Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2021 (page 3/3 : Parties VI et VII)

a) Par définition, le moment dipolaire électrostatique \vec{p} associé au doublet de charges (la charge -q étant située en A et la charge +q en B) est donné par :

Sa norme vaut donc p = q\,d, où d = AB désigne la distance intercharges.

Puisque la charge électrique s'exprime en coulombs (\text{C}) et la distance en mètres (\text{m}), l'unité du moment dipolaire dans le Système International est le coulomb-mètre, noté \text{C}\cdot\text{m}.

b) À l'échelle microscopique, les charges partielles sont de l'ordre de grandeur de la charge élémentaire e \sim 10^{-19}\text{ C} (ou d'une fraction de celle-ci) et les distances interatomiques caractéristiques d'une liaison chimique sont de l'ordre de l'angström, soit d \sim 1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m}.

Le moment dipolaire microscopique typique est donc de l'ordre de grandeur de :

Trois échelles de longueur pertinentes interviennent dans l'étude du rayonnement dipolaire :

• d (ou d_{\text{max}}) : la dimension spatiale de la source (taille du dipôle) ;
• \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} = cT : la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique émis (avec T la période temporelle) ;
• r = OM : la distance du point d'observation M au centre du dipôle.

1. Hypothèse non relativiste et approximation dipolaire :

• Hypothèse non relativiste : la charge mobile a une vitesse de l'ordre de v \sim \omega d. L'hypothèse non relativiste impose v \ll c, soit \omega d \ll c, ce qui s'écrit :

  d \ll \frac{c}{\omega} \sim \lambda

• Approximation dipolaire (retards internes négligés) : le temps de transit de l'information électromagnétique au sein de la source, \tau_{\text{source}} \sim \frac{d}{c}, doit être négligeable devant le temps caractéristique d'évolution de la source, à savoir la période T = \frac{2\pi}{\omega}. Cela conduit également à :

  \frac{d}{c} \ll T \iff \boxed{d \ll \lambda}

2. Zone de rayonnement (ou zone d'onde) : Dans cette zone, la distance d'observation r est très grande devant la longueur d'onde émise :

À cette distance, les effets de propagation l'emportent sur les effets quasi-statiques : le terme en 1/r dans les champs devient dominant par rapport aux termes d'induction et quasi-statiques en 1/r^2 et 1/r^3. L'onde présente localement une structure d'onde plane progressive.

3. Approximation de source quasi-ponctuelle : Pour observer le rayonnement d'ensemble de la source et négliger les effets de géométrie locale, la distance d'observation doit être grande devant la taille de la source :

Cette condition est automatiquement assurée dès lors que les deux précédentes sont remplies.

En résumé, ces approximations se traduisent par la hiérarchie d'échelles de longueur :

a) Le flux d'énergie électromagnétique est décrit par le vecteur de Poynting instantané :

Dans la base sphérique orthonormée directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), on a \vec{e}_\theta \times \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r. En injectant les expressions des champs données par l'énoncé :

La puissance surfacique moyenne rayonnée à travers une sphère de rayon r centrée sur le dipôle correspond au flux moyen du vecteur de Poynting à travers la surface élémentaire orientée selon \vec{e}_r, soit :

La moyenne temporelle sur une période du carré d'une fonction cosinus vaut \langle \cos^2(\omega t - kr) \rangle = \frac{1}{2}. On obtient ainsi :

Cette expression est bien de la forme :

b) Par identification immédiate, la constante K s'écrit :

D'après la question Q33, la puissance surfacique moyenne rayonnée à une distance r du dipôle s'exprime par :

• Un rayonnement est dit isotrope si la puissance rayonnée est indépendante de la direction d'observation, c'est-à-dire si elle ne dépend d'aucune variable angulaire. Ici, P dépend explicitement de l'angle polaire \theta. Par conséquent, le rayonnement n'est pas isotrope.
• La fonction \theta \mapsto \sin^2(\theta) est maximale pour \sin(\theta) = 1, soit pour \theta = \frac{\pi}{2}\ [\pi].

Cette condition correspond aux points du plan perpendiculaire à l'axe d'oscillation du dipôle passant par l'origine. Le rayonnement est donc maximal dans le plan équatorial, à savoir le plan (xOy) :

a) Expression de la puissance moyenne totale rayonnée

La puissance moyenne totale rayonnée P_{\text{totale}} à travers une sphère \Sigma(O,r) de rayon r centrée à l'origine s'obtient en intégrant la puissance surfacique moyenne P définie à la question Q33 sur la surface de cette sphère, l'élément de surface orienté vers l'extérieur étant \mathrm{d}\vec{S} = r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_r :

En utilisant le résultat mathématique fourni en fin d'énoncé, \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^3(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}, il vient :

D'après la question Q33, K = \dfrac{\mu_0 p_0^2}{32\pi^2 c}. En injectant cette expression, on obtient la formule de Larmor pour un dipôle oscillant :

b) Signification physique de l'indépendance vis-à-vis de r

L'indépendance de P_{\text{totale}} par rapport au rayon r de la sphère d'intégration traduit la conservation de l'énergie :

• L'onde électromagnétique se propage dans un milieu (ici le vide ou l'air) non absorbant et linéaire, sans pertes par effet Joule ni sources de rayonnement en dehors de l'origine.
• En moyenne temporelle en régime sinusoïdal permanent, le théorème de Poynting sous forme locale s'écrit \mathrm{div}\langle\vec{\Pi}\rangle = 0 pour tout r > 0. D'après le théorème de Green-Ostrogradski, le flux moyen du vecteur de Poynting à travers toute surface fermée englobant le dipôle est donc strictement conservé : toute l'énergie émise par le dipôle se propage vers l'infini sans atténuation globale.

• Longueur d'onde de la lumière visible :
  Le domaine du spectre visible s'étend typiquement de \lambda \approx 400\text{ nm} (violet) à \lambda \approx 800\text{ nm} (rouge), soit une longueur d'onde moyenne de l'ordre de :

  \lambda \sim 500\text{ nm} = 5\cdot 10^{-7}\text{ m}.

• Taille des molécules diffusantes :
  L'atmosphère est principalement constituée de molécules diatomiques de diazote \mathrm{N}_2 et de dioxygène \mathrm{O}_2. La taille caractéristique de ces molécules (diamètre moléculaire ou longueur de liaison) est de l'ordre de quelques dixièmes de nanomètre (ou quelques angströms) :

  a \sim 0{,}2 \text{ à } 0{,}3\text{ nm} \sim 10^{-10}\text{ m}.

• Comparaison :
  Le rapport entre la dimension moléculaire et la longueur d'onde vaut :

  \frac{a}{\lambda} \sim \frac{10^{-10}\text{ m}}{5\cdot 10^{-7}\text{ m}} \sim 2\cdot 10^{-4} \ll 1.

La taille des molécules étant environ trois à quatre ordres de grandeur plus petite que la longueur d'onde de l'onde incidente :

La condition de diffusion de Rayleigh est donc parfaitement vérifiée.

L'énoncé fait référence à la question Q34, mais c'est l'expression de la puissance rayonnée issue de Q33 (ou la puissance totale de Q35) qui contient la dépendance spectrale responsable de la couleur du ciel.

D'après la question Q33, la puissance surfacique moyenne diffusée par un dipôle oscillant s'écrit :

Comme la pulsation \omega est reliée à la longueur d'onde dans le vide \lambda par \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, la puissance diffusée varie en loi de Rayleigh en l'inverse de la puissance quatrième de la longueur d'onde :

La lumière blanche émise par le Soleil est polychromatique et couvre l'ensemble du spectre visible, du bleu/violet (\lambda_{\text{b}} \approx 400\text{--}450\text{ nm}) au rouge (\lambda_{\text{r}} \approx 700\text{--}800\text{ nm}).

Le rapport des puissances diffusées entre l'extrémité bleue et l'extrémité rouge du spectre visible vaut :

Les courtes longueurs d'onde (bleu et violet) sont donc diffusées par les molécules de l'atmosphère avec une efficacité nettement supérieure à celle des grandes longueurs d'onde (rouge et orange).

Bien que le violet soit encore plus diffusé que le bleu, le spectre solaire d'émission décroît vers le violet et la sensibilité de l'œil humain est maximale dans le vert et faible dans le violet ; la combinaison de ces facteurs explique que le photographe perçoit le ciel diffusant de couleur bleue.

1. Polarisation rectiligne de la lumière diffusée :

   • Les rayons du soleil se propagent selon l'axe (Ox) : le vecteur d'onde incident est colinéaire à \vec{e}_x.

   • La lumière étant une onde électromagnétique transverse, le champ électrique incident \vec{E}_{\text{inc}} est situé dans le plan orthogonal à la direction de propagation, c'est-à-dire le plan (yOz) :

     \vec{E}_{\text{inc}}(t) = E_y(t)\,\vec{e}_y + E_z(t)\,\vec{e}_z
   • Chaque molécule d'air située sur la ligne de visée (le long de l'axe Oy, en arrière-plan du point A) acquiert un moment dipolaire induit \vec{p}_i = \alpha \vec{E}_{\text{inc}} = p_y \vec{e}_y + p_z \vec{e}_z.
   • Le photographe, situé en O, observe ces molécules selon l'axe Oy. Or, d'après les résultats de la question Q34, un dipôle oscillant ne rayonne aucune puissance le long de son propre axe d'oscillation (\theta = 0, d'où \sin\theta = 0). Par conséquent, la composante dipolaire p_y \vec{e}_y n'émet aucun champ électrique vers O.
   • En revanche, la composante p_z \vec{e}_z, oscillant le long de la verticale (Oz), rayonne dans son plan équatorial (\theta = \pi/2) avec une intensité maximale, et le champ électrique émergent en O est colinéaire à -\vec{e}_\theta = \vec{e}_z.

   Le champ électrique parvenant au photographe est donc purement dirigé selon la verticale \vec{e}_z :

   \boxed{\text{La lumière diffusée par le ciel vers le photographe est polarisée rectilignement selon }\vec{e}_z.}

2. Augmentation de la saturation du bleu du ciel :

   • La couleur bleue provient de la diffusion Rayleigh par les molécules de l'air, qui est fortement polarisée selon \vec{e}_z.
   • L'atmosphère contient également des particules plus grosses (aérosols, poussières, microgouttelettes d'eau) responsables d'une diffusion de Mie non polarisée qui diffuse une lumière blanche. Ce voile atmosphérique blanc se superpose au bleu et le déssature (bleu délavé).
   • En plaçant devant l'objectif un filtre polarisant dont la direction de transmission est alignée avec \vec{e}_z, la lumière bleue polarisée est transmise intégralement (hors pertes d'absorption), tandis que la lumière blanche non polarisée du voile atmosphérique est atténuée d'au moins 50\,\%.

   • Le rapport d'intensité entre le bleu et le blanc augmente, ce qui renforce la pureté chromatique :

     \boxed{\text{Le filtre polarisant accroît la saturation du bleu en filtrant la lumière blanche parasite du voile atmosphérique.}}

3. Condition d'angle à 90^\circ :

   • Le taux de polarisation rectiligne de la lumière diffusée est maximal lorsque l'observation s'effectue strictement à 90^\circ de la direction des rayons incidents solaires (\vec{u}_{\text{obs}} \perp \vec{u}_{\text{inc}}), car l'une des deux composantes dipolaires induites est alors exactement alignée avec la ligne de visée et ne contribue pas au rayonnement.
   • Pour toute autre direction de visée, les deux composantes du dipôle rayonnent vers l'observateur et la lumière n'est que partiellement polarisée (et totalement dépolarisée vers l'avant ou vers l'arrière).
   \boxed{\text{À } 90^\circ \text{ des rayons solaires, la polarisation du ciel est totale, ce qui maximise l'effet du filtre.}}

4. Perte de lumière occasionnée par le filtre :

   • D'après la loi de Malus, lorsqu'une lumière naturelle (non polarisée) traverse un polariseur linéaire parfait, la puissance transmise est divisée par deux :

     \langle I_{\text{transmise}} \rangle = \frac{1}{2} I_{\text{incidente}}

     ce qui correspond à une perte d'au moins un diaphragme (une valeur d'exposition).

   • De plus, le filtre absorbe et réfléchit partiellement la lumière par réflexion vitreuse.
   \boxed{\text{Le filtre polarisant réduit d'au moins } 50\,\% \text{ le flux lumineux des parties non polarisées de la scène.}}

D'après le préambule de la partie VII, l'image est codée en niveaux de gris et la valeur de chaque pixel est un entier compris entre 0 et 255, soit une valeur codée sur un seul octet (8\text{ bits}).

Le nombre total de pixels constituant l'image est donné par le produit de la largeur par la hauteur :

Effectuons l'estimation numérique :

(Le calcul exact donne N = 5\,018\,112\text{ pixels}.)

Chaque pixel occupant 1\text{ octet} en mémoire non compressée, la taille mémoire brute T de cette image est :

L'instruction colonne, ligne = img.size affecte respectivement à colonne la largeur de l'image (nombre de colonnes) et à ligne la hauteur de l'image (nombre de lignes).

D'après l'instruction pixel = img.getpixel((j, i)), le premier argument passé correspond à l'abscisse horizontale x = j (colonne) et le second à l'ordonnée verticale y = i (ligne). Par conséquent :

• La boucle externe sur l'indice i parcourt les lignes :

  \boxed{\text{expression 1} : \texttt{ligne}}

• La boucle interne sur l'indice j parcourt les colonnes :

  \boxed{\text{expression 2} : \texttt{colonne}}

Pour obtenir le négatif d'une image en niveaux de gris codés sur un octet (0 pour le noir absolu et 255 pour le blanc pur), la valeur du pixel inversé vaut 255 - \text{pixel}. Cette nouvelle valeur est ensuite affectée au pixel de coordonnées (j, i) de l'objet nouvelleImage à l'aide de la méthode putpixel :

• Calcul du niveau de gris complémentaire :

  \boxed{\text{expression 3} : \texttt{pixel\_neg = 255 - pixel} \quad \text{(ou } \texttt{pixel = 255 - pixel}\text{)}}

• Écriture dans la nouvelle image :

  \boxed{\text{expression 4} : \texttt{nouvelleImage.putpixel((j, i), pixel\_neg)} \quad \text{(ou } \texttt{nouvelleImage.putpixel((j, i), pixel)}\text{)}}

Remarque : Il est également tout à fait valide d'effectuer l'opération en une seule ligne à l'expression 3 (nouvelleImage.putpixel((j, i), 255 - pixel)), l'expression 4 devenant alors superflue.

L'histogramme comptabilise le nombre d'occurrences de chaque niveau de gris p \in \{0, \dots, 255\}.

La liste liste_y a été initialisée par 256 * [0], de sorte que chaque case d'indice p sert d'accumulateur pour le niveau de gris p.

Pour chaque pixel de valeur p rencontré lors du parcours de l'image, il faut incrémenter de 1 l'élément correspondant dans la liste.

L'instruction attendue pour « expression 5 » est donc :

liste_y[p] += 1

(ou de façon strictement équivalente : liste_y[p] = liste_y[p] + 1).

Dans le négatif d'une image en niveaux de gris (codée sur un octet, soit des valeurs comprises entre 0 et 255), la nouvelle valeur p' d'un pixel de valeur initiale p est donnée par :

Un pixel noir (p = 0) devient blanc (p' = 255), et inversement un pixel blanc (p = 255) devient noir (p' = 0).

Le nombre de pixels ayant la valeur p' dans l'image négative est donc égal au nombre de pixels ayant la valeur p = 255 - p' dans l'image initiale :

L'histogramme du négatif s'obtient donc graphiquement à partir de celui de l'image d'origine (figure 11) par une symétrie axiale (réflexion horizontale) d'axe vertical p = \frac{255}{2} = 127{,}5.

En examinant les caractéristiques remarquables de la figure 11 :

• Le pic étroit situé à p \approx 255 de hauteur \approx 15\,000 doit se retrouver à p' \approx 0 ;
• La zone très sombre de quasi-annulation entre p \approx 190 et 240 doit se retrouver entre p' \approx 15 et 65 ;
• Le pic maximal situé à p \approx 70 (amplitude > 45\,000) doit se retrouver à p' \approx 255 - 70 = 185 ;
• Le pic secondaire situé à p \approx 20 (amplitude \approx 27\,000) doit se retrouver à p' \approx 255 - 20 = 235.

L'histogramme de la figure 12b reproduit fidèlement toutes ces caractéristiques inversées horizontalement.