Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2025

1. Évaluation graphique des trois temps caractéristiques :

• Oscillations rapides (\tau_1) : Sur un intervalle de 5\text{ jours} (par exemple entre les jours juliens moyens 57120 et 57125), on compte environ 10 oscillations complètes (deux maxima par jour). La période fondamentale des oscillations est donc :

  \boxed{\tau_1 \approx 0{,}5\text{ jour} \approx 12\text{ h}}

• Dissymétrie journalière (\tau_2) : Deux maxima consécutifs ne présentent pas la même amplitude (alternance d'un pic d'amplitude plus forte et d'un pic d'amplitude plus faible). Cette modulation se répète toutes les 24\text{ h}, d'où un deuxième temps caractéristique :

  \boxed{\tau_2 \approx 1\text{ jour} = 24\text{ h}}

• Modulation lente de l'enveloppe (\tau_3) : L'amplitude des oscillations subit une modulation temporelle nette :

  • des maxima d'amplitude (d'environ 1\,000\text{ nm}\cdot\text{s}^{-2}) sont atteints autour de \text{JJM} \approx 57122 et \text{JJM} \approx 57136 ;
  • des minima d'amplitude (oscillations presque amorties à moins de 200\text{ nm}\cdot\text{s}^{-2}) apparaissent vers \text{JJM} \approx 57129 et \text{JJM} \approx 57144.

  L'écart temporel entre deux maxima successifs d'amplitude vaut 57136 - 57122 \approx 14\text{ jours}. On en déduit :

  \boxed{\tau_3 \approx 14\text{ à }15\text{ jours}}

2. Origines physiques conjecturées :

• Pour \tau_1 \approx 12\text{ h} : C'est la période de la marée gravitationnelle semi-diurne. Le champ de marée gravitationnel exercé par un astre extérieur (principalement la Lune, et secondairement le Soleil) crée deux renflements symétriques (un vers l'astre, un à l'opposé). La rotation de la Terre sur elle-même amène le point M à traverser ces deux renflements en un jour, soit deux cycles par jour terrestre.
• Pour \tau_2 \approx 24\text{ h} : C'est la période de rotation propre de la Terre dans le référentiel géocentrique (T_M \approx 1\text{ jour}). L'axe de rotation de la Terre étant incliné par rapport au plan orbital de la Lune (et au plan de l'écliptique), l'observateur terrestre ne coupe pas les deux bourrelets de marée à la même latitude, ce qui induit une « inégalité diurne » (marée diurne).

• Pour \tau_3 \approx 14\text{ à }15\text{ jours} : Il s'agit du battement entre les contributions des marées lunaire et solaire, correspondant à un demi-mois synodique (période de syzygie à syzygie, d'environ 29{,}5/2 \approx 14{,}8\text{ jours}) :

  • lors des alignements Terre-Lune-Soleil (pleine lune et nouvelle lune), les effets se renforcent : ce sont les vives-eaux (amplitude maximale) ;
  • lors des quadratures (premiers et derniers quartiers), les effets s'opposent partiellement : ce sont les mortes-eaux (amplitude minimale).

• Référentiel galiléen : Un référentiel est dit galiléen (ou inertiel) si le principe d'inertie (première loi de Newton) y est vérifié : tout système isolé ou pseudo-isolé y est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne et uniforme.
• Référentiel de Copernic \mathscr{R}_0 : C'est le référentiel dont l'origine est le centre de masse du système solaire (souvent confondu en première approximation avec le centre du Soleil) et dont les trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.
• Référentiel géocentrique \mathscr{R}_g : C'est le référentiel dont l'origine est le centre de la Terre T et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic (pointés vers les mêmes étoiles lointaines). Il est donc en mouvement de translation (non rectiligne uniforme) par rapport à \mathscr{R}_0.

Par définition, les axes du référentiel géocentrique \mathscr{R}_g conservent des directions fixes par rapport à ceux du référentiel de Copernic \mathscr{R}_0. Le mouvement de \mathscr{R}_g par rapport à \mathscr{R}_0 est donc un mouvement de translation.

Un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen si et seulement si cette translation est rectiligne et uniforme, c'est-à-dire si l'accélération de son origine est identiquement nulle dans \mathscr{R}_0 :

Or, dans le référentiel de Copernic \mathscr{R}_0, le centre de la Terre T décrit une orbite quasi-circulaire de rayon d_{\mathrm{S}} autour du centre de masse du système solaire (proche du centre du Soleil), avec une période d'une année T_{\mathrm{S}} \approx 365{,}25\text{ jours} \approx 3{,}16 \times 10^7\text{ s}.

Cette trajectoire curviligne implique l'existence d'une accélération centripète non nulle, imprimée principalement par l'attraction gravitationnelle du Soleil :

Numériquement :

L'accélération de l'origine de \mathscr{R}_g n'étant pas nulle dans \mathscr{R}_0 :

1. Énoncé du théorème de Gauss gravitationnel

Le flux du champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}} à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est proportionnel à la masse intérieure M_{\text{int}} délimitée par cette surface :

où G est la constante de gravitation universelle et \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S.

2. Détermination du champ créé par l'astre (A)

• Symétries et invariances : La distribution de masse de l'astre (A) est à symétrie sphérique par rapport à son centre A. Tout plan passant par A et par le point M est un plan de symétrie de la distribution. Le champ \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) appartient à l'intersection de ces plans ; il est donc purement radial :

  \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) = \mathcal{G}(r)\,\vec{u}_r \quad \text{avec} \quad \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{AM}}{AM} \quad \text{et} \quad r = AM

  De plus, par invariance par rotation autour de A, la composante \mathcal{G}(r) ne dépend que de la distance radiale r.

• Surface de Gauss : On choisit pour surface fermée \Sigma la sphère de centre A et de rayon r = AM > R_{\mathrm{A}}. Le vecteur unitaire normal sortant est \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r.

• Calcul du flux :

  \Phi = \oiint_{\Sigma} \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \oiint_{\Sigma} \mathcal{G}(r)\,\mathrm{d}S = \mathcal{G}(r) \oiint_{\Sigma} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 \mathcal{G}(r)

• Masse intérieure et conclusion : Comme r > R_{\mathrm{A}}, toute la masse de l'astre est contenue à l'intérieur de \Sigma, soit M_{\text{int}} = m_{\mathrm{A}}. Le théorème de Gauss donne alors :

  4\pi r^2 \mathcal{G}(r) = -4\pi G m_{\mathrm{A}} \implies \mathcal{G}(r) = -\frac{G m_{\mathrm{A}}}{r^2}

On en déduit l'expression vectorielle du champ gravitationnel :

Dans le référentiel géocentrique \mathscr{R}_g :

• Le point M fixé à la surface de la Terre effectue une rotation complète en un jour sidéral :

  T_M \approx 1\text{ jour terrestre} \quad (\text{plus précisément } 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s} \approx 0{,}997\text{ j}).

• Le centre L de la Lune effectue une révolution autour de la Terre en un mois sidéral :

  T_L \approx 27{,}3\text{ jours terrestres} \quad (\approx 27\text{ à }28\text{ j}).

• Le centre S du Soleil décrit une trajectoire apparente circulaire uniforme en une année :

  T_S \approx 365{,}25\text{ jours terrestres} \quad (\approx 365\text{ j}).

La vitesse angulaire de rotation propre de la Terre s'écrit :

Avec T_M \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s} \approx 86\,164\text{ s} (ou en première approximation 1\text{ j} = 86\,400\text{ s}) :

Le référentiel de Copernic \mathscr{R}_0 étant supposé galiléen, le mouvement du centre de la Terre T est régi par l'attraction gravitationnelle exercée par les corps célestes extérieurs, ici l'astre (\mathrm{A}). Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la Terre dans \mathscr{R}_0 s'écrit :

Le référentiel géocentrique \mathscr{R}_g est en translation par rapport à \mathscr{R}_0, avec une vitesse angulaire de rotation nulle : \vec{\Omega}(\mathscr{R}_g/\mathscr{R}_0) = \vec{0}. La force d'inertie de Coriolis y est donc identiquement nulle (\vec{F}_{ic} = \vec{0}), et la force d'inertie d'entraînement subie par le point M de masse m s'écrit :

Dans le référentiel \mathscr{R}_g, le point M, lié à la Terre, effectue un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe (T, \vec{e}_z) à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega\vec{e}_z. Son accélération dans \mathscr{R}_g est son accélération centripète :

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse ponctuelle M dans le référentiel non galiléen \mathscr{R}_g. Les forces réelles appliquées sont la réaction du support \vec{R}, l'attraction de la Terre m\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M) et l'attraction de l'astre perturbateur m\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) :

En remplaçant \vec{F}_{ie} par son expression et en regroupant les termes :

Par identification avec la relation de définition de l'intensité de la pesanteur locale \vec{R} + m\vec{g} = \vec{0}, on obtient :

avec :

Le point M étant fixé à la surface de la Terre, il est immobile dans le référentiel terrestre \mathscr{R}_{\mathrm{T}}. Dans ce référentiel :

• le vecteur position \overrightarrow{TM} est constant au cours du temps ;
• la rotation de la Terre est supposée uniforme, donc le vecteur rotation \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z est également constant.

Le terme axifuge d'entraînement \vec{\gamma}_0 = -\vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \overrightarrow{TM}) est par conséquent rigoureusement constant au cours du temps en un lieu donné.

Il contribue en revanche, aux côtés du champ d'attraction terrestre \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M), à la valeur moyenne temporelle \bar{g} de la pesanteur locale (dont l'intensité dépend de la latitude du point M, étant maximale aux pôles et minimale à l'équateur).

D'après la question Q6, le champ de pesanteur en M s'écrit :

Comme établi à la question Q7, les termes gravitationnel terrestre \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M) et axifuge \vec{\gamma}_0 sont rigoureusement indépendants du temps pour un point M fixe à la surface de la Terre. En notant le champ moyen non perturbé :

où \vec{u} est le vecteur unitaire de la verticale locale descendante et g_0 = \|\vec{g}_0\| \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

Le terme de marée \vec{\gamma}_1 créé par l'astre (A) constitue une perturbation de très faible amplitude devant g_0 (\|\vec{\gamma}_1\| \sim 10^{-6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \ll g_0). L'intensité de la pesanteur s'exprime donc par un développement limité au premier ordre :

Or, le vecteur \vec{e}_r = \overrightarrow{TM}/R_{\mathrm{T}} est le vecteur unitaire radial ascendant (orienté du centre de la Terre vers l'extérieur). La verticale descendante est opposée à cette direction radiale (la déviation due au terme axifuge \vec{\gamma}_0 étant de l'ordre de 10^{-3}\text{ rad}, elle est tout à fait négligeable) :

Puisque la moyenne temporelle de \vec{\gamma}_1 au cours des révolutions de l'astre est nulle, on identifie la valeur moyenne temporelle \bar{g} à g_0. La variation temporelle \delta g_{\mathrm{A}} = g - \bar{g} s'identifie donc à la projection du terme de marée \vec{\gamma}_1 sur la verticale locale :

D'après la question Q4, le champ gravitationnel créé par l'astre (\mathrm{A}) en un point quelconque est dirigé vers le centre A :

Le champ différentiel de marée défini à la question Q6 s'écrit alors :

Exprimons la distance AM à l'aide du produit scalaire :

Au premier ordre en R_{\mathrm{T}}/d_{\mathrm{A}} \ll 1, la fonction (1 + u)^{-3/2} = 1 - \frac{3}{2}u + o(u) donne :

En reportant cette approximation dans l'expression de \vec{\gamma}_1 :

On identifie ainsi l'expression demandée \vec{\gamma}_1 = -\dfrac{G m_{\mathrm{A}}}{d_{\mathrm{A}}^3}(\overrightarrow{TM} + \mu \overrightarrow{TA}) avec :

D'après la question Q8, la composante de variation de pesanteur due à l'astre (\mathrm{A}) est \delta g_{\mathrm{A}} = -\vec{\gamma}_1 \cdot \vec{e}_r. En utilisant \vec{e}_r = \dfrac{\overrightarrow{TM}}{R_{\mathrm{T}}} :

D'où :

Ce qui conduit à :

Lorsque les vecteurs \overrightarrow{TM} et \overrightarrow{TA} sont colinéaires et de même sens, l'angle au centre vaut \Psi_{\mathrm{A}} = 0. Il en résulte \cos\Psi_{\mathrm{A}} = 1.

En injectant cette valeur dans l'expression de \delta g_{\mathrm{A}} établie à la question Q9 :

On en déduit la norme de la perturbation :

Application numérique pour la Lune : Avec G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}^{-1}, R_{\mathrm{T}} = 6{,}4 \times 10^6\text{ m}, m_{\mathrm{L}} = 7{,}3 \times 10^{22}\text{ kg} et d_{\mathrm{L}} = 3{,}8 \times 10^8\text{ m} :

Application numérique pour le Soleil : Avec m_{\mathrm{S}} = 2{,}0 \times 10^{30}\text{ kg} et d_{\mathrm{S}} = 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m} :

Rapport \kappa :

Commentaires :

• Ces variations sont minimes en valeur relative devant la pesanteur moyenne \bar{g} \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (de l'ordre de 10^{-7}\bar{g}), mais elles sont en accord quantitatif direct avec l'amplitude de quelques centaines à un millier de \text{nm}\cdot\text{s}^{-2} lue sur l'enregistrement expérimental de la figure 1.
• Bien que le Soleil soit environ 2{,}7 \times 10^7 fois plus massif que la Lune, l'effet de marée lunaire est plus de deux fois supérieur à l'effet solaire (\kappa > 1). La décroissance de l'effet de marée en 1/d^3 favorise en effet considérablement l'astre le plus proche : le rapport des distances au cube (d_{\mathrm{S}}/d_{\mathrm{L}})^3 \approx (395)^3 \approx 6{,}2 \times 10^7 compense et surpasse très largement le rapport de leurs masses.

D'après la question Q10, les seuls astres ayant une contribution notable sont la Lune (L) et le Soleil (S). Au premier ordre, les variations temporelles de pesanteur s'additionnent :

D'après la question Q9, la contribution d'un astre (A) s'écrit \delta g_{\mathrm{A}} = \frac{G m_{\mathrm{A}} R_{\mathrm{T}}}{d_{\mathrm{A}}^3}(1 - 3\cos^2\Psi_{\mathrm{A}}). En utilisant l'identité \cos^2\Psi_{\mathrm{A}} = \frac{1 + \cos(2\Psi_{\mathrm{A}})}{2}, la composante fluctuante (de moyenne temporelle nulle) s'exprime par :

(ou A_{\mathrm{A}} \approx \frac{2 G m_{\mathrm{A}} R_{\mathrm{T}}}{d_{\mathrm{A}}^3} selon l'amplitude maximale retenue à la question Q10).

Dans le modèle le plus simple où la Terre, la Lune et le Soleil sont dans le plan équatorial et décrivent des orbites circulaires, les angles varient à vitesse angulaire constante : \Psi_{\mathrm{L}}(t) = (\omega - \omega_{\mathrm{L}})t + \alpha_{\mathrm{L}} et \Psi_{\mathrm{S}}(t) = (\omega - \omega_{\mathrm{S}})t + \alpha_{\mathrm{S}}. En choisissant l'origine des temps t=0 lors d'un alignement Terre-Lune-Soleil (syzygie : pleine Lune ou nouvelle Lune, \alpha_{\mathrm{L}} = \alpha_{\mathrm{S}} = 0) :

avec \Omega_{\mathrm{L}} = 2(\omega - \omega_{\mathrm{L}}) et \Omega_{\mathrm{S}} = 2(\omega - \omega_{\mathrm{S}}). Comme \omega \gg \omega_{\mathrm{L}}, \omega_{\mathrm{S}}, ces deux pulsations sont très proches : \Omega_{\mathrm{L}} \approx \Omega_{\mathrm{S}} \approx 2\omega, ce qui correspond à la période semi-diurne \tau_1 \approx 12\text{ h}.

Cette superposition de deux signaux de fréquences voisines donne lieu à un phénomène de battement. L'amplitude des oscillations rapides est modulée dans le temps selon l'enveloppe :

L'enveloppe oscille entre une valeur maximale (vives-eaux, alignement) et une valeur minimale (mortes-eaux, quadrature) :

La période de modulation de cette enveloppe vaut :

1. Norme de la quantité de mouvement d'un photon

Pour un photon d'onde électromagnétique monochromatique de longueur d'onde \lambda_0, l'énergie est E_\gamma = h\nu = \frac{h c}{\lambda_0} et sa quantité de mouvement s'en déduit par la relation d'Einstein-de Broglie :

Application numérique : Avec h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et \lambda_0 = 7{,}8 \times 10^{-7}\text{ m} :

2. Quantité de mouvement thermique p_0

La variable p = m\vec{v}\cdot\vec{e}_z est la projection de la quantité de mouvement selon l'axe vertical Oz, qui constitue un unique degré de liberté cinétique translationnel. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie appliqué à l'équilibre thermique à la température T_0 :

D'où l'expression de la moyenne quadratique :

Application numérique : La masse de l'atome de rubidium vaut :

Avec k_B = 1{,}3 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} et pour une température de l'ordre du microkelvin, en prenant T_0 = 1{,}0\,\mu\text{K} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ K} :

3. Commentaires

• Ordre de grandeur comparé : On constate que l'impulsion lumineuse transférée par le photon et l'impulsion thermique sont du même ordre de grandeur :

  p_\gamma \sim p_0

  Si les atomes étaient à température ambiante (T \sim 300\text{ K}), l'impulsion thermique serait environ \sqrt{300/10^{-6}} \approx 1{,}7 \times 10^4 fois plus grande que p_0, de sorte que l'impulsion de recul p_\gamma communiquée par le laser serait totalement noyée dans la dispersion thermique des vitesses. Le refroidissement préalable au microkelvin est donc indispensable pour pouvoir séparer et manipuler de façon cohérente les paquets d'ondes.

• Vitesses mises en jeu : La vitesse de recul associée à l'absorption ou l'émission stimulée d'un photon vaut v_r = p_\gamma/m \approx 5{,}9\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}, et la vitesse thermique est de l'ordre de v_{\text{th}} = p_0/m \approx 9{,}5\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}. Ces vitesses sont extrêmement faibles, ce qui permet aux paquets d'ondes de rester dans la zone d'interaction laser durant des temps de vol macroscopiques (ici \tau = 50\text{ ms}).

On étudie le mouvement du centre de chaque paquet d'ondes, assimilé à une particule classique de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le bas par le vecteur unitaire \vec{e}_z, de sorte que \vec{g} = g\,\vec{e}_z.

Chaque particule n'étant soumise qu'au poids \vec{P} = m\vec{g}, le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Oz) s'écrit pour tout t \in [0, \tau] :

Par intégration entre 0^+ et t, la quantité de mouvement et la vitesse de la particule i \in \{1, 2\} vérifient :

La distance parcourue par la particule i au cours de la phase ⓐ (durée \tau) correspond au déplacement le long de l'axe (Oz) :

Avec les conditions initiales fournies à t = 0^+, à savoir p_1(0^+) = p_0 et p_2(0^+) = p_0 + p_\gamma, on obtient :

À la fin de la phase (a), à l'instant t = \tau^{-}, sous l'effet de l'accélération de la pesanteur g, les quantités de mouvement des paquets valent :

À l'instant t = \tau, l'impulsion laser augmente p_1 de p_\gamma et diminue p_2 de p_\gamma de façon quasi-instantanée :

Pour t \in [\tau, 2\tau], chaque particule est en chute libre selon l'axe vertical Oz avec \dot{p}_j = mg, soit :

La distance parcourue par la particule j \in \{1,2\} durant la phase (b) de durée \tau est donc :

En injectant les expressions de p_1(\tau^+) et p_2(\tau^+), on obtient :

En prenant l'origine des positions en z(0) = 0, la cote de chaque particule à l'instant t = 2\tau est donnée par la somme des distances parcourues lors des deux phases consécutives :

On constate ainsi que z_1(2\tau) = z_2(2\tau) : les centres des deux paquets d'ondes se recombinent bien exactement au même point à l'instant t = 2\tau, à la cote :

L'axe vertical Oz est orienté vers le bas par le vecteur unitaire \vec{e}_z. Le poids de la particule s'écrit donc :

Cette force dérive d'une énergie potentielle de pesanteur V(z) définie par :

Par intégration, avec la condition de référence V(0) = 0, on obtient :

La particule de masse m n'étant soumise qu'à son poids (force conservative), son énergie mécanique E est conservée au cours du mouvement. Elle s'exprime comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :

D'où la relation liant p(z), m, g, z et E :

ce qui s'écrit également :

Le problème étant unidimensionnel selon la verticale locale Oz, le laplacien se réduit à \Delta \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}. L'équation de Schrödinger s'écrit donc :

En injectant la forme à variables séparées \psi(z,t) = \phi(z)\zeta(t), on obtient :

Pour les points et instants où \psi(z,t) \neq 0, divisons les deux membres par \phi(z)\zeta(t) :

Le membre de gauche est une fonction exclusive de la variable spatiale z, tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de la variable temporelle t. Ces deux variables étant indépendantes, cette égalité impose que chaque membre soit égal à une même constante, homogène à une énergie, que l'on note E.

On en déduit deux équations différentielles indépendantes :

L'équation différentielle du premier ordre portant sur \zeta(t) s'intègre immédiatement en :

En absorbant la constante multiplicative C dans la définition de \phi(z), la fonction d'onde s'écrit bien :

Justification de la réalité de E : Décomposons la constante E en parties réelle et imaginaire : E = E_r + i E_i avec (E_r, E_i) \in \mathbb{R}^2. La densité de probabilité de présence de la particule s'écrit alors :

La probabilité totale de présence dans l'espace est conservée au cours du temps :

L'intégrale spatiale étant strictement positive, on a nécessairement E_i = 0, soit :

D'après la question Q16, l'équation de Schrödinger stationnaire 1D s'écrit :

En dérivant la forme d'onde proposée \phi(z) = \phi_0 \exp\left[\frac{i}{\hbar}\sigma(z)\right] :

En injectant \phi''(z) dans l'équation stationnaire et en simplifiant par \phi(z) \neq 0 :

On retrouve bien l'équation différentielle régissant \sigma (équation de Hamilton-Jacobi quantique) :

Injectons le développement de \sigma à l'ordre 1 en \frac{\hbar}{i} : \sigma(z) = \sigma_0(z) + \frac{\hbar}{i}\sigma_1(z) + o\left(\frac{\hbar}{i}\right). Les dérivées s'écrivent :

Au premier ordre en \hbar/i, le carré s'exprime par :

L'équation devient alors :

Comme \hbar/i = -i\hbar et que \sigma_0, \sigma_1, k sont réelles, la séparation en parties réelle et imaginaire impose :

Résolvons ce système différentiel :

• La première équation donne : \sigma_0'(z) = \pm \hbar k(z), d'où :

  \sigma_0(z) = \pm \hbar \int_0^z k(u)\,\mathrm{d}u + C_0 \quad (C_0 \in \mathbb{R}).

• En dérivant, \sigma_0''(z) = \pm \hbar k'(z), ce qui permet d'intégrer la seconde équation :

  \sigma_1'(z) = -\frac{\sigma_0''(z)}{2\sigma_0'(z)} = -\frac{\pm\hbar k'(z)}{2(\pm\hbar k(z))} = -\frac{k'(z)}{2k(z)} = -\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}[\ln k(z)].

  On en déduit : \sigma_1(z) = -\frac{1}{2}\ln k(z) + C_1 = \ln\left(\frac{e^{C_1}}{\sqrt{k(z)}}\right).

Reconstituons la fonction d'onde spatiale :

En posant la constante globale \Phi_0 = \phi_0 e^{C_1}e^{iC_0/\hbar}, on obtient :

Avec la dépendance temporelle e^{-i\frac{E}{\hbar}t}, la phase globale de l'onde s'écrit \Phi(z,t) = \pm \int_0^z k(u)\,\mathrm{d}u - \frac{E}{\hbar}t. L'axe Oz étant orienté vers le bas selon la direction de chute des atomes de rubidium, une onde progressive se propageant dans le sens des z croissants exige une phase de la forme k_{\text{eff}} z - \omega t. La solution physiquement acceptable pour décrire la chute est donc :

Dans le cas particulier où V = V_0 = \text{cste}, le vecteur d'onde est uniforme : k(z) = k_0 = \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}. L'intégrale se simplifie en \int_0^z k_0\,\mathrm{d}u = k_0 z. La fonction d'onde totale s'écrit :

Il s'agit d'une onde plane progressive monochromatique (OPPM) de pulsation \omega = E/\hbar se propageant vers les z croissants. Elle décrit une particule libre d'impulsion rigoureusement déterminée p = \hbar k_0 = \sqrt{2m(E-V_0)} et d'énergie cinétique E_c = E - V_0.

D'après la relation postulée par Louis de Broglie, la longueur d'onde de matière associée à une particule de quantité de mouvement p s'écrit :

Pour étudier sa variation spatiale, dérivons cette expression par rapport à z :

D'après la question Q15, la conservation de l'énergie mécanique de la particule s'écrit :

Par dérivation par rapport à z, avec E = \text{cte} :

En injectant cette relation dans la dérivée de la longueur d'onde, on obtient :

On en déduit l'expression du terme correctif intervenant dans la fonction d'onde à l'ordre 2 :

L'expression de la fonction d'onde tenant compte des termes d'ordre 2 est donnée par :

Comme \eta \ll 1, l'approximation d'ordre 1 pour \sigma est légitime si le terme correctif imaginaire est négligeable devant le terme d'ordre principal (égal à 1), soit :

ce qui se réécrit directement en fonction de \frac{\mathrm{d}\lambda_{\mathrm{dB}}}{\mathrm{d}z} :

D'après la question Q17, la relation locale entre quantité de mouvement et vecteur d'onde s'écrit p = \hbar k, soit k = p/\hbar. Dans le cadre de l'approximation \mathscr{A}_0, l'effet de la pesanteur sur k est négligé et les vecteurs d'onde sont fixés par leur valeur au début de chaque étape :

• Au début de l'étape ⓐ (t = 0^+), p_1(0^+) = p_0 et p_2(0^+) = p_0 + p_\gamma, d'où :

  \boxed{k_{1a} = \frac{p_0}{\hbar}} \quad \text{et} \quad \boxed{k_{2a} = \frac{p_0 + p_\gamma}{\hbar}}

• Au début de l'étape ⓑ (t = \tau^+), l'impulsion laser augmente p_1 de p_\gamma et diminue p_2 de p_\gamma. Sans considérer l'accélération gravitationnelle dans k, on a p_1(\tau^+) = p_0 + p_\gamma et p_2(\tau^+) = p_0, d'où :

  \boxed{k_{1b} = \frac{p_0 + p_\gamma}{\hbar}} \quad \text{et} \quad \boxed{k_{2b} = \frac{p_0}{\hbar}}

Le déphasage total s'écrit \varphi = \varphi_2(M_0) - \varphi_1(M_0) = \varphi_a^0 + \varphi_b^0, où :

• Pour l'étape ⓐ, le déphasage accumulé entre les paquets 2 et 1 s'écrit :

  \begin{aligned} \varphi_a^0 &= k_{2a} d_{2,a} - k_{1a} d_{1,a} \\ &= \frac{p_0 + p_\gamma}{\hbar}\left(\frac{p_0 + p_\gamma}{m}\tau + \frac{1}{2}g\tau^2\right) - \frac{p_0}{\hbar}\left(\frac{p_0}{m}\tau + \frac{1}{2}g\tau^2\right) \\ &= \frac{(p_0 + p_\gamma)^2 - p_0^2}{m\hbar}\,\tau + \frac{p_\gamma g \tau^2}{2\hbar} \end{aligned}

  Soit :

  \boxed{\varphi_a^0 = \frac{p_\gamma(2p_0 + p_\gamma)}{m\hbar}\,\tau + \frac{p_\gamma g \tau^2}{2\hbar}}

• Pour l'étape ⓑ, les paquets parcourent respectivement d_{2,b} et d_{1,b} :

  \begin{aligned} \varphi_b^0 &= k_{2b} d_{2,b} - k_{1b} d_{1,b} \\ &= \frac{p_0}{\hbar}\left(\frac{p_0}{m}\tau + \frac{3}{2}g\tau^2\right) - \frac{p_0 + p_\gamma}{\hbar}\left(\frac{p_0 + p_\gamma}{m}\tau + \frac{3}{2}g\tau^2\right) \\ &= -\frac{(p_0 + p_\gamma)^2 - p_0^2}{m\hbar}\,\tau - \frac{3p_\gamma g \tau^2}{2\hbar} \end{aligned}

  Soit :

  \boxed{\varphi_b^0 = -\frac{p_\gamma(2p_0 + p_\gamma)}{m\hbar}\,\tau - \frac{3p_\gamma g \tau^2}{2\hbar}}

En sommant les deux contributions, le terme dépendant de la vitesse initiale p_0 s'annule rigoureusement :

Comme p_\gamma = \frac{h}{\lambda_0} = \frac{2\pi\hbar}{\lambda_0} (question Q12), on a \frac{p_\gamma}{\hbar} = \frac{2\pi}{\lambda_0}, ce qui conduit à :

Application numérique :

À l'instant t = 2\tau, les centres des deux paquets d'ondes occupent la même position z = z_0 (question Q14). D'après le principe de superposition quantique, la fonction d'onde totale au point M_0 est la somme des fonctions d'onde associées à chacun des deux chemins :

L'impulsion laser initiale à t = 0 sépare le paquet incident de manière équilibrée (séparatrice 50/50), et les deux bras sont symétriques quant aux interactions subies. Les deux fonctions d'onde ont donc la même amplitude au point M_0, notée \psi_a, et ne diffèrent que par leur phase spatiale \varphi_j(M_0) = \int_0^{z_0} k_j(u)\,\mathrm{d}u :

La fonction d'onde résultante s'écrit alors :

où \varphi = \varphi_2(M_0) - \varphi_1(M_0) est le déphasage défini par l'énoncé.

La densité de probabilité de présence au point M_0 vaut donc :

Le signal de fluorescence s étant proportionnel à cette densité de probabilité, il est de la forme :

Comme la fonction \cos^2(\varphi/2) varie entre 0 et 1, la constante multiplicative s_0 représente bien la valeur maximale du signal.

On en déduit :

D'après la question Q19, dans l'approximation \mathscr{A}_0, le déphasage est proportionnel à l'accélération de la pesanteur :

Par différentiation, l'incertitude absolue \Delta \varphi requise pour atteindre une incertitude relative \frac{\Delta g}{g} s'écrit :

En utilisant les valeurs numériques des données de l'énoncé et de la question Q19 (|\mu| \approx 2{,}0 \times 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^2\cdot\text{m}^{-1} et g \approx \bar{g} \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}), le déphasage total vaut :

Pour une précision relative \frac{\Delta g}{g} = 10^{-9}, la précision minimale nécessaire sur la mesure du déphasage est :

Étudions à présent la sensibilité de la détection. Le signal s'écrit s(\varphi) = s_0 f(\varphi) avec, d'après la question Q20 :

Pour une faible variation \Delta \varphi, la variation de signal associée s'exprime au premier ordre par :

La plus petite variation de déphasage mesurable, compte tenu du seuil de détectabilité \Delta s, est donc :

La mesure est la plus précise lorsque \Delta \varphi_{\min} est minimale, c'est-à-dire là où la pente |f'(\varphi)| est maximale. Or :

Le maximum de |f'(\varphi)| vaut \frac{1}{2}, et il est atteint lorsque |\sin\varphi| = 1, soit pour :

Ces points correspondent aux points d'inflexion de la courbe f(\varphi), situés à « mi-frange » (f = 1/2).

D'après la question Q15, la particule évolue dans le potentiel de pesanteur V(z) = -mgz (avec V(0)=0). L'énergie mécanique est conservée au cours de la chute libre :

Pour le paquet j \in \{1,2\}, l'impulsion à z=0 (en t=0^+) est notée p_j(0^+), de sorte que :

En une cote intermédiaire u \in [0, d_{j,a}], la quantité de mouvement vérifie :

Comme le mouvement s'effectue vers le bas (p_j(u) > 0), la relation semi-classique (BKW) établie à la question Q17 donne le vecteur d'onde local :

La phase accumulée par le paquet j entre son départ en z=0 et sa position finale z = d_{j,a} à la fin de l'étape ⓐ s'écrit :

Calculons l'intégrale générale I(x,y) = \int_0^y \frac{1}{\hbar}\sqrt{x^2 + 2m^2gu}\,\mathrm{d}u pour une impulsion initiale x > 0 et une distance parcourue y > 0, à l'aide du changement de variable w = x^2 + 2m^2gu (d'où \mathrm{d}w = 2m^2g\,\mathrm{d}u) :

On reconnaît la fonction F(x,y) = K \left[ (x^2 + \nu y)^{3/2} - x^3 \right] introduite par l'énoncé, par identification des coefficients :

À la fin de l'étape ⓐ, les conditions initiales et les positions atteintes sont :

• pour le paquet 1 : x = p_1(0^+) = p_0 et y = d_{1,a}, soit \varphi_{1,a} = F(p_0, d_{1,a}) ;
• pour le paquet 2 : x = p_2(0^+) = p_0 + p_\gamma et y = d_{2,a}, soit \varphi_{2,a} = F(p_0 + p_\gamma, d_{2,a}).

Le déphasage \varphi_a entre les centres des deux paquets s'exprime donc bien sous la forme :

D'après la question Q12, l'impulsion thermique initiale vérifie p_0^2 = m k_B T_0. Le rapport demandé s'écrit donc simplement :

D'après la question Q13, la distance parcourue par le paquet 1 au cours de l'étape (a) est :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé (m = 85\,u = 1,45 \times 10^{-25}\text{ kg}, T_0 \sim 10^{-6}\text{ K}, \tau = 5,0 \times 10^{-2}\text{ s}, g \approx 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

• Le déplacement d'origine thermique vaut :

  \frac{p_0}{m}\tau = \sqrt{\frac{k_B T_0}{m}}\,\tau \approx \sqrt{\frac{1,3 \times 10^{-29}}{1,45 \times 10^{-25}}} \times 5,0 \times 10^{-2} \approx 9,5 \times 10^{-3} \times 5,0 \times 10^{-2} \approx 4,7 \times 10^{-4}\text{ m}

• La chute gravitationnelle vaut :

  \frac{1}{2}g\tau^2 \approx \frac{1}{2} \times 9,8 \times (5,0 \times 10^{-2})^2 = 1,23 \times 10^{-2}\text{ m}

Le terme de pesanteur domine largement, de sorte que :

On en déduit l'évaluation numérique du rapport :

Conclusion sur la légitimité de l'approximation \mathscr{A}_0 :

L'approximation \mathscr{A}_0 repose explicitement sur l'hypothèse que la variation d'énergie potentielle de pesanteur est négligeable devant l'énergie cinétique initiale de la particule (V(z) \ll E), ce qui revenait à négliger le terme 2m^2 g d_{1,a} devant p_0^2 dans la fonction F(x,y) de la question Q22.

Comme \frac{m^2 g d_{1,a}}{p_0^2} \gg 1, l'énergie gravitationnelle acquise par la particule lors de sa chute est environ mille fois supérieure à son énergie cinétique thermique initiale. Par conséquent, l'approximation \mathscr{A}_0 n'est pas légitime a priori.