Feuille d'entraînement : Physique quantique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2025, Q23

   D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie E d'un photon associé à une onde monochromatique de fréquence \nu = \frac{c}{\lambda} dans le vide s'écrit :

   \boxed{E = \frac{h c}{\lambda}}

   Le photon ayant une masse propre nulle, la relation relativiste énergie-impulsion E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 se simplifie en E = p c. La norme p de sa quantité de mouvement (ou impulsion) est donc donnée par :

   \boxed{p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}}

   où h désigne la constante de Planck et c la célérité de la lumière dans le vide.

   Résultat

   $$E=\frac{hc}{\lambda }$$

   $$p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2025, Q25

   Considérons la collision élastique (réflexion spéculaire) d'un photon sur la voile parfaitement réfléchissante. Choisissons un repère orthonormé (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y) où \vec{e}_x est le vecteur unitaire normal au plan de la voile, dirigé dans le sens du faisceau réfléchi (vers l'arrière de la voile par rapport au flux incident).

   D'après la figure 10, le vecteur quantité de mouvement d'un photon incident s'écrit :

   \vec{p}_{\text{inc}} = p \cos\beta\,\vec{e}_x + p \sin\beta\,\vec{e}_y

   où p = \frac{h}{\lambda} d'après la question Q23.

   La réflexion étant parfaitement spéculaire, la composante tangentielle de la quantité de mouvement est conservée tandis que la composante normale est inversée :

   \vec{p}_{\text{réfl}} = -p \cos\beta\,\vec{e}_x + p \sin\beta\,\vec{e}_y

   La variation de quantité de mouvement subie par un photon lors du choc est donc :

   \Delta \vec{p}_{\text{photon}} = \vec{p}_{\text{réfl}} - \vec{p}_{\text{inc}} = -2 p \cos\beta\,\vec{e}_x

   Par principe des actions réciproques (ou par conservation de la quantité de mouvement totale du système isolé \{\text{voile} + \text{photons}\}), la quantité de mouvement transmise à la voile par un photon vaut :

   \delta \vec{p}_{\text{voile, 1}} = -\Delta \vec{p}_{\text{photon}} = 2 p \cos\beta\,\vec{e}_x

   Pendant la durée \delta t, le nombre de photons se réfléchissant sur la voile est \delta N. La variation totale de quantité de mouvement de la voile s'écrit donc :

   \delta \vec{p}_{\text{voile}} = \delta N \times \delta \vec{p}_{\text{voile, 1}} = 2 p \cos\beta\,\delta N\,\vec{e}_x

   En utilisant les expressions obtenues aux questions Q23 et Q24 (p = \frac{h}{\lambda} et \delta N = \frac{I_s \lambda S \cos\beta\,\delta t}{h c}), on obtient :

   \begin{aligned} \delta \vec{p}_{\text{voile}} &= 2 \left(\frac{h}{\lambda}\right) \cos\beta \times \left(\frac{I_s \lambda S \cos\beta\,\delta t}{h c}\right) \vec{e}_x \\ &= \frac{2 I_s \cos^2\beta}{c} S\,\delta t\,\vec{e}_x \end{aligned}

   La force moyenne exercée par les photons sur la voile est :

   \vec{F} = \frac{\delta \vec{p}_{\text{voile}}}{\delta t} = \frac{2 I_s \cos^2\beta}{c} S\,\vec{e}_x

   Cette force est proportionnelle à l'aire S de la surface et dirigée selon la normale \vec{e}_x. Elle s'identifie donc à une force de pression \vec{F} = p_r S \vec{e}_x, associée à la pression de radiation :

   \boxed{p_r = \frac{2 I_s \cos^2 \beta}{c}}

   Résultat

   $$p_r=\frac{2I_s{\cos }^2\beta }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2025, Q34

   L'énergie d'un photon associé aux rayons X de 40\text{ keV} s'exprime par :

   \mathcal{E} = 40 \cdot 10^3 \times e

   Avec e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ C} :

   \mathcal{E} = 40 \cdot 10^3 \times 1{,}60 \cdot 10^{-19} = 6{,}4 \cdot 10^{-15}\text{ J}

   \boxed{\mathcal{E} = 6{,}4 \cdot 10^{-15}\text{ J}}

   D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon est liée à sa fréquence \nu par \mathcal{E} = h \nu, d'où :

   \nu = \frac{\mathcal{E}}{h}

   Avec h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} :

   \begin{aligned} \nu &= \frac{6{,}4 \cdot 10^{-15}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}} \approx 9{,}7 \cdot 10^{18}\text{ Hz} \end{aligned}

   \boxed{\nu = 9{,}7 \cdot 10^{18}\text{ Hz}}

   La longueur d'onde dans le vide s'obtient alors par la relation fondamentale de propagation :

   \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{h c}{\mathcal{E}}

   Avec c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   \begin{aligned} \lambda &= \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{9{,}65 \cdot 10^{18}} \approx 3{,}1 \cdot 10^{-11}\text{ m} \end{aligned}

   \boxed{\lambda = 3{,}1 \cdot 10^{-11}\text{ m} = 31\text{ pm}}

   Résultat

   $$\mathcal{E}=6,4\cdot 10^{-15}\text{ J}$$

   $$\nu =9,7\cdot 10^{18}\text{ Hz}$$

   $$\lambda =3,1\cdot 10^{-11}\text{ m}=31\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 MP 2025, Q5

   D'après la relation établie à la question Q4, l'énergie d'une particule s'écrit :

   E = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}

   Pour un photon se déplaçant à la vitesse v = c, le dénominateur \sqrt{1 - v^2/c^2} s'annule. Afin que l'énergie E du photon reste finie, il est nécessaire que le numérateur s'annule également, soit :

   \boxed{m = 0}

   La masse au repos d'un photon est donc rigoureusement nulle.

   En injectant m = 0 dans la relation du triangle relativiste (1), il vient :

   E^2 = p^2 c^2 \implies E = p c

   puisque E > 0 et p > 0. En utilisant la relation de De Broglie (2), p = \dfrac{h}{\lambda}, on en déduit :

   \boxed{E = \frac{h c}{\lambda}}

   Pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide à la célérité c, la longueur d'onde et la fréquence sont reliées par \lambda = \dfrac{c}{\nu}, d'où :

   \boxed{E = h \nu}

   Applications numériques : On utilise la donnée h c \simeq 1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}.

   • Domaine bleu (\lambda_{\text{bleu}} \sim 400\text{ nm} = 0,40\ \mu\text{m}) :

     E_{\text{bleu}} = \frac{1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0,40\ \mu\text{m}} = \boxed{3{,}0\text{ eV}}

   • Domaine rouge (\lambda_{\text{rouge}} \sim 600\text{ nm} = 0,60\ \mu\text{m}) :

     E_{\text{rouge}} = \frac{1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0,60\ \mu\text{m}} = \boxed{2{,}0\text{ eV}}

   Résultat

   $$m=0$$

   $$E=\frac{hc}{\lambda }$$

   $$E=h\nu$$

   $$3,0\text{ eV}$$

   $$2,0\text{ eV}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MP 2025, Q8

   D'après la question précédente, l'énergie du photon émis lors de la transition d'un état n_i vers un état n_f < n_i s'écrit :

   \Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = \frac{H}{2}\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)

   La longueur d'onde de l'onde associée est liée à cette énergie par :

   \lambda = \frac{hc}{\Delta E}

   1. Cas de l'état final n_f = 1 :

   L'entier n_i vérifie n_i \geqslant 2. L'énergie de transition s'écrit :

   \Delta E = \frac{H}{2}\left(1 - \frac{1}{n_i^2}\right)

   Elle est minimale pour la plus petite valeur possible de n_i, soit n_i = 2 :

   \Delta E_{\min} = \frac{H}{2}\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{8}H = \frac{3}{8} \times 27{,}2 \simeq 10{,}2\text{ eV}

   La longueur d'onde étant inversement proportionnelle à \Delta E, il existe une longueur d'onde maximale :

   \lambda \leqslant \lambda_{\max} = \frac{hc}{\Delta E_{\min}}

   Avec hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} :

   \lambda_{\max} = \frac{1{,}2}{10{,}2} \simeq 0{,}12\ \mu\text{m} = 120\text{ nm}

   \boxed{\lambda \leqslant \lambda_{\max} \simeq 120\text{ nm}}

   Puisque \lambda \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm}, ces raies (série de Lyman) appartiennent au domaine de l'ultraviolet (UV).

   2. Cas de l'état final n_f > 2 (n_f \geqslant 3) :

   Pour tout n_f \geqslant 3 et n_i > n_f, la différence d'énergie est majorée par la limite d'ionisation n_i \to \infty pour le plus petit état final possible n_f = 3 :

   \Delta E = \frac{H}{2}\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right) < \frac{H}{2 n_f^2} \leqslant \frac{H}{2 \times 3^2} = \frac{H}{18}

   Numériquement :

   \Delta E_{\max} = \frac{27{,}2}{18} \simeq 1{,}51\text{ eV}

   Par conséquent, la longueur d'onde admet un minorant :

   \lambda \geqslant \lambda_{\min} = \frac{hc}{\Delta E_{\max}}

   Numériquement :

   \lambda_{\min} = \frac{1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{1{,}51\text{ eV}} \simeq 0{,}80\ \mu\text{m} = 800\text{ nm}

   \boxed{\lambda \geqslant \lambda_{\min} \simeq 800\text{ nm}}

   Puisque \lambda \geqslant 800\text{ nm} > 750\text{ nm}, l'ensemble de ces raies (séries de Paschen, Brackett, Pfund...) se situe dans le domaine de l'infrarouge (IR).

   3. Raies dans le domaine visible (raies de Balmer) :

   Le spectre visible s'étend typiquement entre 400\text{ nm} et 750-800\text{ nm}. Les transitions vers n_f = 1 sont exclusivement dans l'ultraviolet (\lambda \leqslant 120\text{ nm}) et celles vers n_f \geqslant 3 sont exclusivement dans l'infrarouge (\lambda \geqslant 800\text{ nm}).

   Par élimination, les raies de Balmer visibles correspondent nécessairement à :

   \boxed{n_f = 2}

   Résultat

   $$\lambda ⩽{\lambda }_{\max }\simeq 120\text{ nm}$$

   $$\lambda ⩾{\lambda }_{\min }\simeq 800\text{ nm}$$

   $$n_f=2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MP 2025, Q20

   1. Caractère stationnaire de l'état

   La fonction d'onde s'écrit sous forme à variables d'espace et de temps séparées :

   \underline{\Psi}(\vec{r},t) = \underline{\psi}(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar} \quad \text{avec} \quad \underline{\psi}(x) = \underline{\psi}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}p(E)x/\hbar}

   La densité de probabilité de présence de la particule vaut :

   \rho(x,t) = |\underline{\Psi}(\vec{r},t)|^2 = |\underline{\psi}_0|^2

   Cette densité est indépendante du temps t :

   \boxed{\text{L'état associé à cette fonction d'onde est stationnaire.}}

   2. Sens du mouvement de la particule

   La fonction d'onde peut s'écrire sous la forme d'une onde plane monochromatique :

   \underline{\Psi}(\vec{r},t) = \underline{\psi}_0 \exp\left[\mathrm{i}\left(\frac{p(E)}{\hbar}x - \frac{E}{\hbar}t\right)\right] = \underline{\psi}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t)}

   avec une pulsation \omega = \frac{E}{\hbar} > 0 et une composante d'onde k = \frac{p(E)}{\hbar} > 0.

   Les plans d'onde d'égale phase vérifient kx - \omega t = \text{cste}, soit :

   x(t) = \frac{\omega}{k}t + \text{cste}

   Comme \frac{\omega}{k} > 0, l'onde se propage dans le sens des x croissants.

   \boxed{\text{Le mouvement de la particule a lieu dans le sens des $x$ croissants (selon }+\vec{e}_x\text{).}}

   3. Vitesses de phase et de groupe

   À l'aide des relations fondamentales de la mécanique ondulatoire :

   \omega(E) = \frac{E}{\hbar} \quad \text{et} \quad k(E) = \frac{p(E)}{\hbar}

   la vitesse de phase est donnée par le rapport :

   v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{E/\hbar}{p(E)/\hbar}

   \boxed{v_\varphi = \frac{E}{p(E)}}

   La vitesse de groupe s'obtient en dérivant la pulsation par rapport au nombre d'onde :

   v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\frac{\mathrm{d}E}{\hbar}}{\frac{\mathrm{d}p}{\hbar}} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}E}(E)}

   En notant p'(E) = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}E}(E) la dérivée de p(E) par rapport à l'énergie E, on obtient :

   \boxed{v_g = \frac{1}{p'(E)}}

   Résultat

   $$\text{L’eˊtat associeˊ aˋ cette fonction d’onde est stationnaire.}$$

   $$\text{Le mouvement de la particule a lieu dans le sens des x croissants (selon }+{\vec{e}}_x\text{).}$$

   $$v_{\phi }=\frac{E}{p(E)}$$

   $$v_g=\frac{1}{p^{\prime }(E)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q16

   Le problème étant unidimensionnel selon la verticale locale Oz, le laplacien se réduit à \Delta \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}. L'équation de Schrödinger s'écrit donc :

   -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}(z,t) + V(z)\psi(z,t) = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(z,t)

   En injectant la forme à variables séparées \psi(z,t) = \phi(z)\zeta(t), on obtient :

   -\frac{\hbar^2}{2m} \phi''(z)\,\zeta(t) + V(z)\phi(z)\,\zeta(t) = i\hbar \phi(z)\,\zeta'(t)

   Pour les points et instants où \psi(z,t) \neq 0, divisons les deux membres par \phi(z)\zeta(t) :

   \frac{1}{\phi(z)}\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\phi''(z) + V(z)\phi(z)\right] = \frac{i\hbar}{\zeta(t)}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}t}(t)

   Le membre de gauche est une fonction exclusive de la variable spatiale z, tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de la variable temporelle t. Ces deux variables étant indépendantes, cette égalité impose que chaque membre soit égal à une même constante, homogène à une énergie, que l'on note E.

   On en déduit deux équations différentielles indépendantes :

   \begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}z^2} + V(z)\phi(z) &= E\,\phi(z) \quad \text{(équation de Schrödinger stationnaire)} \\ i\hbar\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}t} &= E\,\zeta(t) \end{aligned}

   L'équation différentielle du premier ordre portant sur \zeta(t) s'intègre immédiatement en :

   \zeta(t) = C\,\exp\left(-i\frac{E}{\hbar}t\right) \quad \text{avec } C \in \mathbb{C}

   En absorbant la constante multiplicative C dans la définition de \phi(z), la fonction d'onde s'écrit bien :

   \boxed{\psi(z,t) = \phi(z)\exp\left(-i\frac{E}{\hbar}t\right)}

   Justification de la réalité de E : Décomposons la constante E en parties réelle et imaginaire : E = E_r + i E_i avec (E_r, E_i) \in \mathbb{R}^2. La densité de probabilité de présence de la particule s'écrit alors :

   |\psi(z,t)|^2 = |\phi(z)|^2 \left|\exp\left(-i\frac{E_r + i E_i}{\hbar}t\right)\right|^2 = |\phi(z)|^2 \exp\left(\frac{2E_i}{\hbar}t\right)

   La probabilité totale de présence dans l'espace est conservée au cours du temps :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(z,t)|^2\,\mathrm{d}z = 0 \implies \frac{2E_i}{\hbar}\exp\left(\frac{2E_i}{\hbar}t\right)\int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(z)|^2\,\mathrm{d}z = 0

   L'intégrale spatiale étant strictement positive, on a nécessairement E_i = 0, soit :

   \boxed{E \in \mathbb{R}}

   Résultat

   $$\psi (z,t)=\varphi (z)\exp \left(-i\frac{E}{\hslash }t\right)$$

   $$E\in \mathbb{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q20

   À l'instant t = 2\tau, les centres des deux paquets d'ondes occupent la même position z = z_0 (question Q14). D'après le principe de superposition quantique, la fonction d'onde totale au point M_0 est la somme des fonctions d'onde associées à chacun des deux chemins :

   \psi(M_0) = \psi_1(M_0) + \psi_2(M_0)

   L'impulsion laser initiale à t = 0 sépare le paquet incident de manière équilibrée (séparatrice 50/50), et les deux bras sont symétriques quant aux interactions subies. Les deux fonctions d'onde ont donc la même amplitude au point M_0, notée \psi_a, et ne diffèrent que par leur phase spatiale \varphi_j(M_0) = \int_0^{z_0} k_j(u)\,\mathrm{d}u :

   \psi_1(M_0) = \psi_a \, \mathrm{e}^{i\varphi_1(M_0)} \quad \text{et} \quad \psi_2(M_0) = \psi_a \, \mathrm{e}^{i\varphi_2(M_0)}

   La fonction d'onde résultante s'écrit alors :

   \begin{aligned} \psi(M_0) &= \psi_a\,\mathrm{e}^{i\varphi_1(M_0)}\left(1 + \mathrm{e}^{i[\varphi_2(M_0) - \varphi_1(M_0)]}\right) \\ &= \psi_a\,\mathrm{e}^{i\frac{\varphi_1(M_0)+\varphi_2(M_0)}{2}}\left(\mathrm{e}^{-i\frac{\varphi}{2}} + \mathrm{e}^{i\frac{\varphi}{2}}\right) \\ &= 2\psi_a\,\mathrm{e}^{i\frac{\varphi_1(M_0)+\varphi_2(M_0)}{2}}\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \end{aligned}

   où \varphi = \varphi_2(M_0) - \varphi_1(M_0) est le déphasage défini par l'énoncé.

   La densité de probabilité de présence au point M_0 vaut donc :

   |\psi(M_0)|^2 = 4|\psi_a|^2 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)

   Le signal de fluorescence s étant proportionnel à cette densité de probabilité, il est de la forme :

   s = s_0 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{s_0}{2}(1 + \cos\varphi)

   Comme la fonction \cos^2(\varphi/2) varie entre 0 et 1, la constante multiplicative s_0 représente bien la valeur maximale du signal.

   On en déduit :

   \boxed{s = s_0\,f(\varphi) \quad \text{avec} \quad f(\varphi) = \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{1+\cos\varphi}{2}}

   Résultat

   $$s=s_{0}f(\phi )\text{avec}f(\phi )={\cos }^2\left(\frac{\phi }{2}\right)=\frac{1+\cos \phi }{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique MP 2024, Q1

   1. D'après les relations de Planck-Einstein et de De Broglie appliquées au photon (particule de masse propre nulle se déplaçant à la vitesse c dans le vide) :

      • l'énergie E du photon associé à une onde électromagnétique de fréquence \nu = \frac{c}{\lambda} s'écrit :

        \boxed{E = \frac{h c}{\lambda}}

      • sa quantité de mouvement \vec{p}, colinéaire et de même sens que le vecteur d'onde \vec{k} = \frac{2\pi}{\lambda}\vec{e}_z, vaut :

        \boxed{\vec{p} = \frac{h}{\lambda}\,\vec{e}_z}

   2. Pour un photon de lumière bleue de longueur d'onde \lambda = 475\text{ nm} = 475 \cdot 10^{-9}\text{ m} :

      E = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \times 3,00 \cdot 10^{8}}{475 \cdot 10^{-9}} \approx 4,19 \cdot 10^{-19}\text{ J}

      En exprimant cette énergie en électron-volts à l'aide de la charge élémentaire e = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} (1\text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ J}) :

      E = \frac{4,187 \cdot 10^{-19}}{1,6 \cdot 10^{-19}}\text{ eV} \approx 2,62\text{ eV}
      \boxed{E \approx 2,62\text{ eV}}

   Résultat

   $$E=\frac{hc}{\lambda }$$

   $$\vec{p}=\frac{h}{\lambda }{\vec{e}}_z$$

   $$E\approx 2,62\text{ eV}$$

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10. Exercice 10CCINP Physique MP 2024, Q2

    a) Ouverture angulaire à partir des relations d'incertitude de Heisenberg

    Considérons la direction transverse Ox, perpendiculaire à l'axe de propagation Oz du faisceau. En amont du diaphragme, les photons se propagent selon Oz avec une quantité de mouvement transverse nulle (p_x = 0).

    Le passage à travers le trou circulaire de rayon r (diamètre 2r) localise spatialement chaque photon dans le plan de l'écran, avec une incertitude spatiale de l'ordre de la dimension du trou :

    \Delta x \sim 2r

    D'après l'inégalité d'indétermination spatiale de Heisenberg, la composante de quantité de mouvement p_x vérifie :

    \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}

    Cette localisation spatiale impose une indétermination minimale non nulle sur la quantité de mouvement transverse :

    \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} > 0

    Les photons peuvent donc acquérir une composante transverse de quantité de mouvement p_x \neq 0, ce qui dévie leur trajectoire par rapport à l'axe Oz : il y a donc nécessairement une ouverture angulaire du faisceau.

    b) Ordre de grandeur de l'ouverture angulaire

    Pour des angles d'ouverture faibles (\theta \ll 1), la déviation angulaire s'exprime par le rapport des composantes de la quantité de mouvement :

    \theta \approx \frac{\Delta p_x}{p_z}

    D'après la question Q1.a, la quantité de mouvement totale selon l'axe est p_z = p = \frac{h}{\lambda}. En prenant en ordre de grandeur \Delta x \cdot \Delta p_x \sim h (ou \Delta p_x \sim \frac{h}{2r} avec \Delta x \sim 2r) :

    \theta \sim \frac{\frac{h}{\Delta x}}{\frac{h}{\lambda}} = \frac{\lambda}{\Delta x}

    En prenant \Delta x \sim 2r (diamètre du trou) :

    \boxed{\theta \sim \frac{\lambda}{2r}}

    (On peut également écrire \theta \sim \frac{\lambda}{r} selon que l'incertitude est prise égale au rayon ou au diamètre).

    Commentaires :

    • Plus l'ouverture est étroite (r \to 0), plus l'étalement angulaire \theta est important.
    • Lorsque la taille de l'ouverture est très grande devant la longueur d'onde (r \gg \lambda), l'angle \theta devient négligeable : on retrouve la propagation rectiligne de l'optique géométrique.

    Ce phénomène est la diffraction.

    Résultat

    $$\theta \sim \frac{\lambda }{2r}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question