverse sur tout le plan (x,y) car le faisceau est confiné (w_{0,p} \ll R_c) :

• Pour la partie transverse, en utilisant l'intégrale fournie dans le formulaire :

  \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-2(x^2+y^2)/w_{0,p}^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2/w_{0,p}^2}\,\mathrm{d}x\right)^2 = \left(w_{0,p}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^2 = \frac{\pi w_{0,p}^2}{2}

• Pour la partie longitudinale, posons la variable Z = z + D/2 \in [0,D] :

  \int_{-D/2}^{D/2} \sin^2\left[k_p\left(z+\frac{D}{2}\right)\right]\mathrm{d}z = \int_0^D \sin^2(k_p Z)\,\mathrm{d}Z = \frac{1}{k_p}\int_0^{k_p D} \sin^2(u)\,\mathrm{d}u

  Comme k_p D = p\pi, la formule du formulaire donne :

  \int_0^{p\pi} \sin^2(u)\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}(p\pi - \cos(p\pi)\sin(p\pi)) = \frac{p\pi}{2}

  D'où :

  \int_0^D \sin^2(k_p Z)\,\mathrm{d}Z = \frac{p\pi}{2k_p} = \frac{D}{2}

On en déduit :