Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2021

Le marteau est constitué du matériau de la naine blanche supposée homogène et sphérique. La masse volumique de ce matériau s'écrit :

Le volume du parallélépipède formant l'extrémité du marteau vaut :

La masse m_m du marteau est donc donnée par :

Avec les valeurs numériques fournies :

• M_{\star} = 1 \times 10^{30}\text{ kg},
• R_{\star} = 1 \times 10^4\text{ km} = 1 \times 10^7\text{ m},
• V_{\star} = \dfrac{4\pi}{3}(1 \times 10^7)^3 \simeq 4{,}2 \times 10^{21}\text{ m}^3,

on obtient la masse volumique :

D'où la masse du marteau :

En arrondissant à un chiffre significatif :

Thor possédant une morphologie humaine et son marteau étant muni d'un manche court, la hauteur typique sur laquelle il lève le marteau au-dessus du sol (ou du rocher) avant de frapper est de l'ordre de grandeur de l'allonge d'un bras, soit :

Dans le champ de pesanteur terrestre uniforme où g \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, la variation d'énergie potentielle de pesanteur du marteau de masse m_m \simeq 10^6\text{ kg} (déterminée à la question 1) lors de sa descente s'écrit :

L'application numérique donne, avec un seul chiffre significatif :

Commentaire : L'énergie cinétique acquise par le marteau lors de sa chute (sans même compter la force musculaire surhumaine éventuellement exercée par Thor pour accélérer le coup) est transférée au rocher lors de l'impact. Cette énergie de l'ordre de 10^7\text{ J} équivaut à celle libérée par l'explosion d'une dizaine de bâtons de dynamite concentrée au point d'impact. Il est donc tout à fait cohérent qu'un tel coup pulvérise instantanément les rochers les plus massifs.

Lors de la désexcitation d'un électron de l'atome d'hydrogène d'un niveau n \in \mathbb{N}^* (n > 1) vers le niveau fondamental n_1 = 1, la conservation de l'énergie s'écrit :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie du photon émis est liée à sa longueur d'onde dans le vide \lambda_n par \Delta E = \frac{h c}{\lambda_n}, d'où :

Calculons la constante \frac{h c}{E_0}, qui correspond à la limite de la série de Lyman (n \to \infty) :

Pour les premières transitions visibles sur le spectre de la figure 2 :

• Raie \text{Ly}\,\beta (n=3 \to 1) :

  \lambda_\beta = \frac{\lambda_\infty}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{8} \lambda_\infty \simeq \frac{9}{8} \times 91{,}0\text{ nm} \simeq 102\text{ nm}

• Raie \text{Ly}\,\gamma (n=4 \to 1) :

  \lambda_\gamma = \frac{\lambda_\infty}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{16}{15} \lambda_\infty \simeq \frac{16}{15} \times 91{,}0\text{ nm} \simeq 97\text{ nm}

Sur la figure 2, la raie marquée \text{Ly}\,\beta se situe précisément vers \lambda \simeq 103\text{ nm}, la raie \text{Ly}\,\gamma vers \lambda \simeq 97\text{ nm}, et l'accumulation des raies tend vers la limite de série à gauche autour de 91\text{ nm} - 92\text{ nm}.

L'accord est excellent :

Les raies de la série de Lyman correspondent aux transitions désexcitatrices depuis un niveau quantique initial n > 1 vers le niveau fondamental n_f = 1 :

• raie Ly \beta : transition n = 3 \to 1 ;
• raie Ly \gamma : transition n = 4 \to 1 ;
• raie Ly \delta : transition n = 5 \to 1.

D'après la formule de Bohr rappelée dans l'énoncé, l'énergie d'un photon émis lors de la transition n \to 1 s'écrit :

d'où l'expression de la longueur d'onde de la raie associée :

où \lambda_\infty = \frac{hc}{E_0} \simeq 91\text{ nm} représente la limite de la série de Lyman (n \to \infty).

Calculons les écarts en longueur d'onde entre raies consécutives :

On constate donc explicitement que :

Physiquement, comme les niveaux d'énergie de l'hydrogène varient en -1/n^2, l'écart entre niveaux successifs \Delta E_{n+1,n} = E_{n+1}-E_n \sim \frac{2E_0}{n^3} décroît très rapidement lorsque n augmente. Les raies d'émission se resserrent ainsi progressivement pour s'accumuler au voisinage de la longueur d'onde limite \lambda_\infty.

1. Origine de l'élargissement :

Cet élargissement est dû à l'effet Doppler thermique : les atomes d'hydrogène de l'atmosphère stellaire sont animés d'un mouvement d'agitation thermique aléatoire. Les atomes s'approchant ou s'éloignant de l'observateur émettent des photons dont la longueur d'onde perçue est décalée vers le bleu ou vers le rouge par effet Doppler-Fizeau. La superposition de ces contributions pour une distribution de vitesses produit une raie élargie de profil gaussien (comme observé sur la figure 3).

2. Relation entre \delta\lambda, \lambda et la température T :

Considérons un atome d'hydrogène de masse m_H \simeq m_p se déplaçant à la vitesse v_\parallel le long de la ligne de visée de l'observateur. Dans le cadre non relativiste (v_\parallel \ll c), le décalage Doppler de la longueur d'onde reçue par rapport à la longueur d'onde propre d'émission \lambda s'écrit :

L'hydrogène étant modélisé comme un gaz parfait à l'équilibre thermodynamique à la température T, la distribution des vitesses suit la loi de Maxwell-Boltzmann. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne associée au degré de liberté selon la ligne de visée vérifie :

La dispersion ou largeur typique \delta\lambda de la raie est donc directement reliée à la dispersion de vitesse thermique v_{\text{th}} par :

Soit, en isolant \delta\lambda :

où la caractéristique thermodynamique de l'étoile est la température T de son atmosphère.

Le noyau (proton), beaucoup plus lourd que l'électron (m_p \gg m_e), est supposé immobile à l'origine O du référentiel galiléen d'étude.

L'électron, de masse m_e et de charge -e, décrit une trajectoire circulaire de rayon r à la vitesse v. Il est soumis à la force électrostatique attractive exercée par le noyau de charge +e :

Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération est purement centripète : \vec{a} = -\dfrac{v^2}{r}\widehat{e}_r. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe radial donne :

L'énergie cinétique de l'électron s'écrit alors :

En choisissant une énergie potentielle nulle à l'infini, l'énergie potentielle électrostatique est :

L'énergie mécanique totale vaut donc :

D'après le postulat de Bohr, le moment cinétique scalaire L = m_e v r est quantifié selon :

En réinjectant cette expression dans la relation dynamique m_e v^2 r = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} :

On en déduit le rayon de l'orbite quantifiée associée à l'entier n :

L'énergie mécanique correspondante s'exprime ainsi :

Par identification avec E_n = -\dfrac{E_0}{n^2}, on obtient :

À température T fixée, la variable x est définie par :

En injectant cette relation dans la loi de Planck, la densité spectrale u s'écrit sous la forme :

La fonction \lambda \mapsto x(\lambda) réalise une bijection strictement décroissante de ]0, +\infty[ sur ]0, +\infty[, et sa dérivée :

ne s'annule en aucun point de ]0, +\infty[. Par dérivation d'une fonction composée :

Comme \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda} \neq 0, la condition d'extremum \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\lambda} = 0 équivaut rigoureusement à \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 0 (avec changement de signe traduisant le fait qu'un maximum en \lambda correspond à un maximum en x).

Calculons la dérivée de f par rapport à x pour x > 0 :

Pour x > 0, le facteur \frac{x^4 \mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x - 1)^2} est strictement positif. L'annulation de la dérivée conduit donc à l'équation transcendante :

(que l'on peut également écrire sous la forme \mathrm{e}^{-x} = 1 - \frac{x}{5}).

D'après la question Q7, l'extremum de la densité spectrale d'énergie u est atteint pour une valeur de x vérifiant l'équation implicite :

Pour x de l'ordre de quelques unités, le terme exponentiel décroissant \mathrm{e}^{-x} devient très rapidement négligeable devant 1 :

Sous cette approximation tout à fait raisonnable, l'équation se simplifie immédiatement en :

qui est bien une valeur entière.

Par définition du changement de variable introduit à la question Q7 :

On en déduit l'expression du produit \lambda_{\max} T au maximum du spectre :

D'après la figure 2, la courbe théorique de Planck (courbe continue ajustant le spectre d'émission) atteint son maximum pour une longueur d'onde :

En utilisant la loi de Wien sous la forme donnée par l'énoncé, \lambda_{\max} T \simeq 3\text{ mm}\cdot\text{K} = 3 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}, la température de surface T_s de la naine blanche LAWD 21 s'écrit :

Numériquement :

Avec un seul chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :