Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2021

La pulsation propre \omega_0 est liée à la période propre T_0 par la relation :

Dimension physique : L'angle d'une phase ou d'un tour complet (2\pi\text{ rad}) est une grandeur adimensionnée ([2\pi] = 1). Par conséquent :

La dimension physique de la pulsation est donc l'inverse d'une durée. L'affirmation C est exacte et l'affirmation D est fausse.

Unité du Système International : Bien que le radian soit une unité dérivée sans dimension (\mathrm{rad} = 1), les normes internationales (ISO 80000-3 et BIPM) préconisent d'exprimer la pulsation (ou fréquence angulaire) en radian par seconde (\mathrm{rad\cdot s^{-1}}), afin d'éviter toute confusion avec la fréquence temporelle f = 1/T_0, qui s'exprime en hertz (\mathrm{Hz} ou \mathrm{s}^{-1}). L'affirmation B est donc exacte et l'affirmation A est rejetée.

D'après la question 1, une pulsation a pour dimension [\omega] = \mathrm{T}^{-1}. Une pulsation au carré a donc pour dimension :

D'après le principe fondamental de la dynamique (F = m a), une force a pour dimension :

Examinons la dimension de chacune des grandeurs proposées :

• A : Une force par unité de masse a pour dimension \dfrac{[F]}{\mathrm{M}} = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} (homogène à une accélération).
• B : Une force par unité de longueur a pour dimension \dfrac{[F]}{\mathrm{L}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-2} (homogène à une raideur de ressort).

• C : Une force par unité de masse et par unité de longueur a pour dimension :

  \frac{[F]}{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}} = \mathrm{T}^{-2} = [\omega^2]
• D : Le produit d'une masse et d'une force par unité de longueur a pour dimension \mathrm{M} \times \dfrac{[F]}{\mathrm{L}} = \mathrm{M}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}.

Seule l'affirmation C est exacte.

Le système étudié est la masselotte A de masse m, assimilée à un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

À l'équilibre, le point A est en O et les deux ressorts ont pour longueur l_e. Les bâtis sont donc situés en x = -l_e (ressort 1 à gauche) et en x = +l_e (ressort 2 à droite).

Lorsque la masselotte est déplacée d'une quantité x le long de Ox :

• le ressort 1 a pour longueur l_1 = l_e + x, d'où une force de rappel :

  \boldsymbol{F}_1 = -K(l_1 - l_0)\,\boldsymbol{e}_x = -K(l_e + x - l_0)\,\boldsymbol{e}_x

• le ressort 2 a pour longueur l_2 = l_e - x, d'où une force de rappel :

  \boldsymbol{F}_2 = +K(l_2 - l_0)\,\boldsymbol{e}_x = +K(l_e - x - l_0)\,\boldsymbol{e}_x

La résultante des forces horizontales s'écrit :

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté selon l'axe horizontal Ox :

Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre :

La période des oscillations est reliée à la pulsation propre par T_0 = \frac{2\pi}{\omega_{0, l}}, soit :

Les affirmations A et D sont donc exactes.

Les extrémités fixes des deux ressorts sont situées aux points B_1(-l_e, 0) et B_2(l_e, 0). Lorsque le corpuscule A est à la position (0, y), le vecteur reliant l'attache B_1 à A s'écrit :

La longueur de chaque ressort est donnée par :

La force exercée par le premier ressort sur A s'exprime sous la forme :

Par symétrie par rapport à l'axe Oy, le second ressort exerce la force :

La résultante des forces appliquées à A selon la direction transversale Oy est donc :

Comme y \ll l_e, on effectue un développement au premier ordre en y/l_e :

La projection de la relation fondamentale de la dynamique selon l'axe Oy donne alors :

Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega_{0, t} définie par :

Sachant d'après la question Q3 que \omega_{0, l} = \sqrt{\frac{2K}{m}}, on en déduit directement le rapport :

L'affirmation correcte est la proposition B.

On choisit l'axe vertical ascendant Oz, la position d'équilibre de la masselotte A étant prise comme origine z = 0.

Le système \{A\} de masse m est soumis à :

• son poids \boldsymbol{P} = -m g \boldsymbol{e}_z ;
• la force de rappel du ressort supérieur ;
• la force de rappel du ressort inférieur.

À l'équilibre (z=0), la résultante des forces est nulle :

Lorsque la masselotte est repérée par son écart z par rapport à l'équilibre, le ressort supérieur voit sa longueur varier de \Delta l_h = -z et le ressort inférieur de \Delta l_b = +z. La force élastique exercée par l'ensemble des deux ressorts s'écrit alors :

D'après le PFD projeté sur l'axe Oz :

On en déduit immédiatement la pulsation propre :

La longueur totale séparant les deux bâtis est égale à 2l_0. En négligeant la dimension de la masselotte, les longueurs des ressorts à l'équilibre vérifient la relation géométrique :

À l'équilibre dans le référentiel terrestre galiléen, la masselotte A de masse m est soumise à trois forces :

• Son poids : \boldsymbol{P} = -m g \boldsymbol{e}_z ;
• La force de rappel exercée par le ressort supérieur (étiré si le point A descend) : \boldsymbol{F}_h = K (l_{e,h} - l_0) \boldsymbol{e}_z ;
• La force de rappel exercée par le ressort inférieur : \boldsymbol{F}_b = -K (l_{e,b} - l_0) \boldsymbol{e}_z.

D'après le principe fondamental de la statique appliqué à la masselotte A projeté sur l'axe ascendant \boldsymbol{e}_z :

En combinant cette équation avec la contrainte géométrique l_{e,h} + l_{e,b} = 2l_0, on obtient :

Effectuons l'application numérique avec l_0 = 10\text{ cm}, m = 10\text{ g} = 10^{-2}\text{ kg}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et K = 10\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} :

D'où :

La réponse correcte est donc l'affirmation D.

Le faisceau incident est cylindrique et parallèle à l'axe optique de \mathcal{S} : les rayons incidents sont parallèles entre eux, ce qui correspond à un objet situé à l'infini sur l'axe optique (A_o à l'infini).

À la traversée du système \mathcal{S}, le faisceau émergent est également cylindrique et parallèle à l'axe optique : les rayons émergents sont parallèles entre eux, ce qui signifie que l'image formée par le système est elle aussi rejetée à l'infini sur l'axe optique (A_i à l'infini).

Un système optique centré qui conjugue un point à l'infini sur l'axe avec un point à l'infini sur l'axe est, par définition, un système afocal. Ses foyers principaux objet F et image F' sont rejetés à l'infini, sa distance focale est infinie et sa vergence est nulle.

Par conséquent, l'affirmation correcte est la proposition B.

Analysons successivement les quatre propositions :

Affirmation A :
Pour un doublet constitué de \mathcal{L}_1 (f_1 > 0) suivie de \mathcal{L}_2 (f_2 < 0), la condition d'afocalité s'écrit F'_1 = F_2. La distance entre les centres optiques vérifie :

Puisque la lumière se propage de \mathcal{L}_1 vers \mathcal{L}_2, la distance est positive : \overline{O_1 O_2} > 0, ce qui implique :

Le rapport des diamètres du faisceau s'exprime par :

Le faisceau est donc nécessairement rétréci. On ne peut pas l'élargir. L'affirmation A est exacte.

Affirmation B :
Pour le doublet (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_3) afocal (F'_1 = F_3), le rapport des diamètres vaut :

Le faisceau n'est élargi que si f_3 > f_1. Si f_3 \leqslant f_1, le faisceau n'est pas élargi. L'affirmation B est fausse.

Affirmation C :
Pour le système des trois lentilles (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, \mathcal{L}_3), le faisceau incident parallèle à l'axe émerge de \mathcal{L}_1 en convergeant vers F'_1, qui joue le rôle d'objet pour \mathcal{L}_2. Notons F'_{12} son image par \mathcal{L}_2. Pour que le faisceau ressorte de \mathcal{L}_3 parallèle à l'axe, il faut que ce point coïncide avec le foyer objet F_3 de \mathcal{L}_3 (F'_{12} = F_3).

La formule de conjugaison de Descartes appliquée à \mathcal{L}_2 s'écrit :

Si F_3 et F'_1 étaient confondus, le membre de gauche s'annulerait, ce qui imposerait \frac{1}{f_2} = 0, soit une lentille de puissance nulle (ou une distance focale infinie). Comme f_2 est finie et non nulle, il est impossible de réaliser un système afocal en plaçant F_3 en F'_1. L'affirmation C est exacte.

Affirmation D :
En utilisant uniquement \mathcal{L}_2 (f_2 < 0) suivie de \mathcal{L}_3 (f_3 > 0), la condition d'afocalité F'_2 = F_3 donne :

Cette disposition est physiquement réalisable dès lors que f_3 > |f_2|. Le rapport des diamètres est alors :

Le faisceau est donc élargi (principe de l'expanseur de faisceau galiléen). L'affirmation D est fausse.

Le système \mathcal{S} étant afocal d'après la question Q7, un faisceau incident parallèle à l'axe optique (issu d'un point objet à l'infini sur l'axe) converge après traversée de la première lentille \mathcal{L}_1 en son foyer image F'_1.

Pour que le faisceau émerge de \mathcal{L}_3 parallèlement à l'axe optique, l'image intermédiaire formée par la deuxième lentille \mathcal{L}_2 doit être située au foyer objet F_3 de la troisième lentille \mathcal{L}_3. Ainsi, la lentille \mathcal{L}_2 conjugue le point F'_1 en F_3 :

Déterminons les grandeurs algébriques relatives au centre optique O_2 de la lentille \mathcal{L}_2 :

• Pour l'objet F'_1 :

  \overline{O_2F'_1} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1F'_1} = -\Delta_1 + f_1 = -(\Delta_1 - f_1)

• Pour l'image F_3 (sachant que \overline{O_3F_3} = -f_3) :

  \overline{O_2F_3} = \overline{O_2O_3} + \overline{O_3F_3} = \Delta_2 - f_3

La formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique pour la lentille \mathcal{L}_2 de distance focale image f_2 s'écrit :

En remplaçant par les expressions algébriques trouvées :

En transposant tous les termes dans le membre de gauche :

L'affirmation correcte est donc l'affirmation A.

Considérons un rayon incident parallèle à l'axe optique situé à une distance y_i = D_i/2 de celui-ci.

• Traversée de \mathcal{L}_1 : Le rayon émerge en passant par le foyer image F'_1, situé à l'abscisse \overline{O_1 F'_1} = f_1. Sur le plan de la lentille \mathcal{L}_2 (située à l'abscisse \overline{O_1 O_2} = \Delta_1), la hauteur algébrique y_2 du rayon s'obtient par le théorème de Thalès dans le triangle formé par l'axe optique, le plan de \mathcal{L}_1 et le plan de \mathcal{L}_2 :

  \frac{y_2}{y_i} = \frac{\overline{F'_1 O_2}}{\overline{F'_1 O_1}} = \frac{\Delta_1 - f_1}{-f_1} = \frac{f_1 - \Delta_1}{f_1}

• Traversée de \mathcal{L}_2 et arrivée sur \mathcal{L}_3 : Le système \mathcal{S} étant afocal, le faisceau sortant de \mathcal{L}_3 est cylindrique et parallèle à l'axe optique. Les rayons émergent de \mathcal{L}_3 parallèlement à l'axe à une distance y_3 = D_f/2. Pour cela, le rayon intermédiaire entre \mathcal{L}_2 et \mathcal{L}_3 doit nécessairement passer par le foyer objet F_3 de la troisième lentille, situé à l'abscisse \overline{O_3 F_3} = -f_3, soit par rapport à O_2 :

  \overline{O_2 F_3} = \overline{O_2 O_3} + \overline{O_3 F_3} = \Delta_2 - f_3

• Liaison entre y_3 et y_2 : Le rayon se propage en ligne droite entre \mathcal{L}_2 (hauteur y_2 en O_2) et \mathcal{L}_3 (hauteur y_3 en O_3), en passant par F_3 sur l'axe optique. Par le théorème de Thalès :

  \frac{y_3}{y_2} = \frac{\overline{F_3 O_3}}{\overline{F_3 O_2}} = \frac{f_3}{-(\Delta_2 - f_3)} = \frac{f_3}{f_3 - \Delta_2}

En combinant ces deux relations, le rapport des diamètres s'écrit :

L'affirmation correcte est donc l'affirmation A.

D'après la relation d'afocalité du système \mathcal{S} obtenue à la question Q9 :

On en déduit l'expression de \dfrac{1}{\Delta_2 - f_3} :

Soit, en prenant l'opposé pour faire apparaître (f_3 - \Delta_2) :

D'après la question Q10, le rapport des diamètres r_D = D_f / D_i s'écrit :

En multipliant par f_1 f_2, il vient :

On isole alors f_1 :

L'affirmation correcte est la proposition C.

D'après le résultat de la question 11, la distance focale f_1 s'exprime par :

avec r_D = \frac{D_f}{D_i} = 10.

En remplaçant par les grandeurs numériques fournies :

• \Delta_1 = 1{,}2\text{ cm} ;
• f_2 = -1\text{ cm} ;
• f_3 = 20\text{ cm} ;
• r_D = 10.

Il vient :

On en déduit :

Le trièdre cartésien \{O, \boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z\} est orthonormé direct. Avec \boldsymbol{e}_x horizontal vers la droite et \boldsymbol{e}_z vertical descendant, l'axe Oy est orienté vers l'avant (vers l'observateur), comme l'indique le symbole \odot y sur la figure 3.

Le contour du cadre ABCD est orienté dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire dans le plan (x, -z)). Par la règle de la main droite, le vecteur normal à la surface délimitée par le contour est :

Distinguons les trois phases temporelles :

• Pour t < 0 : le cadre est entièrement dans la région z < 0 où le champ magnétique est nul (\boldsymbol{B} = \mathbf{0}). Le flux est donc nul :

  \Phi(t) = 0 \implies e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = 0

• Pour 0 < t < t_1 : le cadre pénètre progressivement dans la région z > 0. La longueur de la partie immergée selon l'axe vertical est z_A(t) (la cote du segment inférieur AB), tandis que sa largeur est a. La surface immergée est donc \mathcal{S}_{\text{imm}} = a z_A. Le flux magnétique à travers le contour orienté s'écrit :

  \Phi(t) = \iint \boldsymbol{B}_a \cdot \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S = (-B_a \boldsymbol{e}_y) \cdot \boldsymbol{e}_y \, (a z_A) = - a B_a z_A(t)

  D'après la loi de Faraday :

  e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(- a B_a z_A(t)\right) = a B_a \dot{z}_A

• Pour t \ge t_1 : le cadre est entièrement immergé dans la région z > 0. Le champ \boldsymbol{B}_a y étant uniforme et le cadre indéformable d'aire a^2, le flux est constant :

  \Phi(t) = - a^2 B_a = \text{Cte} \implies e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = 0

On en déduit que l'affirmation B est la seule exacte.

L'auto-inductance du cadre étant négligée, le courant induit i(t) vérifie la loi d'Ohm en régime quasi-stationnaire :

D'après la question 13, e(t) = 0 pour t < 0 et pour t \ge t_1, d'où \boldsymbol{F}_L = \mathbf{0} en dehors de l'intervalle ]0, t_1[.

Pour 0 < t < t_1, la force électromotrice vaut e(t) = a B_a \dot{z}_A, ce qui donne une intensité :

Le cadre étant orienté dans le sens trigonométrique (A \to B \to C \to D \to A) :

• Le côté supérieur CD est encore hors du champ magnétique (z < 0), donc il ne subit aucune force de Laplace.

• Les brins verticaux DA et BC sont partiellement immergés sur la même longueur z_A. Les courants qui y circulent étant de sens opposés (+i\boldsymbol{e}_z le long de DA et -i\boldsymbol{e}_z le long de BC), les forces de Laplace associées :

  \boldsymbol{F}_{DA} = i z_A \boldsymbol{e}_z \times (-B_a \boldsymbol{e}_y) = i z_A B_a \boldsymbol{e}_x \quad \text{et} \quad \boldsymbol{F}_{BC} = -i z_A B_a \boldsymbol{e}_x

  sont opposées et se compensent exactement : \boldsymbol{F}_{DA} + \boldsymbol{F}_{BC} = \mathbf{0}.

• Le côté inférieur AB, de longueur a, est totalement immergé dans la région z > 0. Le vecteur déplacement élémentaire orienté est \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathrm{d}x\,\boldsymbol{e}_x. La force de Laplace sur ce segment s'écrit donc :

  \boldsymbol{F}_{AB} = \int_A^B i\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \times \boldsymbol{B}_a = i a \boldsymbol{e}_x \times (-B_a \boldsymbol{e}_y) = -i a B_a \boldsymbol{e}_z

En remplaçant l'expression de i(t), la force de Laplace totale subie par le cadre pour 0 < t < t_1 est :

Elle est nulle pour t < 0 et pour t \ge t_1 (car le flux est alors constant et i = 0).

L'affirmation exacte est l'affirmation C.

On étudie le cadre métallique de masse m dans le référentiel \mathcal{R} du laboratoire, supposé galiléen. Le cadre étant en translation rectiligne selon l'axe vertical (Oz), tous ses points ont la même accélération \ddot{z}_A \boldsymbol{e}_z.

Pour 0 < t < t_1, le système est soumis à deux forces extérieures :

• son poids : \boldsymbol{P} = m \boldsymbol{g} = m g \boldsymbol{e}_z (l'axe (Oz) étant orienté vers le bas) ;
• la force de Laplace, obtenue à la question 14 : \boldsymbol{F}_L = -\dfrac{a^2 B_a^2 \dot{z}_A}{R_c} \boldsymbol{e}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur le vecteur unitaire \boldsymbol{e}_z, on obtient :

En introduisant le temps caractéristique \tau = \dfrac{m R_c}{B_a^2 a^2}, l'équation différentielle s'écrit :

L'affirmation correcte est donc la B.

D'après la question Q15, le temps caractéristique de freinage s'exprime par :

On effectue l'application numérique en convertissant la longueur a en mètres :

• m = 0{,}1\text{ kg}
• R_c = 10\ \Omega
• B_a = 1\text{ T}
• a = 5\text{ cm} = 5 \times 10^{-2}\text{ m}

Il vient :

L'affirmation correcte est donc l'affirmation B.

D'après la question 15, pour 0 < t < t_1, la composante verticale de la vitesse \dot{z}_A(t) vérifie l'équation différentielle :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant.

La solution générale est de la forme :

Une solution particulière évidente est constante :

D'où l'expression générale de la vitesse :

La constante A est déterminée par la condition initiale en t = 0 :

On en déduit la loi d'évolution de la vitesse :

L'affirmation correcte est donc l'affirmation A.

Le champ électromoteur total responsable de l'apparition d'une force électromotrice dans un circuit s'écrit :

où \boldsymbol{E}_{\text{ind}} est le champ électrique induit associé à la variation temporelle du champ magnétique (induction de Neumann) et \boldsymbol{v} est la vitesse des éléments de conducteur dans le référentiel d'étude \mathcal{R} (induction de Lorentz).

Or, ici :

• le champ magnétique appliqué \boldsymbol{B}_a est stationnaire : \dfrac{\partial \boldsymbol{B}_a}{\partial t} = \mathbf{0}, donc le champ d'induction de Neumann est nul (\boldsymbol{E}_{\text{ind}} = \mathbf{0}) ;
• le cadre est maintenu immobile dans \mathcal{R} : la vitesse de chaque élément conducteur est nulle (\boldsymbol{v} = \mathbf{0}), donc le terme de Lorentz est nul.

Ainsi, le champ électromoteur est strictement nul en tout point du circuit :

La force électromotrice induite, définie par la circulation de \boldsymbol{E}_m le long du circuit, est par conséquent rigoureusement nulle :

La réponse correcte est la proposition B.

Pour un échantillon d'air de masse m occupant un volume V, assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_a, l'équation d'état s'écrit :

En divisant par le volume V et en introduisant la masse volumique de l'air \rho = \dfrac{m}{V}, on obtient :

La proposition exacte est donc l'affirmation A.

Une masse d'air identifiée est un système fermé constitué d'un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma = C_p / C_v constant. Pour une transformation isentropique (adiabatique et quasi-statique/réversible), la loi de Laplace s'écrit sous la forme classique :

L'équation d'état des gaz parfaits donne pour une masse fixée (n fixé) :

En injectant cette expression dans la loi de Laplace, on obtient :

Comme n et R sont constants au cours du mouvement d'une masse d'air identifiée, il vient :

La proposition correcte est donc l'affirmation B.

D'après la question Q20, une masse d'air qui subit une évolution isentropique vérifie la relation :

En prenant le logarithme népérien de cette expression :

En dérivant par rapport à la coordonnée verticale z, il vient :

D'après l'équation d'état établie à la question Q19, p = \frac{\rho}{M_a} R T, ce qui donne :

On en déduit ainsi la relation recherchée :

La réponse correcte est l'affirmation D.

D'après le résultat de la question Q21, le gradient thermique s'exprime par :

En y substituant la relation fondamentale de la statique des fluides \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g, la masse volumique se simplifie :

Ce gradient vertical de température est indépendant de l'altitude z (les grandeurs \gamma, M_a, g et R étant considérées constantes). Par intégration directe avec la condition initiale au niveau du sol T(0) = T_0, on obtient :

où la hauteur caractéristique H est définie par :

Cette expression correspond à la proposition C.

Pour une masse d'air subissant une évolution isentropique, les lois de Laplace s'appliquent. En utilisant la relation entre la pression et la masse volumique :

D'après l'équation d'état du gaz parfait (question Q19), la pression s'écrit p = \dfrac{\rho R T}{M_a}. En substituant cette expression, il vient :

En prenant pour référence les grandeurs au niveau du sol (z = 0) où la température vaut T_0 et la masse volumique \rho_0, on obtient :

En introduisant le profil de température linéaire obtenu à la question Q22, T(z) = T_0 \left(1 - \dfrac{z}{H}\right), l'expression de \rho(z) devient :

Par identification avec l'expression donnée \rho(z) = \rho_0 \left(1 - \dfrac{z}{H}\right)^\alpha, on en déduit :

La réponse correcte est donc l'affirmation D.

D'après la question 22, la hauteur caractéristique H s'exprime sous la forme :

Avec les données fournies :

• \gamma = 1{,}4, d'où \gamma - 1 = 0{,}4 et \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5 ;
• R \approx 8\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• T_0 = 290\text{ K} ;
• M_a = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

On calcule H :

Le gradient thermique vertical s'en déduit directement :

Les affirmations exactes sont donc A et D.

La force centrale s'écrit :

Puisqu'elle dérive de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r), on a :

Par identification des composantes radiales :

En intégrant par rapport à r, il vient :

L'origine de l'énergie potentielle étant choisie pour A et C infiniment éloignés l'un de l'autre (r \to +\infty) :

On obtient ainsi :

L'affirmation exacte est donc la proposition B.

Le point C est fixe dans le référentiel galiléen \mathcal{R}. Le théorème du moment cinétique appliqué au corpuscule A en ce point s'écrit :

Le rayon vecteur s'exprime par \boldsymbol{CA} = r\,\boldsymbol{e}_r et la force est centrale de centre C :

Ces deux vecteurs étant colinéaires, leur produit vectoriel est nul :

On en déduit :

Le moment cinétique \boldsymbol{L} est donc une constante vectorielle du mouvement.

La réponse exacte est C.

D'après la question Q26, le moment cinétique \boldsymbol{L} de A par rapport à C est un vecteur constant. Le mouvement de A s'effectue donc dans un plan fixe perpendiculaire à \boldsymbol{L}, passant par C.

En repérant le point A par ses coordonnées polaires (r, \theta) dans ce plan, son vecteur vitesse s'écrit :

L'énergie cinétique de A s'en déduit :

Le moment cinétique par rapport à C vaut :

Sa norme vérifie donc L = m r^2 |\dot{\theta}|, ce qui permet de réécrire la composante orthoradiale de l'énergie cinétique sous la forme :

En utilisant l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q25, \mathcal{E}_p(r) = -\dfrac{K}{r}, l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p s'écrit :

L'affirmation correcte est la proposition A.

Le vecteur \boldsymbol{\Lambda} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} - m K \boldsymbol{e}_r est le vecteur de Laplace-Runge-Lenz.

1. Dérivée temporelle de \boldsymbol{\Lambda} :

Dérivons \boldsymbol{\Lambda} par rapport au temps dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :

D'après le principe fondamental de la dynamique, \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2} \boldsymbol{e}_r.

D'après la question Q26, la force étant centrale, le moment cinétique est conservé :

En coordonnées polaires (r, \theta) dans le plan du mouvement, le moment cinétique s'écrit :

Par conséquent :

Comme la base (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta, \boldsymbol{e}_z) est orthonormée directe, \boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_z = -\boldsymbol{e}_\theta, d'où :

Par ailleurs, la dérivée du vecteur unitaire radial est \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta, ce qui donne :

On en déduit :

L'assertion A est donc exacte (et l'assertion D n'a de surcroît aucun sens physique ni mathématique pour des vecteurs).

2. Produit scalaire \boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} :

Calculons le produit scalaire :

• Par propriété du produit mixte, (\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) \cdot \boldsymbol{L} = 0 car le vecteur \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} est orthogonal à \boldsymbol{L}.
• De plus, par définition du moment cinétique, \boldsymbol{L} = (r\boldsymbol{e}_r) \times \boldsymbol{p}, donc \boldsymbol{L} est orthogonal à \boldsymbol{e}_r, d'où \boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{L} = 0.

On a donc rigoureusement :

L'assertion B est donc exacte, et l'assertion C est fausse.

Dans le référentiel \mathcal{R} galiléen muni de la base polaire (C, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta), le corpuscule A décrit une trajectoire circulaire de centre C et de rayon R_A. Son vecteur accélération s'écrit classiquement :

La seule force agissant sur le satellite est la force centrale conservative :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à A s'écrit m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}. La projection selon le vecteur unitaire radial \boldsymbol{e}_r donne :

d'où l'expression de la norme de la vitesse orbitale :

L'affirmation A est donc exacte.

L'énergie cinétique du satellite sur cette orbite s'en déduit :

D'après la question Q25, l'énergie potentielle de gravitation avec la convention nulle à l'infini vaut :

On en déduit immédiatement la relation entre énergie cinétique et énergie potentielle :

L'affirmation D est donc exacte.

Examinons successivement chacune des affirmations :

• Affirmation B : Par définition de la traînée aérodynamique s'exerçant sur un corps en mouvement dans un fluide, la force de frottement s'oppose à la vitesse relative par rapport au milieu :

  \boldsymbol{F}_f = -\alpha(v)\,\boldsymbol{v} \quad (\text{avec } \alpha(v) > 0)

  Le vecteur force de frottement est donc bien colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse. L'affirmation B est exacte.

• Affirmation D : Appliquons le théorème du moment cinétique en C dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :

  \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) + \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}_f) = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}_f = -\alpha(v)\,(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}) \neq \boldsymbol{0}

  La force de frottement n'étant pas centrale, son moment par rapport à C n'est pas nul : le moment cinétique n'est plus conservé. L'affirmation D est fausse.

• Affirmation A : La force de frottement dissipe de l'énergie, de sorte que l'énergie mécanique \mathcal{E}_m diminue au cours du temps (\mathrm{d}\mathcal{E}_m/\mathrm{d}t = \boldsymbol{F}_f \cdot \boldsymbol{v} < 0). Or, pour une trajectoire quasi-circulaire de rayon r(t), l'énergie mécanique vaut d'après la question 29 :

  \mathcal{E}_m = -\frac{K}{2r}

  Une diminution de \mathcal{E}_m impose une diminution continue du rayon orbital r(t) (le satellite spiralise vers la Terre). La vitesse orbitale s'écrit alors :

  v_A = \sqrt{\frac{K}{m\,r}}

  Lorsque le rayon orbital r décroît, la vitesse v_A augmente : c'est le paradoxe du satellite freiné. En moyenne sur une révolution, le satellite accélère. L'affirmation A est fausse.

• Affirmation C : L'accélération du satellite sur son orbite quasi-circulaire est dominée par l'attraction gravitationnelle :

  a \approx \frac{v_A^2}{r} = \frac{K}{m\,r^2}

  Comme le rayon r diminue au cours du temps, la norme de l'accélération gravitationnelle augmente. De plus, la masse volumique de l'air augmentant fortement lorsque l'altitude diminue, la décélération tangentielle due à la traînée croît également. La norme de l'accélération totale augmente donc au cours du temps. L'affirmation C est exacte.

La relation de Planck-Einstein associe l'énergie E d'un photon à la fréquence \nu de l'onde électromagnétique associée par :

On en déduit la dimension physique de la constante de Planck :

On peut donc exprimer son unité de deux manières équivalentes :

• À l'aide de l'unité dérivée de l'énergie, le joule (\mathrm{J}) :

  [h] = [E]\cdot [\mathrm{T}] \implies \mathrm{J\cdot s} \quad \text{(Joule seconde)}

  L'affirmation B est donc exacte.

• Dans les unités de base du Système International (\mathrm{kg}, \mathrm{m}, \mathrm{s}) :

  [h] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} \implies \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}

  L'affirmation D est donc également exacte.