Diffraction et réseaux : 105 questions de concours corrigées

Établir l'expression de la différence de marche δ entre les ondes réfléchies par deux motifs successifs du réseau.

Justifier sans calcul que l'onde rétrodiffusée sera particulièrement intense dans les directions telles que p Z, L( θ + i) = pλ .

En interprétant le phénomène observé comme résultant d'interférences entre des ondes de longueur d'onde λ_B, établir simplement que l'on observe des interférences constructives (et donc des densités…

Le résultat obtenu en Q10.c pour les maxima d'intensité, établi dans le cadre de l'approximation de Gauss, peut être réécrit sous la forme θ_n = nλ/a avec n entier relatif. Elle est appelée "formule…

a) Après avoir rappelé la formule de De Broglie, établir la longueur d'onde associée à un faisceau d'électrons accélérés par une différence de potentiel égale à U = 100 V. b) Pourquoi un microscope…

On considère une goutte de diamètre D éclairée par une onde plane de longueur d'onde λ. En considérant la goutte comme opaque, exprimer l'angle caractéristique θ sous lequel est diffractée l'onde…

Indiquer quels sont les intérêts d'utiliser un télescope de grand diamètre.

Expliciter le déphasage φ entre deux ondes issues de trous successifs en fonction de λ, a et θ.

Justifier qu'on observe un maximum d'intensité si on a φ = 2pπ avec p un entier relatif accessible. Comment appelle-t-on l'entier p ? Exprimer l'angle θ_1 correspondant au pic p = 1.

On place un écran derrière la fente, parallèlement à son plan (voir Figure 5), à une distance d=5 m. Pour cette valeur, on admet qu'on se trouve, avec une excellente approximation, dans une…

Rappeler quel critère quantitatif permet de se placer dans le cadre de l'approximation de l'optique géométrique. En raisonnant sur des grandeurs caractéristiques, cette approximation est-elle…

Dans la configuration de la question précédente, déterminer la distance Δ x entre l'image correspondant au maximum global et l'image correspondant au premier zéro de A(α), dans le plan focal image…

En raison de la diffraction par la pupille, l'image d'un objet ponctuel est une tâche sur la rétine. En tenant compte de la diffraction, estimer de nouveau la valeur minimale de α notée α_2 séparant…

Quelle est la signification physique de W(z) ?

À quoi correspond la longueur de Rayleigh ?

Le système optique utilisé est limité par la diffraction provoquée par l'ouverture qui provoque une tâche d'Airy sur le plan focal. Donner l'expression de l'ordre de grandeur de l'ouverture…

Ce faisceau parallèle cylindrique de rayon R arrive face à un écran, perpendiculaire à l'axe du faisceau, percé d'un trou circulaire T_1 de centre O et de rayon r (inférieur à R) (figure 1). a)…

On se place dans le cas de N fentes identiques parallèles à Oy (figure 4) équidistantes (période a). La source ponctuelle S, supposée rigoureusement monochromatique de longueur d'onde λ = 632,8 nm…

On utilise un réseau possédant 500 fentes par mm. Établir l'expression de la différence entre les angles des deux rayons diffractés dans l'ordre 1 pour λ_1 et λ_2. Calculer numériquement cette…

En déduire les valeurs de l'angle θ pour lesquelles on observe une intensité maximale. Montrer que l'on peut déduire des mesures de l'angle θ la valeur du paramètre de maille a.

Pour émettre les ondes porteuses électromagnétiques, on utilise des réseaux d'antennes. Ces antennes sont réparties périodiquement dans l'espace (figure 7) émettant des ondes cohérentes de longueur…

Établir que la demi-largeur d'un pic d'intensité lumineuse est donnée par Δφ = 2π/N et en déduire la demi-largeur angulaire Δθ du pic observé dans la direction θ_1. Évaluer numériquement Δθ, sachant…

Déterminer l'expression de A(α) en fonction de E_0, α et W_0. Représenter graphiquement A(α) en fonction de α.

À partir de l'expression du vecteur d'onde k d'une onde élémentaire dans le repère (Oxyz) et de la représentation graphique de A(α), identifier les directions dans lesquelles on observe un extremum…

Ce calcul met en évidence que la refocalisation par retournement temporel ne permet pas de revenir parfaitement sur la source initiale. De quelle limite fondamentale de la physique ondulatoire…

La formule précédente fait-elle intervenir ? Expliquer pourquoi.

D'après ce qui précède, comment faut-il choisir le diamètre de la lentille si l'on veut maximiser l'intensité lumineuse au foyer ?

Est-il possible d'observer un double-brin d'ADN avec un microscope optique ? Justifier la réponse donnée.

On peut montrer que v_k(x, y, z) = w_0/w(z) [-x^2+y^2/w(z)^2 ] [-iΦ(z) + ikx^2+y^2/2R(z) ] (16) est solution de l'équation avec w(z)^2 = w_0^2 [1+ (z/z_R )^2 ] (17) R(z) = z [1+ (z_R/z )^2 ] (18)…

Citer un dispositif optique permettant de sélectionner une des longueurs d'onde dans la lumière diffusée par la particule, afin d'effectuer la mesure d'une des composantes de vitesse.

En déduire, à l'aide d'une approximation, une expression simple de θ en fonction de Λ et λ. Quel phénomène optique avons-nous modélisé ici ?

À quoi sert l'introduction d'un trou de petite taille dans le plan du photodétecteur ?

Expliquer pourquoi le diaphragme permet d'améliorer le rapport signal sur bruit de l'image.

La valeur précédente de θ correspond au premier minimum de la figure de diffraction observée sur l'écran. Quelle est la position y_1>0 de ce premier minimum? A) y_1≈ 100 nm B) y_1≈ 1 µm C) y_1≈ 10…

En considérant des rayons lumineux parallèles à l'axe (Oz) et des rayons parallèles entre eux, inclinés d'un angle quelconque par rapport à ce même axe, préciser comment une lentille mince…

Tracer schématiquement cette intensité en fonction de r, la distance à l'axe, pour z fixé.

Faire une évaluation de r_d en prenant A = 2,44 et λ_o = 600 nm et commenter.

Exprimer, en fonction de P_0, S_a, λ et de la distance R, la puissance par unité de surface p_0(R) traversant la portion de surface sphérique de rayon R du cône d'émission.

Déterminer la résolution angulaire que l'on peut ainsi obtenir avec ces télescopes. En déduire la résolution spatiale (en kilomètres) que l'on peut espérer atteindre pour une exoplanète située à une…

Proposer, à l'aide de la courbe figure 8b, une valeur numérique pour ρ_ , valeur minimale de la distance A_1 B_1 telle que les taches centrales des intensités lumineuses autour de A_1 et B_1 ne se…

Déterminer la valeur numérique de A_0 B_0 correspondant à A_1 B_1 = ρ_ . Commenter.

(*) La lumière est diffractée lorsqu'elle passe à travers la pupille. L'image d'un point objet à l'infini correspond alors à une tache sur la rétine. Si l'on tient compte du diamètre de la pupille…

On suppose que l'on éclaire le SLM à l'aide d'une onde plane d'amplitude E_0 se propageant parallèlement à l'axe z et on le programme de façon à ce que le déphasage subi par la lumière à la…

Déduire que le faisceau incident va se diviser en trois faisceaux transmis inclinés par rapport à l'axe optique avec des angles que l'on précisera (on supposer le rapport qc/ω petit).

Expliquer pourquoi un profil de phase de la forme \[ Φ(x, y) = Φ_0 + Φ_1 _n, m (n q_0 x) (m q_0 y) \] pourrait permettre de réaliser une matrice de puits de potentiel illustrée sur la figure 3.b.

On s'intéresse au champ électrique complexe, en un point infiniment éloigné, associé à un rayon diffracté, dans la direction θ_n, telle que θ_n = nλ/a avec n entier relatif. On admet que l'amplitude…

a) Que vaut en un point M infiniment éloigné dans la direction θ_n l'expression du vecteur de Poynting moyen Π_N(M, t) = Π_N(M) associé à l'onde résultante issue des N fentes ? On l'exprimera en…

Exprimer, pour le réseau de pas a, les composantes k_n,z et k_n,x du vecteur d'onde k des directions qui correspondent aux maxima d'intensité, en fonction de n, a et de λ.

Dans le traitement fait précédemment, la largeur ε des fentes n'a pas été prise en compte. Pour corriger la démarche, on fait l'hypothèse que l'onde émergente du réseau est une superposition d'ondes…

Commenter la photo 1 et déduire de celle-ci le rapport ε/a utilisé et vérifier que la longueur Talbot est bien conforme à la formule donnée.

Comparer cette donnée au résultat de la question précédente et proposer une explication à l'éventuelle différence.

Réaliser un schéma représentant : - une molécule fluorescente à λ_1 dans le plan focal objet de l'objectif ; - le réseau ; - la lentille tube ; - la surface sensible de la caméra avec l'image de la…

En utilisant le schéma de la question (25), déduire de la question précédente la valeur numérique de la distance entre les deux taches sur la surface sensible de la caméra sachant que la distance…

Le grandissement du microscope est g_m = 100 et l'ouverture numérique de l'objectif ON = 1,5. Estimer numériquement la taille de l'image d'une molécule, supposée ponctuelle et placée au foyer objet…

Quelle est la distance minimale entre les deux images que doit introduire le réseau de diffraction ?

Un réseau comportant 500 fentes par mm est-il adapté pour avoir deux images non superposées mais séparées d'un pixel ?

En raisonnant sur la façon dont chaque dispositif disperse les différentes longueurs d'onde contenues dans le faisceau incident, expliquer quel élément dispersif sera plus avantageux en terme de…

Après avoir justifié la longueur d'onde lumineuse choisie, déterminer la taille caractéristique de la tache de diffraction visible sur le capteur si l'objectif est éclairé par un « point unique »…

Proposer une justification au choix de l'entreprise de configurer par défaut la prise d'image en full HD (1920 × 1080 pixels) au lieu de la résolution 4K (3840 × 2160 pixels).

Déterminer numériquement la distance TSA (transversal spherical aberration) entre F' et le point où ce rayon extrême rencontre le capteur. Un schéma faisant apparaitre la distance TSA est attendu…

En utilisant les résultats de la question 14, exprimer sans calculs les différences de marches au point M, δ_i/1(M) avec i = 2, 3, 4, entre l'onde passant par le miroir P_i et celle passant par le…

On modélise l'écran du téléphone par un réseau carré de N pixels assimilés à de petits miroirs répartis périodiquement avec une période a selon y et selon z. Montrer que l'éclairement obtenu est…

Exprimer, en fonction de N, le rapport entre l'éclairement maximal et l'éclairement moyen observé sur l'écran. Que peut-on en conclure sur l'allure de la figure d'interférence observée lorsque N est…

Les calculs de l'intensité diffractée par une goutte d'eau ont été menés en 1908 par Gustav Mie, à l'aide des équations de Maxwell. Le résultat est donné figure 10. Commenter cette figure à la…

Tracer w(z) qualitativement en fonction de z. On veillera à bien repérer sur l'axe des abscisses la position z = z_R. Dans quelle région de l'espace peut-on considérer que le faisceau laser se…

En déduire la valeur du pouvoir séparateur (ou résolution angulaire) du télescope utilisé. Montrer qu'un système binaire formé de deux étoiles distantes d'une unité astronomique ne peut pas être…

Quelle est la couleur de la radiation émise par le laser ? Estimer le rayon a du fil. En déduire l'ordre de grandeur de la taille minimale des gouttes formées sur ce fil.

Reproduire le schéma de la figure 10 sur votre copie et le compléter en représentant l'allure de l'enveloppe du faisceau laser après traversée de la lentille. On prendra soin de tracer ce faisceau…

L'ordre 1 du réseau correspond à un angle d'incidence θ_B, appelé angle de Bragg, tel que deux rayons se réfléchissant sur des plans successifs ont une différence de marche égale à une longueur…

Le laser fonctionne dans un régime dit « impulsionnel » ; c'est-à-dire qu'il émet des impulsions lumineuses courtes d'une durée τ_p = 5 ns, avec une cadence de répétition f_rep = 1 kHz. Les normes…

On remplace le capteur ponctuel précédent par un capteur sous forme de disque de diamètre D = 1 cm qui présente une concavité de manière à focaliser les ultrasons à la distance F = 3 cm. Par…

En considérant la molécule fluorescente comme un émetteur ponctuel, évaluer l'ouverture numérique de l'objectif utilisé pour réaliser les images de la figure 3 avec la longueur d'onde laser λ = 532…

Déterminer un ordre de grandeur de la puissance du faisceau laser incident pour obtenir un taux d'excitation à saturation.

Déterminer un ordre de grandeur du volume excité en fonction de ω_r et ω_z. Calculer numériquement cet ordre de grandeur.

Le réseau utilisé dans certains spectromètres ICP-AES comporte 1800 ouvertures par millimètre. Calculer numériquement θ_1 pour λ = 499,3 nm. Pourquoi n'est-il plus envisageable d'utiliser le…

On considère que la source émet une deuxième longueur d'onde λ' très proche de λ. On note θ'_1 l'angle d'observation du premier pic (p = 1) correspondant à la longueur d'onde λ'. On admet que l'on…

Évaluer numériquement la résolution du réseau utilisé. Proposer des raisons visant à expliquer la différence entre cette valeur et celle, voisine de 20 pm, d'un spectromètre ICP-AES.

Calculer la valeur de θ. On exprimera cette valeur en secondes d'arc (''). A) θ=4× 10^-3 B) θ=4× 10^-2 C) θ=4× 10^-1 D) θ=4^

À partir des résultats généraux établis dans la partie I, concernant la propagation d'un paquet d'ondes planes progressives et harmoniques, établir l'expression intégrale de E_L(x,z) dans le…

Déterminer l'expression approchée de W(z) dans les limites z ≪ z_R et z ≫ z_R et tracer la courbe représentant W en fonction de z. Définir et exprimer l'angle θ de divergence du faisceau laser. À…

Quelle est dans ce cas la distance de Rayleigh z_R (autour du point focal) ? En déduire l'échelle de longueur sur laquelle l'intensité est significative le long de l'axe (Oz) de propagation du…

Le LASER utilisé émet dans le domaine visible et la distance d est fixée à 10 cm. Nous considérons que le diamètre du faisceau, au niveau de la surface de réflexion de la lame, est égal à la largeur…

Nous identifions a_P à a_d (question (34)). Analyser la cause qui limite le contraste.

Proposer un ordre de grandeur de l'angle θ_d caractéristique de la diffraction de la lumière solaire par la Terre, en admettant que cet angle est identique au phénomène de diffraction produit par…

Proposer un ordre de grandeur de l'angle θ_d caractéristique de la diffraction de la lumière solaire par la Terre, en admettant que cet angle est identique au phénomène de diffraction produit par…

Proposer un ordre de grandeur de l'angle θ_d caractéristique de la diffraction de la lumière solaire par la Terre, en admettant que cet angle est identique au phénomène de diffraction produit par…

Proposer un moyen expérimental permettant de générer le signal s_i(z,t). Exprimer l'onde transmise s_t(x,z,t) après la mire sous la forme de trois ondes planes progressives monochromatiques…

Dans l'approximation de Gauss, déterminer l'expression de la fréquence spatiale u en fonction de f_L', x' et λ.

Pour augmenter C_2, le disque placé en F', en plus d'être toujours déphasant (+π/2), devient partiellement absorbant de transmittance t_3(x') telle que |t_3(x')| < 1. Exprimer le contraste C_3 en…

Tracer la forme du faisceau laser dans un plan contenant l'axe (Oz), en identifiant deux zones suivant que z ≪ L_R ou z ≫ L_R.

Que représente la quantité λ/π W_0 ? Quelle analogie peut-on faire avec la diffraction obtenue par un trou de dimension W_0 ?

Déterminer la position d'équilibre de l'atome dans le faisceau et étudier sa stabilité. Expliquer en quoi le laser agit comme une pince optique sur l'atome.

Montrer que la taille r_d de la tâche de diffraction sur le capteur s'exprime r_d = A N_O λ_o, avec le nombre d'ouverture N_O donné dans l'annexe et dont on rappellera la valeur ici, et A une…

Estimer la résolution de l'image sur la figure 3 et conclure.

La diffraction par la lentille d’entrée L_1 est-elle gênante pour les observations ?

Une troisième fente, identique au deux autres, parallèle à Oy, est placée en O(0,0,0). Le plan des trois fentes est placé orthogonalement à l'axe de révolution commun de deux lentilles minces…

On suppose que la largeur ε de chaque fente est petite devant le pas du réseau a. On peut alors montrer que l'amplitude complexe dans le cadre de cette approximation vaut : A(x,z,t) = α_0 j (ω t -…

Problème. On peut établir que la fonction intensité reçue sur un point M(x,y,D) d'un détecteur placé directement à la distance D d'un réseau de période a et dont les N fentes sont de largeur ε…

Montrer que les conditions limites sur le reste de la surface du miroir impose que R(D/2) = R_c. En déduire la valeur du rayon du faisceau au col w_0,p^2 = λ_p/2π √(D(2R_c-D)) (21)

Quelle valeur faut-il donner à la largeur commune ℓ des miroirs auxiliaires M'_1 et M'_2 pour pouvoir observer en tout au moins une dizaine de franges de part et d'autre de la frange centrale ?

Donner une expression approchée de w_0 à partir de λ_0, W_0 et de f'. En fonction de w_0 et α, exprimer la résolution spatiale δ_x de la mesure de vitesse par vélocimétrie laser à franges (figure…

Estimer numériquement U. Exprimer le pas minimal a_2 observable avec ce montage en fonction de U et λ puis en fonction de R, λ et f_L'. Comparer numériquement a_2 à a_1 et commenter ce résultat.

Par linéarité de la transformée de Fourier, déterminer l'expression de l'amplitude complexe S_1(X) de l'onde dans le plan image de l'objectif. On écrira S_1(X) en fonction de α, n', e et λ sur les…

Pour améliorer le contraste, on place au foyer image F' de l'objectif un disque, de diamètre suffisamment petit pour être négligé, dont le rôle est d'apporter un déphasage de +π/2 à l'onde qui le…

On focalise le faisceau laser à l'aide d'une lentille convergente de distance focale f', placée en z = 0. On ne tient pas compte de la diffraction par cette lentille. En s'appuyant sur un schéma…