Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2021

Dans une liaison covalente hétéronucléaire comme celle de la molécule de chlorure d'hydrogène (\mathrm{HCl}), les deux atomes présentent une différence d'électronégativité notable : le chlore est plus électronégatif que l'hydrogène (\chi_{\mathrm{Cl}} > \chi_{\mathrm{H}}).

Le doublet d'électrons liants est donc statistiquement déplacé vers l'atome de chlore. Il apparaît ainsi une charge partielle négative -\delta e sur l'atome de chlore et une charge partielle positive +\delta e sur l'atome d'hydrogène (avec \delta > 0). Le barycentre des charges positives G_+ et celui des charges négatives G_- ne coïncident plus (G_+ \neq G_-), conférant à la molécule un moment dipolaire électrostatique permanent.

Pour le dipôle modélisé sur la figure 1, constitué de la charge -q au point N et de la charge +q au point P avec \vec{NP} = a\,\vec{u}_z, le moment dipolaire électrique est défini par :

D'où l'expression :

(soit pour la norme algébrique introduite par l'énoncé : p_1 = q\,a).

L'approximation dipolaire consiste à se placer à une distance d'observation r = OM très grande devant la dimension caractéristique du dipôle a = PN :

Par principe de superposition, en choisissant l'origine des potentiels à l'infini, le potentiel électrostatique créé en M s'écrit :

Le point O étant le milieu du segment [NP], les positions des charges sont \vec{OP} = \frac{a}{2}\vec{u}_z et \vec{ON} = -\frac{a}{2}\vec{u}_z. On exprime la distance PM à l'aide du produit scalaire :

Au premier ordre en a/r, en négligeant le terme en a^2/(4r^2) :

De la même manière pour le point N, en remplaçant a par -a :

En effectuant la différence :

Comme p_1 = q a (d'après la question Q1), on obtient finalement :

D'après la question Q2, le potentiel électrostatique créé en M par le dipôle s'écrit :

En régime électrostatique, le champ électrique dérive du potentiel scalaire selon la relation :

En utilisant l'expression du gradient en coordonnées sphériques fournie en tête de sujet :

Le potentiel V_1 étant indépendant de la variable azimutale \varphi, la composante selon \vec{u}_\varphi est nulle. Calculons les deux autres composantes :

On en déduit l'expression du champ électrostatique :

Au point M, repéré par \theta = 0, le vecteur unitaire radial coïncide avec l'axe dipolaire : \vec{u}_r = \vec{u}_z. D'après l'expression établie à la question Q3, le champ électrostatique créé par la première molécule est :

Ce champ est colinéaire à l'axe (Oz) et orienté dans le même sens que \vec{p}_1.

Effet du couple de forces La molécule étant fixée en M, elle possède uniquement des degrés de liberté de rotation. Le couple de forces de moment :

a pour effet de faire pivoter la molécule de façon à aligner son moment dipolaire \vec{p}_2 parallèlement et de même sens que le champ local \vec{E}_1(M).

Orientation en équilibre stable L'énergie potentielle d'interaction s'écrit, en notant \alpha l'angle entre \vec{p}_2 et \vec{u}_z :

Les positions d'équilibre correspondent aux extremums de l'énergie potentielle :

Pour déterminer la stabilité, on étudie la dérivée seconde :

Comme p_2 > 0 et E_1(M) > 0 :

• pour \alpha = \pi : \dfrac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{12}}{\mathrm{d}\alpha^2} < 0, l'énergie potentielle est maximale, l'équilibre est instable ;
• pour \alpha = 0 : \dfrac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{12}}{\mathrm{d}\alpha^2} > 0, l'énergie potentielle est minimale, l'équilibre est stable.

D'après les résultats de la question Q4, lorsque les deux molécules sont alignées selon l'axe (Oz) dans leur configuration d'équilibre stable (\alpha = 0), les moments dipolaires sont parallèles et de même sens (\vec{p}_1 = \vec{p}_2 = p\,\vec{u}_z). Le champ créé par le dipôle 1 au point M s'écrit :

L'énergie potentielle d'interaction minimale s'exprime donc par :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs fournies :

• p = 1\text{ D} = 3,33\cdot 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m}
• \varepsilon_0 = 8,85\cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• r = 0,5\text{ nm} = 5,0\cdot 10^{-10}\text{ m}

Calculons l'énergie caractéristique d'agitation thermique à la température ambiante T = 293\text{ K} :

En comparant ces deux grandeurs :

Conclusion : L'énergie d'interaction dipolaire reste inférieure à l'énergie d'agitation thermique (|\mathcal{E}_{12}| < k_B T). À température ambiante, les chocs et l'agitation thermique suffisent à détruire spontanément l'alignement stable des dipôles, qui adoptent alors des orientations continuellement fluctuantes. Il est par conséquent indispensable de faire appel à une moyenne statistique sur les orientations (interaction de Keesom).

Effectuons tout d'abord l'application numérique pour déterminer l'ordre de grandeur de la constante de Keesom C_{\mathrm{K}} :

Avec les données de l'énoncé :

• p = 1\text{ D} = 3{,}33 \cdot 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m},
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1},
• k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1},
• T = 293\text{ K}.

On calcule le terme entre parenthèses :

Puis :

L'énergie potentielle d'interaction moyenne ne dépend que de la distance intermoléculaire r. En coordonnées sphériques, l'expression de la force exercée par la molécule 1 sur la molécule 2 s'écrit :

Comme C_{\mathrm{K}} > 0, la force \vec{F}_{1/2} est portée par -\vec{u}_r, c'est-à-dire dirigée vers le dipôle 1 situé en O. La force est donc bien attractive.

D'après l'énoncé, la grandeur f(D) représente une force surfacique, c'est-à-dire une force par unité de surface :

La distance D séparant les deux milieux solides est une longueur, donc [D] = \mathrm{L}.

En utilisant la relation donnée :

la dimension de la constante de Hamaker A s'écrit (le facteur numérique 6\pi étant sans dimension) :

Or, le produit d'une force par une longueur est homogène au travail d'une force, c'est-à-dire à une énergie :

En termes d'unités du Système International :

1. Estimation du pourcentage théorique de sétules

Chaque spatule est modélisée par un carré de côté c = 0{,}2\,\mu\text{m}, soit une surface :

La force d'adhérence exercée par une spatule située à la distance D du plafond vaut :

Le gecko dispose de N_{\text{sét, tot}} = 6\cdot 10^6 sétules, comportant chacune n_{\text{spat}} = 500 spatules. La surface totale de contact théorique est :

Si la totalité des spatules était en contact à la distance D, la force d'adhérence maximale théorique serait :

Le poids du gecko suspendu au plafond vaut :

Le pourcentage de sétules théoriquement nécessaire pour soutenir la masse de l'animal est donc :

2. Origine de l'adhérence et rôle du nombre élevé de sétules

• L'estimation théorique (\tau \approx 0{,}08\,\%) est du même ordre de grandeur que la valeur mesurée expérimentalement (0{,}04\,\%) : les interactions de Van der Waals suffisent amplement à expliquer la sustentation du gecko.

• En conditions réelles, le gecko mobilise certainement bien plus de sétules pour plusieurs raisons :

  • Rugosité du substrat : les surfaces réelles ne sont pas parfaitement planes à l'échelle nanométrique ; seules certaines spatules atteignent la distance optimale D = 1\text{ nm} ;
  • Dynamique du mouvement : lors de la marche ou de la course, le gecko doit compenser des forces d'inertie (accélérations, freinages), résister aux rafales de vent ou s'ancrer solidement face à d'éventuels prédateurs, ce qui impose une marge de sécurité considérable (facteur supérieur à 10^2 voire 10^3).

1. Modélisation, hypothèses et notations

• Système : le gecko, modélisé par un point matériel de masse m = 50\text{ g} = 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ kg}.
• Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un axe vertical (Oz) orienté vers le bas.
• Conditions initiales : le gecko lâche le plafond en z_0 = 0 avec une vitesse nulle (v_0 = 0).
• Phase 1 (chute libre) : sur une hauteur h = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}, le gecko est uniquement soumis à son poids \vec{P} = mg\vec{u}_z. Les frottements de l'air sont négligés au vu des faibles vitesses atteintes.

• Phase 2 (freinage) : le gecko s'agrippe à la paroi verticale à l'aide d'une seule patte sur une distance notée d. La patte exerce une force de cisaillement verticale ascendante (opposée au glissement), supposée constante :

  \vec{F} = - F \vec{u}_z \quad \text{avec} \quad F = \alpha F_{\text{max}}

  où F_{\text{max}} = 10\text{ N} et \alpha = 0{,}50 (soit F = 5{,}0\text{ N}). L'arrêt complet correspond à v_f = 0 à la distance totale parcourue h + d.

2. Bilan énergétique et calcul littéral

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique au gecko entre l'instant initial (lâcher, v_0 = 0) et l'instant final (arrêt complet, v_f = 0) :

Les forces travaillant sur l'ensemble du déplacement sont :

• Le poids \vec{P}, force motrice qui travaille sur la hauteur totale descendue h + d :

  W(\vec{P}) = mg(h + d)

• La force de cisaillement \vec{F}, force résistante qui ne travaille que sur la distance de freinage d :

  W(\vec{F}) = \vec{F} \cdot (d \vec{u}_z) = - F d

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit donc :

En regroupant les termes en d :

D'où l'expression littérale de la distance d'arrêt :

3. Application numérique

Les valeurs numériques données sont :

• m = 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ kg}
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• P = mg = 5{,}0\cdot 10^{-2} \times 9{,}81 = 0{,}49\text{ N}
• F = 0{,}50 \times 10 = 5{,}0\text{ N}
• h = 0{,}10\text{ m}

Il vient :