Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2025

Le champ électrostatique \vec{E} dérive du potentiel électrostatique V selon la relation locale :

Un électron possède une charge électrique q = -e. La force électrostatique subie par l'électron s'écrit donc :

Cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle électrostatique E_p définie, pour tout déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r}, par :

Or, \mathrm{d}V = \vec{\nabla} V \cdot \mathrm{d}\vec{r}, ce qui conduit à :

En choisissant l'origine des énergies potentielles telle que E_p = 0 lorsque V = 0 (constante d'intégration nulle), on obtient :

Considérons un électron (charge q = -e) émis sans vitesse initiale en un point i de potentiel V_i, et accéléré jusqu'au point f de potentiel V_f.

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, l'électron est uniquement soumis à la force électrostatique conservative \vec{F} = -e\vec{E}, le poids étant totalement négligeable. L'énergie mécanique de l'électron se conserve :

Comme E_{c,i} = 0, et d'après l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q1 (E_p = -eV) :

La différence de potentiel accélératrice U = V_f - V_i vaut donc :

Par définition de l'électron-volt, une charge e accélérée sous une différence de potentiel de 1\text{ V} acquiert une énergie cinétique de 1\text{ eV}. Pour E_c = 1,0\text{ keV} :

avec V_f > V_i, une charge négative étant accélérée vers les potentiels croissants.

En mécanique classique, l'énergie cinétique d'un électron de masse m_e animé d'une vitesse v s'écrit :

D'après les données de l'énoncé :

• E_c = 100\text{ MeV} = 1{,}0\cdot 10^5\text{ keV} ;
• m_e c^2 = 5{,}1\cdot 10^2\text{ keV}.

On en déduit :

soit numériquement :

Cette vitesse étant strictement supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide c, ce résultat est physiquement impossible selon les principes de la relativité restreinte. La formule classique n'est donc plus applicable.

À partir de l'expression relativiste de l'énergie cinétique :

on isole le facteur de Lorentz \gamma :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé, à la sortie du Linac :

• E_c = 100\text{ MeV} = 1,0 \cdot 10^5\text{ keV} ;
• m_e c^2 = 5,1 \cdot 10^2\text{ keV} \approx 0,51\text{ MeV}.

On obtient :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

Les électrons se déplacent à une vitesse v assimilable à celle de la lumière dans le vide : v \approx c. La trajectoire étant assimilée à un cercle de rayon R, la longueur parcourue lors d'un tour est L = 2\pi R.

La période de révolution d'un électron sur cette orbite s'écrit donc :

L'ensemble des N électrons porte une charge totale (en valeur absolue) Q = N e. Le passage de ces charges à travers une section droite de l'anneau pendant une période T définit une intensité moyenne :

On en déduit l'expression du nombre d'électrons N :

Application numérique :

En respectant la consigne d'arrondi à un seul chiffre significatif :

Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide de deux méthodes :

1. Le teslamètre à sonde à effet Hall (méthode la plus usuelle en travaux pratiques) :

   • Principe : une plaquette semi-conductrice d'épaisseur e, parcourue par un courant électrique continu d'intensité I, est placée dans le champ magnétique \vec{B}.
   • Les porteurs de charge de vitesse \vec{v} sont déviés sous l'action de la force de Lorentz magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}.

   • Cette accumulation de charges sur les faces latérales crée un champ électrostatique transverse \vec{E}_H s'opposant à la déviation, d'où l'apparition d'une différence de potentiel transverse, appelée tension de Hall :

     U_H = R_H \frac{I B_\perp}{e}

     où R_H est la constante de Hall du matériau et B_\perp la composante du champ perpendiculaire à la sonde.

   • La mesure de U_H à courant I fixé permet donc une mesure directe, locale et directionnelle de \vec{B} (en continu comme en alternatif basse fréquence).

2. La bobine exploratrice (ou sonde d'induction / fluxmètre) :

   • Principe : une petite bobine plane comportant N spires de surface unitaire S, d'axe orienté \vec{n}, est placée dans la région où règne le champ.

   • D'après la loi de Faraday, une variation du flux magnétique \Phi = N\,\vec{B}\cdot\vec{S} à travers la bobine induit une force électromotrice :

     e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
   • Cette variation peut être obtenue en faisant varier le champ dans le temps (champ alternatif) ou en retirant/retournant rapidement la bobine hors de la zone de champ (champs continus, mesurés à l'aide d'un circuit intégrateur qui donne \Delta \Phi = -\int e\,\mathrm{d}t).

On étudie l'électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Le poids étant totalement négligeable devant les interactions électromagnétiques, l'électron n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

La puissance de cette force est identiquement nulle (\mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0), ce qui implique que l'énergie cinétique est constante : la norme de la vitesse est conservée au cours du mouvement, soit v = v_0.

Le vecteur vitesse \vec{v} étant initialement selon \vec{e}_z et le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_y selon \vec{e}_y, la vitesse reste constamment contenue dans le plan (xOz), orthogonal à \vec{B}. On a donc \vec{v} \perp \vec{B} à tout instant.

En admettant une trajectoire circulaire de rayon R_B, le mouvement est circulaire uniforme. Dans la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n, \vec{u}_b), l'accélération est purement normale et centripète :

La force magnétique, également centripète, a pour norme F = e v_0 B_0. La projection du principe fondamental de la dynamique m_e \vec{a} = \vec{F} selon la normale rentrante \vec{u}_n donne :

En introduisant la norme de la quantité de mouvement p = m_e v_0, on obtient bien :

Pour un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire de rotation \omega_B est reliée à la vitesse scalaire par v_0 = R_B \omega_B, soit :

D'après la relation (1) établie à la question Q7 :

En utilisant l'approximation relativiste p \approx \dfrac{E_c}{c}, l'expression du champ magnétique nécessaire pour courber la trajectoire selon un rayon R_B devient :

Puisque E_c = 2,7\text{ GeV} = 2,7 \cdot 10^9\text{ eV}, on a directement :

Application numérique avec les données :

• \dfrac{E_c}{e} = 2,7 \cdot 10^9\text{ V}
• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• R_B = 5,4\text{ m}

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif :

1. Champ dans le plan xOy

Le plan xOy contient les axes des quatre bobines, et les spires le traversent orthogonalement. Par réflexion par rapport à ce plan, le sens de parcours des spires est inversé :

Le plan (xOy) est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants (\Pi^*).

Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est parallèle aux plans d'antisymétrie des courants en tout point de ceux-ci :

2. Direction et sens du champ au voisinage de l'origine

• Sur l'axe Ox (y = 0, z = 0) :

  • Le plan (xOz) est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\Pi) : la bobine du premier quadrant (x>0, y>0) est l'image par réflexion de celle du quatrième quadrant (x>0, y<0), avec des sens de circulation qui se correspondent par réflexion.

  • En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est orthogonal à ce plan. Ainsi, sur l'axe Ox, \vec{B} est orthogonal à (xOz) :

    \vec{B}(x, 0, 0) \parallel \vec{e}_y

    La direction est donc portée par l'axe Oy.

  • Sens : d'après le sens des courants (règle du tire-bouchon), la bobine du quatrième quadrant (x>0, y<0) crée un pôle Nord dirigé vers le centre (le champ en sort), tandis que la bobine du premier quadrant (x>0, y>0) crée un pôle Sud vers le centre (le champ y entre). Les lignes de champ vont donc du bas vers le haut :

    • pour x > 0, \vec{B} est dirigé selon +\vec{e}_y ;
    • pour x < 0, les rôles des bobines s'inversent (pôle Nord en y>0, Sud en y<0) : \vec{B} est dirigé selon -\vec{e}_y.

• Sur l'axe Oy (x = 0, z = 0) :

  • De même, le plan (yOz) est un plan de symétrie des courants (\Pi).

  • En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal à (yOz) :

    \vec{B}(0, y, 0) \parallel \vec{e}_x

    La direction est donc portée par l'axe Ox.

  • Sens : la bobine du deuxième quadrant (x<0, y>0) présentant un pôle Nord vers le centre et celle du premier quadrant (x>0, y>0) un pôle Sud, les lignes de champ vont de gauche à droite :

    • pour y > 0, \vec{B} est dirigé selon +\vec{e}_x ;
    • pour y < 0, \vec{B} est dirigé selon -\vec{e}_x.

3. Valeur du champ à l'origine

L'origine O(0,0,0) appartient à la fois au plan (xOz) et au plan (yOz) :

Ces deux vecteurs unitaires étant orthogonaux, cela impose :

On retrouve également ce résultat par compensation exacte, à l'origine, des champs magnétiques créés par les quatre bobines identiques disposées symétriquement deux à deux en opposition.

Au voisinage de l'origine, dans l'espace vide de courants (\vec{j} = \vec{0}), le champ magnétique vérifie en régime stationnaire les deux équations locales fondamentales de la magnétostatique :

• L'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

• L'équation de Maxwell-Ampère stationnaire :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}

Vérifions que l'expression proposée \vec{B} = (Ky + K')\vec{e}_x + (Kx + K')\vec{e}_y satisfait ces équations :

• Pour la divergence :

  \mathrm{div}\,\vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x}(Ky + K') + \frac{\partial}{\partial y}(Kx + K') + 0 = 0

  L'équation \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 est donc bien vérifiée.

• Pour le rotationnel : comme le champ est indépendant de z et a une composante selon \vec{e}_z nulle, seules les dérivées par rapport à x et y interviennent :

  \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_x &= \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_y &= \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(Kx + K') - \frac{\partial}{\partial y}(Ky + K') = K - K = 0 \end{aligned}

  Ainsi, on a bien \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}.

Valeur de K' :

À l'origine des coordonnées (0,0,0), le champ théorique vaut :

D'après les symétries établies à la question Q9, le champ est nul à l'origine (\vec{B}(O) = \vec{0}), ce qui impose :

Le champ quadrupolaire au voisinage de l'origine s'écrit donc simplement :

D'après la question Q10, le champ magnétique au voisinage de l'origine s'écrit :

Au point A\left(0,\, \frac{\Delta y}{2},\, 0\right) : Le champ magnétique vaut :

Comme K > 0 et \Delta y > 0, \vec{B}(A) est dirigé suivant +\vec{e}_x.

La force magnétique subie par un électron de charge q = -e et de vitesse \vec{v} = v_0\,\vec{e}_z s'écrit :

Puisque le trièdre (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) est orthonormé direct, on a \vec{e}_z\wedge\vec{e}_x = \vec{e}_y, d'où :

La force exercée sur l'électron en A est donc dirigée vers le bas, vers l'origine O.

Au point B\left(0,\, -\frac{\Delta y}{2},\, 0\right) : De même, en B :

\vec{B}(B) est dirigé suivant -\vec{e}_x.

La force subie par l'électron vaut :

La force exercée sur l'électron en B est donc dirigée vers le haut, vers l'origine O.

Conclusion sur la focalisation : En tout point de l'axe Oy (avec y \neq 0), la composante de la force magnétique selon Oy s'écrit :

Comme -e\,v_0\,K < 0, cette force est une force de rappel linéaire ramenant les électrons vers le plan y = 0 : le quadrupôle assure donc une refocalisation du faisceau d'électrons dans la direction Oy.

Considérons un électron du faisceau possédant un écart transversal selon l'axe Ox, de coordonnées (x, 0, z) au voisinage de l'axe de propagation.

D'après le résultat de la question Q10, le champ magnétique créé par le quadrupôle sur l'axe Ox (y = 0) s'écrit :

L'électron de charge q = -e et de vitesse \vec{v} = v_0 \vec{e}_z (avec v_0 > 0) subit la force de Lorentz :

Comme \vec{e}_z \times \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on obtient :

Puisque K > 0 et v_0 > 0, la force est dirigée dans le sens de +x\vec{e}_x :

• pour x > 0, la force est orientée vers les x croissants (\vec{F} \cdot \vec{e}_x > 0) ;
• pour x < 0, la force est orientée vers les x décroissants (\vec{F} \cdot \vec{e}_x < 0).

Cette force tend à éloigner les électrons de l'axe central x = 0 : le quadrupôle est donc défocalisant selon la direction Ox.

Dispositif correcteur (doublet de quadrupôles) : Un quadrupôle seul ne peut pas focaliser simultanément dans les deux directions transverses (théorème d'Earnshaw / divergence nulle du champ magnétique).

Pour pallier cet inconvénient, on dispose en série le long du faisceau deux quadrupôles successifs séparés d'une certaine distance D, le second étant décalé géométriquement par une rotation de 90^\circ autour de l'axe Oz (ou alimenté par des courants inversés, ce qui change le signe de K) :

• le premier quadrupôle est focalisant selon Oy et défocalisant selon Ox (noté F_y D_x) ;
• le second quadrupôle est défocalisant selon Oy et focalisant selon Ox (noté D_y F_x).

Ce système constitue un doublet focalisant (focalisation forte). Par analogie avec l'optique géométrique, l'association de deux lentilles de distances focales opposées f_1 = f et f_2 = -f séparées par une distance D possède une vergence équivalente donnée par la formule de Gullstrand :

L'effet net est donc globalement focalisant dans les deux directions Ox et Oy.

1. Rayonnement anisotrope : Un rayonnement est dit anisotrope si ses caractéristiques physiques, en particulier la puissance surfacique émise (ou intensité lumineuse), dépendent de la direction de l'espace considérée (par opposition à un rayonnement isotrope, dont les propriétés sont identiques dans toutes les directions). Dans le cas du rayonnement synchrotron, l'émission est fortement concentrée vers l'avant, le long du vecteur vitesse de la particule relativiste.
2. Rayonnement polarisé : Une onde électromagnétique est dite polarisée si le vecteur champ électrique \vec{E} décrit, en un point donné et au cours du temps, une trajectoire géométrique déterminée (rectiligne, elliptique ou circulaire) dans le plan d'onde perpendiculaire à la direction de propagation. Cela s'oppose à une onde naturelle ou non polarisée, pour laquelle l'orientation du champ électrique fluctue de manière aléatoire au cours du temps.

1. Direction des champs et composantes nulles :

La distribution de charges et de courants est entièrement localisée sur l'axe (Oz) : la charge positive +e est fixe en O, et l'électron de charge -e effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal sur (Oz). Le vecteur densité de courant associé \vec{j} est donc dirigé selon \vec{e}_z.

Considérons le plan méridien \Pi_M = (O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta) contenant l'axe (Oz) et le point d'observation M.

• Ce plan contient les charges ainsi que le vecteur vitesse \vec{v}(t) de l'électron : c'est un plan de symétrie pour la distribution de charges \rho et pour la distribution de courants \vec{j}.

• Le champ électrique \vec{E}(M) étant un vecteur polaire, il est contenu dans tout plan de symétrie de ses sources. Ainsi, \vec{E}(M) \in \Pi_M, ce qui impose une composante orthogonale à ce plan nulle :

  \boxed{E_\varphi = 0}

• Le champ magnétique \vec{B}(M) étant un pseudovecteur (vecteur axial), il est orthogonal à tout plan de symétrie de ses sources. Le vecteur normal à \Pi_M étant \vec{e}_\varphi, le champ magnétique est purement orthoradial selon \vec{e}_\varphi, ce qui implique que ses composantes dans le plan \Pi_M sont nulles :

  \boxed{B_r = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta = 0}

2. Indépendance en \varphi :

La distribution de charges et de courants présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par toute rotation d'angle \varphi autour de cet axe.

D'après le principe de Curie, les champs créés possèdent les mêmes invariances que leurs sources. Par conséquent, exprimées dans la base sphérique locale adaptée (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), les composantes non nulles des champs ne dépendent pas de la coordonnée azimutale \varphi :

Les composantes scalaires ne dépendent donc que des coordonnées r, \theta et du temps t.

Le mouvement de l'électron est décrit par le vecteur position :

La vitesse de l'électron s'obtient par dérivation temporelle :

Par une seconde dérivation temporelle, on obtient l'accélération de l'électron :

Pour un système de charges discrètes \{q_i\} situées en des points M_i, le moment dipolaire électrique est défini par :

La charge totale étant nulle (+e - e = 0), ce moment dipolaire est indépendant de l'origine O choisie. Pour la distribution constituée de la charge +e fixe en O et de la charge -e en P, il s'écrit :

En posant \vec{p}_0 = -el\,\vec{e}_z, le moment dipolaire varie sinusoïdalement selon \vec{p}(t) = \vec{p}_0\cos(\omega t).

L'amplitude de l'accélération de l'électron vaut a = \|\vec{a}\|_{\max} = l\omega^2, ce qui donne l = \frac{a}{\omega^2}. L'amplitude p_0 = \|\vec{p}_0\| = el du moment dipolaire s'exprime donc par :

1. Définition de la zone de rayonnement

L'émission dipolaire met en jeu deux échelles spatiales caractéristiques : la dimension de la source l et la longueur d'onde du rayonnement émis \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega}.

La zone de rayonnement (ou zone d'onde, ou champ lointain) est la région de l'espace située à une distance r du dipôle très grande devant la longueur d'onde :

(sachant que l'approximation dipolaire r \gg l est également vérifiée, avec ici l \ll \lambda). Dans cette région :

• les termes de champ électromagnétique décroissant en 1/r deviennent prépondérants devant les termes en 1/r^2 (champ d'induction) et en 1/r^3 (champ quasi-statique) ;
• le flux du vecteur de Poynting à travers une sphère de rayon r ne tend pas vers zéro lorsque r \to +\infty : il y a propagation d'une puissance rayonnée non nulle à l'infini.

2. Justification du terme r/c

Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse finie c.

• La source étant localisée autour de l'origine O (l \ll r), le signal reçu au point M situé à la distance r = OM à la date t a été émis par le dipôle à une date antérieure, dite date retardée :

  t_{\text{ret}} = t - \frac{r}{c}
• Le terme \dfrac{r}{c} représente la durée de propagation (ou temps de retard) mise par l'onde électromagnétique pour parcourir la distance r entre la source et le point d'observation.

L'argument de la fonction d'oscillation de la source \cos(\omega t) devient donc naturellement \cos\!\left(\omega\!\left(t - \frac{r}{c}\right)\right).

1. Structure locale d'onde plane

Les expressions données des champs dans la zone de rayonnement s'écrivent :

avec la direction de propagation radiale \vec{u} = \vec{e}_r. On constate que :

• Les champs sont strictement transverses à la direction de propagation radiale :

  \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 \quad \text{et} \quad \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0
• Les vecteurs directeurs forment un trièdre orthonormé direct (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) puisque \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\varphi.

• La relation de structure reliant le champ électrique et le champ magnétique s'écrit :

  \vec{B} = \frac{\vec{e}_r \wedge \vec{E}}{c}

  ce qui implique également la relation d'amplitude E = c B.

À grande distance de la source (r \gg \lambda), sur une étendue spatiale petite devant la distance r, la courbure des surfaces d'onde sphériques est négligeable et l'amplitude en 1/r varie très peu : l'onde présente donc localement la structure d'une onde plane progressive se propageant selon \vec{e}_r.

2. Polarisation de l'onde

En tout point M(r,\theta,\varphi) fixé, le vecteur champ électrique \vec{E} conserve une direction constante portée par \vec{e}_\theta au cours du temps. L'onde émise est donc à :

3. Vérification de l'homogénéité des champs

• Pour le champ électrique \vec{E} : La perméabilité magnétique du vide \mu_0 s'exprime en \text{H}\cdot\text{m}^{-1} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} (car une f.é.m. d'auto-induction vérifie e = -L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies [L] = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}). Le moment dipolaire p_0 s'exprime en \text{C}\cdot\text{m} = \text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}, la pulsation \omega en \text{s}^{-1} et r en \text{m}.

  La dimension de l'amplitude s'écrit donc :

  \begin{aligned} \left[ \frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{r} \right] &= \frac{[\mu_0] \cdot [p_0] \cdot [\omega]^2}{[r]} \\ &= \frac{(\text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}) \cdot (\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}) \cdot (\text{s}^{-2})}{\text{m}} \\ &= \text{V}\cdot\text{m}^{-1} \end{aligned}

  L'expression est bien homogène à un champ électrique (en \text{V}\cdot\text{m}^{-1}).

• Pour le champ magnétique \vec{B} : On a B = \frac{E}{c}. La dimension de B est donc :

  [B] = \frac{[E]}{[c]} = \frac{\text{V}\cdot\text{m}^{-1}}{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2} = \text{T}

  car la loi de Faraday (\mathrm{d}\Phi = B\,\mathrm{d}S) donne [B] = \text{Wb}\cdot\text{m}^{-2} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2} = \text{T}. L'expression est bien homogène à un champ magnétique (en teslas \text{T}).

Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité surfacique de puissance transportée par l'onde électromagnétique. Il est défini par :

En utilisant la base sphérique orthonormée directe dans laquelle \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r, et en injectant les expressions de \vec{E} et \vec{B} données dans l'énoncé :

La puissance surfacique moyenne émise est donnée par la norme de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. La moyenne temporelle du terme en cosinus au carré vaut \langle \cos^2(\dots) \rangle = \frac{1}{2}, d'où :

Cette grandeur dépend de la direction d'émission par le facteur \sin^2\theta ; elle est donc maximale pour \sin^2\theta = 1, c'est-à-dire dans la direction :

soit dans le plan équatorial orthogonal à l'axe d'oscillation du dipôle Oz.

Dans cette direction, la norme de la valeur moyenne du vecteur de Poynting vaut :

En introduisant la relation p_0 \omega^2 = e a (établie à la question Q15) et la relation \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, on peut également l'écrire sous la forme :

La puissance surfacique moyenne émise est donnée par la norme du vecteur de Poynting moyen :

Comme 0 < v < c, le dénominateur 1 - \frac{v}{c} \cos\theta > 0 est strictement minimal lorsque \cos\theta = 1, c'est-à-dire pour :

La puissance surfacique moyenne est donc maximale vers l'avant, dans la direction du vecteur vitesse \vec{v} de l'électron (tangente à la trajectoire au point d'émission).

En \theta = 0, la valeur maximale vaut :

D'après le résultat de la question Q18, la valeur maximale du rayonnement dipolaire classique s'écrit :

On en déduit la relation :

Pour un électron ultrarelativiste (v \approx c), le facteur de Lorentz vérifie :

On obtient ainsi :