Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2020

Un dipôle électrostatique est constitué de deux charges électriques ponctuelles opposées, -q située en un point N et +q en un point P (avec q > 0), séparées par une distance d = NP.

Le moment dipolaire électrostatique de ce doublet est défini par le vecteur :

Par convention en physique, il est orienté de la charge négative vers la charge positive. Son unité dans le Système International est le coulomb-mètre (\text{C}\cdot\text{m}).

Plus généralement, pour une distribution localisée et globalement neutre de charges ponctuelles q_i situées aux positions P_i (\sum_i q_i = 0), le moment dipolaire électrostatique est défini par :

Cette grandeur est alors intrinsèque à la distribution, c'est-à-dire indépendante du choix de l'origine O.

Un exemple classique et fondamental de dipôle électrostatique permanent dans la nature est la molécule d'eau \mathrm{H_2O} (ou toute molécule polaire telle que le chlorure d'hydrogène \mathrm{HCl}).

Dans la molécule d'eau, la géométrie coudée (angle de liaison d'environ 104{,}5^\circ) et la différence d'électronégativité entre l'atome d'oxygène et les atomes d'hydrogène conduisent à un barycentre des charges partielles positives distinct de celui des charges partielles négatives.

Pour estimer son ordre de grandeur :

• la distance entre les centres de gravité des charges est de l'ordre des distances interatomiques : d \sim 10^{-10}\text{ m} (1\text{ \AA}) ;
• la charge partielle déplacée est une fraction de la charge élémentaire : q \sim 0{,}1\,e \sim 10^{-20}\text{ C}.

Le moment dipolaire permanent p = q\,d est donc de l'ordre de grandeur suivant :

Pour la molécule d'eau isolée, la valeur expérimentale est p_{\mathrm{H_2O}} \approx 6{,}2 \times 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m} (soit environ 1{,}85\text{ D}, où 1\text{ Debye} \approx 3{,}336 \times 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m}).

Soit d la dimension spatiale caractéristique du dipôle électrostatique, correspondant à la distance séparant les charges +q et -q (ou plus généralement à l'extension spatiale de la distribution de charges neutre).

Le point M est considéré à « grande distance » de l'origine O si la distance r = \|\overrightarrow{OM}\| est très supérieure à la dimension caractéristique d du dipôle :

À l'échelle atomique ou moléculaire, cela revient à se placer à une distance r très grande devant le rayon atomique ou la longueur de la liaison chimique (d \sim 10^{-10}\text{ m}).

D'après la figure 1, l'angle \theta correspond à l'angle entre le vecteur moment dipolaire \vec{p} et le rayon vecteur \overrightarrow{OM}. Le produit scalaire s'écrit donc :

où p = \|\vec{p}\| et r = \|\overrightarrow{OM}\|. L'expression du potentiel électrostatique en coordonnées sphériques devient :

Le potentiel présente une invariance par rotation autour de l'axe du dipôle (indépendance selon la coordonnée azimutale \varphi).

Le champ électrique dérive du potentiel selon la relation \vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(V). En utilisant l'expression du gradient en coordonnées sphériques fournie en fin de sujet :

On en déduit l'expression vectorielle du champ électrique créé par le dipôle au point M :

Les lignes de champ électrostatique d'un dipôle \vec{p} = p\,\vec{u}_z présentent les propriétés remarquables suivantes :

• Symétries : invariance par rotation autour de l'axe (Oz) porté par \vec{p} (symétrie de révolution) et antisymétrie par rapport au plan équatorial (xOy) ;
• Sens : le champ électrostatique est centrifuge dans le demi-espace z > 0 (près du pôle positif) et centripète dans le demi-espace z < 0 (près du pôle négatif) ;
• Directions remarquables : sur l'axe (Oz), le champ \vec{E} est parallèle à \vec{p} ; dans le plan équatorial (\theta = \pi/2), le champ est antiparallèle à \vec{p} ;
• Équation des lignes de champ : l'équation différentielle \frac{\mathrm{d}r}{E_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{E_\theta} s'intègre en r(\theta) = r_0 \sin^2\theta, où r_0 est la distance maximale à l'origine atteinte dans le plan équatorial.

1. Justification qualitative de la relation (I.1)

En l'absence de champ extérieur, l'atome est globalement neutre et présente une symétrie sphérique : le barycentre des charges positives (le noyau) coïncide avec celui des charges négatives (le nuage électronique). Le moment dipolaire permanent est donc nul.

Lorsqu'on applique un champ électrique extérieur \vec{E}_{\text{ext}} :

• le noyau (de charge positive +Ze) subit une force \vec{F}_+ = +Ze\,\vec{E}_{\text{ext}} dans le sens du champ ;
• les électrons (de charge totale -Ze) subissent une force \vec{F}_- = -Ze\,\vec{E}_{\text{ext}} dans le sens opposé.

Cette force sépare les barycentres respectifs G_+ et G_-, faisant apparaître un vecteur déplacement \overrightarrow{G_-G_+} de même sens que \vec{E}_{\text{ext}}. Le moment dipolaire induit vaut :

À l'échelle atomique, le champ extérieur appliqué est très faible devant le champ intra-atomique régnant au voisinage du noyau. On peut donc réaliser un développement limité au premier ordre : la séparation des charges, et donc le moment dipolaire induit, est proportionnelle au champ appliqué \vec{E}_{\text{ext}} :

On introduit la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 par commodité dimensionnelle, ce qui conduit bien à la relation linéaire :

2. Unité de \alpha dans le système international

Déterminons la dimension de \alpha à partir de la relation (I.1) :

Dans le système international d'unités :

• [p] = \text{C}\cdot\text{m} ;
• [\varepsilon_0] = \text{F}\cdot\text{m}^{-1} = \text{C}\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} ;
• [E] = \text{V}\cdot\text{m}^{-1}.

Le produit \varepsilon_0 E a donc pour dimension :

On en déduit :

3. Justification du signe positif de \alpha

Le barycentre des charges positives G_+ est déplacé dans le sens de \vec{E}_{\text{ext}} et celui des charges négatives G_- en sens opposé, le vecteur \overrightarrow{G_-G_+} est donc de même sens que \vec{E}_{\text{ext}}. Il en résulte que le moment dipolaire induit \vec{p}_{\text{ind}} = Ze\,\overrightarrow{G_-G_+} est colinéaire et de même sens que \vec{E}_{\text{ext}}.

Comme la permittivité du vide \varepsilon_0 est strictement positive, le coefficient de proportionnalité \alpha doit être positif :

D'un point de vue énergétique, cette orientation de même sens garantit que l'énergie potentielle électrostatique induite E_{\text{pot}} = -\vec{p}_{\text{ind}}\cdot\vec{E}_{\text{ext}} = -\alpha\varepsilon_0 E_{\text{ext}}^2 est négative, ce qui correspond bien à un état d'équilibre stable (abaissement d'énergie du système en présence du champ).

La sphère de centre O et de rayon a porte une charge +e uniformément répartie en volume, soit une densité volumique de charge :

La distribution présente une symétrie sphérique par rapport à O. En coordonnées sphériques de centre O, les invariances par rotation impliquent que le champ électrostatique créé en un point M s'écrit \vec{E}(M) = E(r)\,\vec{u}_r, avec r = \|\overrightarrow{OM}\| \leqslant a.

On applique le théorème de Gauss à une sphère de centre O et de rayon r \leqslant a :

• le flux du champ électrique à travers cette surface fermée orientée vers l'extérieur vaut :

  \Phi = \iint_{\Sigma} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \times 4\pi r^2

• la charge intérieure à la surface de Gauss est :

  Q_{\mathrm{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = e\,\frac{r^3}{a^3}

D'après le théorème de Gauss :

Soit, sous forme vectorielle :

L'électron, de charge q = -e, subit la force électrostatique :

Commentaires :

• Cette force est centrale et attractive : elle est dirigée vers le centre O de la sphère, qui constitue une position d'équilibre stable pour l'électron.
• Elle est directement proportionnelle à la distance au centre (\vec{F} = -k\,\overrightarrow{OM} avec k = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a^3}) : il s'agit d'une force de rappel harmonique, ce qui justifie a posteriori le modèle phénoménologique de l'« électron élastiquement lié ».

Dans le référentiel galiléen d'étude lié au centre O de la sphère, l'électron de charge q = -e, assimilé à un point matériel M, est soumis à deux forces électrostatiques :

• la force de rappel due à la distribution sphérique uniforme de charge positive, établie à la question Q7 :

  \vec{F}_{\text{int}} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\overrightarrow{OM} ;

• la force exercée par le champ électrique extérieur uniforme \vec{E}_{\text{ext}} :

  \vec{F}_{\text{ext}} = -e \vec{E}_{\text{ext}}.

À l'équilibre mécanique, la résultante des forces est nulle :

En notant M_{\text{éq}} la position d'équilibre de l'électron, on obtient :

ce qui conduit immédiatement à :

Le barycentre des charges positives de l'atome est situé au centre O de la sphère, tandis que la charge négative -e se trouve en M_{\text{éq}}. D'après la définition du moment dipolaire électrostatique (question Q1), le moment dipolaire induit s'écrit :

En utilisant l'expression de la position d'équilibre obtenue à la question Q8, \overrightarrow{OM}_{\text{éq}} = -\dfrac{4\pi\varepsilon_0 a^3}{e}\vec{E}_{\text{ext}}, il vient :

Par identification avec la relation (I.1), \vec{p}_{\text{ind}} = \alpha\varepsilon_0 \vec{E}_{\text{ext}}, on en déduit l'expression de la polarisabilité de l'atome :

Pour un atome d'hydrogène, la taille typique du rayon atomique est donnée par le rayon de Bohr :

On calcule alors :

Un ordre de grandeur de la polarisabilité atomique est donc :

Bien qu'un atome de rubidium soit globalement neutre et possède une symétrie sphérique en moyenne temporelle (\langle \vec{p} \rangle = \vec{0}), la répartition de son nuage électronique fluctue constamment :

• À un instant donné t, le barycentre des charges négatives ne coïncide pas exactement avec le noyau positif. Il apparaît alors un moment dipolaire instantané fluctuant \vec{p}_1(t) sur un premier atome.
• Ce dipôle instantané engendre un champ électrique \vec{E}_1(t) au niveau d'un deuxième atome voisin, situé à une distance x.
• Sous l'effet de ce champ, le deuxième atome acquiert par polarisation un moment dipolaire induit \vec{p}_2(t) = \alpha \varepsilon_0 \vec{E}_1(t).
• Les deux dipôles sont alors mutuellement corrélés : le dipôle induit \vec{p}_2(t) s'oriente dans le sens favorisé par le champ dipolaire \vec{E}_1(t), ce qui minimise l'énergie d'interaction (E_{\mathrm{pot}} = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E}_1 < 0).

Même si la moyenne temporelle de chaque moment dipolaire est rigoureusement nulle (\langle \vec{p}_1 \rangle = \vec{0} et \langle \vec{p}_2 \rangle = \vec{0}), la moyenne temporelle de l'énergie d'interaction ne l'est pas :

Il en résulte une interaction mutuelle attractive en moyenne, appelée interaction dipôle instantané – dipôle induit ou force de dispersion de London.

D'après le formulaire fourni en fin d'énoncé, l'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire \vec{p}_2 placé dans un champ électrique extérieur \vec{E}_1 s'écrit :

Les deux dipôles étant alignés selon l'axe (Ox), on a \vec{p}_2 = p_2 \, \vec{e}_x et le champ électrique créé par le premier dipôle au point O_2 d'abscisse x est dirigé selon cet axe : \vec{E}_1(x) = E_1(x) \, \vec{e}_x.

L'énergie potentielle ne dépend donc que de l'abscisse x du second dipôle :

La force s'exerçant sur le dipôle 2 dérive de cette énergie potentielle selon \vec{F}_{1/2} = -\vec{\operatorname{grad}}(E_{\mathrm{pot}}). Le problème étant unidimensionnel le long de l'axe (Ox), cette relation devient :

Le moment dipolaire \vec{p}_2 étant évalué en la position considérée, la dérivation spatiale porte sur le champ extérieur E_1(x) :

Le dipôle \vec{p}_1 = p_1 \vec{e}_x est situé en O_1. D'après la question Q4, sur l'axe du dipôle (\theta = 0 et \vec{u}_r = \vec{e}_x), le champ électrique créé en O_2 à la distance x s'écrit :

soit une composante algébrique E_1(x) = \dfrac{2 p_1}{4\pi\varepsilon_0 x^3}.

Sa dérivée par rapport à x vaut :

L'atome situé en O_2 acquiert sous l'action de ce champ un moment dipolaire induit donné par la relation (I.1) :

En utilisant le résultat de la question Q11, la force exercée par le premier dipôle sur le second s'écrit :

En présence de fluctuations dipolaires (forces de dispersion de London), on prend la moyenne temporelle de cette force, où intervient \langle p_1^2 \rangle > 0 :

Puisque \alpha > 0 (établi en Q6), \varepsilon_0 > 0 et \langle p_1^2 \rangle > 0, la constante K est strictement négative.

Le dipôle 1 étant placé en O_1 et le dipôle 2 en O_2 avec x > 0 le long de l'axe orienté par \vec{e}_x, la force exercée par le dipôle 1 sur le dipôle 2 s'écrit d'après la question Q12 :

Puisque K < 0, on a \vec{F}_{1/2} \cdot \vec{e}_x < 0. La force exercée sur le second atome est donc dirigée vers l'atome 1 (sens des x décroissants) :

Ce caractère attractif se prévoit sans calcul de deux manières équivalentes :

• Point de vue énergétique : le moment dipolaire induit \vec{p}_2 s'aligne spontanément sur le champ local \vec{E}_1 (\vec{p}_2 = \alpha\varepsilon_0 \vec{E}_1 avec \alpha > 0). L'énergie potentielle électrostatique associée s'écrit alors :

  E_p = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E}_1 = -\alpha\varepsilon_0 \|\vec{E}_1\|^2 \leqslant 0

  L'amplitude du champ \|\vec{E}_1\| augmentant lorsque la distance x diminue, l'énergie potentielle E_p devient d'autant plus basse que les deux atomes se rapprochent. Le système évoluant spontanément vers une minimisation de son énergie potentielle, il tend à réduire l'écartement x : l'interaction est nécessairement attractive.

• Point de vue microscopique : sous l'effet du champ créé par le premier dipôle, les charges du second atome sont polarisées de telle sorte que les charges de signe opposé se trouvent spatialement les plus proches l'une de l'autre. L'attraction coulombienne entre charges les plus rapprochées l'emporte toujours sur la répulsion entre charges de même signe plus éloignées, ce qui conduit à une force globale toujours attractive.

La force exercée par le premier dipôle sur le second est une force conservative qui dérive de l'énergie potentielle d'interaction E_p(x) :

D'après le résultat de la question Q12, \vec{F}_{1/2} = \dfrac{K}{x^7}\,\vec{e}_x, ce qui donne :

En intégrant entre une distance infinie (état de référence où E_p(\infty) = 0) et la distance x :

Comme établi à la question Q12, K < 0. En posant A = -\dfrac{K}{6} > 0, l'énergie potentielle d'interaction s'écrit :

En remplaçant K = -\dfrac{3\alpha\langle p_1^2\rangle}{4\pi^2\varepsilon_0}, la constante A s'exprime explicitement par :