Mouvement dans un champ de force centrale : 371 questions de concours corrigées

Appliquer, dans le référentiel R₀, le principe fondamental de la dynamique au satellite. Projeter l'égalité vectorielle obtenue dans la base polaire (e_r, e_θ). En déduire que la vitesse angulaire θ…

Exprimer la période de révolution T du satellite autour de la Terre, en fonction de G, M_T et r.

Énoncer le théorème de Gauss gravitationnel, reliant notamment le champ de gravitation G et la constante de gravitation universelle G.\ En déduire l'expression du champ G_A(M) créé par un astre (A)…

Établir la relation liant, pour un satellite en orbite circulaire, la période T, le rayon terrestre R_T et l'altitude h en fonction de la constante de gravitation G et de la masse M_T de la Terre…

On admettra que la Terre et Jupiter ont des orbites circulaires et coplanaires, héliocentriques, parcourues dans le même sens. Les données en fin d'énoncé en donnent certaines propriétés. Exprimer…

On admet alors l'expression r = p/(1 + e cos θ) de l'équation de la trajectoire, où p et e sont des constantes positives. Exprimer puis calculer les paramètres p et e de la trajectoire de Mercure en…

Exprimer l'accélération de M sous la forme a = -K/r²u_r et exprimer la constante K. Montrer que r² θ = Cₐ ; préciser le nom et le signe de la constante Cₐ.

Montrer que : R_T³ ω_T² = G M_s . Rappeler le nom de cette loi. Déduire l'expression de la vitesse v_T de la sonde sur son orbite, en fonction de G, M_s et R_T.

Montrer que le moment cinétique L_z de la sonde par rapport à l'axe (Oz) se conserve. Montrer que la grandeur C = (|L_z|)/m vérifie la relation C = r² |θ|.

Exprimer la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un nano-satellite. En déduire l’expression de la vitesse v_s des satellites de Kinéis dans le référentiel géocentrique. Calculer v_s.

Montrer que le moment cinétique L_O du mobile par rapport au point O est une constante du mouvement. En déduire que la trajectoire du mobile est plane.

Montrer que la force gravitationnelle s'exerçant sur le mobile dérive d'une énergie potentielle E_p. Établir l'expression de celle-ci en la prenant, par convention, nulle à l'infini.

Expliquer pourquoi l'énergie mécanique du mobile est nécessairement supérieure ou égale à son énergie potentielle effective.

Pour un mouvement elliptique quelconque, indiquer à quelles positions particulières l'énergie mécanique est égale à l'énergie potentielle effective. Caractériser le mouvement du mobile dans le cas…

Exprimer l'énergie mécanique E_m,alt du satellite situé sur l'orbite altimétrique de référence, en fonction de G, M_T, m et de R.

Établir la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d'une orbite circulaire, en utilisant les paramètres liés à l'orbite altimétrique.

Donner l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du vaisseau en fonction de G, M_T, m, r, v_r et de v_θ.

Déduire de l'application d'un théorème énergétique l'expression de la vitesse de libération v_lib(r) d'un corps soumis à l'attraction terrestre.

Justifier à l’aide du théorème du moment cinétique que le moment cinétique L_J par rapport au point J de la sonde se conserve. En déduire que le mouvement de la sonde est plan. On repère la sonde…

Établir l’expression de l’énergie potentielle E_p(r) dont dérive la force gravitationnelle subie par la sonde. On prendra E_p(r → +∞) = 0.

Donner l’expression de la vitesse minimale v_ℓ qu’il faudrait communiquer à la sonde à la distance r du centre J de Jupiter pour qu’elle se libère de l’attraction gravitationnelle de Jupiter. Cette…

Établir, à partir de la 2e loi de Newton, les expressions de Ω et de la vitesse V_J,h de Jupiter dans le référentiel héliocentrique R_h en fonction de G, M_S et de d. Calculer V_J,h.

Déterminer l'expression de la vitesse d'un satellite comme l'ISS, de centre d'inertie S et de masse M_S tournant autour de la Terre à l'altitude h. On assimilera le satellite à un point matériel en…

Déterminer l'expression de la vitesse d'un satellite comme l'ISS, de centre d'inertie S et de masse M_S tournant autour de la Terre à l'altitude h. On assimilera le satellite à un point matériel en…

Quelle force s'exerce sur l'électron ? Comment s'écrit dans ce cas le principe fondamental de la dynamique pour l'électron.

Montrer que le moment cinétique L est conservé.

En déduire que la trajectoire est plane. On choisira dans la suite l'axe z orthogonal au plan de la trajectoire.

Donner l'expression du moment cinétique en coordonnées polaires (r, θ) dans le plan de la trajectoire.

On admet que cette équation est celle d'une ellipse et ε est baptisé "excentricité de l'ellipse". Quelle trajectoire particulière obtient-on dans le cas où ε = 0 ?

Montrer que chaque état quantique possède un demi-grand axe aₙ s'écrivant aₙ = n² a₁, où l'on exprimera a₁ en fonction de constantes fondamentales.

On considère jusqu'à la question Q[66] incluse que le champ électrique extérieur est nul. Que dire des variations de L dans ce cas. Pour quoi était-ce attendu ?

Justifier que le mouvement est plan. En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l'expression de θ = dθ/dt en fonction de r, r₀ et v₀.

Montrer que le mouvement de P est plan ; on notera (Axy) le plan de ce mouvement. Définir la constante C issue de la loi des aires pour ce mouvement et relier cette constante aux coordonnées…

Dans le cas particulier où e = 0, préciser la nature de la trajectoire et l'expression de T ; en déduire une des lois de Kepler, préciser laquelle et proposer son énoncé « historique » sous forme…

Montrer que le mouvement de P est plan ; on notera (Axy) le plan de ce mouvement. Définir la constante C issue de la loi des aires pour ce mouvement et relier cette constante aux coordonnées…

Dans le cas particulier où e = 0, préciser la nature de la trajectoire et l'expression de T ; en déduire une des lois de Kepler, préciser laquelle et proposer son énoncé « historique » sous forme…

Exprimer la pulsation ω₀ du mouvement de G autour du Soleil en fonction de données astronomiques et de G. Donner le nom usuel et/ou la valeur numérique de T₀ = 2π/ω₀ ?

Exprimer, en fonction de M, g₀, R_T et h, l'énergie potentielle de gravitation E_p du satellite. On prendra l'origine des énergies potentielles si h → ∞.

Exprimer, en fonction de M, g₀, R_T et h, la norme v de la vitesse et l'énergie mécanique totale E du satellite.

Rappeler et justifier les deux lois de conservation usuelles dans le cadre de l'étude mécanique d'un point matériel en mouvement dans un champ de force centrale conservatif.

Déterminer une expression de l'énergie mécanique Eₘ₁ que possède l'astéroïde Patientia, relativement au référentiel héliocentrique d'étude galiléen, lorsqu'il est en orbite circulaire au niveau de…

Expliciter le vecteur vitesse v du point M et son vecteur moment cinétique L par rapport au centre S en coordonnées polaires. Exprimer ensuite le moment cinétique en fonction de la constante des…

Mettre Eₘ sous la forme Eₘ = 1/2m_pr² + E_eff(r) et donner l'expression de E_eff(r).

Montrer que le mouvement est plan.

Dans un modèle d'atome d'hydrogène « planétaire » où l'électron a un mouvement circulaire uniforme autour du noyau, montrer que l'énergie mécanique s'écrit E = -1/2e²/R où R désigne la distance…

En utilisant l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel, montrer que ce dernier, noté G, vérifie l'équation locale divG = -4π Gµ où G est la constante universelle de…

Déterminer le champ gravitationnel G_T_h en tout point de l'espace en introduisant un système de coordonnées adapté.

Tracer sa norme en fonction de la distance r au centre O.

Montrer que L_O est constant. En déduire que le mouvement de l'électron est plan.

Exprimer L_O en fonction de mₑ, r et de dθ/dt.

Obtenir l'expression de la vitesse v = |v| de l'électron en fonction de e, mₑ, ε₀ et du rayon R de sa trajectoire.

L'iss se situe à une altitude h_iss d'environ 400 km. Montrer en utilisant le théorème de Gauss, et moyennant certaines hypothèses que l'on précisera, que le champ gravitationnel qu'elle subit est…

Après avoir montré qu'elle est constante, déterminer l'expression v_iss de la norme de la vitesse de l'iss sur son orbite circulaire. Calculer sa valeur numérique en km⁻¹.

Déterminer l'expression de la période de révolution T_iss de l'iss autour de la Terre et faire le lien avec la troisième loi de Képler.

La masse volumique moyenne d'une roche est de l'ordre de quelques tonnes par mètre cube. En déduire une estimation de la masse de la Lune puis de l'intensité du champ de pesanteur lunaire. Comparer…

Démontrer l'expression du champ gravitationnel G(r) puis du potentiel gravitationnel V(r) engendrés par un astre à répartition sphérique de masse, de masse M et de rayon R, à une distance r R de son…

On considère un point matériel P de masse m en orbite circulaire de rayon r autour de l'astre précédent. Exprimer la vitesse angulaire ω du mouvement de P en fonction de la constante…

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer l'énergie…

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m, situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer…

Rappeler la signification physique d'un mouvement qualifié de " lié " pour le point M. Donner la valeur maximale de l'énergie mécanique Eₘ dans ce cas.

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Faire un schéma clair de l'ellipse, trajectoire du satellite, en y positionnant le foyer O_T et le demi-grand axe a. Faire figurer également les points particuliers P et A de la trajectoire, appelés…

Exprimer Y en fonction de a et X en fonction de T. Exprimer littéralement M_T en fonction de alpha et des valeurs constantes apparaissant dans la troisième loi de Kepler. Par la suite, on attend un…

Donner les dimensions de la constante gravitationnelle G ainsi que son unité dans le système international.

Montrer que le moment cinétique L_O en O, centre du Soleil, d'un objet de masse m est une constante du mouvement.

On utilise les coordonnées cylindriques (O, e_r, e_θ, e_z) avec e_z tel que L_O = L_O e_z. Justifier que le mouvement est plan et exprimer C = r² dθ/dt en fonction de L_O et m. Quel est le nom de…

Déduire l'expression de l'énergie cinétique, puis de l'énergie mécanique de l'objet de masse m sur son orbite circulaire autour du Soleil en fonction de G, M_S, R et m.

Exprimer la période de rotation T de l'objet en fonction G, M_S et R (troisième loi de Kepler).

Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.

Déterminer l'expression de la vitesse orbitale du satellite v₀ sur son orbite circulaire en fonction de la constante de gravitation universelle G et des paramètres M_T, R_T et h.

On revient au modèle semi-classique du modèle de Bohr dans lequel l’électron décrit une orbite circulaire de rayon ρ autour du noyau. On exprimera les réponses en fonction de e, ρ, ε₀ et de mₑ. a)…

Le vaisseau libéré par la fusée décrit dans le référentiel géocentrique une orbite elliptique dont la distance minimale au foyer est à l'altitude de 167 km et dont la distance maximale au foyer est…

Rappeler l'expression de la force gravitationnelle existant entre deux corps ponctuels de masse m₁ et m₂ séparés par une distance r. En déduire l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle…

On cherche à présent à relier la vitesse du compagnon aux caractéristiques de son orbite. Retrouver la troisième loi de Kepler en appliquant le principe fondamental de la dynamique au compagnon…

Rappeler les expressions de la force d'interaction électrostatique Fₑ subie par une charge ponctuelle q_A placée au point A de la part d'une charge ponctuelle q_B placée au point B ainsi que de la…

Justifier le fait que le champ gravitationnel a pour forme g_c = g_c(z) u_z.

Énoncer la troisième loi de Kepler, puis estimer la masse de Jupiter en précisant la méthode utilisée. Comparer cette valeur à celle fournie en fin de sujet.

En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à l'objet M entre l'instant initial (M à la surface de la Terre) et l'instant final (M à l'infini), déterminer la vitesse de libération v_ℓ en tenant…

En appliquant le théorème du moment cinétique dans le référentiel jupiterocentrique, montrer que le moment cinétique L_O,P/R = r ∧ mv_P/R est constant au cours du temps. Conclure que le mouvement de…

On définit le vecteur C par C = (L_O,P/R)/m. En exprimant C dans la base cylindrique orthonormée directe (u_r, u_θ, u_z), montrer que r² dθ/dt est une constante du mouvement que l'on exprimera en…

Donner l'expression de la force que la terre exerce sur la lune.

Établir dans ce cas la troisième loi de Kepler. Déterminer un ordre de grandeur de T_L.

On note L le moment cinétique, dans R, de A au point C. Que peut-on dire de l'évolution temporelle de L au cours du mouvement de A ? A) Le vecteur L change de direction mais sa norme est constante…

Le corpuscule A est un satellite qui effectue des révolutions circulaires, de rayon R_A, autour du centre C de la Terre. Quelle est la norme v_A de la vitesse de A et quelle égalité relie son…

On considère à présent une boule homogène de rayon R et de densité de matière uniforme ρ₀. Déterminer le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur de cette boule. Montrer notamment qu'on…

Plutôt que de travailler avec θ(r), on préférera introduire la vitesse orthoradiale v_θ, composante de la vitesse sur e_θ. Obtenir que la dynamique sur le plan (r, θ) d'une étoile suivant le…

Utilisant l'équation d'équilibre radial, et en négligeant tout mouvement sur e_z, obtenir une équation reliant v_θ(r) sur ce plan équatorial à la masse M_int(r) contenue dans la boule de rayon r…

Pourquoi dans ce modèle l'électron admet-il un mouvement circulaire uniforme ?

Quelle propriété possède le moment cinétique de l'électron par rapport au noyau ?

En supposant que le satellite d'imagerie se situe sur une orbite circulaire, redémontrer l'expression donnant la période T du satellite autour de la Terre, en fonction de sa hauteur h de l'orbite…

Pourquoi la distance entre la Terre et le Soleil varie-t-elle au cours de l’année ?

En faisant l'hypothèse d'un éther immobile dans le référentiel héliocentrique et ne subissant aucun effet d'entraînement par l'atmosphère terrestre, Michelson et Morley comptaient observer cette…

Rappeler l'expression de la force de gravitation F exercée par la Terre sur un satellite NAVSTAR. Le centre de la Terre est situé en O. On notera r la distance OM du satellite (masse ponctuelle m)…

Donner sans démonstration l'expression de l'énergie mécanique Eₘ₁ d'un satellite NAVSTAR de masse m = 800 kg sur son orbite basse à l'altitude h₁ = 1,50 × 10³ km. On suppose l'énergie potentielle…

Définir ce qu'on appelle un satellite géostationnaire en précisant les caractéristiques de son orbite, son altitude, sa visibilité depuis un point donné de la Terre, son usage et toute autre donnée…

On considère maintenant deux masses ponctuelles m₁ et m₂ en P₁ et P₂. Exprimer la force de m₁ sur m₂.

Justifier que le mouvement de C₁ est plan.

Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_pot de C₂ dans le champ gravitationnel créé par C₁ en fonction de G, m et r. On choisira E_pot nulle pour r tendant vers l'infini.

Que peut-on affirmer? A) r_p v_p = rₐ vₐ B) r_p² v_p = rₐ² vₐ C) Eₘ(A_p) ≠ Eₘ(Aₐ) D) Eₘ(A_p) = Eₘ(Aₐ)

En appliquant le théorème de Gauss, exprimer g(r) en fonction de G et M(r). Rappeler l'équation de la statique des fluides que l'on peut écrire pour cette étoile.

Montrer que l'énergie mécanique de la sonde se met sous la forme Eₘ = 1/2 m r² + E_p,eff(r) et exprimer l'énergie potentielle effective E_p,eff en fonction de G, M_s, m, p_T, R_T, S, C et r.

Après avoir justifié la direction du champ de gravitation terrestre G(M) et les invariances de sa norme, établir l'expression de celui-ci en un point M extérieur à la Terre en fonction de la…

Montrer que l'énergie mécanique Eₘ est une constante du mouvement et qu'elle peut se mettre sous la forme : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r) (1) où E_p,eff(r) est un terme, appelé énergie potentielle…

Représenter graphiquement, pour une valeur donnée de L₀, l'énergie potentielle effective E_p,eff du mobile en fonction de r. Faire apparaître sur le graphique l'énergie mécanique d'une trajectoire…

Justifier que l’énergie mécanique Eₘ de la sonde se conserve. Établir son équation radiale sous la forme : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r), où E_p,eff(r) désigne une énergie potentielle effective dont on…

Montrer que le vecteur A = (L ∧ p)/(mₑ e²) + u_r, où u_r = r/r, est une constante du mouvement (baptisée vecteur de Runge-Lenz).

En projetant le vecteur de Runge-Lenz sur le vecteur u_r, montrer que la trajectoire de l'électron peut s'écrire r = r₀/(1 - ε cos (θ)). Exprimer r₀ et ε en fonction de A, L, mₑ, e².

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron peut se mettre sous la forme Eₘ = L²/2mₑ [(du/dθ)² + u²] - e² u, où u = 1/r.

En déduire que Eₘ = -e²/2a.

En déduire que T²/a³ = 4π² mₑ/e². Comment cette loi s'appelle-t-elle ?

Montrer que l'énergie mécanique de la goutte peut s'exprimer sous la forme suivante : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r), où E_p,eff(r) = α/r² + β ln r et r = dr/dt. On explicitera les constantes positives α…

Exprimer Δ v en fonction des différentes données de l'énoncé. En faire une application numérique.

On considère que le télescope JWST, positionné au point L₂, n'est soumis qu'à l'action gravitationnelle du Soleil et de la Terre. En adoptant le point de vue du référentiel R, écrire la relation…

En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit R = n² a₀, où a₀ est le rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer numériquement a₀.

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit Eₘ = -E₀/n² et donner l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer la valeur numérique de E₀ exprimée en joule et en eV.

Exprimer les vitesses vₙ associées à chaque orbite. Sur quelle orbite la vitesse maximale est-elle atteinte ? Exprimer sa valeur en fonction de c et de α. Est-il alors légitime de considérer que…

Calculer l'énergie mécanique Eₙ de l'électron en fonction de n. Retrouver la formule de Rydberg (Éq. (4)) et en déduire l'expression de R_∞ en fonction de mₑ, e, h, c et ε₀.

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Établir les relations GB = m_A/(m_A + m_B)R et GA = -m_B/(m_A + m_B)R. En déduire la relation d²/dt²R = -KR/Rⁿ et expliciter les constantes K et n.

Établir l'équation de conservation 1/2mₑr² + U_eff(r) = cte et exprimer l'énergie potentielle effective U_eff(r) en fonction de e, ε₀, mₑ et σ.

Déterminer, dans le cas d'une orbite circulaire de rayon R, la vitesse V de l'objet en fonction de G, M_S, R et m. Calculer les valeurs numériques de V_T, la vitesse orbitale de la Terre et de V_M…

Exprimer, notamment en fonction du rapport m/S, la luminosité maximale L_Edd permettant un équilibre entre force radiative et force gravitationnelle.

Exprimer l'énergie mécanique d'un objet ponctuel de masse m, de vitesse v, subissant une force d'attraction gravitationnelle de la part d'un astre de masse M supposé ponctuel et situé à la distance…

Ecrire les équations différentielles vérifiées par les vecteurs OS₀ et OS₁. En déduire que le référentiel R_K centré sur le point K tel que (M + m)OK = MOS₀ + mOS₁ est galiléen. Sous quelle…

Établir, en illustrant votre démonstration par une figure avec une légende explicite, que g_c = -2π Gρ_c H dans toute la partie située au-dessus de la couche plane.

Déterminer l'énergie mécanique de la sonde et montrer qu'elle se met sous la forme : E_m,P/R = Eₘ = 1/2m(r)² + U_eff(r) avec U_eff(r) = mC²/2r² - GmM_J/r. (1) Justifier que Eₘ se conserve.

Tracer l'allure de U_eff(r) et discuter les trajectoires possibles de la sonde en fonction de Eₘ. On distinguera en particulier les états qualifiés de liés de ceux dits de diffusion.

Etablir la forme du champ de gravitation à l'extérieur de la Terre en supposant celle-ci sphérique et de masse volumique uniforme. On se place dans un système de coordonnées sphériques de centre O…

Montrer que le mouvement du centre C_L de la Lune est uniforme et déterminer sa période de révolution T_L. On précisera bien dans quel référentiel on travaille et quelle est alors l'expression du…

Montrer que les rayons rₙ des orbites envisageables pour l'électron vérifient rₙ = n² a₀ et exprimer a₀ (rayon de Bohr) en fonction des données. La valeur numérique de a₀ est indiquée en fin d'énoncé.

Montrer que les énergies mécaniques Eₙ correspondantes s'expriment sous la forme Eₙ = -E_I/n², où E_I sera exprimé en fonction des données. Calculer E_I en eV.

Établir la relation r³/T² = (G(M_E + M_P))/4π². Quel nom porte cette loi ?

En ne prenant en compte que cette unique force d'attraction qui s'exerce sur le satellite, montrer que : a) sa trajectoire est plane ; b) son énergie mécanique notée Eₘ est conservée ; c) et qu'elle…

Soit la fonction E_p eff(r) = -A/r + B/r². Tracer son allure puis prouver qu'elle passe par un minimum noté r₀. Exprimer r₀ en fonction de A et B puis donner sa signification physique ainsi que…

À partir de l'expression de l'énergie mécanique pour une trajectoire circulaire de rayon r, on peut montrer qu'il suffit de substituer au rayon r la valeur du demi-grand axe a de l'ellipse pour…

En déduire la variation de vitesse Δ V₁ à appliquer au satellite pour qu'il passe de l'orbite basse à celle de transfert. Effectuer l'application numérique.

Quelle est la durée du transfert ? (La troisième loi de Kepler est rappelée en annexe.)

On envisage un astre sphérique de centre O, de rayon R et de masse m uniformément répartie. En justifiant clairement chaque étape du raisonnement, établir que le champ gravitationnel créé par cet…

Le mouvement de C₁ est périodique de fréquence f. Etablir la relation f = √(Gm/(2π² r³)).

Application numérique : Calculer la valeur de la période T de révolution du satellite autour de la Terre puis celle de sa vitesse de déplacement v.

En déduire la valeur absolue du moment cinétique J de l'électron par rapport au centre de la trajectoire, qu'on exprimera en fonction de e, r et B.

Donner la valeur approximative, en jours terrestres, de chacune de ces périodes.\ Déterminer la valeur numérique de ω en radian par seconde.

On confond les champs de pesanteur et de gravitation terrestre et on admet pour la Terre une symétrie sphérique de répartition des masses. Montrer que l'intensité g du champ de pesanteur dans la…

Les satellites du système GPS sont tous placés sur une orbite circulaire de période T = 12 h, plus basse donc que celle des satellites géostationnaires, qui sont eux à 36 000 km d'altitude. En…

Expliquer pourquoi ρ_f = 1 lorsque β = -90° et β = 90°.

En utilisant le résultat de cette simulation, déterminer la valeur optimale de β, notée βₑ, pour que la sonde s'éloigne le plus loin possible du Soleil, ainsi que la valeur optimale de β, notée βₐ…

Vérifier que dans le référentiel géocentrique, la vitesse des satellites est nettement supérieure à celle d’un flotteur.

En traduisant la conservation de l’énergie mécanique de la sonde, montrer que v_e,j = v_s,j.

Montrer que A est dans le plan de la trajectoire. Dans la suite, on choisira l'axe x aligné selon le vecteur A et on note en conséquence θ l'angle entre r et A.

On note demi-grand axe de l'ellipse la quantité a = (r(0) + r(π))/2. Représenter graphiquement a sur la trajectoire de l'électron. Donner l'expression de a en fonction de r₀ et ε.

Montrer que la période de la trajectoire de l'électron peut s'écrire T = mₑ/L ∫₀²π r²(θ) dθ.

À partir des questions précédentes montrer que Ω ne dépend que de E l'énergie de l'électron sur sa trajectoire.

Quelle inégalité ℓ et n doivent-ils vérifier ?

On réalise l'approximation suivante : la trajectoire est considérée comme localement circulaire, c'est-à-dire que sur un tour, r(t) ≈ cste. En déduire que v est une constante et donner son…

Quelle condition (inégalité forte) permet de considérer A comme fixe ? Quelle est l'expression de la force gravitationnelle F exercée par A sur P si les deux astres sont assimilés à des points ?

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

La valeur annoncée par Cassini était α = 14'' (secondes d'angle). Est-elle compatible avec la relation ci-dessus ?

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Quelle condition (inégalité forte) permet de considérer A comme fixe ? Quelle est l'expression de la force gravitationnelle F exercée par A sur P si les deux astres sont assimilés à des points ?

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Exprimer la masse volumique ρ, supposée uniforme et constante, de l'étoile en fonction de M et R. En déduire, en fonction de M, R et r, les expressions de m (masse déjà constituée dans une sphère de…

Cette descente est souvent obtenue au moyen d'un système de fusées qui exerce sur le satellite une force constante Ma_fr, pratiquement tangente à chaque instant à la trajectoire circulaire…

Exprimer, en fonction de g₀, R_T et h, la norme v₀ de la vitesse v du satellite sur son orbite circulaire à l'altitude h. En considérant que I > 0 (voir figure 6), exprimer v en projection sur B_c…

En déduire, dans l'espace autour de Mars, une expression de l'accélération de la pesanteur g(M) de cette planète.

Obtenir une expression de g(M) en fonction de Rₘ, r et g₀, accélération de la pesanteur au niveau du sol. Déterminer et calculer l'intensité g₀ de cette dernière.

Réaliser un schéma légendé précisant les orbites et la demi-ellipse de transfert en jeu. Les points A et P seront indiqués, ainsi que le centre S du Soleil.

Indiquer, avec justification, si ce passage correspond à une diminution ou à une augmentation de l'énergie mécanique de l'astéroïde.

La résolution numérique conduit à la valeur R = 0,009. En déduire la valeur de la distance qui sépare la Terre du point L₂.

Calculer sa valeur G₀ à la surface de la Terre.

Justifier que la valeur de G₀ à la surface de la Terre dans le cadre de ce modèle est inchangée par rapport à celle évaluée à la question Q 19.

Justifier le fait que le mouvement de l'électron est uniforme.

Déterminer les valeurs du champ de pesanteur à z₀ et à z₁.

En déduire que l'on peut considérer le champ de pesanteur uniforme à ces altitudes, à une incertitude que l'on précisera. On prendra par la suite g=9,7 m · s⁻².

Calculer numériquement le rapport a = M_T/M où M = M_S + M_T. Que vaudrait ε si on avait a = 0 ? Commenter.

Comparer la valeur calculée précédemment à la valeur que l'on peut déterminer graphiquement sur la figure 2.

Rappeler la signification physique d'un mouvement qualifié de « lié » pour le point M. Donner la valeur maximale de l'énergie mécanique Eₘ dans ce cas.

Justifier que l'action " peser un astre " est l'action de mesure de sa masse et non de son poids.

Expliquer ce que fait ce morceau de code.

Écrire les instructions pour extraire de DATA la liste T_sat contenant les 9 périodes exprimées en minutes.

Écrire la fonction demiGrandAxe(DATA) qui permet d'obtenir la liste a_sat contenant les demi-grands axes a des 9 trajectoires exprimées en km.

Écrire les instructions pour obtenir le tableau [alpha, beta] des paramètres de la régression linéaire. Quelle valeur attend-on pour l'ordonnée à l'origine beta ? Justifier.

Expliciter les termes A, B, C, D, E, et F.

Proposer un ordre de grandeur pour N_sim.

Exprimer les forces F_B et F_A exercées au sein du système en fonction notamment de M et r. Donner l'expression de l'énergie potentielle E_p(r) associée à ces forces.

Exprimer, en fonction de G, M et r, l'énergie mécanique totale du système. Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.

Exprimer en fonction de m_A, m_B, G et R les forces F_B et F_A exercées sur les deux étoiles. Ces forces dépendent-elles du référentiel d'étude ?

Montrer que dans ce modèle le mouvement de l'électron est plan. On notera r la distance de l'électron à O, dr/dt = r et σ l'amplitude du moment cinétique de l'électron.

Représenter, sur la figure A du document réponse, montrant les orbites de la Terre et de Mars, l'allure de l'orbite de transfert (trajectoire de Hohmann).

Justifier que r_P, le périhélie de la trajectoire du vaisseau (distance minimale du Soleil au vaisseau), vérifie r_P = a_T.

Exprimer C = r² dθ/dt en fonction de a_T et V_T''.

Évaluer numériquement la vitesse v₀, ainsi que la période de révolution T₀ correspondante.

Justifier simplement que la gravité g peut être considérée indépendante de z, où z est la verticale dirigée vers le haut.

Le rapport m/S est une constante indépendante des paramètres de l'étoile. En prenant m/S = 25 kg⁻², exprimer la limite d'Eddington sous la forme L_Edd = K₁ M/M L_ où K₁ est un facteur que l'on…

Calculer la masse volumique moyenne de cette planète.

Comment s'exprime la force de gravitation exercée par une distribution de masse sur un point matériel P de masse m en fonction du champ de gravitation G(P) ?

Quelles sont à chaque nouvelle lune les positions respectives du soleil, de la Terre et de la Lune ?

Considérons le cas d'un calendrier "lunaire" de 12 mois, pour lequel le début du mois est fixé par une nouvelle lune. Pourquoi le nouvel an ne tombe-t-il pas chaque année sur le même jour du…

Quelle est la forme de E_p(r) si son origine est prise pour A et C infiniment éloignés l'un de l'autre? A) E_p(r)=-Kr⁻² B) E_p(r)=-Kr⁻¹ C) E_p(r)=Kr⁻¹/2 D) E_p(r)=Kr⁻²

Quelle est l'expression de l'énergie mécanique Eₘ de A ? A) Eₘ=1/2mr²+L²/2mr²-K/r B) Eₘ=1/2mr²+L/2mr²-K/r C) Eₘ=1/2mr²+L²/2mr²+K/2r D) Eₘ=1/2mr²-L²/2mr²-K/r

En vous appuyant sur l'analogie entre les forces électrostatique et gravitationnelle, écrire les équations régissant le champ gravitationnel K. Ces équations feront apparaître une densité volumique…

Au-delà des équations de champ, voyez-vous une différence simple entre l'électrostatique et la gravitation ?

Pourquoi un astronaute est-il en impesanteur dans la station spatiale internationale ?

On suppose à présent que la Galaxie est une boule homogène de rayon R et de densité ρ₀. Calculer v_θ(r) sur son plan équatorial pour r < R et r > R, et rassembler ces résultats dans une courbe.

Représenter sur un schéma le bulbe et le disque galactique, dont on fera apparaître les dimensions caractéristiques. Aucun calcul précis n'est demandé.

Donner une valeur approximative du rayon R_vis à l'intérieur duquel presque toute la matière visible de la Galaxie est contenue. Si on suppose que les résultats obtenus en symétrie sphérique sont…

La figure 2 donne deux exemples de courbes de rotation pour des galaxies spirales similaires à la nôtre. Ces courbes représentent la vitesse de rotation en fonction de la distance au centre de la…

Expliquer pourquoi la présence d'un halo galactique de matière dite noire pourrait permettre d'expliquer les courbes de la figure 2. On précisera l'utilisation de l'adjectif noir, ainsi que la…

Au voisinage du Soleil, soit pour un rayon de l'ordre de 8 kpc, justifier qu'on puisse négliger le deuxième terme du membre de droite de l'équation (9).

Calculer, à partir de cette valeur de la parallaxe P_E, la distance séparant l’étoile Proxima Centauri du système solaire et comparer à la valeur donnée au début de cette partie.

Établir la relation GP = M_E/(M_E + M_P) EP. Contrôler la pertinence de cette expression en étudiant des cas limites.

Quelle est la période de révolution du satellite ? Comparer cette valeur à celle d'un jour sidéral et conclure.

Tracer alors l'allure de |g(M)| en fonction de r pour tout r.

Décrire le mouvement de C₁. Faire un schéma où sont représentés, à un instant donné C, C₁ et C₂ ainsi que leurs vecteurs vitesse respectifs.

Donner une interprétation physique de τ.

Exprimer l'angle Δφ de rotation de la Terre sur elle-même pendant que le satellite parcourt une orbite entière (se reporter à la figure (5b)). En déduire l'expression, en fonction de R_T, de la…

On appelle cycle orbital le nombre (minimal) de jours qui séparent deux passages, en orbite descendante, du satellite au-dessus d'un même point de la surface terrestre. Exprimer sa durée T_c (en…

En déduire l'expression, en fonction de R_T, de la distance d_c minimale séparant deux points survolés sur l'équateur. Calculer la valeur de d_c.

Dans le cadre du modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, déterminer l'expression de la période de révolution de l'électron dans son niveau fondamental, qu'on notera Tₑ, en fonction de q², de la…

Montrer que dans ce référentiel le mouvement de la Terre est circulaire uniforme de vitesse |v| = v ≃ 27 km/s. Quelles sont les valeurs extrêmes et moyenne de la vitesse d'éloignement de la Terre…

En écrivant que la variation temporelle est directement liée au temps nécessaire à la lumière pour traverser la distance entre Jupiter et la Terre, montrer que Δ τ ≃ (T₀ v)/(π c₀) ; en déduire…

Estimer le rapport des masses M_ du Soleil et M_J de Jupiter puis commenter, numériquement, l'écart entre les centres de ces deux référentiels (R_H) et (R_K).

On note v la vitesse de M ; sur un tour, c'est une fonction v(θ) de l'angle θ. Montrer que le mouvement est caractérisé par dv/dθ = 1/Hdu_θ/dθ où H est une constante positive que l'on précisera.

En déduire qu'on peut, sans perdre de généralité, choisir un vecteur constant e de norme e et dirigé selon (Oy) de sorte que H v = u_θ + e puis vérifier que la projection de cette relation sur u_θ…

Proposer, dans le cas de Mercure, une estimation numérique du rapport v_θ/c₀. En déduire une estimation de l'effet relativiste sur la rotation de Mercure, cumulé au bout d'un siècle. On pourra…

Exprimer la distance S F_b en fonction de r_sch et b. Calculer numériquement z₀ = S F₀. On exprimera cette distance en unités astronomiques et on la comparera au rayon de l'orbite de Neptune, qui…

Déterminer l'expression de l'énergie potentielle associée à la somme de la force gravitationnelle et de la force due à la pression de radiation subies par la sonde, en fonction de G, M_s, m, p_T…

Montrer que l'énergie potentielle effective admet un extremum si S est inférieure à une valeur limite S_lim. Tracer alors, sans justification, l'allure de l'énergie potentielle effective en fonction…

Exprimer l'énergie mécanique de la sonde juste après l'ouverture de la voile solaire. Expliciter la condition sur cette énergie mécanique pour que la sonde puisse atteindre l'infini. En déduire la…

Montrer que l'équation du mouvement se met sous la forme (d² ρ)/dτ² = -1/ρ² e_r + η/ρ² cos ² β u . On exprimera la constante réelle positive η en fonction des paramètres du problème. Proposer une…

Expliquer qualitativement pourquoi commencer à se rapprocher du Soleil conduit à une diminution du temps mis pour s'en éloigner. Aucun calcul n'est attendu pour répondre à cette question.

En utilisant l'équation (1), montrer que l'énergie mécanique E_m,tr du satellite sur l'orbite de transfert peut se mettre sous la forme : E_m,tr = -(GM_T m)/(R + R_c)

Exprimer la variation d'énergie mécanique ₘ = E_m,tr - E_m,alt nécessaire pour passer de l'orbite initiale à l'orbite de transfert. Commenter le signe de ₘ.

En justifiant la réponse, indiquer s'il faut accélérer ou freiner le satellite pour le transférer en P de l'orbite de transfert à l'orbite cimetière.

En considérant la Terre comme un corps de répartition de masse à symétrie sphérique, déterminer les composantes radiale F_r et orthoradiale F_θ de la résultante des forces extérieures s'appliquant…

Donner, pour une masse m évoluant sans voile solaire autour de la Terre suivant une trajectoire elliptique d'énergie Eₘ = cte, l'expression du rapport (|v|)/v_lib en fonction de Eₘ, m, G, M_T et de…

On considère la configuration où la sonde P est située dans le plan orbital (S, uₓ, u_y) de Jupiter et telle que S, P et J soient alignés dans cet ordre (figure 7). On cherche la distance r de la…

Pourquoi la vitesse v_j de la sonde est-elle nécessairement supérieure ou égale à sa vitesse de libération v_ℓ à la distance r_H (question Q30) ? Vérifier par une application numérique que c’est…

Dans le référentiel de l'ISS, le spationaute de masse m = 75 kg, toujours assimilé à son centre de gravité M, « flotte » sans bouger ni toucher les parois. Il est donc soumis uniquement à la force…

La condition de quantification de l'énergie ne suffit pas à spécifier complètement les orbites permises. Pour cela on rajoute une condition de quantification du moment cinétique, qui ne peut prendre…

On suppose que la trajectoire électronique est initialement dans le plan (x, y) avec un grand axe parallèle à x. Montrer que A précesse autour de L. Donner l'expression de la pulsation Ω_c de…

Interpréter la Figure 3.a. Pourquoi l'atome de Rydberg n'a-t-il pas de moment dipolaire permanent moyen ?

On rajoute à présent un faible champ extérieur perturbant lui aussi faiblement la dynamique trouvée aux questions précédentes. Montrer qu'à l'odre 1 en f, on peut écrire L = L₀ + L₁(t), avec L₁(t) =…

En quoi cette solution éclaire-t-elle le graphe de la Figure 3.b ?

En déduire que le dipôle électrique moyen de l'atome se met sous la forme = ε₀ α E₀.

Tracer, en la justifiant, l'allure de l'énergie potentielle effective r E_p,eff(r). Conclure sur la nature des mouvements possibles de la goutte et sur l'existence d'états de diffusion.

On s'intéresse au cas d'un mouvement circulaire de rayon r₀. Établir l'expression de la vitesse de la goutte autour de l'aiguille en fonction de q, λ, m et ε₀, indépendamment de r₀. Conclure sur la…

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Exprimer r et rθ en fonction de C, p, e et θ. En déduire r en fonction de p, e et θ et montrer que e < 1 pour un mouvement borné. Quelle est, dans ce cas et sans démonstration, la nature de la…

En utilisant par exemple la question précédente, montrer que T = I p³/²/√(Gm_A) où la constante I s'obtient par le calcul de l'intégrale I = ∫₀²π dθ/((1 + ecos θ)²).

Proposer l'écriture des lignes de code Python permettant le tracé de la figure 2 : courbe en trait plein puis mise en exergue d'une dizaine de valeurs régulièrement réparties pour 0 e 1/2. Note : on…

Sans soucis d'échelle, représenter sur un schéma unique l'ensemble des paramètres géométriques a₀, a₁, ℓ, α ci-dessus au moment de la mesure, lors d'une conjonction inférieure (le Soleil, la Terre…

En déduire la relation permettant de déterminer a₀ en fonction de T₀, T₁, ℓ et α.

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -G m dm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Exprimer dv/dθ et en déduire que v(θ) = C (u_θ + e)/p où e est une constante d'intégration et p un paramètre du mouvement qu'on exprimera en fonction de C, m_A et de la constante universelle de…

Exprimer r et rθ en fonction de C, p, e et θ. En déduire r en fonction de p, e et θ et montrer que e < 1 pour un mouvement borné. Quelle est, dans ce cas et sans démonstration, la nature de la…

En utilisant par exemple la question précédente, montrer que T = I p³/² / √(Gm_A) où la constante I s'obtient par le calcul de l'intégrale I = ∫₀²π dθ/((1 + ecos θ)²).

Proposer l'écriture des lignes de code Python permettant le tracé de la figure 2 : courbe en trait plein puis mise en exergue d'une dizaine de valeurs régulièrement réparties pour 0 ≤ e ≤ 1/2. Note…

Représenter sur un schéma unique l'ensemble des paramètres géométriques a₀, a₁, ℓ, α ci-dessus au moment de la mesure, lors d'une conjonction inférieure (le Soleil, la Terre et Mars sont alignés…

En déduire la relation permettant de déterminer a₀ en fonction de T₀, T₁, ℓ et α.

La valeur annoncée par CASSINI était α = 14'' (secondes d'angle). Est-elle compatible avec la relation ci-dessus ?

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -Gmdm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Pour le mouvement de L relativement à (R_g), on note fₑ la force d'inertie d'entraînement et fₑ = |fₑ| sa norme. On note de même f_T la force de gravitation exercée par la Terre et f_T = |f_T|…

Toujours pour le mouvement de L relativement à (R_g), on note f_S la force de gravitation exercée par le Soleil, fₘ = fₑ + f_S, fₘ = |fₘ| et Fₘ la valeur de fₘ dans le cas de l'alignement Soleil…

Comparer les vitesses v₁ = |v₁| et v₀ = |v₀| avant et après la descente. Estimer leurs valeurs numériques ainsi que celle de Δ v = v₁ - v₀.

Avec a_fr = 4· 10⁻⁵ m⁻², estimer, au moyen d'un bilan énergétique simplifié, la durée (en mois) nécessaire à la descente de h₁ jusqu'à h₀.

Sachant que τ = 7· 10⁻² s, estimer, en mois, la durée de la chute jusqu'au sol.

La station spatiale internationale (ISS) est en orbite circulaire à une altitude h_ISS ≃ 400 km. Que dire de sa durée de chute dans le même modèle ?

Par une analogie formelle soignée entre les champs électrostatique et gravitationnel, construire et énoncer le théorème de Gauss gravitationnel (analogue en gravitation du théorème de Gauss de…

À l'aide des graphes fournis figure 2 et de données numériques dûment justifiées, indiquer quel est le principal élément chimique qui subit l'échappement de Jeans. Conclure. De la même manière…

En utilisant le résultat de la question précédente, obtenir la relation donnant l'énergie mécanique Eₘ de l'astéroïde Patientia sur la trajectoire de Hohmann en fonction de son demi-grand axe a…

Si on suppose la vitesse initiale dirigée perpendiculairement au rayon vecteur, caractériser la trajectoire de l'électron dans l'atome.

Déterminer la distribution de masse volumique µ(r) pour la Terre dans ce modèle. L'exprimer en fonction de R_T, R₂ et µ₀ dans le noyau et en fonction de R_T, M_T et r dans le manteau.

Tracer l'allure de cette distribution de masse volumique µ(r) en précisant les valeurs numériques remarquables. Discuter les similitudes et les différences de ce modèle avec le profil de masse…

À l'aide du théorème de Gauss pour la gravitation, établir l'expression du champ de pesanteur à une altitude z, dont l'origine sera choisie au niveau du sol et l'axe orienté dans le sens des…

Entre les points M_n,2 et M_n,3, on admet que le moment résultant exercé sur le mobile est nul : son moment cinétique est donc conservé. En déduire la vitesse v_n,3 au point M_n,3 en fonction de g…

Les deux microcaméras de l'iss ont pour objectif d'enregistrer, lors d'un passage au-dessus d'un orage, la totalité de l'évolution d'un sylphe. Commenter la possibilité et la précision de ces…

Soit L(x, y, z) un point de Lagrange repéré par ses coordonnées dans (R). Justifier qualitativement que l'on a nécessairement z = 0. En considérant uniquement l'influence gravitationnelle du système…

Sans résoudre entièrement le système précédent, montrer que les points de Lagrange sont symétriques par rapport à l'axe (Ax).

Tracer sur un même graphique l'allure de V(r) dans la goutte (0 ≤ r ≤ a), d'indice n, puis dans l'air (r > a), dont l'indice sera pris égal à 1. On supposera Eb²/a² > (n² - 1)E. Commenter cette…

Écrire la fonction XY dont les arguments sont les listes T_sat et a_sat, qui retourne les tableaux de type numpy.ndarray, X et Y dans le tuple (X,Y).

Quelle(s) précaution(s) l'élève a-t-il oubliée(s) de prendre en écrivant la fonction XY, puis en écrivant le code décrit sur le document 3 ?

Expliquer pourquoi seuls 4 points semblent apparaître sur le graphique, alors que les 9 valeurs ont bien été entrées dans le code.

Écrire alors les instructions pour obtenir la masse M_T, l'incertitude-type associée u_M, ainsi que beta_sim et l'incertitude-type associée u_beta.

Définir un critère de compatibilité. Les résultats obtenus (valeur et précision) à partir des données de DATA sont-ils compatibles avec la valeur publiée ?

Exprimer la période T₁ du mouvement des deux composantes de l'étoile binaire en fonction de r, M et G. Application Numérique : Le système est formé de deux étoiles de même masse que le Soleil…

Si l'étoile binaire forme un système lié, justifier que son mouvement est périodique et déterminer l'expression de la période T₂ du mouvement en fonction notamment des deux masses et d'une longueur…

Quelle est la signification physique d'un minimum de l'énergie potentielle effective ? En déduire le rayon r et l'énergie E d'une trajectoire circulaire en fonction de σ, mₑ, ε₀ et e.

Au départ de l'orbite de la Terre, exprimer en fonction de V_T, a_M et a_T la vitesse V_T' que doit avoir le vaisseau sur sa trajectoire de transfert. En déduire la variation de vitesse Δ V_T = V_T'…

Exprimer puis calculer la durée Δ t du voyage jusqu'à l'orbite de Mars.

Quel doit être l'angle α₀ = θ_M(t = 0) - θ_T(t = 0) (Terre - Soleil - Mars) formé par les directions de Mars et de la Terre, vus du Soleil, au moment du lancement afin que Mars soit au rendez-vous à…

Dans l'hypothèse d'un problème survenu pendant le voyage aller nécessitant de ne pas explorer la planète, le vaisseau ne modifie pas sa vitesse lors du passage de l'orbite de Mars. Déterminer la…

Déterminer l'angle α₁ (Terre - Soleil - Mars) au moment du départ de Mars.

Placer sur la figure B du document réponse la position de Mars à l'arrivée du vaisseau.

Exprimer l'énergie mécanique E_M du vaisseau sur cette trajectoire en fonction de m, V_T et e.

En déduire la vitesse V_T'' que doit avoir le vaisseau au départ pour se placer sur sa nouvelle orbite, toujours en fonction de V_T et e.

Donner, en fonction de V_T et e, la variation de vitesse Δ V_T' = V_T'' - V_T qu'il faut communiquer au vaisseau pour le mettre sur sa nouvelle trajectoire de transfert. Calculer la valeur numérique…

a) Quelle énergie faut-il dans le référentiel géocentrique pour placer le satellite sur l'orbite circulaire de rayon a ? On l'exprimera avec le rayon de l'orbite a, le rayon de la Terre R_T, la…

Le satellite V (Voskhod), supposé ponctuel, a une orbite circulaire de rayon a autour de la Terre de centre C (figure 3). On appelle B le point qui se confond avec Baïkonour sur la surface de la…

Dans ses mémoires, Leonov dit : 1 - qu'il a commencé sa sortie à la fin de la première orbite, 2 - que c'est après une quinzaine de tours qu'ils ont commencé les manœuvres de retour. Pouvez-vous en…

En considérant le travail élémentaire des forces de gravitation lors d'une variation dV_ du volume de l'étoile, donner l'expression de la pression d'origine gravitationnelle.

Déterminer l'expression du rayon R_ de la naine blanche à l'équilibre en fonction de G, ħ, mₑ, m_p et M_. Sachant que 1/8((9π)²/³)/(1,7⁵/³) ≃ 1/2, et en prenant M = 10³⁰ kg, estimer l'ordre de…

Exprimer la variation d'énergie potentielle causée par l'accrétion d'un élément de masse m, initialement situé à très grande distance de l'objet compact, vers la surface de cet objet compact de…

Un calcul relativiste rigoureux conduit à estimer le rayon de la dernière orbite stable d'une particule gravitant autour du trou noir à Rₒ = 3R_s. Quelle est alors la plus petite échelle de temps de…

Exprimer g(M,i) en fonction de M et i. Calculer numériquement la valeur de g (en masses solaires) et en déduire une masse minimale pour l'objet compact central de GRS 1915+105. En déduire la nature…

A partir de tous les résultats obtenus estimer la valeur numérique de la masse de l'objet compact situé au cœur de GRS 1915+105.

En déduire par des analogies à préciser comment on passe du théorème de Gauss pour le champ électrostatique au théorème de Gauss pour le champ gravitationnel.

Exprimer l'anomalie gravitationnelle Δ g en fonction de G, H, ρ_p et ρ_s. Calculer Δ g. Donnée : H = 200 m.

Cette situation est la plus favorable à l'observation et porte le nom d'opposition de Jupiter. À l'aide des données fournies, évaluer la période de révolution sidérale T_J de Jupiter ainsi que la…

En utilisant les données, déterminer le demi-grand axe a de l'orbite elliptique de la sonde. Exprimer, sans justifier, Eₘ en fonction de a. En déduire une première équation liant la distance…

Expliquer alors pourquoi, contrairement à l'atmosphère terrestre, l'atmosphère de Jupiter peut être riche en dihydrogène ou hélium. On pourra comparer les valeurs des vitesses de libération de la…

Le satellite rentre dans l'atmosphère terrestre et est alors soumis à une force de frottement. Identifier les affirmations exactes. A) En moyenne sur une révolution, le satellite ralentit. B) Le…

Exprimer la force subie par un grain de matière situé en r + dans le référentiel du grain de matière situé en r, lui-même en chute libre, pour l'instant initial où la boule est de densité homogène…

On ne précisera plus par la suite la position particulière r du grain de matière dans le référentiel duquel on se place, et on repérera dans son référentiel les autres grains simplement par leur…

Quelle est la masse totale M_d du disque galactique (la contribution du bulbe n'est pas demandée) ? On calculera sa valeur numérique exprimée en masses solaires M_, en prenant Σ_d,0 = 750 M_⁻².

Un premier modèle pour décrire la répartition de masse du halo de matière noire est le modèle de Navarro-Frenk-White, qui introduit dans un cadre de symétrie sphérique la densité de masse suivante…

En utilisant les résultats de la figure 3, expliquer pourquoi le modèle de Navarro-Frenk-White permet de retrouver l'allure générale des courbes de rotations des galaxies NGC 3198 et NGC 2403…

Pour éviter que la masse totale du halo de matière noire soit infinie, on pose généralement que la densité de matière noire ρ_h tombe brutalement à zéro pour un rayon r = β R_h, où le facteur β…

Comparer également les ordres de grandeur des densités de matières visible et noire dans le système solaire, sachant que le Soleil se situe dans le disque galactique à une distance de l'ordre de 8…

On se place dans le disque galactique. En utilisant les résultats précédents, montrer que la distribution totale de matière (visible et noire) vérifie : ρ(r) = -1/(4π G)((∂ K_z)/(∂ z) - 1/r(∂…

En utilisant la méthode décrite dans cette partie, on peut estimer la densité de masse gravitante proche du Soleil à (0,076 ± 0,015) M_⁻³, à comparer à une densité de l'ordre de (0,043 ± 0,011) M_⁻³…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la planète P dans le référentiel d’étude, établir l’équation différentielle vérifiée par r.