Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2021 (page 2/2 : Parties 4, 5 et 6)

Oscillations, optique, induction, thermodynamique, champ central et diffraction

36 questions corrigées
Sujet accessible
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1 et BCPST1 : les 36 questions
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Partie 4 : Modèle thermodynamique de la troposphère terrestre

Question 19

Application directe≈ 2 min

Question de cours
Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : gaz parfait, équation d'état

Donner l'équation d'état d'une masse d'air en faisant apparaître explicitement sa masse volumique $ρ$ . A) $p = \frac{ρ}{M _{a}} R T$ B) $p = ρR T$ C) $p = \frac{M _{a}}{ρ} R T$ D) $p = ρ M_{a} R T$

Voir l'indice

Relier la masse volumique \rho à la quantité de matière par unité de volume n/V via la masse molaire M_a.

Voir la stratégie

Partir de l'équation d'état des gaz parfaits sous sa forme globale p V = n R T.
Exprimer la quantité de matière n en fonction de la masse m et de la masse molaire M_a, puis introduire la masse volumique \rho = m/V.

Voir la réponse courte

Écriture de la loi des gaz parfaits en introduisant la masse molaire et la masse volumique : p=\rho R T/M_a.

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Pour un échantillon d'air de masse m occupant un volume V, assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_a, l'équation d'état s'écrit :

p V = n R T = \frac{m}{M_a} R T

En divisant par le volume V et en introduisant la masse volumique de l'air \rho = \dfrac{m}{V}, on obtient :

\boxed{p = \frac{\rho}{M_a} R T}

La proposition exacte est donc l'affirmation A.

Résultat

p = \frac{ρ}{M _{a}} R T

Question déjà tombée ailleurs

X-ENS Physique B PC 2022, Q32

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Question 20

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Question de cours
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI

Notions : loi de laplace, transformation isentropique

Sachant que les mouvements verticaux des masses d'air sont des transformations thermodynamiques isentropiques, quelle relation vérifient la température $T$ et la pression $p$ d'une masse d'air identifiée lorsque celle-ci évolue verticalement? A) $p^{γ} T = Cte$ B) $p^{1 - γ} T^{γ} = Cte$ C) $p T^{1 - γ} = Cte$ D) $p^{γ} T^{1 - γ} = Cte$

Voir l'indice

Rappeler l'une des relations de Laplace pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible reliant p et T.

Voir la stratégie

Rappeler la loi de Laplace sous sa forme faisant intervenir les variables d'état (p, V) pour une transformation isentropique (adiabatique et réversible) d'un gaz parfait à capacités thermiques constantes.
Éliminer le volume V à l'aide de l'équation d'état du gaz parfait pour obtenir la relation liant la pression p et la température T.

Voir la réponse courte

Expression usuelle de la loi de Laplace en variables pression et température : p^{1-\gamma}T^\gamma = \mathrm{Cte}.

Voir le corrigé complet

Une masse d'air identifiée est un système fermé constitué d'un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma = C_p / C_v constant. Pour une transformation isentropique (adiabatique et quasi-statique/réversible), la loi de Laplace s'écrit sous la forme classique :

p V^\gamma = \text{Cte}

L'équation d'état des gaz parfaits donne pour une masse fixée (n fixé) :

V = \frac{n R T}{p}

En injectant cette expression dans la loi de Laplace, on obtient :

\begin{aligned} p \left( \frac{n R T}{p} \right)^\gamma &= \text{Cte} \\ p^{1-\gamma} T^\gamma \, (nR)^\gamma &= \text{Cte} \end{aligned}

Comme n et R sont constants au cours du mouvement d'une masse d'air identifiée, il vient :

\boxed{p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{Cte}}

La proposition correcte est donc l'affirmation B.

Résultat

p^{1 - γ} T^{γ} = Cte

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Question 21

Intermédiaire≈ 4 min

Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI

Notions : loi de laplace, différentiation logarithmique

Quelle équation relie les variations avec $z$ de la température et de la pression, respectivement $d T / d z$ et $d p / d z$ , pour une masse d'air identifiée? A) $\frac{d T}{d z} = \frac{1 - γ}{γ} \frac{M _{a}}{ρR} \frac{d p}{d z}$ B) $\frac{d T}{d z} = \frac{γ - 1}{γ} \frac{ρR}{M _{a}} \frac{d p}{d z}$ C) $\frac{d T}{d z} = \frac{γ}{γ - 1} \frac{M _{a}}{ρR} \frac{d p}{d z}$ D) $\frac{d T}{d z} = \frac{γ - 1}{γ} \frac{M _{a}}{ρR} \frac{d p}{d z}$

Voir l'indice

Différencier logarithmiquement la relation de Laplace p^{1-\gamma}T^\gamma = \text{Cte} par rapport à la coordonnée verticale z.

Voir la stratégie

Différencier par rapport à l'altitude z la loi de Laplace établie à la question Q20 reliant la pression p et la température T.
Exprimer le rapport T/p à l'aide de l'équation d'état du gaz parfait obtenue à la question Q19.

Voir la réponse courte

Différentiation logarithmique de la loi de Laplace combinée à l'équation d'état pour relier les gradients verticaux de T et p.

Voir le corrigé complet

D'après la question Q20, une masse d'air qui subit une évolution isentropique vérifie la relation :

p^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{Cte}

En prenant le logarithme népérien de cette expression :

(1-\gamma) \ln p + \gamma \ln T = \text{Cte}

En dérivant par rapport à la coordonnée verticale z, il vient :

\begin{aligned} \frac{1-\gamma}{p} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} + \frac{\gamma}{T} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} &= 0 \\ \frac{\gamma}{T} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} &= \frac{\gamma - 1}{p} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} \\ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} &= \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{T}{p} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} \end{aligned}

D'après l'équation d'état établie à la question Q19, p = \frac{\rho}{M_a} R T, ce qui donne :

\frac{T}{p} = \frac{M_a}{\rho R}

On en déduit ainsi la relation recherchée :

\boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{M_a}{\rho R} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}}

La réponse correcte est l'affirmation D.

Résultat

\frac{d T}{d z} = \frac{γ - 1}{γ} \frac{M _{a}}{ρR} \frac{d p}{d z}

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Question 22

Intermédiaire≈ 4 min

Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI

Notions : statique des fluides, gradient thermique

On admet que $d p / d z = - ρ g$ . Déterminer la fonction $T (z)$ . Parmi les réponses proposées, $T_{0}$ désigne la température au sol ( $z = 0$ ). A) $T (z) = T_{0} (1 - \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{γ R T _{0}}{( 1 - γ ) M _{a} g}$ B) $T (z) = T_{0} (1 + \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{γ R T _{0}}{( 1 - γ ) M _{a} g}$ C) $T (z) = T_{0} (1 - \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{γ R T _{0}}{( γ - 1 ) M _{a} g}$ D) $T (z) = T_{0} (1 - \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{( γ - 1 ) R T _{0}}{M _{a} g}$

Voir l'indice

Substituer la relation de la statique des fluides dans l'expression du gradient thermique et intégrer l'équation différentielle obtenue.

Voir la stratégie

Injecter l'équation de la statique des fluides \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g dans l'expression du gradient vertical de température obtenue à la question Q21.
Constater que la masse volumique \rho se simplifie, rendant le gradient vertical de température constant avec l'altitude.
Intégrer par rapport à z avec la condition aux limites T(0) = T_0, puis identifier la hauteur caractéristique H.

Voir la réponse courte

Intégration du gradient de température obtenu avec l'équation de la statique des fluides, conduisant à un profil affine T(z).

Voir le corrigé complet

D'après le résultat de la question Q21, le gradient thermique s'exprime par :

\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{M_a}{\rho R} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}

En y substituant la relation fondamentale de la statique des fluides \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g, la masse volumique se simplifie :

\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{M_a}{\rho R} (-\rho g) = -\frac{(\gamma-1) M_a g}{\gamma R}

Ce gradient vertical de température est indépendant de l'altitude z (les grandeurs \gamma, M_a, g et R étant considérées constantes). Par intégration directe avec la condition initiale au niveau du sol T(0) = T_0, on obtient :

T(z) = T_0 - \frac{(\gamma-1) M_a g}{\gamma R} z = T_0 \left( 1 - \frac{z}{H} \right)

où la hauteur caractéristique H est définie par :

H = \frac{\gamma R T_0}{(\gamma-1) M_a g}

Cette expression correspond à la proposition C.

\boxed{\text{L'affirmation C est exacte.}}

Résultat

L’affirmation C est exacte.

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Question 23

Intermédiaire≈ 4 min

Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI

Notions : loi de laplace, gaz parfait

Le profil vertical de la masse volumique s'écrit:

ρ (z) = ρ_{0} (1 - \frac{z}{H})^{α}

où $α$ est un facteur et $ρ_{0}$ la masse volumique au niveau du sol. Exprimer $α$ . A) $α = 1$ B) $α = γ^{- 1}$ C) $α = (1 - γ)^{- 1}$ D) $α = (γ - 1)^{- 1}$

Voir l'indice

Utiliser l'équation d'état du gaz parfait et la relation isentropique p \propto \rho^\gamma pour exprimer \rho en fonction de la température T(z).

Voir la stratégie

Exprimer la relation reliant la masse volumique \rho et la température T pour une transformation isentropique d'un gaz parfait.
Injecter le profil de température T(z) établi à la question précédente afin d'identifier l'exposant \alpha.

Voir la réponse courte

Déduction du profil de masse volumique par substitution du profil thermique dans la relation isentropique \rho \propto T^{1/(\gamma-1)}.

Voir le corrigé complet

Pour une masse d'air subissant une évolution isentropique, les lois de Laplace s'appliquent. En utilisant la relation entre la pression et la masse volumique :

\frac{p}{\rho^\gamma} = \text{Cte}

D'après l'équation d'état du gaz parfait (question Q19), la pression s'écrit p = \dfrac{\rho R T}{M_a}. En substituant cette expression, il vient :

\frac{\rho R T}{\rho^\gamma} = \text{Cte} \quad \implies \quad T\,\rho^{1-\gamma} = \text{Cte} \quad \implies \quad \rho \propto T^{\frac{1}{\gamma - 1}}

En prenant pour référence les grandeurs au niveau du sol (z = 0) où la température vaut T_0 et la masse volumique \rho_0, on obtient :

\rho(z) = \rho_0 \left(\frac{T(z)}{T_0}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}

En introduisant le profil de température linéaire obtenu à la question Q22, T(z) = T_0 \left(1 - \dfrac{z}{H}\right), l'expression de \rho(z) devient :

\rho(z) = \rho_0 \left(1 - \frac{z}{H}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}

Par identification avec l'expression donnée \rho(z) = \rho_0 \left(1 - \dfrac{z}{H}\right)^\alpha, on en déduit :

\boxed{\alpha = (\gamma - 1)^{-1}}

La réponse correcte est donc l'affirmation D.

Résultat

α = (γ - 1)^{- 1}

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Question 24

Intermédiaire≈ 4 min

Application numérique
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI

Notions : gradient thermique, atmosphère adiabatique

Donner les valeurs approximatives de $d T / d z$ et $H$ si $γ = 1, 4$ et $T_{0} = 290 K$ . A) $\frac{d T}{d z} \approx - 10 K.km^{- 1}$ B) $\frac{d T}{d z} \approx - 10 K.m^{- 1}$ C) $H \approx 10 km$ D) $H \approx 30 km$

Voir l'indice

Calculer numériquement la pente -\mathrm{d}T/\mathrm{d}z = T_0/H et l'altitude caractéristique H avec les valeurs numériques fournies.

Voir la stratégie

Rappeler l'expression de la hauteur d'échelle H obtenue à la question 22 et calculer numériquement sa valeur avec les données de l'énoncé.
En déduire le gradient thermique vertical adiabatique \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\frac{T_0}{H}, faire l'application numérique et convertir dans l'unité adaptée.

Voir la réponse courte

Calcul numérique du gradient adiabatique troposphérique (environ -10\text{ K}\cdot\mathrm{km}^{-1}) et de l'épaisseur caractéristique H\approx 30\text{ km}.

Voir le corrigé complet

D'après la question 22, la hauteur caractéristique H s'exprime sous la forme :

H = \frac{\gamma R T_0}{(\gamma-1) M_a g}

Avec les données fournies :

\gamma = 1{,}4, d'où \gamma - 1 = 0{,}4 et \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5 ;
R \approx 8\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
T_0 = 290\text{ K} ;
M_a = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

On calcule H :

\begin{aligned} H &= 3{,}5 \times \frac{8 \times 290}{29 \times 10^{-3} \times 10} \\ &= 3{,}5 \times \frac{2320}{0{,}29} \\ &= 3{,}5 \times 8000 = 28\,000\text{ m} = 28\text{ km} \approx 30\text{ km} \end{aligned}

Le gradient thermique vertical s'en déduit directement :

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} &= -\frac{T_0}{H} \\ &= -\frac{290\text{ K}}{28\times 10^3\text{ m}} \approx -1{,}04 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} \approx -10\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} \end{aligned}

Les affirmations exactes sont donc A et D.

\boxed{\text{Affirmations A et D exactes}}

Résultat

Affirmations A et D exactes

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Partie 5 : Quelques aspects des forces centrales

Question 25

Application directe≈ 2 min

Question de cours
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I

Notions : énergie potentielle, champ newtonien

Quelle est la forme de $E_{p} (r)$ si son origine est prise pour $A$ et $C$ infiniment éloignés l'un de l'autre? A) $E_{p} (r) = - K r^{- 2}$ B) $E_{p} (r) = - K r^{- 1}$ C) $E_{p} (r) = K r^{- 1} /2$ D) $E_{p} (r) = K r^{- 2}$

Voir l'indice

Intégrer le travail élémentaire de la force centrale \boldsymbol{F} = -\boldsymbol{\nabla}\mathcal{E}_p en fixant la constante d'intégration à l'infini.

Voir la stratégie

Utiliser la définition de l'énergie potentielle associée à une force conservative à symétrie sphérique : \boldsymbol{F} = -\boldsymbol{\nabla} \mathcal{E}_p(r) = -\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{E}_p}{\mathrm{d}r}\,\boldsymbol{e}_r.
Intégrer par rapport à r en tenant compte de la condition de référence à l'infini (\mathcal{E}_p \to 0 lorsque r \to +\infty).

Voir la réponse courte

Intégration de la force d'attraction newtonienne avec référence nulle à l'infini, donnant \mathcal{E}_p(r)=-K/r.

Voir le corrigé complet

La force centrale s'écrit :

\boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2}\,\boldsymbol{e}_r

Puisqu'elle dérive de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r), on a :

\boldsymbol{F} = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_p}{\mathrm{d}r}\,\boldsymbol{e}_r

Par identification des composantes radiales :

\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_p}{\mathrm{d}r} = \frac{K}{r^2}

En intégrant par rapport à r, il vient :

\mathcal{E}_p(r) = -\frac{K}{r} + \text{Cte} = -K r^{-1} + \text{Cte}

L'origine de l'énergie potentielle étant choisie pour A et C infiniment éloignés l'un de l'autre (r \to +\infty) :

\lim_{r\to+\infty} \mathcal{E}_p(r) = 0 \implies \text{Cte} = 0

On obtient ainsi :

\boxed{\mathcal{E}_p(r) = -K r^{-1}}

L'affirmation exacte est donc la proposition B.

Résultat

E_{p} (r) = - K r^{- 1}

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Question 26

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Question de cours
Raisonnement qualitatif
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I

Notions : moment cinétique, force centrale

On note $L$ le moment cinétique, dans $R$ , de $A$ au point $C$ . Que peut-on dire de l'évolution temporelle de $L$ au cours du mouvement de $A$ ? A) Le vecteur $L$ change de direction mais sa norme est constante. B) Le vecteur $L$ ne change pas de direction et sa norme varie. C) $L$ est une constante vectorielle. D) La norme et la direction de $L$ ne sont pas constantes.

Voir l'indice

Calculer la dérivée temporelle du moment cinétique en C en appliquant le théorème du moment cinétique.

Voir la stratégie

Pour déterminer l'évolution temporelle du moment cinétique \boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}_C(A) par rapport au point fixe C, appliquons le théorème du moment cinétique au point C dans le référentiel d'étude \mathcal{R} galiléen.

Voir la réponse courte

Le moment de la force par rapport au centre attracteur est nul, assurant la conservation vectorielle du moment cinétique \boldsymbol{L}.

Voir le corrigé complet

Le point C est fixe dans le référentiel galiléen \mathcal{R}. Le théorème du moment cinétique appliqué au corpuscule A en ce point s'écrit :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) = \boldsymbol{CA} \times \boldsymbol{F}

Le rayon vecteur s'exprime par \boldsymbol{CA} = r\,\boldsymbol{e}_r et la force est centrale de centre C :

\boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2}\,\boldsymbol{e}_r

Ces deux vecteurs étant colinéaires, leur produit vectoriel est nul :

\boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) = r\,\boldsymbol{e}_r \times \left(-\frac{K}{r^2}\,\boldsymbol{e}_r\right) = \boldsymbol{0}

On en déduit :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}

Le moment cinétique \boldsymbol{L} est donc une constante vectorielle du mouvement.

La réponse exacte est C.

\boxed{\text{C}}

Résultat

C

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Question 27

Application directe≈ 3 min

Question de cours
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI

Notions : énergie mécanique, énergie potentielle effective

Quelle est l'expression de l'énergie mécanique $E_{m}$ de $A$ ? A) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$ B) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$ C) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + \frac{K}{2 r}$ D) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} - \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$

Voir l'indice

Exprimer le terme d'énergie cinétique orthoradiale en fonction de la norme du moment cinétique constant L = mr^2\dot{\theta}.

Voir la stratégie

Exprimer l'énergie cinétique du point matériel A en coordonnées polaires dans le plan du mouvement.
Exprimer la vitesse angulaire \dot{\theta} en fonction de la norme L du moment cinétique.
Sommer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle déterminée à la question précédente (Q25) pour obtenir l'énergie mécanique.

Voir la réponse courte

Écriture de l'énergie mécanique en coordonnées polaires et élimination de la vitesse angulaire au profit du moment cinétique scalaire L.

Voir le corrigé complet

D'après la question Q26, le moment cinétique \boldsymbol{L} de A par rapport à C est un vecteur constant. Le mouvement de A s'effectue donc dans un plan fixe perpendiculaire à \boldsymbol{L}, passant par C.

En repérant le point A par ses coordonnées polaires (r, \theta) dans ce plan, son vecteur vitesse s'écrit :

\boldsymbol{v} = \dot{r}\,\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta}\,\boldsymbol{e}_\theta

L'énergie cinétique de A s'en déduit :

\mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2 \dot{\theta}^2

Le moment cinétique par rapport à C vaut :

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{CA} \times m\boldsymbol{v} = r\boldsymbol{e}_r \times m\left(\dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta\right) = m r^2 \dot{\theta}\,\boldsymbol{e}_z

Sa norme vérifie donc L = m r^2 |\dot{\theta}|, ce qui permet de réécrire la composante orthoradiale de l'énergie cinétique sous la forme :

\frac{1}{2}m r^2 \dot{\theta}^2 = \frac{L^2}{2mr^2}

En utilisant l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q25, \mathcal{E}_p(r) = -\dfrac{K}{r}, l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p s'écrit :

\boxed{\mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{K}{r}}

L'affirmation correcte est la proposition A.

Résultat

E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}

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Question 28

Exigeante≈ 6 min

Mise en équation
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I

Notions : vecteur de runge-lenz, intégrale première

Parmi les assertions suivantes relatives au vecteur $Λ = p \times L - m K e_{r}$ , où $p$ est la quantité de mouvement de $A$ , dans $R$ , lesquelles sont exactes? A) $\frac{d Λ}{d t} = 0$ B) $Λ \cdot L = 0$ C) $Λ \cdot L > 0$ D) $\frac{d Λ}{d t} < 0$

Voir l'indice

Dériver le vecteur \boldsymbol{\Lambda} par rapport au temps en utilisant l'équation du mouvement \mathrm{d}\boldsymbol{p}/\mathrm{d}t = \boldsymbol{F} et faire le produit scalaire avec \boldsymbol{L}.

Voir la stratégie

Calculer la dérivée temporelle de \boldsymbol{\Lambda} en utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à A et la conservation du moment cinétique \boldsymbol{L} établie en Q26.
Évaluer le produit scalaire \boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} en exploitant les propriétés d'orthogonalité du produit vectoriel et la définition de \boldsymbol{L}.

Voir la réponse courte

Produit scalaire nul avec le moment cinétique et dérivée temporelle nulle du vecteur de Runge-Lenz dans un champ newtonien.

Voir le corrigé complet

Le vecteur \boldsymbol{\Lambda} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} - m K \boldsymbol{e}_r est le vecteur de Laplace-Runge-Lenz.

1. Dérivée temporelle de \boldsymbol{\Lambda} :

Dérivons \boldsymbol{\Lambda} par rapport au temps dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Lambda}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{L} + \boldsymbol{p} \times \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} - m K \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t}

D'après le principe fondamental de la dynamique, \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2} \boldsymbol{e}_r.

D'après la question Q26, la force étant centrale, le moment cinétique est conservé :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{0}

En coordonnées polaires (r, \theta) dans le plan du mouvement, le moment cinétique s'écrit :

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = (r\boldsymbol{e}_r) \times m(\dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta) = m r^2 \dot{\theta} \boldsymbol{e}_z

Par conséquent :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{L} = \left(-\frac{K}{r^2}\boldsymbol{e}_r\right) \times \left(m r^2 \dot{\theta} \boldsymbol{e}_z\right) = -m K \dot{\theta} (\boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_z)

Comme la base (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta, \boldsymbol{e}_z) est orthonormée directe, \boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_z = -\boldsymbol{e}_\theta, d'où :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{L} = m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta

Par ailleurs, la dérivée du vecteur unitaire radial est \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta, ce qui donne :

m K \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} = m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta

On en déduit :

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Lambda}}{\mathrm{d}t} = m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta - m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta = \mathbf{0}

L'assertion A est donc exacte (et l'assertion D n'a de surcroît aucun sens physique ni mathématique pour des vecteurs).

2. Produit scalaire \boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} :

Calculons le produit scalaire :

\boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} = (\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) \cdot \boldsymbol{L} - m K (\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{L})

Par propriété du produit mixte, (\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) \cdot \boldsymbol{L} = 0 car le vecteur \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} est orthogonal à \boldsymbol{L}.
De plus, par définition du moment cinétique, \boldsymbol{L} = (r\boldsymbol{e}_r) \times \boldsymbol{p}, donc \boldsymbol{L} est orthogonal à \boldsymbol{e}_r, d'où \boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{L} = 0.

On a donc rigoureusement :

\boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} = 0

L'assertion B est donc exacte, et l'assertion C est fausse.

\boxed{\text{Les affirmations exactes sont A et B.}}

Résultat

Les affirmations exactes sont A et B.

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Question 29

Application directe≈ 3 min

Incontournable
Question de cours
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : mouvement circulaire, théorème du viriel

Le corpuscule $A$ est un satellite qui effectue des révolutions circulaires, de rayon $R_{A}$ , autour du centre $C$ de la Terre. Quelle est la norme $v_{A}$ de la vitesse de $A$ et quelle égalité relie son énergie cinétique et son énergie potentielle? A) $v_{A} = (\frac{K}{m R _{A}})^{1/2}$ B) $v_{A} = (\frac{K}{m R _{A}})^{2}$ C) $E_{k} = \frac{E _{p}}{2}$ D) $E_{k} = - \frac{E _{p}}{2}$

Voir l'indice

Écrire la projection de l'accélération normale sur une orbite circulaire et appliquer le théorème du viriel reliant énergie cinétique et énergie potentielle.

Voir la stratégie

Appliquer le principe fondamental de la dynamique au satellite A dans le référentiel d'étude galiléen pour un mouvement circulaire de rayon R_A afin d'obtenir v_A.
Exprimer l'énergie cinétique \mathcal{E}_k et utiliser l'expression de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(R_A) établie à la question Q25 pour relier ces deux grandeurs (théorème du viriel).

Voir la réponse courte

Application du PFD en repère de Frenet pour la vitesse orbitale et vérification de la relation du viriel \mathcal{E}_k=-\mathcal{E}_p/2.

Voir le corrigé complet

Dans le référentiel \mathcal{R} galiléen muni de la base polaire (C, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta), le corpuscule A décrit une trajectoire circulaire de centre C et de rayon R_A. Son vecteur accélération s'écrit classiquement :

\boldsymbol{a} = -\frac{v_A^2}{R_A}\boldsymbol{e}_r + \dot{v}_A \boldsymbol{e}_\theta

La seule force agissant sur le satellite est la force centrale conservative :

\boldsymbol{F} = -\frac{K}{R_A^2}\boldsymbol{e}_r

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à A s'écrit m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}. La projection selon le vecteur unitaire radial \boldsymbol{e}_r donne :

-m\frac{v_A^2}{R_A} = -\frac{K}{R_A^2} \implies v_A^2 = \frac{K}{m R_A}

d'où l'expression de la norme de la vitesse orbitale :

\boxed{v_A = \left(\frac{K}{m R_A}\right)^{1/2}}

L'affirmation A est donc exacte.

L'énergie cinétique du satellite sur cette orbite s'en déduit :

\mathcal{E}_k = \frac{1}{2}m v_A^2 = \frac{K}{2 R_A}

D'après la question Q25, l'énergie potentielle de gravitation avec la convention nulle à l'infini vaut :

\mathcal{E}_p = -\frac{K}{R_A}

On en déduit immédiatement la relation entre énergie cinétique et énergie potentielle :

\boxed{\mathcal{E}_k = -\frac{\mathcal{E}_p}{2}}

L'affirmation D est donc exacte.

Résultat

v_{A} = (\frac{K}{m R _{A}})^{1/2}

E_{k} = - \frac{E _{p}}{2}

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Question 30

Intermédiaire≈ 4 min

Question de cours
Raisonnement qualitatif
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I

Notions : satellite, frottement fluide

Le satellite rentre dans l'atmosphère terrestre et est alors soumis à une force de frottement. Identifier les affirmations exactes. A) En moyenne sur une révolution, le satellite ralentit. B) Le vecteur représentant la force de frottement est de sens opposé au vecteur vitesse de $A$ . C) La norme de l'accélération du satellite augmente au cours du temps. D) Le moment cinétique de $A$ est toujours une constante vectorielle.

Voir l'indice

Penser au paradoxe du frottement atmosphérique : le satellite perd de l'énergie mécanique, ce qui abaisse son altitude et augmente sa vitesse orbitale.

Voir la stratégie

Analyser l'effet du frottement atmosphérique sur l'énergie mécanique d'une orbite quasi-circulaire pour déterminer l'évolution de l'altitude, de la vitesse moyenne (paradoxe du satellite freiné) et de l'accélération.
Vérifier les propriétés vectorielles usuelles de la force de frottement fluide et le théorème du moment cinétique en présence d'une force non centrale.

Voir la réponse courte

Étude du paradoxe du freinage d'un satellite en orbite basse : la perte d'altitude conduit à une augmentation de sa vitesse orbitale.

Voir le corrigé complet

Examinons successivement chacune des affirmations :

Affirmation B : Par définition de la traînée aérodynamique s'exerçant sur un corps en mouvement dans un fluide, la force de frottement s'oppose à la vitesse relative par rapport au milieu :
\boldsymbol{F}_f = -\alpha(v)\,\boldsymbol{v} \quad (\text{avec } \alpha(v) > 0)
Le vecteur force de frottement est donc bien colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse. L'affirmation B est exacte.
Affirmation D : Appliquons le théorème du moment cinétique en C dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) + \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}_f) = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}_f = -\alpha(v)\,(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}) \neq \boldsymbol{0}
La force de frottement n'étant pas centrale, son moment par rapport à C n'est pas nul : le moment cinétique n'est plus conservé. L'affirmation D est fausse.
Affirmation A : La force de frottement dissipe de l'énergie, de sorte que l'énergie mécanique \mathcal{E}_m diminue au cours du temps (\mathrm{d}\mathcal{E}_m/\mathrm{d}t = \boldsymbol{F}_f \cdot \boldsymbol{v} < 0). Or, pour une trajectoire quasi-circulaire de rayon r(t), l'énergie mécanique vaut d'après la question 29 :
\mathcal{E}_m = -\frac{K}{2r}
Une diminution de \mathcal{E}_m impose une diminution continue du rayon orbital r(t) (le satellite spiralise vers la Terre). La vitesse orbitale s'écrit alors :
v_A = \sqrt{\frac{K}{m\,r}}
Lorsque le rayon orbital r décroît, la vitesse v_A augmente : c'est le paradoxe du satellite freiné. En moyenne sur une révolution, le satellite accélère. L'affirmation A est fausse.
Affirmation C : L'accélération du satellite sur son orbite quasi-circulaire est dominée par l'attraction gravitationnelle :
a \approx \frac{v_A^2}{r} = \frac{K}{m\,r^2}
Comme le rayon r diminue au cours du temps, la norme de l'accélération gravitationnelle augmente. De plus, la masse volumique de l'air augmentant fortement lorsque l'altitude diminue, la décélération tangentielle due à la traînée croît également. La norme de l'accélération totale augmente donc au cours du temps. L'affirmation C est exacte.

\boxed{\text{Les affirmations exactes sont B et C.}}

Résultat

Les affirmations exactes sont B et C.

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Partie 6 : Diffraction de neutrons

Question 31

Application directe≈ 2 min

Question de cours
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : constante de planck, analyse dimensionnelle

Quelle(s) unité(s), dans le Système International, peut-on attribuer à $h$ ? A) Joule par seconde ( $J.s^{- 1}$ ) B) Joule seconde ( $J.s$ ) C) Joule ( $J$ ) D) Kilogramme mètre carré par seconde ( $kg.m^{2} . s^{- 1}$ )

Voir l'indice

Utiliser la relation de Planck-Einstein E = h\nu pour déterminer la dimension d'une action.

Voir la stratégie

Relier la constante de Planck h à des grandeurs physiques connues au moyen d'une relation fondamentale de la physique quantique (relation de Planck-Einstein ou relation de de Broglie).
Déterminer sa dimension dans le système international d'unités (MKSA).
Identifier les unités dérivées et de base correspondantes parmi les propositions.

Voir la réponse courte

Identification des unités SI de la constante de Planck à partir de E=h\nu : \mathrm{J}\cdot\mathrm{s} ou \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Voir le corrigé complet

La relation de Planck-Einstein associe l'énergie E d'un photon à la fréquence \nu de l'onde électromagnétique associée par :

E = h\nu

On en déduit la dimension physique de la constante de Planck :

[h] = \frac{[E]}{[\nu]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

On peut donc exprimer son unité de deux manières équivalentes :

À l'aide de l'unité dérivée de l'énergie, le joule (\mathrm{J}) :
[h] = [E]\cdot [\mathrm{T}] \implies \mathrm{J\cdot s} \quad \text{(Joule seconde)}
L'affirmation B est donc exacte.
Dans les unités de base du Système International (\mathrm{kg}, \mathrm{m}, \mathrm{s}) :
[h] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} \implies \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}
L'affirmation D est donc également exacte.

\boxed{\text{Réponses B et D}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponses B et D

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Question 32

Application directe≈ 3 min

Calcul littéral
Application numérique
Faisable en MPSI, PCSI

Notions : relation de de broglie, onde de matière

Donner la valeur de la longueur d'onde de De Broglie $λ_{D B}$ d'un neutron? A) $λ_{D B} \approx 2 nm$ B) $λ_{D B} \approx 200 nm$ C) $λ_{D B} \approx 2 μ m$ D) $λ_{D B} \approx 20 nm$

Voir l'indice

Appliquer la formule de de Broglie \lambda_{DB} = h/(m_n v_n) en veillant à convertir la vitesse v_n en \text{m}\cdot\text{s}^{-1}.

Voir la stratégie

Rappeler la relation de de Broglie reliant la longueur d'onde associée à une particule à sa quantité de mouvement.
Convertir les données dans les unités du Système International (notamment la vitesse en \mathrm{m\cdot s^{-1}}) pour calculer numériquement \lambda_{DB}.

Voir la réponse courte

Calcul numérique de la longueur d'onde associée au neutron via la relation quantique fondamentale \lambda_{DB}=h/(mv).

Voir le corrigé complet

D'après l'hypothèse de Louis de Broglie, la longueur d'onde \lambda_{DB} associée à une particule de quantité de mouvement p = m_n v_n (dans le domaine non relativiste, puisque v_n \ll c) s'écrit :

\lambda_{DB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_n v_n}

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

h \approx 6{,}6 \times 10^{-34}\;\mathrm{J\cdot s} ;
m_n \approx 1{,}7 \times 10^{-27}\;\mathrm{kg} ;
v_n = 0{,}2\;\mathrm{km\cdot s^{-1}} = 200\;\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

On calcule la quantité de mouvement :

p = 1{,}7 \times 10^{-27} \times 200 = 3{,}4 \times 10^{-25}\;\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}

D'où :

\lambda_{DB} \approx \frac{6{,}6 \times 10^{-34}}{3{,}4 \times 10^{-25}} \approx 1{,}94 \times 10^{-9}\;\mathrm{m} \approx 2\;\mathrm{nm}

\boxed{\text{A}}

Résultat

A

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Question 33

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Question de cours
Faisable en MPSI, PCSI

Notions : diffraction par une fente, demi-angle de diffraction

On place un écran derrière la fente, parallèlement à son plan (voir Figure 5), à une distance $d = 5 m$ . Pour cette valeur, on admet qu'on se trouve, avec une excellente approximation, dans une situation de diffraction à l'infini. Cette diffraction s'effectue selon la direction $O y$ . Quelle est l'expression de l'échelle angulaire $θ$ caractérisant cette expérience de diffraction de neutrons? A) $sin θ \approx \frac{λ _{D B}}{ε}$ B) $sin θ \approx \frac{ε}{λ _{D B}}$ C) $sin θ \approx \frac{λ _{D B}}{d}$ D) $sin θ \approx \frac{d}{λ _{D B}}$

Voir l'indice

Appliquer la condition angulaire de premier minimum d'interférence destructive pour la diffraction par une fente rectiligne de largeur \varepsilon.

Voir la stratégie

Assimiler la diffraction des neutrons à celle d'une onde plane de longueur d'onde de de Broglie \lambda_{DB} diffractée par une fente rectiligne de largeur \varepsilon selon la direction Oy.
Exprimer la condition d'annulation (premier minimum de diffraction) ou la demi-largeur angulaire caractéristique de la tache centrale de diffraction à l'infini (conditions de Fraunhofer).

Voir la réponse courte

Formule classique de l'écart angulaire du premier minimum de diffraction de Fraunhofer par une fente : \sin\theta \approx \lambda_{DB}/\varepsilon.

Voir le corrigé complet

D'après le principe de la dualité onde-corpuscule, le faisceau de neutrons se comporte comme une onde monochromatique de longueur d'onde \lambda_{DB}. Lors de la traversée d'une fente de largeur \varepsilon parallèle à l'axe Ox et de largeur comptée selon Oy, le phénomène de diffraction à l'infini (ou de Fraunhofer) se traduit par une intensité diffractée dans la direction repérée par l'angle \theta par rapport à l'axe optique Oz proportionnelle à :

I(\theta) \propto \mathrm{sinc}^2\left(\frac{\pi \varepsilon \sin\theta}{\lambda_{DB}}\right)

La première extinction (premier zéro de la fonction sinus cardinal), qui définit l'échelle angulaire de diffraction et la demi-largeur angulaire de la tache centrale, est obtenue lorsque l'argument vaut \pi, soit :

\frac{\pi \varepsilon \sin\theta}{\lambda_{DB}} = \pi

On en déduit :

\boxed{\sin\theta \approx \frac{\lambda_{DB}}{\varepsilon}}

La réponse correcte est donc l'affirmation A.

Résultat

sin θ \approx \frac{λ _{D B}}{ε}

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Question 34

Intermédiaire≈ 3 min

Application numérique
Faisable en MPSI, PCSI

Notions : diffraction par une fente, calcul d'angle

Calculer la valeur de $θ$ . On exprimera cette valeur en secondes d'arc ( $^{''}$ ). A) $θ = 4 \times 1 0^{- 3''}$ B) $θ = 4 \times 1 0^{- 2''}$ C) $θ = 4 \times 1 0^{- 1''}$ D) $θ = 4^{''}$

Voir l'indice

Calculer la valeur de \theta en radians, puis convertir en secondes d'arc sachant que 1\text{ rad} \approx 206\,265'' ou 1'' = \pi / (180 \times 3600)\text{ rad}.

Voir la stratégie

Utiliser l'expression établie à la question précédente en effectuant l'approximation des petits angles pour obtenir \theta en radians.
Convertir l'angle obtenu de radians en secondes d'arc ('') à l'aide de la relation entre degrés, minutes et secondes d'arc.

Voir la réponse courte

Calcul numérique de l'angle de diffraction en radians puis conversion de l'angle obtenu en secondes d'arc.

Voir le corrigé complet

D'après la question Q33, l'échelle angulaire vérifie :

\sin\theta \approx \frac{\lambda_{DB}}{\varepsilon}

Comme \lambda_{DB} \ll \varepsilon, l'angle est très petit (\theta \ll 1\text{ rad}), ce qui permet d'écrire au premier ordre :

\theta \approx \frac{\lambda_{DB}}{\varepsilon}

Avec les valeurs numériques \lambda_{DB} \approx 2\text{ nm} = 2\times 10^{-9}\text{ m} (question Q32) et \varepsilon = 90\ \mu\text{m} = 90\times 10^{-6}\text{ m} :

\theta \approx \frac{2\times 10^{-9}}{90\times 10^{-6}} = \frac{2}{9}\times 10^{-4}\text{ rad} \approx 2{,}22\times 10^{-5}\text{ rad}

Un angle plein correspond à 2\pi\text{ rad} = 360^\circ. Sachant qu'un degré contient 60 minutes d'arc et chaque minute contient 60 secondes d'arc, un degré équivaut à 3\,600'' :

1\text{ rad} = \frac{180 \times 3\,600}{\pi}\,'' = \frac{648\,000}{\pi}\,'' \approx 2{,}06\times 10^5\,''

En exprimant \theta en secondes d'arc :

\theta \approx 2{,}22\times 10^{-5} \times 2{,}06\times 10^5\,'' \approx 4{,}6\,'' \approx 4''

L'affirmation exacte est donc la proposition D.

\boxed{\theta \approx 4''}

Résultat

θ \approx 4^{''}

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Question 35

Application directe≈ 2 min

Calcul littéral
Application numérique
Faisable en MPSI, PCSI

Notions : diffraction par une fente, figure de diffraction

La valeur précédente de $θ$ correspond au premier minimum de la figure de diffraction observée sur l'écran. Quelle est la position $y_{1} > 0$ de ce premier minimum? A) $y_{1} \approx 100 nm$ B) $y_{1} \approx 1 μ m$ C) $y_{1} \approx 10 μ m$ D) $y_{1} \approx 100 μ m$

Voir l'indice

Utiliser l'approximation des petits angles y_1 \approx d\,\theta pour relier la position spatiale sur l'écran à l'écart angulaire.

Voir la stratégie

Relier la position linéaire y_1 sur l'écran à l'écart angulaire \theta et à la distance fente-écran d à l'aide des relations trigonométriques dans les conditions de Gauss.
Effectuer l'application numérique avec les valeurs de l'énoncé.

Voir la réponse courte

Détermination de la position linéaire du premier zéro sur l'écran placé à la distance d par la relation y_1 \approx d\,\theta.

Voir le corrigé complet

Dans le cadre de l'approximation paraxiale (angles très petits, \theta \ll 1\text{ rad}), la déviation angulaire \theta et la position linéaire y_1 sur l'écran situé à la distance d de la fente sont reliées par :

y_1 = d \tan\theta \approx d\,\theta \approx d\,\frac{\lambda_{\mathrm{DB}}}{\varepsilon}

En utilisant les valeurs numériques fournies :

d = 5\text{ m} ;
\lambda_{\mathrm{DB}} \approx 2\text{ nm} = 2 \times 10^{-9}\text{ m} (d'après la question Q32) ;
\varepsilon = 90\;\mu\text{m} = 90 \times 10^{-6}\text{ m}.

Il vient :

\begin{aligned} y_1 &\approx 5 \times \frac{2 \times 10^{-9}}{90 \times 10^{-6}} \\ &\approx \frac{10^{-8}}{9 \times 10^{-5}} \\ &\approx 1{,}1 \times 10^{-4}\text{ m} = 110\;\mu\text{m} \end{aligned}

La valeur approchée proposée la plus proche est donc y_1 \approx 100\;\mu\text{m}.

\boxed{\text{Réponse D}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponse D

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Question 36

Intermédiaire≈ 4 min

Raisonnement qualitatif
Exploitation de document
Faisable en MPSI, PCSI

Notions : dualité onde-corpuscule, interprétation probabiliste

On reprend maintenant cette expérience de comptage de neutrons de la façon suivante: au lieu d'envoyer un très grand nombre ( $N ≫ 1$ ) de neutrons en une seule fois sur une durée très brève, on réalise une expérience de diffraction neutron par neutron. Précisément, on envoie de façon répétée ( $N ≫ 1$ fois), avec une période de répétition $T_{r}$ suffisamment élevée, un neutron. À chaque répétition, le neutron envoyé est indépendant de celui envoyé juste avant. La figure 6, qui est le résultat d'une simulation numérique reproduisant cette expérience de diffraction, montre l'évolution de la distribution des impacts des neutrons sur l'écran pour quatre valeurs de $N$ . Donner les affirmations exactes parmi celles proposées ci-dessous. A) La position d'un seul impact est complètement imprédictible et, au fur et à mesure que l'on envoie des neutrons indépendants, on reconstruit progressivement la figure de diffraction attendue. B) Si la source qui émet les neutrons un par un se trouve à $5 m$ de la fente diffractante, il est indispensable d'avoir $T_{r} > 50 ms$ pour être sûr de réaliser une expérience neutron par neutron. C) Cette expérience ne donnerait pas des résultats analogues si elle était réalisée avec de la lumière. D) La position d'un seul impact n'est pas complètement imprédictible.

Voir l'indice

Calculer le temps de vol des neutrons entre la source et l'écran pour justifier la condition sur la période d'émission T_r.

Voir la stratégie

Analyser le caractère fondamentalement probabiliste de la mécanique quantique et la reconstruction statistique de la figure d'interférence/diffraction pour trancher entre les propositions A et D.
Calculer le temps de vol d'un neutron depuis la source jusqu'à l'écran de détection à l'aide de sa vitesse v_n afin d'évaluer la condition de non-recouvrement temporel (proposition B).
Rappeler l'universalité de la dualité onde-corpuscule (neutrons, électrons, photons) pour évaluer la proposition C.

Voir la réponse courte

Interprétation de la figure d'interférence reconstruite particule par particule illustrant le caractère probabiliste de la mécanique quantique.

Voir le corrigé complet

Analyse des propositions A et D : En mécanique quantique, la fonction d'onde associée au neutron détermine une densité de probabilité de présence |\psi(y)|^2 sur l'écran. À l'échelle d'une particule individuelle, le point d'impact est régi par le hasard quantique fondamental : il est individuellement impossible à prédire (imprédictible). En revanche, la répétition d'un grand nombre N d'événements indépendants fait émerger la loi de probabilité sous-jacente, reconstruisant point par point la figure de diffraction continue classique :

L'affirmation A est donc exacte.
L'affirmation D est fausse.

Analyse de la proposition B : Pour s'assurer qu'un seul neutron est présent à la fois dans le dispositif expérimental, la période de répétition T_r doit être supérieure au temps de transit total d'un neutron entre la source d'émission et l'écran de détection. La distance totale parcourue par le neutron est la somme de la distance source-fente (L_1 = 5\text{ m}) et de la distance fente-écran (d = 5\text{ m}, donnée à la question 33) :

D = L_1 + d = 5\text{ m} + 5\text{ m} = 10\text{ m}

Sachant que la vitesse d'un neutron est v_n = 0{,}2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 200\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, le temps de vol vaut :

t_{\text{vol}} = \frac{D}{v_n} = \frac{10}{200} = 0{,}05\text{ s} = 50\text{ ms}

Pour qu'aucun neutron ne puisse interférer ou interagir avec le suivant, il faut bien T_r > t_{\text{vol}} = 50\text{ ms}. L'affirmation B est donc exacte.

Analyse de la proposition C : L'expérience photon par photon (historiquement initiée par Taylor en 1909) montre que la lumière présente exactement le même comportement : les photons arrivent un à un de manière probabiliste et reconstruisent progressivement la figure de diffraction ondulatoire. L'affirmation C est donc fausse.

\boxed{\text{Les affirmations A et B sont exactes.}}

Résultat

Les affirmations A et B sont exactes.

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