Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2024

La distribution de charges positives est une boule de centre O et de rayon a_0, portant une densité volumique de charge \rho uniforme. Tout plan passant par l'origine O est donc un plan de symétrie pour cette distribution de charges.

Soit M un point de l'espace distinct de O, repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \phi) dans la base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\phi) où \overrightarrow{OM} = r\,\vec{u}_r. Considérons deux plans particuliers passant par M :

• le plan \Pi_1 = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta),
• le plan \Pi_2 = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\phi).

Ces deux plans contiennent la droite (OM) portée par le vecteur radial \vec{u}_r, ils passent donc tous deux par le centre de symétrie O. Par conséquent, \Pi_1 et \Pi_2 sont deux plans de symétrie de la distribution de charge.

Le champ électrostatique \vec{E}(M) étant un vecteur polaire, il appartient à tout plan de symétrie de la distribution passant par le point considéré :

Il est donc dirigé selon leur intersection :

Ainsi, les composantes orthoradiales sont nulles (E_\theta = 0 et E_\phi = 0), et le champ électrique s'écrit :

Le champ électrique engendré par la distribution de charge positive est donc purement radial.

La distribution de charges est modélisée par une boule de centre O et de rayon a_0 de densité volumique \rho uniforme, entourée de vide. Elle ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

Cette répartition est invariante par toute rotation autour du centre O :

• L'invariance par rotation d'angle quelconque autour de l'axe (Oz) implique que les grandeurs électrostatiques sont indépendantes de l'angle azimutal \phi :

  \frac{\partial \vec{E}}{\partial \phi} = \vec{0}

• L'invariance par rotation autour de tout axe passant par O orthogonal à (Oz) implique que le champ est indépendant de l'angle de colatitude \theta :

  \frac{\partial \vec{E}}{\partial \theta} = \vec{0}

Le champ électrique ne dépend donc ni de \theta, ni de \phi. En tenant compte du caractère radial établi à la question Q1, le champ électrique en tout point M(r,\theta,\phi) s'écrit sous la forme :

La distance radiale r est donc le seul paramètre pertinent pour caractériser le champ électrique.

Théorème de Gauss :
Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée \mathcal{S}_G, orientée vers l'extérieur par le vecteur unitaire \vec{n}_{\text{ext}}, est égal à la charge totale Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \mathcal{S}_G, divisée par la permittivité diélectrique du vide \epsilon_0 :

avec \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{n}_{\text{ext}}.

Application au modèle de Thomson (r < a_0) :

• Surface de Gauss : compte tenu des propriétés de symétrie et d'invariance établies en Q1 et Q2, le champ est de la forme \vec{E}(M) = E_r(r)\,\vec{u}_r. On choisit pour surface de Gauss \mathcal{S}_G la sphère de centre O et de rayon r < a_0. Le vecteur normal extérieur en tout point de \mathcal{S}_G est \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r, si bien que \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r.

• Calcul du flux :

  \Phi = \oiint_{\mathcal{S}_G} E_r(r)\,\vec{u}_r \cdot (\mathrm{d}S\,\vec{u}_r) = E_r(r) \oiint_{\mathcal{S}_G} \mathrm{d}S = E_r(r) \times 4\pi r^2

• Charge intérieure : la densité volumique de charge \rho étant uniforme dans la sphère atomique de rayon a_0, la charge totale s'écrit :

  Q = \rho \times \frac{4}{3}\pi a_0^3 \implies \rho = \frac{3Q}{4\pi a_0^3}

  Pour r < a_0, la charge contenue dans la sphère de rayon r est :

  Q_{\text{int}}(r) = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r}{a_0}\right)^3

D'après le théorème de Gauss :

Comme \vec{r} = r\,\vec{u}_r, on obtient finalement l'expression vectorielle du champ électrique à l'intérieur de l'atome :

L'électron, de charge -q_e et de masse m, se déplace à l'intérieur de l'atome (r < a_0). D'après le résultat de la question Q3 avec Q = +q_e, il subit la force électrique :

L'intensité de cette force varie de 0 au centre (r = 0) jusqu'à une valeur maximale à la périphérie (r = a_0) :

À une distance caractéristique de l'ordre du rayon atomique r \sim a_0, l'ordre de grandeur de la force électrique est :

Par ailleurs, le poids de l'électron a pour intensité :

On compare les deux interactions à l'aide de leur rapport :

Le poids de l'électron est donc totalement négligeable devant la force électrique dans tout le volume de l'atome (dès lors que r \gg 10^{-31}\text{ m}).

On étudie le mouvement de l'électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge -q_e, dans le référentiel d'étude supposé galiléen.

Le poids étant négligeable devant la force électrique (question Q4), l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique exercée par la distribution continue de charge positive :

où \vec{r} = \overrightarrow{OM}. Il s'agit d'une force centrale de centre O.

Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron par rapport au point fixe O dans le référentiel galiléen :

La force étant colinéaire au rayon-vecteur \vec{r}, le moment de la force en O est identiquement nul :

Le moment cinétique \vec{L}_O(t) = \vec{r}(t) \wedge m\vec{v}(t) est donc un vecteur constant au cours du temps, égal à sa valeur initiale :

Deux situations se présentent :

• Si \vec{L}_0 \neq \vec{0} (ce qui est le cas ici puisque \vec{v}_0 \neq \vec{0} et que \vec{v}_0 n'est pas colinéaire à \vec{r}_0, voir Q7), le produit scalaire \vec{r}(t) \cdot \vec{L}_0 = \left(\vec{r} \wedge m\vec{v}\right) \cdot \vec{r} = 0 montre que le vecteur position reste en permanence orthogonal au vecteur constant \vec{L}_0. La trajectoire est donc contenue dans le plan passant par l'origine O et perpendiculaire à \vec{L}_0 (plan défini par (O, \vec{r}_0, \vec{v}_0)).
• Si \vec{L}_0 = \vec{0}, le mouvement est rectiligne le long de la droite (O\vec{r}_0), ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

On étudie l'électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge -q_e, dans le référentiel d'étude galiléen lié à la sphère de charge positive.

Le poids étant négligé devant l'interaction électrostatique (d'après la question Q4), l'électron n'est soumis qu'à la force de Coulomb créée par la distribution de charge positive :

D'après la question Q3, avec Q = +q_e, le champ électrique régnant à l'intérieur de l'atome (r < a_0) est :

La force électrostatique subie par l'électron s'écrit donc :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

Dans le repère cartésien Oxy du plan du mouvement, le vecteur position s'écrit \vec{r} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y et le vecteur accélération s'écrit \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{x}\,\vec{u}_x + \ddot{y}\,\vec{u}_y.

La projection de l'équation du mouvement sur les axes Ox et Oy donne :

En divisant par la masse m, on obtient le système d'équations couplées par la pulsation :

avec :

Puisque le plan du mouvement est fixé (question Q5), choisissons le repère cartésien orthonormé Oxy de ce plan tel que :

• l'axe Ox soit colinéaire au rayon vecteur initial : \vec{r}(0) = r_0\,\vec{u}_x, soit x(0) = r_0 et y(0) = 0 ;
• la vitesse initiale \vec{v}_0, orthogonale à \vec{r}(0), soit dirigée selon l'axe Oy : \vec{v}(0) = v_0\,\vec{u}_y, soit \dot{x}(0) = 0 et \dot{y}(0) = v_0.

D'après la question Q6, les coordonnées de l'électron vérifient les équations d'oscillateurs harmoniques indépendants :

Les solutions générales s'écrivent :

Les conditions initiales déterminent les constantes d'intégration :

Les lois horaires du mouvement sont donc :

En éliminant le temps à l'aide de l'identité \cos^2(\omega_0 t) + \sin^2(\omega_0 t) = 1, on obtient l'équation cartésienne de la trajectoire :

La trajectoire de l'électron est donc une ellipse centrée en O, dont les axes de symétrie sont portés par Ox et Oy, de demi-axes respectifs r_0 et \frac{v_0}{\omega_0}.

La force électrique subie par l'électron à l'intérieur de la sphère positive s'écrit :

Cette force dérive d'une énergie potentielle E_p(r) telle que \vec{F} = -\vec{\nabla} E_p. En choisissant l'origine des potentiels au centre de l'atome (E_p(0) = 0), on obtient :

L'énergie mécanique de l'électron est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :

La force électrique étant la seule force non négligeable prise en compte (question Q4) et dérivant d'un potentiel indépendant du temps, l'énergie mécanique est une intégrale première du mouvement :

À chaque instant t, l'énergie cinétique étant nécessairement positive ou nulle (E_c(t) \geqslant 0), il vient :

En divisant par \frac{1}{2}m\omega_0^2, on en déduit :

L'électron reste à l'intérieur de l'atome tout au long de sa trajectoire si r(t) < a_0 pour tout t. Une condition suffisante est donc :

soit finalement :

D'après l'étude mécanique menée à la question Q6, l'électron effectue un mouvement harmonique isotrope dans le plan de sa trajectoire à la pulsation :

La fréquence f du mouvement de l'électron, et donc de l'onde électromagnétique rayonnée, vaut :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs données dans l'énoncé :

• e^2 = 2,3\cdot 10^{-28}\text{ J}\cdot\text{m} ;
• m = 9,1\cdot 10^{-31}\text{ kg} ;
• a_0 = 1,0\cdot 10^{-10}\text{ m}.

On obtient :

La longueur d'onde dans le vide de l'onde rayonnée est reliée à la célérité de la lumière c = 3,0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} par \lambda = \frac{c}{f} :

Cette longueur d'onde se situe dans la plage comprise entre 10\text{ nm} et 400\text{ nm} : elle appartient au domaine de l'ultraviolet (UV).

Considérons le système constitué d'une particule \alpha de masse m_\alpha, de charge q_\alpha = +2q_e et d'énergie cinétique \mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m_\alpha v_0^2, pénétrant en x = 0 à l'instant t=0 avec une vitesse \vec{v}_0 = v_0\,\vec{u}_x dans une feuille de mica d'épaisseur L.

On suppose qu'il règne dans le matériau un champ électrique transverse moyen supposé uniforme \vec{E}_\perp = E_\perp\,\vec{u}_y. Le poids de la particule est totalement négligeable devant la force électrostatique.

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, la deuxième loi de Newton s'écrit :

L'angle de déviation étant très faible (\theta_d \approx 2^\circ \ll 1\text{ rad}), la composante longitudinale de la vitesse reste sensiblement constante : v_x(t) \simeq v_0. Le temps de traversée de la feuille s'écrit ainsi :

La particule acquiert pendant cette traversée une quantité de mouvement transverse :

La déviation angulaire s'en déduit par :

En introduisant l'énergie cinétique initiale \mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m_\alpha v_0^2, il vient :

On en déduit l'expression du champ électrique transverse moyen :

Application numérique :

• \mathcal{E}_c = 5\text{ MeV} \implies \dfrac{\mathcal{E}_c}{q_e} = 5\cdot 10^6\text{ V}
• \theta_d \simeq 2^\circ = 2 \times \dfrac{\pi}{180}\text{ rad} \simeq 3{,}5\cdot 10^{-2}\text{ rad}
• L = 0{,}003\text{ cm} = 3{,}0\cdot 10^{-5}\text{ m} = 3{,}0\cdot 10^{-3}\text{ cm}

On trouve :

L'ordre de grandeur de 100 millions de volts par centimètre trouvé par Rutherford est donc parfaitement justifié.

D'après la question Q3, le champ électrique régnant à l'intérieur d'une sphère de rayon a_0 portant une charge totale positive uniformément répartie s'écrit :

Pour un atome d'or de numéro atomique Z, la charge positive totale de la sphère de Thomson vaut Q = +Z q_e. Le champ électrique créé à l'intérieur de l'atome est donc :

La particule \alpha, de charge q = +2 q_e, subit la force électrostatique :

en introduisant la notation de l'énoncé e^2 = \dfrac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}.

Dans le repère (Oxy) de la figure 1, le vecteur position de la particule \alpha se décompose sous la forme \vec{r} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y. Dans l'approximation d'une trajectoire rectiligne à la distance d'impact b de l'axe passant par le centre de l'atome, l'ordonnée de la particule reste constante et égale à y = b.

La composante de la force selon la direction transverse (axe Oy) s'obtient donc par projection :

soit finalement, avec y = b :

D'après l'énoncé, la trajectoire de la particule \alpha est assimilée à une droite d'ordonnée y = b parcourue à la vitesse v_0 selon la direction Ox, soit x(t) \simeq v_0 t.

La particule se trouve à l'intérieur de la sphère atomique de rayon a_0 tant que x^2 + y^2 \leqslant a_0^2, c'est-à-dire pour :

La distance totale parcourue au sein de l'atome est donc 2\sqrt{a_0^2 - b^2}, et la durée de la traversée vaut :

Comme l'interaction est nulle en dehors de l'atome et que, selon le résultat de la question Q11, la force transverse F_y = \frac{2Ze^2}{a_0^3} b est constante le long de cette trajectoire (puisque y = b = \text{cte}), le théorème de la quantité de mouvement appliqué selon l'axe transverse donne :

Pour déterminer la variation maximale, cherchons le maximum de la fonction g(b) = b\sqrt{a_0^2 - b^2} pour b \in [0, a_0]. En posant u = b^2 \in [0, a_0^2], la quantité sous la racine s'écrit :

Ce trinôme du second degré en u est maximal pour u = \frac{a_0^2}{2}, c'est-à-dire pour un paramètre d'impact :

La valeur maximale correspondante de g(b) est alors :

En réinjectant cette valeur dans l'expression de \Delta p_y, on obtient la variation maximale de la quantité de mouvement transverse :

La particule \alpha pénètre dans l'atome avec une quantité de mouvement selon la direction incidente Ox :

Au cours de la traversée, elle acquiert une quantité de mouvement transverse \Delta p_y = \Delta p_m. Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\delta\theta \ll 1), la déviation angulaire s'exprime par :

En injectant le résultat obtenu à la question Q12, \Delta p_m = \dfrac{2Ze^2}{a_0 v_0}, il vient :

L'énergie cinétique initiale de la particule \alpha étant \mathcal{E}_c = \dfrac{1}{2} m_\alpha v_0^2, soit m_\alpha v_0^2 = 2\mathcal{E}_c, on en déduit immédiatement :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• Z = 79 (pour l'or),
• e^2 = 2{,}3 \cdot 10^{-28}\text{ J}\cdot\text{m},
• a_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-10}\text{ m},
• \mathcal{E}_c = 5\text{ MeV} = 5{,}0 \cdot 10^6 \times 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 8{,}0 \cdot 10^{-13}\text{ J}.

Le diamètre d'un atome dans ce modèle est de l'ordre de 2a_0 = 2,0\cdot 10^{-10}\text{ m}. Le nombre de collisions atomiques successives subies par une particule \alpha traversant en ligne droite une feuille d'or d'épaisseur L = 1\;\mu\text{m} = 1,0\cdot 10^{-6}\text{ m} s'estime par :

(ou N \sim 10^4 si l'on prend l'échelle a_0).

En utilisant la valeur de la déviation élémentaire maximale obtenue à la question Q13 (\delta\theta \simeq 2,3\cdot 10^{-4}\text{ rad}), l'écart type de la déviation totale après N collisions vaut :

En degrés, cela représente :

En vertu du théorème central limite, la déviation totale résultant d'une somme de N \gg 1 déviations indépendantes et centrées suit une loi normale d'écart type \Delta\theta \sim 1^\circ. La probabilité d'observer une déflexion de plusieurs dizaines de degrés (par exemple \theta \ge 30^\circ, soit plus de 30 écarts types) est régie par le facteur gaussien \exp\left(-\frac{\theta^2}{2\Delta\theta^2}\right) \sim \mathrm{e}^{-450} \approx 0.

Il est donc rigoureusement impossible, dans le cadre du modèle du « plum pudding » de Thomson, d'observer des déviations importantes (et a fortiori des rétrodiffusions à 180^\circ).

On étudie la particule \alpha (masse m_\alpha, charge q = +2q_e) dans le référentiel du laboratoire galiléen, où le noyau cible de charge Q = +Z q_e est supposé immobile à l'origine O.

La force électrostatique exercée par le noyau sur la particule \alpha dérive de l'énergie potentielle coulombienne :

où l'on a posé e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0} conformément aux notations du sujet, avec l'origine des potentiels choisie à l'infini (E_p \to 0 lorsque r \to \infty).

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique E_m de la particule \alpha est constante au cours de son mouvement :

• À l'infini (r \to \infty), l'énergie mécanique se réduit à l'énergie cinétique initiale :

  E_m = \mathcal{E}_c

• Lors d'une collision frontale, la trajectoire est purement radiale. La particule ralentit sous l'effet de la répulsion électrostatique jusqu'à s'arrêter momentanément à une distance minimale d'approche r_{\min} (v = 0), avant d'être rétrodiffusée à 180^\circ. En ce point de rebroussement :

  E_m = E_p(r_{\min}) = \frac{2Ze^2}{r_{\min}}

Par conservation de l'énergie mécanique :

Puisque la particule \alpha ne pénètre jamais à l'intérieur de la distribution de charge positive du noyau tout au long de sa trajectoire, le rayon géométrique R_n du noyau est nécessairement inférieur ou égal à cette distance minimale d'approche (R_n \leqslant r_{\min}).

Le rayon maximal du noyau, noté r_0, correspond donc à la distance d'approche minimale :

D'après le résultat établi à la question Q15, la distance minimale d'approche lors d'une collision frontale élastique fournit une borne supérieure pour le rayon du noyau :

Pour une cible d'or (Z = 79) bombardée par des particules \alpha d'énergie cinétique \mathcal{E}_c = 40\text{ MeV} = 40 \cdot 10^6 \times 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 6,4 \cdot 10^{-12}\text{ J}, avec la valeur fournie e^2 = 2,3 \cdot 10^{-28}\text{ J}\cdot\text{m} :

(En utilisant la valeur atomique e^2 = 1,4\text{ eV}\cdot\text{nm}, on obtient r_0 = \frac{2 \times 79 \times 1,4 \cdot 10^{-9}}{40 \cdot 10^6} \simeq 5,5\text{ fm}.)

Le rayon du noyau d'or vérifie donc :

Commentaires :

• Échelle de taille : Le rayon de l'atome étant a_0 = 1,0 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 0,1\text{ nm}, le noyau est environ quatre à cinq ordres de grandeur plus petit que l'atome :

  \frac{r_0}{a_0} \simeq \frac{5,7 \cdot 10^{-15}}{1,0 \cdot 10^{-10}} \simeq 5,7 \cdot 10^{-5} \sim 10^{-4}
• Structure lacunaire de la matière : En volume, le noyau n'occupe qu'une fraction infime du volume atomique, de l'ordre de (r_0/a_0)^3 \sim 10^{-13}. La matière est donc essentiellement constituée de vide.
• Réfutation du modèle de Thomson : Contrairement à l'hypothèse de J. J. Thomson d'une charge positive uniformément répartie sur tout le volume de l'atome, la quasi-totalité de la masse et l'intégralité de la charge positive sont concentrées dans un volume extrêmement réduit au centre de l'atome.

Pour une onde localement plane et progressive se propageant dans le vide à la vitesse c dans la direction radiale portée par le vecteur unitaire \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{OM}}{\|\overrightarrow{OM}\|}, les champs électrique et magnétique sont reliés par :

En injectant l'expression du champ électrique de rayonnement fournie par l'énoncé :

on obtient immédiatement :

Comme le vecteur accélération se décompose en \vec{a} = (\vec{a}\cdot\vec{u}_r)\vec{u}_r + \vec{a}_\perp, on a \vec{u}_r \wedge \vec{a} = \vec{u}_r \wedge \vec{a}_\perp. L'expression vectorielle s'écrit donc aussi :

Dans le repère de la figure 2, où l'axe Oz est colinéaire à l'accélération (\vec{a} = a\,\vec{u}_z), la projection du vecteur unitaire \vec{u}_z = \cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta conduit à :

Les champs rayonnés s'expriment alors dans la base directe (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\phi) selon :

Dans le vide, le vecteur de Poynting s'exprime en fonction des champs électrique \vec{E}(M) et magnétique \vec{B}(M) par :

où \mu_0 désigne la perméabilité magnétique du vide (avec \epsilon_0 \mu_0 c^2 = 1).

Interprétation physique :

• Densité de flux d'énergie : le vecteur de Poynting représente la densité surfacique de puissance (ou vecteur densité de courant d'énergie électromagnétique). Son unité dans le Système international est le watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}).
• Direction de propagation : sa direction et son sens indiquent la direction et le sens de propagation de l'énergie transportée par le champ électromagnétique.

• Puissance traversant une surface : le flux du vecteur de Poynting à travers une surface orientée \mathcal{S} représente la puissance électromagnétique nette cédée par le champ à travers cette surface :

  \mathcal{P} = \iint_{\mathcal{S}} \vec{\Pi} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

D'après les questions Q17 et Q18, le champ électromagnétique rayonné présente une structure locale d'onde plane se propageant selon \vec{u}_r. Le champ magnétique s'écrit \vec{B}(M) = \frac{1}{c} \vec{u}_r \wedge \vec{E}(M) avec \vec{E}(M) \cdot \vec{u}_r = 0. Le vecteur de Poynting est donc radial :

car \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1.

En choisissant l'axe (Oz) colinéaire à l'accélération \vec{a}, l'angle polaire \theta vérifie (\vec{u}_z, \vec{u}_r) = \theta. La projection de l'accélération sur le plan perpendiculaire à \vec{u}_r s'écrit :

Le module du champ électrique vaut alors :

d'où l'expression de la norme du vecteur de Poynting :

La puissance totale rayonnée à travers une sphère \mathcal{S} de rayon r s'obtient par intégration du flux de \vec{\Pi} à travers l'élément de surface d\vec{S} = r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi \, \vec{u}_r :

En utilisant l'intégrale donnée par l'énoncé \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = \frac{4}{3}, il vient :

On étudie l'électron (masse m, charge -q_e) dans le référentiel lié au noyau (charge +q_e, supposé fixe et ponctuel à l'origine O). Ce référentiel est supposé galiléen.

L'électron subit la force d'interaction coulombienne exercée par le noyau :

où R est la distance électron-noyau, \vec{u}_r le vecteur unitaire radial dirigé du noyau vers l'électron, et e^2 = \dfrac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}.

Cette force conservative dérive de l'énergie potentielle :

avec la convention standard E_p(R \to \infty) = 0.

Le mouvement étant circulaire uniforme de rayon R à la vitesse v, l'accélération de l'électron est purement centripète radiale :

L'application du principe fondamental de la dynamique à l'électron projeté selon \vec{u}_r donne :

L'énergie cinétique de l'électron s'écrit donc :

L'énergie mécanique totale du système vaut alors :

D'après la question Q19, la puissance électromagnétique rayonnée par une particule de charge q = -q_e animée d'une accélération de module a s'écrit :

En utilisant la notation introduite par l'énoncé, e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}, soit \frac{q_e^2}{\epsilon_0} = 4\pi e^2, la puissance de Larmor s'exprime sous la forme :

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le référentiel d'étude galiléen. La seule force prise en compte est la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau de charge +q_e :

L'accélération de l'électron s'en déduit directement :

En reportant cette accélération dans l'expression de la puissance rayonnée, il vient :

ce qui conduit immédiatement à :

D'après la question Q20, l'énergie mécanique de l'électron sur son orbite quasi-circulaire de rayon moyen R(t) s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient :

Par conservation de l'énergie totale, la puissance rayonnée P sous forme d'ondes électromagnétiques est prélevée sur l'énergie mécanique de l'électron :

En utilisant l'expression de la puissance rayonnée établie à la question Q21, P = \frac{2}{3}\frac{e^6}{m^2 c^3}\frac{1}{R^4}, le bilan s'écrit :

En multipliant de part et d'autre par \frac{2R^4}{e^2}, on obtient directement :

D'après la question Q22, l'évolution du rayon moyen de l'orbite est régie par :

En remarquant que R^2 \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{3}\frac{\mathrm{d}(R^3)}{\mathrm{d}t}, l'équation se réécrit :

On intègre cette équation entre l'instant initial t = 0, pour lequel l'orbite a pour rayon R(0) = a_0, et l'instant t = \tau, correspondant à l'effondrement de l'électron sur le noyau où le rayon s'annule, R(\tau) = 0 :

On en déduit l'expression du temps de vie \tau de cet atome classique :

D'après la question Q23, le temps de vie de l'atome planétaire classique s'exprime par :

avec e^2 = 2,3 \cdot 10^{-28}\text{ J}\cdot\text{m}.

En effectuant l'application numérique avec les données de l'énoncé :

• m = 9,1 \cdot 10^{-31}\text{ kg} ;
• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• a_0 = 1,0 \cdot 10^{-10}\text{ m} ;
• e^2 = 2,3 \cdot 10^{-28}\text{ J}\cdot\text{m}.

Commentaires :

• Ce temps de vie caractéristique est extrêmement court : de l'ordre d'un dixième de nanoseconde (0,1\text{ ns}).
• Selon l'électrodynamique classique, l'électron devrait rayonner continûment son énergie et s'effondrer quasi-instantanément sur le noyau, ce qui rendrait tout édifice atomique totalement instable.
• Ce résultat est en contradiction flagrante avec l'observation quotidienne de la stabilité de la matière (l'atome d'hydrogène a une durée de vie infinie dans son état fondamental).
• Ce phénomène, appelé « instabilité radiative » ou « effondrement radiatif », marque une limite fondamentale de la physique classique à l'échelle microscopique et motive le passage à une description quantique (Partie B).

D'après l'interprétation probabiliste de Born, la quantité |\psi(\vec{r})|^2 représente la densité volumique de probabilité de présence de l'électron : la probabilité \mathrm{d}P de trouver l'électron dans un volume infinitésimal \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}^3\vec{r} centré en \vec{r} s'écrit

L'électron étant nécessairement présent dans l'espace, la probabilité totale vaut 1, ce qui impose la condition de normalisation :

La fonction d'onde s'annulant pour r > r_0 et étant constante égale à A pour r < r_0, l'intégration se restreint à la sphère de rayon r_0 :

On en déduit :

En choisissant la phase globale de la fonction d'onde nulle de sorte que A soit réel positif, on obtient bien :

La densité volumique de probabilité de présence de l'électron, établie à la question Q25, s'écrit :

Valeur moyenne de la position \langle \vec{r} \rangle : Par définition :

La densité volumique |\psi(\vec{r})|^2 est invariante par symétrie centrale par rapport à l'origine (parité paire sous l'inversion \vec{r} \to -\vec{r}), tandis que la fonction vectorielle \vec{r} est impaire. L'intégrale sur le domaine sphérique centré en O s'annule donc composante par composante :

Valeur moyenne du carré de la distance \langle \|\vec{r}\|^2 \rangle : Comme \|\vec{r}\|^2 = r^2 et que la densité ne dépend que de r, on intègre en coordonnées sphériques avec l'élément de volume radial \mathrm{d}^3\vec{r} = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r :

D'où :

Dispersion en position \Delta r : D'après la relation donnée par l'énoncé :

On en déduit immédiatement :

Par analogie directe avec la représentation spatiale où |\psi(\vec{r})|^2 représente la densité de probabilité de présence dans l'espace direct, la quantité |\chi(\vec{p})|^2 s'interprète comme la densité volumique de probabilité de mesure dans l'espace des impulsions (ou espace des quantités de mouvement).

Plus précisément :

• la quantité élémentaire de probabilité \mathrm{d}P(\vec{p}) de trouver une particule avec une quantité de mouvement située dans le volume infinitésimal \mathrm{d}^3\vec{p} = \mathrm{d}p_x\mathrm{d}p_y\mathrm{d}p_z autour de \vec{p} est donnée par :

  \boxed{\mathrm{d}P(\vec{p}) = |\chi(\vec{p})|^2\,\mathrm{d}^3\vec{p}}

• la certitude de trouver une valeur quelconque de \vec{p} se traduit par la condition de normalisation sur tout l'espace des quantités de mouvement :

  \iiint_{\mathbb{R}^3} |\chi(\vec{p})|^2\,\mathrm{d}^3\vec{p} = 1

1. Calcul de la constante B
La probabilité totale de trouver la particule avec une quantité de mouvement quelconque dans l'espace des impulsions vaut 1 :

La fonction d'onde étant nulle pour p > p_0 et uniforme de valeur B sur la sphère de rayon p_0, l'intégration en coordonnées sphériques dans l'espace des quantités de mouvement donne :

En choisissant B réel positif (à une phase globale près) :

2. Calcul de la dispersion en quantité de mouvement \Delta p
Par analogie avec la question Q26, la dispersion est définie par :

• Par symétrie centrale de la fonction d'onde \chi(\vec{p}) (invariance par l'inversion \vec{p} \to -\vec{p}), la valeur moyenne du vecteur quantité de mouvement est nulle :

  \langle \vec{p} \rangle = \iiint_{\mathbb{R}^3} \vec{p} \, |\chi(\vec{p})|^2 \, \mathrm{d}^3\vec{p} = \vec{0}

• La moyenne du carré du module s'obtient par intégration radiale :

  \begin{aligned} \langle \|\vec{p}\|^2 \rangle &= \int_0^{p_0} p^2 |B|^2 \, (4\pi p^2 \, \mathrm{d}p) \\ &= 4\pi B^2 \int_0^{p_0} p^4 \, \mathrm{d}p \\ &= 4\pi \left(\frac{3}{4\pi p_0^3}\right) \frac{p_0^5}{5} \\ &= \frac{3}{5} p_0^2 \end{aligned}

On en déduit immédiatement la dispersion en quantité de mouvement :

Les relations spatiales d'incertitude de Heisenberg s'écrivent pour chaque composante cartésienne :

À trois dimensions, l'ordre de grandeur de l'inégalité liant les dispersions globales en position et en impulsion est :

D'après les résultats des questions Q26 et Q28 :

Leur produit s'écrit donc :

L'état fondamental étant l'état de plus basse énergie compatible avec les lois de la mécanique quantique, les incertitudes doivent être minimales afin de saturer au mieux l'inégalité de Heisenberg. À l'ordre de grandeur près, on a donc :

Le noyau ponctuel portant la charge +q_e, situé à l'origine r=0, crée dans tout l'espace un potentiel électrostatique coulombien (en fixant l'origine des potentiels à l'infini) :

L'électron étant une particule de charge q = -q_e située à la distance r = \|\vec{r}\| du noyau, son énergie potentielle électrostatique s'écrit :

En introduisant la notation e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0} imposée par l'énoncé, on obtient :

D'après la question Q25, la fonction d'onde de l'électron est à support sphérique de rayon r_0 et sa constante de normalisation vérifie :

D'après la question Q30, l'énergie potentielle coulombienne de l'électron à la distance r du noyau s'écrit :

La valeur moyenne de cette énergie potentielle est donnée par :

Compte tenu de l'invariance par rotation du potentiel et de la fonction d'onde, l'intégration sur les angles (\theta, \phi) fournit l'angle solide total 4\pi, soit l'élément de volume radial \mathrm{d}^3\vec{r} = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r :

On obtient finalement :

Dans le cadre non relativiste, l'énergie cinétique d'une particule de masse m s'exprime en fonction de sa quantité de mouvement \vec{p} par :

Par linéarité de la moyenne, la valeur moyenne de l'énergie cinétique s'écrit :

D'après le résultat obtenu à la question Q28, la moyenne du carré de la quantité de mouvement vaut :

On en déduit immédiatement :

D'après la relation obtenue à la question Q29, en remplaçant le signe \sim par une égalité conformément aux consignes :

D'après le résultat de la question Q32, l'énergie cinétique moyenne de l'électron s'écrit :

L'énergie mécanique moyenne s'obtient par linéarité de la moyenne :

En utilisant l'expression de l'énergie potentielle moyenne obtenue à la question Q31, \langle E_p \rangle = -\frac{3}{2}\frac{e^2}{r_0}, il vient finalement :

D'après la question Q33, l'énergie mécanique moyenne de l'électron s'exprime en fonction de r_0 par :

L'état fondamental correspond à l'état de plus basse énergie. La valeur a_0 du paramètre r_0 qui minimise cette énergie est donc solution de :

En dérivant par rapport à r_0 :

L'annulation de la dérivée fournit :

La dérivée est négative pour r_0 < a_0 et positive pour r_0 > a_0, ce qui confirme qu'il s'agit bien d'un minimum d'énergie.

Le facteur préfactoriel valant \frac{10}{9} \simeq 1{,}1, il est de l'ordre de l'unité. À l'ordre de grandeur près, on obtient bien :

D'après l'expression issue de l'analyse dimensionnelle et de la minimisation de l'énergie à la question précédente :

Les données de l'énoncé sont :

• \hbar = 1{,}05 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s},
• m = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg},
• e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0} = 2{,}3 \cdot 10^{-28}\text{ J}\cdot\text{m}.

L'application numérique donne :

Commentaires :

• Ordre de grandeur physique : On retrouve exactement la valeur du rayon de Bohr du modèle quantique standard (a_0 \simeq 0{,}53\text{ \AA}). Cette valeur est en excellent accord avec le diamètre atomique introduit arbitrairement dans le modèle de Thomson (a_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-10}\text{ m} à la section I.B).
• Résolution du paradoxe de l'effondrement classique : Alors que l'électrodynamique classique prédisait un effondrement inéluctable de l'électron sur le noyau en un temps de l'ordre de 10^{-10}\text{ s} (question Q24), la mécanique quantique assure la stabilité de la matière.
• Origine physique de la stabilité : La compétition entre l'attraction coulombienne attractive (\langle E_p \rangle \propto -1/r_0) et l'énergie cinétique de confinement imposée par les relations d'inégalité de Heisenberg (\langle E_c \rangle \propto +1/r_0^2) crée un minimum d'énergie à distance finie non nulle du noyau.

La formule brute de la phtalocyanine est \mathrm{C_{32}H_{18}N_8}. Sa masse molaire s'exprime sous la forme :

Avec les données de l'énoncé :

La masse m d'une unique molécule de \mathrm{PcH_2} vaut alors :

Application numérique avec N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

On étudie la molécule de phtalocyanine, assimilée à un point matériel de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

On munit l'espace d'un repère orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_z) où :

• l'origine O coïncide avec le point de lancement des molécules ;
• l'axe horizontal Ox est orienté dans la direction du vecteur vitesse initiale \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x ;
• l'axe vertical Oz est orienté vers le haut, en sens opposé au champ de pesanteur : \vec{g} = -g \vec{u}_z.

Les conditions initiales à l'instant t = 0 s'écrivent :

La molécule n'est soumise qu'à son poids \vec{P} = m\vec{g}. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Par projection sur les axes, on obtient les accélérations :

Deux intégrations successives compte tenu des conditions initiales conduisent aux équations horaires :

La particule atteint la distance horizontale x = D à la date :

La déviation verticale h = z(t_D) à cette distance s'exprime donc par :

D'après la question Q37, la déflexion verticale s'écrit :

Le signe négatif traduisant une chute vers le bas, on a en module :

L'intervalle de déflexion sélectionné est h \in [-240, -160]\text{ }\mu\text{m}, ce qui correspond à |h| \in [160, 240]\text{ }\mu\text{m}.

Vitesse moyenne v_0 : Le centre de l'intervalle de déflexion est |h_0| = 200\text{ }\mu\text{m} = 2,00\cdot 10^{-4}\text{ m}. La vitesse moyenne correspondante est :

Avec les valeurs numériques fournies : D = 0,96\text{ m}, g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et |h_0| = 2,00\cdot 10^{-4}\text{ m} :

Dispersion en vitesse \Delta v : On peut évaluer la dispersion en calculant les vitesses aux bornes de l'intervalle sélectionné :

L'indétermination (demi-largeur de l'intervalle de vitesse) vaut alors :

De façon équivalente, par différentiation logarithmique de v_0 \propto |h|^{-1/2} :

soit \Delta v \simeq 0,10 \times 150\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 15\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après l'hypothèse de Louis de Broglie (1924), à toute particule matérielle possédant une quantité de mouvement p = \|\vec{p}\| est associée une onde de matière dont la longueur d'onde, dite longueur d'onde de de Broglie, est définie par :

où h est la constante de Planck et \hbar = \frac{h}{2\pi} la constante de Planck réduite.

Pour les molécules de phtalocyanine \mathrm{PcH}_2, la vitesse v_0 \simeq 150\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est très largement non relativiste (v_0 \ll c), de sorte que la quantité de mouvement s'écrit simplement :

où m est la masse d'une molécule obtenue à la question Q36, et v_0 la vitesse moyenne déterminée à la question Q38.

On en déduit l'expression de la longueur d'onde de de Broglie :

Application numérique : Avec les données fournies par l'énoncé et les résultats précédents :

• \hbar = 1{,}05\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• m \simeq 8{,}54\cdot 10^{-25}\text{ kg} (d'après Q36) ;
• v_0 \simeq 153\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q38, ou 150\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

Considérons deux fentes consécutives du réseau G, séparées d'une distance a, éclairées en incidence normale par le faisceau moléculaire incident. Les ondes de de Broglie associées aux molécules sont alors émises en phase au niveau de chaque fente.

Dans une direction repérée par l'angle \theta par rapport à la normale au plan du réseau, la différence de marche \delta entre les ondes issues de deux fentes successives s'écrit géométriquement :

Le déphasage correspondant entre ces deux ondes vaut :

Les interférences entre les ondes issues des différentes fentes du réseau sont constructives lorsque toutes les contributions interfèrent en phase, c'est-à-dire lorsque le déphasage est un multiple entier de 2\pi (\Delta\phi = 2k\pi), ce qui équivaut à :

On en déduit que les directions d'interférences constructives \theta_k vérifient la relation des réseaux :

En mécanique quantique, l'amplitude de l'onde de matière totale superposée détermine la fonction d'onde \psi sur le détecteur. La densité volumique (ou surfacique) de probabilité de présence des molécules étant donnée par |\psi|^2, les interférences constructives se traduisent directement par des maxima de probabilité d'impact des molécules sur l'écran, ce qui engendre les franges observées.